Les objets mathématiques selon Platon - Université Paris Diderot ...

qu'en prenant part à l'être propre de ce à quoi elle prend part à chaque fois. Et que, dans le cas
présent, tu ne connais aucune autre cause du devenir deux que le fait de prendre part à la
dualité. Et que ce qui veut être deux doit y prendre part, alors que doit prendre part à l'unité ce
qui veut être un. Ces coupures-là, en revanche, les adjonctions et les autres finesses de ce genre,
tu les enverrais promener, en laissant le soin de répondre à ceux qui sont plus savants que toi.
(Phéd. 101 b 8 - c 9)
Ce passage ne fait qu'appliquer aux nombres la nouvelle méthode d'explication. Tout en
invoquant l'idée de l'unité, Socrate n'établit pas de lien avec la pluralité d'unités qui servent à
définir le nombre mathématique dans la République et qui demandent précisément cette idée
commune. Quant à l'idée du nombre deux, on n'apprend pas comment elle se rapporte à la
même définition du nombre en général. L'absence des unités et des nombres mathématiques
correspond sans doute à la grande autonomie qui caractérise le cheminement de chaque
dialogue de Platon. Quelques pages plus loin on retrouve cependant des nombres pairs et
impairs qui ne sont pas attachés à des ensembles concrets et que l'on voudrait donc tenir pour
des idées. Mais, étant donné que ces nombres doivent être pairs ou impairs, ils sont
forcément divisibles — en deux ensembles égaux ou non égaux —, ce qui est incompatible
avec le principe de la simplicité des idées. Qui plus est, Socrate appelle même le nombre dix
« le double de cinq », ce qui signifie que les nombres en question font l'objet d'opérations
mathématiques (105 a 6-7) ; il s'agit donc de nombres mathématiques et non des idées des
nombres (cf. P. Pritchard, l. c., p. 35). Mais Socrate n'indique pas la différence.
C'est dans le Phédon que Platon s'occupe le plus des idées des nombres, mais il n'a pas
l'air de vouloir, par là, contribuer à la théorie de l'arithmétique. L'indice le plus marqué en est
le fait que les idées des nombres apparaissent dans le contexte d'une réflexion sur
l'explication du devenir ; à la différence d'autres exemples (voir Phéd. 100 e 5 - 101 b 8),
dans l'exemple mathématique l'accent est mis sur le fait de devenir deux. Or, cet aspect qui
caractérise les choses sensibles est étranger aux mathématiques. Si Platon veut faire
référence aux mathématiciens qui visualisent l'addition en ajoutant un caillou à un autre, la
critique de Socrate est pertinente vis-à-vis de ceux qui confondent l'objet arithmétique avec
sa figuration. Il les avertit que leurs manipulations dépendent de façon non réciproque des
idées de nombres. Est-ce que Socrate critique tacitement aussi les mathématiciens avisés
Tel serait le cas, si ces mathématiciens se prononçaient sur la naissance des unités et des
ensembles dénombrés sensibles en soutenant quelle est due à des processus physiques et non
à la participation aux idées.
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