Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

THÈSE 

En vue de l'obtention du 

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE 

Délivré par l’Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace 

Spécialité : Dynamique des fluides 

Présentée et soutenue par Thibault HARRIBEY 

le 16 décembre 2011 

Simulation numérique directe de la turbulence 

en présence d’une paroi ablatable 

JURY 

M. Julien Réveillon, président, rapporteur 

M. Patrick Chassaing, directeur de thèse 

M. Bruno Dubroca, rapporteur 

M. Emmanuel d’Humières 

M. Stéphane Jamme 

Mme Thanh-Ha Nguyen-Bui, co-directrice de thèse 

École doctorale 

Unité de recherche 

: Mécanique, énergétique, génie civil et procédés 

: Équipe d’accueil ISAE-ONERA EDyF 

Directeur de thèse : M. Patrick Chassaing 

Co-directrice de thèse : Mme Thanh-Ha Nguyen-Bui

Remerciements 

Le travail reporté dans ce manuscrit a été mené dans le cadre d’un contrat de formation 

par la recherche financé par le Commissariat à l’Énergie Atomique. Cette thèse s’est déroulée 

au sein du laboratoire de Mécanique des fluides et aérothermie du CEA-CESTA. Je voudrais 

exprimer mes sincères remerciements à tous ceux qui m’ont soutenu et accompagné durant ces 

trois années. 

Je tiens tout d’abord à remercier chaleureusement mon directeur de thèse, Patrick Chassaing, 

et mon encadrant CEA, Thanh-Ha Nguyen-Bui, pour leur grande disponibilité et la qualité sans 

faille de leur encadrement. Leurs conseils et leurs expériences respectives dans les domaines de 

la turbulence et de la rentrée atmosphérique se sont révélés primordiaux pour mener à bien ce 

travail. Comment ne pas apprécier les grandes qualités humaines dont ils ont fait preuve à mon 

égard durant plus de mille jours. Je leur en suis extrêmement redevable. 

Je tiens aussi à exprimer ma reconnaissance à Jean-Bernard Cazalbou et Stéphane Jamme 

pour leur participation à nos réunions de travail et leur grande contribution à l’avancement de 

mes recherches. Je tiens d’ailleurs à saluer la mémoire de Jean-Bernard qui nous a quitté peu 

avant la soutenance de cette thèse. Le monde scientifique perd incontestablement un des ses 

acteurs les plus admirables. 

Je voudrais adresser un grand merci à Bruno Dubroca, il est à l’origine de mon intégration 

au CEA et il a accepté, tout comme Julien Réveillon, d’être rapporteur pour cette thèse. Les 

conseils et avis qu’ils ont délivrés sur ce manuscrit ont été des plus consctructifs et justifiés. 

Enfin, je salue les efforts faits par mon prédécesseur Anthony Velghe qui n’a pas hésité à 

traverser la France pour venir m’aider à adopter son bébé numérique, le code EVEREST, dès 

le commencement de la thèse. 

Je voudrais également exprimer toute ma sympathie envers les équipes du CEA-CESTA qui 

m’ont accueilli on ne peut plus agréablement dès mon arrivée. J’ai pu y côtoyer et apprécier de 

nombreuses personnes (dans le désordre) : Xavier, Michel, David, Pierre-Henri, Jean, Gérard, 

Muriel, Agnès, Olivier, Patrick, Anne-Pascale (la super-secrétaire), Marc, Jean-Jacques, Laurent, 

Jean-Marc, David, Isabelle, Pierre, Céline, François... 

Une pensée aussi pour mes camarades doctorants, Joanne, Aurélie, Sébastien, Pascal, François, 

Manu, Cyril et surtout Mathieu avec qui j’ai partagé bien plus qu’un bureau et qui m’a tant 

aidé lorsque je rencontrais des erreurs numériques encore inconnues pour moi (et elles furent 

nombreuses). Un grand coup de chapeau (et même une révérence) à toutes ces personnes qui 

ont fait de ces trois années de labeur un joyeux moment de science. 

Je remercie naturellement mes parents et mes sœurs pour leur soutien sans faille. L’équilibre 

familial qu’ils m’ont apporté m’a permis de réaliser ce travail le plus sereinement qu’il puisse 

être. 

3

4 Remerciements 

Puis, comment ne pas évoquer toutes les personnes qui n’ont « rien » fait pour m’aider dans 

ce travail et qui m’ont proposé tout et n’importe quoi pour m’en éloigner. Cette jolie troupe 

d’amis que je me « cogne » depuis plus de dix ans maintenant, pour le meilleur et pour le pire, 

est composée de Charly (Le coloc), Poupon, Coco, Jean-Bat, Kinkin, Nono, Serge (pour ce qui 

est des mâles) et Régine, Infrite, Sansan, Maron, Vaness, Stéph et Clairon (pour ces dames). 

Finalement, derrière tout homme il y a une femme (enfin pas tout le temps), je ne déroge 

pas à la règle. En effet, j’ai une Ophélie qui veille tendrement sur moi et pour qui je tiens à 

exprimer toute ma profonde affection (c’est une litote).

Table des matières 

Remerciements 3 

Nomenclature 9 

Introduction générale 13 

1 Contexte scientifique 17 

1.1 Phénomènes liés à la rentrée atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.1.1 Les enjeux de la rentrée atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.1.2 Aspects physico-chimiques de la rentrée mis en jeu . . . . . . . . . . . . . 23 

1.1.3 Développement de rugosités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.2 Introduction à la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.2.1 Généralités sur les écoulements turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.2.2 Représentation spectrale de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

1.2.3 Méthodes de simulation de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

2 Les équations du problème physique 43 

2.1 Les équations du code EVEREST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.1.1 Les équations de conservation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.1.2 Cinétique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

2.1.3 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

2.1.4 Coefficients de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

2.2 L’approche statistique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.2.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.2.2 Les moyennes de la description statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.3 Modèles utilisés pour la validation de la turbulence simulée . . . . . . . . 56 

2.2.4 Analyse corrélatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

3 Présentation du code EVEREST 65 

3.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.2 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

3.1.3 Informations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

3.2 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.2.1 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.2.2 Discrétisation spatiale des schémas compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5

6 Table des matières 

3.3 Génération d’un champ turbulent de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

3.3.1 Considérations spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

3.3.2 Passage des fluctuations spectrales dans le domaine physique . . . . . . . 84 

3.3.3 Critère de résolution spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

3.4 Parallélisation du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

3.4.2 Efficacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

4 Simulation de la Turbulence Homogène Isotrope (THI) 95 

4.1 Initialisation du champ turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

4.1.1 Configuration d’écoulement étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

4.1.2 Initialisation par un spectre de Passot-Pouquet (PP) . . . . . . . . . . . . 99 

4.1.3 Initialisation par un spectre de Von-Kármán corrigé par Pao (VKP) . . . 100 

4.2 Caractérisation des principales propriétés de la THI . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.2.1 Vérification du caractère homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.2.2 Analyse de l’isotropie de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

4.3 Décroissance énergétique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

4.3.1 Validation des comportements analytiques des simulations . . . . . . . . . 111 

4.3.2 Recalage de la constante C ε,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

4.3.3 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

4.4 Étude d’une turbulence forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

4.4.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

4.4.2 Caractérisation du forçage spectral utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

4.4.3 Interprétation des méthodes de forçage implémentées . . . . . . . . . . . . 125 

4.5 Extraction des paramètres spectraux de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 127 

4.5.1 Principe de l’extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

4.5.2 Résultats du suivi spectral de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

4.5.3 Interprétation des résultats liés à l’extraction spectrale . . . . . . . . . . . 132 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 

5 Turbulence en présence d’un blocage pariétal 135 

5.1 Justification des adaptations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

5.1.1 Définition du cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

5.1.2 Configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

5.1.3 Formalisme mathématique de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

5.1.4 Adaptation du forçage de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

5.2 Pré-requis à l’étude de l’écoulement en cisaillement libre . . . . . . . . . . . . . . 146 

5.2.1 Définition des champs turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

5.2.2 Vérification de la tenue des critères de résolution . . . . . . . . . . . . . . 147 

5.2.3 Évaluation du forçage confiné de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . 149 

5.3 Résultats généraux des écoulements en présence de parois . . . . . . . . . . . . . 151 

5.3.1 Étude des paramètres de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 

5.3.2 Aspects thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 


5.4 Bilan des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

5.4.1 Cas d’une paroi adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Table des matières 7 

5.4.2 Cas de la paroi isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

5.4.3 Interprétations des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

5.4.4 Transfert énergétique intercomposantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

6 Simulation de l’ablation en turbulence confinée 171 

6.1 Prise en compte du phénomène d’ablation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 

6.1.1 Contexte théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 

6.1.2 Modélisation retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

6.1.3 Définition des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

6.2 Analyse de l’écoulement dans la zone de blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 

6.2.1 Comportement des paramètres généraux de l’écoulement . . . . . . . . . . 178 

6.2.2 Bilan des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

6.2.3 Interprétations des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 

6.3 Interaction entre l’écoulement et la réaction d’ablation . . . . . . . . . . . . . . . 183 

6.3.1 Conséquences du régime turbulent sur la récession . . . . . . . . . . . . . 183 

6.3.2 Caractérisation des états de surfaces ablatées . . . . . . . . . . . . . . . . 186 

6.3.3 Simulation de la présence d’un matériau composite idéalisé . . . . . . . . 189 


Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 

Conclusion générale 193 

Annexes 195 

A Étude des spectres de Passot-Pouquet et de Von-Kármán Pao 197 

A.1 le spectre de Passot-Pouquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

A.1.1 Étude analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

A.1.2 Étude paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 

A.2 Spectre de Von-Kármán Pao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 

A.2.1 Étude analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 

A.2.2 Étude paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 

A.2.3 Initialisation d’une turbulence VKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 

A.3 Comparaison des deux spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 

Bibliographie 208

Nomenclature 

Lettres latines 

A Fréquence de collisions [kg.s −1 .m −2 .P a −1/2 ] 

c Vitesse du son [m.s −1 ] 

C α Fraction massique de l’espèce α [−] 

C p Chaleur spécifique à pression constante [J.kg −1 .K −1 ] 

D Coefficient de diffusion moléculaire [m 2 .s −1 ] 

Dij ν Tenseur de diffusion moléculaire [−] 

D p ij Tenseur de diffusion par fluctuation de pression [−] 

Dij u Tenseur de diffusion par fluctuation de vitesse [−] 

D(κ) Spectre de dissipation turbulente [−] 

Da Nombre de Damköhler [−] 

e Énergie interne [J] 

E Énergie totale [J] 

E(κ) Spectre énergétique de turbulence [−] 

f(r) Coefficient de corrélations longitudinales [−] 

F o Nombre de Fourier [−] 

g(r) Coefficient de corrélations transversales [−] 

H Enthalpie totale massique [J.kg −1 ] 

h α Enthalpie massique de l’espèce α [J.kg −1 ] 

h rugo Hauteur de rugosité [−] 

J Flux de diffusion molaire [mol.m −2 .s −1 ] 

J Matrice Jacobienne [−] 

k Énergie cinétique de turbulence [m 2 .s −2 ] 

k f Vitesse de réaction chimique dans le sens direct [−] 

k b Vitesse de réaction chimique dans le sens indirect [−] 

Kn Nombre de Knudsen [−] 

l f , m f , n f Échantillonage dans les directions x, y, z [−] 

L dom Longueur du domaine de simulation [m] 

l T , L T Échelles de longueur turbulente [m] 

L Amplitude de l’onde caractéristique [−] 

ṁ Débit massique [kg.m −2 .s −1 ] 

Ma Nombre de Mach [−] 

M α Masse molaire de l’espèce α [kg.mol −1 ] 

P Pression [P a] 

¯p Pression de vapeur saturante [P a] 

9

10 Nomenclature 

P e Nombre de Péclet [−] 

P r Nombre de Prandtl [−] 

˙q Flux de quantité de chaleur [W.m −2 ] 

Q ij Tenseur des corrélations toubles de vitesse [−] 

R Taux d’ablation molaire par unité de surface [mol.m −2 .s −1 ] 

Re Nombre de Reynolds [−] 

Re f Nombre de Reynolds de turbulence dans le plan y = L dom 

2 

[−] 

Re λ Nombre de Reynolds basé sur l’échelle de Taylor [−] 

Re T Nombre de Reynolds de turbulence [−] 

Sc Nombre de Schmidt [−] 

S k Facteur de dissymétrie [−] 

T (κ) Spectre de transfert énergétique [−] 

T a Température d’activation [K] 

T f Température du fluide [K] 

T k Facteur d’aplatissement [−] 

T w Température de la paroi [K] 

t Temps [s] 

u ′ Agitation turbulente [m.s −1 ] 

u, v, w Composantes du champ de vitesse fluctuant [m.s −1 ] 

ũ, ṽ, ˜w Composantes du champ de vitesse spectral fluctuant [m.s −1 ] 

v a Vitesse d’ablation [m.s −1 ] 

v w Vitesse de récession de la paroi [m.s −1 ] 

v ω Vitesse d’injection [m.s −1 ] 

x, y, z Coordonnées de l’espace physique [m] 

X α Fraction molaire de l’espèce α [m] 

Lettres grecques 

α n Coefficient d’accomodation de l’espèce C n [−] 

δ ij Symbole de Kronecker [−] 

ε Taux de dissipation turbulente [m 2 .s −3 ] 

ε ii Tenseur des pseudo-dissipation [−] 

η Échelle de Kolmogorov [−] 

κ 1 , κ 2 , κ 3 Cordonnées dans l’espace spectral [m −1 ] 

κ e Maximum du spectre énergétique E(κ) [m −1 ] 

κ d Maximum du spectre dissipatif D(κ) [m −1 ] 

κ max Nombre d’onde maximal résolu [m −1 ] 

λ Conductivité thermique [J.K −1 .m −1 .s −1 ] 

λ T Micro-échelle de Taylor [m] 

Λ f Macro-échelle de Taylor longitudinale [m] 

Λ g Macro-échelle de Taylor transversale [m] 

µ Viscosité dynamique [P l] 

µ t Viscosité dynamique turbulente [kg.m −1 .s −1 ] 

ν Viscosité cinématique = µ/ρ [m 2 .s −1 ]

Nomenclature 11 

ν i ′, ν′′ i Coefficients stœchiométriques de l’espèce i [−] 

ξ, η, ζ Coordonnées de l’espace mathématique selon x, y, z [m] 

Π ii Tenseur des corrélations pression-déformation [−] 

ρ Masse volumique du fluide [kg.m −3 ] 

ρ w Masse volumique du matériau de la paroi solide [kg.m −3 ] 

σ ij Tenseur des contraintes visqueuses [−] 

τ η Temps de retournement des tourbillons de Kolmogorov [s] 

τ T Temps de retournement des tourbillons porteurs d’énergie [s] 

υ s Volume molaire de la phase solide [m 3 .mol −1 ] 

ψ ij Tenseur spectral des corrélations doubles de vitesse [−] 

˙ω Taux de réaction chimique [−] 

Constantes 

γ = 1.4 

k B = 1.381.10 −23 J.K −1 Constante de Boltzmann 

M AIR = 32 10 −3 Masse molaire de l’air assimilé à du dyoxygène 

P atm = 10 5 bar Pression atmosphérique de référence 

R = 8.3145107 J.mol −1 .K −1 Constante des gaz parfaits

Introduction générale 

Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’étude de la modélisation des phénomènes physiques 

liés à la rentrée atmosphérique. Elle a été menée au sein du Commissariat à l’Énergie Atomique, 

en étroite collaboration avec le département Aérodynamique et Propulsion de l’Institut Supérieur 

de l’Aéronautique et de l’Espace (ISAE). Elle s’inscrit dans la continuité des travaux déjà réalisés 

par Velghe [64]. Nous proposons d’abord dans cette introduction, outre une description du 

contexte général, un panorama des principales études existantes sur le sujet. Nous verrons enfin 

les différents objectifs fixés et nous finirons par donner l’organisation de ce mémoire. 

Contexte général 

Le développement et l’optimisation des boucliers thermiques des sondes d’exploration spatiale 

sont devenus des aspects essentiels de la recherche liée à la rentrée atmosphérique. En effet, 

lorsque le module traverse l’atmosphère, il subit un échauffement aérodynamique intense (vitesse 

de rentrée supérieure à 5 km.s −1 ). Le frottement de l’air, fonction de l’atmosphère considérée, 

permet un ralentissement de la sonde, entraînant une conversion de l’énergie cinétique en énergie 

thermique. Il en résulte une augmentation soudaine de la température du matériau qui peut 

atteindre 4000 K. Afin de supporter de telles conditions, l’emploi de matériaux composites thermostructuraux 

de type Carbone/Carbone (C/C) s’explique par leur très bonne tenue mécanique 

ainsi que les nombreuses réactions physico-chimiques s’y produisant. Même si elles absorbent une 

grande partie du flux thermique, ces réactions chimiques (oxydation, sublimation) vont engendrer 

une disparition de la matière, d’où une diminution de l’épaisseur du bouclier. Cette récession 

s’effectue alors en interaction avec l’écoulement du fluide. Dans ces conditions, l’évolution structurelle 

de la surface va modifier le comportement aérodynamique de la capsule en favorisant 

les échanges pariétaux de masse et de chaleur ainsi que la transition laminaire/turbulent. Les 

essais expérimentaux de caractérisation de flux thermique et de suivi structurel de la surface 

ont permis de recréer partiellement les conditions d’une rentrée atmosphérique. Ils ont mis en 

évidence la création d’une rugosité microscopique à la surface du bouclier en régime turbulent, 

alors qu’en régime laminaire, la surface de ce même matériau reste lisse tout au long de l’essai. 

De plus, la turbulence favorise les échanges thermiques à la paroi et amplifie donc le phénomène 

d’ablation. Ce sont ces interactions fortes entre la turbulence et la formation de rugosités que 

nous allons tenter de définir au cours de ce travail. 

La conception du bouclier thermique est une contrainte forte pour dimensionner le module 

spatial et pour définir la charge utile transportable. La simulation numérique directe de l’évolution 

de la surface du bouclier thermique qui prend en compte le phénomène d’ablation est donc 

nécessaire pour minimiser l’épaisseur de la protection thermique. L’interprétation des résultats 

nécessitera alors la validation de la simulation de la turbulence implémentée. 

13

14 Introduction générale 

Études existantes 

Depuis les années 70, on assiste au développement de la simulation numérique directe (DNS 

en anglais) pour l’étude de la turbulence en mécanique des fluides. Si une telle simulation permet 

difficilement d’envisager des géométries complexes ainsi que des points singuliers, elle permet 

une avancée significative car elle donne accès à toutes les grandeurs physiques de l’écoulement 

décrit par les équations de Navier-Stokes. Les premières simulations de ce type sont attribuées à 

Orszag & Patterson [41]. Son utilisation s’est étendue ensuite à des configurations où la turbulence 

présente une ou plusieurs directions d’inhomogénéité. Les travaux de référence relatifs à la 

turbulence homogène isotrope sur lesquels nous nous appuierons sont ceux de Comte-Bellot & 

Corssin [15] concernant l’étude de la décroissance énergétique de la turbulence et ceux de Perot 

& Moin [47] qui abordent la simulation de la turbulence en présence de surfaces de blocage. 

L’étude de l’ablation a déjà fait l’objet de nombreux travaux et modèles. La plupart de ces 

études sont militaires et font partie d’une littérature non-ouverte. Pour le reste, deux points 

de vue sont généralement adoptés : l’un fluide, l’autre matériau. Pour le premier, ce sont les 

échanges dans la partie fluide qui sont analysés, nous pouvons citer les études de Kuo & Keswani 

[27], Chelliah [14] et Milos & Chen [38]. La description du matériau et de sa réactivité y sont 

sommaires. À l’inverse, les études qui se placent d’un point de vue matériau, comme Rodriguez- 

Mirasol [54], Luo [34] et Han [20], n’offrent pas ou très peu de description du couplage dynamique 

fluide/solide. Sinon, la monographie de Duffa sur l’ablation [17] brosse un aperçu non exhaustif 

des modèles existants. La formation de rugosités et la caractérisation des états de surfaces 

ablatées mis en évidence par des essais expérimentaux en laboratoire sont pris en compte au 

travers de modèles de turbulence, par exemple avec des lois de paroi comme le fit Puigt [51]. Des 

études fines modélisant les échanges entre un écoulement et la réaction d’ablation à la plus petite 

échelle de la turbulence existent, mais très souvent, il n’y a pas de suivi explicite de la paroi 

au cours de la simulation. Les premières études concernant l’évolution de la paroi en fonction 

de la réaction d’ablation proviennent des travaux de Vignoles [65] qui proposent un modèle 

analytique 2D de prédiction de l’état de surface soumis au phénomène de réaction-diffusion. 

Cependant, la prise en compte des caractéristiques de l’écoulement sur le bouclier thermique 

n’est pas retenue. Plus récemment, les travaux d’Aspa [2] et Lachaud [28] proposent des études 

complètes sur l’ablation dans les cols de tuyères avec un suivi de la récession sur des matériaux 

hétérogènes et une approche multi-échelle de l’ablation. Ils ont permis de proposer des modèles 

d’ablation analytiques à chaque échelle du matériau composite (C/C). Néanmoins, ces études 

se concentrent uniquement sur le transfert thermique et massique de l’ablation et l’interaction 

avec un écoulement n’est pas envisagée. 

Cette thèse s’inscrit dans la continuité de celle réalisée par Velghe intitulée Modélisation 

de l’interaction entre un écoulement turbulent et une paroi ablatable [64], dans laquelle il avait 

développé et validé des méthodes numériques afin de suivre l’évolution de la surface de récession. 

Sa contribution la plus importante est sans conteste la mise en place et la validation d’une 

transformation conforme qui permet de garantir la cohérence entre le maillage mathématique et 

le maillage physique qui doit suivre la récession de la paroi ablatable. Il a aussi porté le code 

numérique d’une version séquentielle à une version parallèle. Naturellement, de nombreuses 

références à son travail seront effectuées tout au long de ce mémoire.

Introduction générale 15 

Préoccupations industrielles connexes 

Développés dans les années 70-80, les modèles de turbulence appliqués dans les codes de 

calcul des équations de Navier-Stokes sont encore couramment utilisés. Ces standards industriels 

sont basés sur l’utilisation de modèles de viscosité tourbillonnaire sans représentation de 

l’anisotropie de la turbulence. De nombreux types d’écoulements sont ainsi simulés par le monde 

industriel malgré les nombreuses approximations faites. Pourtant, compte-tenu de leurs singularités, 

des cas importants échappent à ce type de modélisation, comme ceux mettant en jeu des 

singularités géométriques. La considération de modèles au second ordre simulant les équations 

de transport pour toutes les composantes du tenseur de Reynolds permettent alors de tenir 

compte de l’anisotropie de l’écoulement. À l’heure actuelle, le gain obtenu quant à la qualité de 

prédiction de ces méthodes ne permet pas de justifier le surcoût qu’elles occasionnent en terme 

de mise en œuvre. Le cas de l’interaction entre la turbulence et une surface ablatable concerne 

de nombreux écoulements dans le monde industriel. L’organisme ayant le plus d’avance dans 

ce domaine est la NASA. Elle s’intéresse de plus en plus à caractériser des états de surfaces 

ablatables et leurs impacts sur l’écoulement [49]. 

Objectifs de la thèse 

L’objectif principal de la thèse est de simuler les mécanismes physico-chimiques se déroulant 

à la surface d’un bouclier thermique lors d’une rentrée atmosphérique. L’aspect privilégié est 

de comprendre l’interaction entre l’écoulement turbulent, d’une part, et l’ablation de la paroi 

du bouclier d’autre part. Dans cette optique, la maîtrise et l’implémentation des outils de la 

simulation numérique directe seront primordiales pour simuler, le plus précisément possible, 

l’ensemble des phénomènes en présence. Cette thèse s’inscrit dans la continuité de celle réalisée 

par Velghe et a vocation à valider physiquement les phénomènes liés à la turbulence, sans quoi 

toute interprétation des résultats serait vaine. Dès lors, il s’agira de définir les interactions entre 

l’écoulement turbulent et la réaction d’ablation dans les meilleurs conditions. Ce travail accompli, 

la modélisation du matériau pourra être améliorée pour étudier plus précisément les mécanismes 

de formation des rugosités ainsi que leurs répercussions sur l’écoulement turbulent. 

Organisation du mémoire 

Ce mémoire est composé de six chapitres : le premier expose le contexte scientifique lié 

à la rentrée atmosphérique et rappelle les principales notions de la turbulence. Le deuxième 

chapitre est consacré à la présentation des équations de la mécanique des fluides ainsi qu’au 

traitement statistique des résultats. On évoque les méthodes numériques utilisées par le code 

EVEREST dans le troisième chapitre. Le quatrième chapitre permet de valider les résultats 

relatifs à l’évolution d’une turbulence libre et introduit une nouvelle méthode de forçage spectral. 

L’insertion de surfaces de blocage au sein d’un tel écoulement turbulent forcé est ensuite discutée 

dans le cinquième chapitre. Enfin, les états de surfaces obtenus à l’issue des simulations de 

l’interaction entre un écoulement turbulent et une paroi ablatable sont analysés et interprétés 

dans le sixième chapitre.

16 Introduction générale

Chapitre 1 

Contexte scientifique 

Sommaire 

1.1 Phénomènes liés à la rentrée atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.1.1 Les enjeux de la rentrée atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.1.1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.1.1.2 Les différents régimes d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.1.1.3 Les différents types de boucliers thermiques . . . . . . . . . . . 22 

1.1.2 Aspects physico-chimiques de la rentrée mis en jeu . . . . . . . . . . . . 23 

1.1.2.1 Panorama des phénomènes en présence . . . . . . . . . . . . . 23 

1.1.2.2 Les réactions chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.1.2.3 Récapitulatif des phénomènes pariétaux . . . . . . . . . . . . . 26 

1.1.3 Développement de rugosités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.1.3.1 Les essais expérimentaux disponibles . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.1.3.2 Effets pratiques de l’apparition de la rugosité . . . . . . . . . . 28 

1.2 Introduction à la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.2.1 Généralités sur les écoulements turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.2.1.1 Observations du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.2.1.2 Principales propriétés d’un écoulement turbulent . . . . . . . . 30 

1.2.1.3 Les échelles caractéristiques de la turbulence . . . . . . . . . . 32 

1.2.1.4 Aspects de la turbulence au voisinage d’une surface de blocage 33 

1.2.2 Représentation spectrale de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

1.2.2.1 Spectres énergétiques et dissipatifs de la turbulence . . . . . . 34 

1.2.2.2 La cascade énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

1.2.2.3 Lien entre l’espace physique et l’espace de Fourier . . . . . . . 36 

1.2.3 Méthodes de simulation de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.2.3.1 Méthodes prédictives en turbulence . . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.2.3.2 Modèles de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

1.2.3.3 Retour sur la simulation numérique directe . . . . . . . . . . . 40 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

17

18 Chapitre 1. Contexte scientifique 

Ce chapitre a pour vocation de présenter au lecteur l’aspect théorique des différentes problématiques 

soulevées par ce sujet de recherche. Particulièrement vaste, la recherche sur la rentrée 

atmosphérique est en plein essor grâce au développement constant des moyens de calcul. Dans 

ce contexte, l’objectif de la thèse est de modéliser, le plus fidèlement possible, ce qui se passe 

au niveau du bouclier thermique lors de la rentrée atmosphérique. Nous proposons donc une 

présentation théorique des différents phénomènes en présence de manière à appréhender la réalité 

physique du travail de simulation. Dans un premier temps, un panorama des phénomènes 

physiques propres au bouclier thermique lors d’une rentrée atmosphérique est dressé ; les différentes 

phases de la rentrée ainsi que les réactions se produisant à la paroi du bouclier y 

seront mentionnées. Dans un second temps, nous aborderons en détail la propriété fondamentale 

des écoulements dans lesquels les sondes spatiales pénètrent lors de la rentrée. Les principales 

caractéristiques de la turbulence seront abordées incluant les outils existants pour la simuler 

numériquement.

Chapitre 1. Contexte scientifique 19 

1.1 Phénomènes liés à la rentrée atmosphérique 

Ce paragraphe présente les principaux phénomènes physico-chimiques que rencontrent le 

bouclier thermique d’une sonde spatiale lors de la rentrée atmosphérique. Cette étape permet 

à la capsule de ralentir et s’accompagne d’un fort échauffement thermodynamique. Afin de 

garantir l’intégrité de la sonde, des matériaux ablatables sont utilisés pour absorber une partie 

de la chaleur produite. Le dimensionnement du bouclier thermique joue un rôle essentiel pour 

la réussite des différentes missions spatiales. 

1.1.1 Les enjeux de la rentrée atmosphérique 

1.1.1.1 Contexte 

De nos jours, la collaboration scientifique internationale a pour ambition d’explorer les différentes 

planètes composant notre système solaire. Cette exploration planétaire s’effectue par 

l’envoi de sondes orbitales capables de déterminer les compositions atmosphériques et de cartographier 

la surface de la planète. De plus, des modules sont envoyés à la surface des astres 

explorés de manière à analyser le sol et à rapporter des échantillons de roches pour permettre 

de mieux les analyser. Ainsi, la maîtrise de la rentrée atmosphérique est devenue un ingrédient 

essentiel à la conquête spatiale. La conception du bouclier thermique est une contrainte 

forte pour le poids du module car elle limite le matériel d’analyse embarqué et les échantillons 

prélevés. Le rôle du bouclier thermique est donc d’assurer la protection de la sonde (Fig. 1.1), 

grâce à l’évacuation de l’échauffement aérodynamique par réactions chimiques lors de la rentrée. 

L’épaisseur de cette protection doit être suffisante pour, à la fois garantir l’intégrité de la sonde 

(et éventuellement l’équipage qui en ferait partie) et permettre une charge utile satisfaisante. 

Figure 1.1 – Bouclier thermique de la sonde Galiléo [30] 

Lors de la phase de descente, la sonde traverse des couches de gaz de densités très différentes. 

Ainsi, pour une rentrée terrestre, la pression de l’air à 90 km d’altitude est 400 000 fois plus 

faible que celle au niveau de la mer, alors qu’elle en vaut 1/8 à 30 km d’altitude. Lors de la 

traversée de ces différentes couches, une onde de choc incurvée et détachée va se créer devant le 

bouclier thermique (Fig. 1.2). Le gaz traversant l’onde de choc est ralenti sur une distance de 

l’ordre de quelques libres parcours moyens λ m (distance moyenne parcourue par une molécule 

entre deux chocs) et transfère ainsi une partie de son énergie cinétique sur les modes d’énergie 

interne des composants du gaz (mode de translation, mode de rotation, mode de vibration, 

mode électronique). Une grande partie de l’énergie cinétique est ainsi transformée en énergie


thermique. Des réactions chimiques de type dissociation ou ionisation peuvent intervenir dans 

ce processus physique. 

(a) 

(b) 

Figure 1.2 – Images artistiques de l’échauffement occasionné lors de la rentrée (source : NASA) 

Pour illustrer les conditions sévères de rentrée auxquelles les sondes peuvent être soumises, 

on regroupe dans le tableau 1.1, les vitesses de rentrée et les flux thermiques reçus, et ce pour 

différentes planètes du système solaire de la rentrée atmosphérique. 

Planète Vitesse de rentrée Valeur du flux thermique reçu 

Vénus 10 km.s −1 2 MW.m −2 

Mars 6 km.s −1 4 MW.m −2 

Terre 10 km.s −1 6 MW.m −2 

Jupiter 47,4 km.s −1 150 MW.m −2 

Table 1.1 – Valeurs des flux thermiques pour la rentrée atmosphérique de différentes planètes 

1.1.1.2 Les différents régimes d’écoulement 

Les différents régimes d’écoulements auxquels la sonde spatiale est confrontée lors de la 

rentrée atmosphérique sont caractérisés en fonction d’un premier paramètre : le nombre de 

Mach Ma, rapport de la vitesse de la sonde sur la vitesse du son. Lorsque Ma>1, l’écoulement 

est dit supersonique. Au-delà de Ma>5, l’écoulement est hypersonique. Tout au long de sa 

trajectoire de rentrée, la sonde va ralentir pour passer du domaine hypersonique au domaine 

supersonique, puis transsonique (0.8 < Ma < 1.2) et enfin subsonique (Ma 120 km, le régime d’écoulement est le régime moléculaire libre : les collisions sont 

trop faibles pour qu’il soit possible de décrire le système par les équations de Navier-Stokes


classiques. L’écoulement est régi par les équations de Boltzmann sans terme collisionnel. 

Un tel régime est généralement caractérisé par un nombre de Knudsen Kn>10. Le milieu 

est peu contraignant en termes de pression et de flux thermique. 

– pour 100 km< h < 120 km, l’écoulement est modélisé par la théorie cinétique des gaz, 

considérant un nombre de Knudsen compris entre 1 et 10. Les équations de Boltzmann 

complètes avec terme de collision sont utilisées et le régime est dit moléculaire. Au fur et 

à mesure de la descente, la densité et le flux de particules augmentent également. 

– pour 80 km< h < 100 km, peu à peu, le nombre d’atomes et de molécules atteint une 

valeur telle que le milieu peut être considéré comme continu sauf dans les régions à forts 

gradients, par exemple en proche paroi. Dans ces zones, la longueur caractéristique de 

l’écoulement reste faible devant le libre parcours moyen (couche de Knudsen). Le régime 

est alors transitionnel et le nombre de Knudsen compris entre 0.01 et 1. 

– pour h < 80 km, la fréquence de collisions devient très élevée (10 11 collisions par seconde), 

elle est caractérisée par un nombre de Knudsen inférieur à 10 −2 . Le régime devient continu, 

il est représenté par les équations de Navier-Stokes. À partir de cette altitude, l’ablation 

du bouclier intervient. De plus, pour h compris entre 30 et 80 km, l’écoulement autour de 

la sonde spatiale est plutôt laminaire, alors qu’il devient turbulent pour h < 30 km. 

La figure 1.3 résume les différents régimes d’écoulement qu’une sonde va rencontrer lors de sa 

rentrée atmosphérique. Pour notre étude nous allons nous concentrer sur des altitudes de rentrée 

inférieures à 30 km où l’ablation et la turbulence coexistent. Nous nous plaçons ainsi dans le 

domaine d’application du régime continu pour la résolution des équations de la mécanique des 

fluides. 

Figure 1.3 – Régimes d’écoulement en rentrée atmosphérique


1.1.1.3 Les différents types de boucliers thermiques 

Un bouclier thermique est un dispositif destiné à garantir l’intégrité de la navette spatiale ou 

de la sonde contre l’échauffement cinétique qu’elle subit lorsqu’elle pénètre dans l’atmosphère 

d’une planète à grande vitesse. Cette augmentation de la température est directement liée à la 

vitesse de rentrée de l’engin. Étant donné que tous les matériaux sont sensibles à ces températures 

extrêmes, il est nécessaire de prévoir un bouclier indépendant de la structure de l’engin, capable 

d’absorber l’énergie thermique. Ce bouclier peut être constitué par un matériau ablatif, un 

matériau isolant ou la combinaison des deux. Ainsi, il existe deux types de boucliers thermiques : 

• Les boucliers radiatifs 

Ces boucliers éliminent la chaleur en la renvoyant en grande partie. Ceci dit, ils souffrent d’un 

inconvénient majeur car lorsque la température maximale pour laquelle ils ont été conçus est 

atteinte, le matériau utilisé ne peut plus remplir son rôle de protection. Par exemple, la navette 

spatiale américaine possède un bouclier constitué de tuiles fixes en céramique recouvrant sa 

face inférieure et le bord d’attaque de ses ailes (Fig. 1.4(a)). Elles sont remplacées lorsqu’elles 

sont trop dégradées lors d’un retour sur Terre. L’accident de la navette Columbia fit suite 

à la détérioration d’une petite partie de la protection thermique de l’aile lors du lancement, 

l’aile n’a pas supporté l’échauffement au retour dans l’atmosphère. Suite à cette catastrophe 

une méthode a été mise au point afin d’effectuer des réparations dans l’espace avec des sorties 

extra-véhiculaires. Cependant, le fait que ces tuiles soient toutes de tailles différentes rend ces 

réparations très délicates. 

• Les boucliers ablatifs 

Ces boucliers éliminent la chaleur en se décomposant couche après couche lorsqu’ils sont 

soumis à des contraintes d’échauffement. Ils ont notamment été utilisés sur le vaisseau spatial 

Apollo. Ce type de bouclier a également été retenu pour le prochain véhicule spatial habité de 

la NASA, le vaisseau Orion. Il possède l’avantage de pouvoir s’adapter à des températures plus 

élevées et des temps d’exposition plus longs ; en effet, leur épaisseur est paramétrable de manière 

à absorber une plus grande quantité de chaleur (Fig. 1.4(b)). 

(a) Bouclier radiatif de la navette Discovery 

composé de tuiles HRSI (High Temperature 

Reusable Surface Isolation) 

(b) Le bouclier thermique d’Orion 

sorti de son moule de l’usine de 

matériau composite de Lockheed Martin 

(Denver) 

Figure 1.4 – Les différents types de boucliers employés


1.1.2 Aspects physico-chimiques de la rentrée mis en jeu 

La phénoménologie de la rentrée atmosphérique est aussi riche que complexe. Une multitude 

de phénomènes s’y côtoient et interagissent avec plus ou moins de dépendances. 

1.1.2.1 Panorama des phénomènes en présence 

On se place dans le cadre d’un écoulement du fluide hypersonique autour du véhicule. Lors de 

cette rentrée, une onde de choc détachée va se créer devant le bouclier thermique. Dans la zone 

située derrière ce choc, les températures et le flux de chaleur que reçoit la protection sont à leur 

maximum. Notamment les transferts au sein de la couche limite (d’une grandeur de quelques µm 

à quelques mm) sont importants car l’énergie cinétique est transformée en énergie thermique 

sous l’effet de la dissipation visqueuse. 

Pour contenir cet échauffement, les boucliers thermiques que nous étudions sont réalisés en 

matériaux composites thermostructuraux. Ils sont retenus en raison de leur tenue mécanique à 

haute température, de leur basse densité et de leur résistance à l’ablation. Néanmoins, la résine 

composant le matériau va se pyrolyser sous l’impact du flux thermique. Les gaz chauds créés, 

essentiellement des résidus carbonés, vont se propager jusqu’à la surface et seront injectés dans 

la couche limite. Une modélisation du transfert de masse et de chaleur à travers le bouclier 

thermique des gaz issus de la pyrolyse est proposée par Preux [50]. La réaction de pyrolyse est 

un processus endothermique qui utilise une partie de l’énergie thermique pour transformer le 

solide en gaz, ce qui va réduire l’échauffement. Parallèlement, l’injection des gaz de pyrolyse 

dans la couche limite a pour effet de réduire le flux convectif. 

D’autre part, des réactions chimiques entre la couche limite et la surface vont consommer 

le matériau ce qui va entraîner une récession de la paroi. Ces réactions d’ablation sont soit 

endothermiques dans le cas de la vaporisation ou de la sublimation, soit exothermiques pour 

l’oxydation. Suivant le régime des réactions et la diffusion des espèces chimiques au travers de 

la couche limite, l’impact sur le flux thermique que reçoit le bouclier ne sera pas identique. 

Une description plus aboutie de l’aspect chimique de la rentrée est proposée dans le paragraphe 

1.1.2.2. 

Par ailleurs, le bouclier thermique peut également subir une érosion mécanique lorsqu’il 

va traverser des nuages chargés de particules. Par exemple, pour une rentrée atmosphérique 

martienne [12], ces particules sont des poussières d’oxyde de fer, d’argile, ou des composés à 

base de silice. Elles vont perturber l’écoulement et le flux thermique à la paroi. 

1.1.2.2 Les réactions chimiques 

La phase de rentrée s’accompagne d’un brusque ralentissement du fluide à la paroi de l’engin 

sur une distance de l’ordre du libre parcours moyen. Il en résulte un transfert de l’énergie cinétique 

sur les différents modes d’énergie de la particule. La hausse de température qui en résulte 

engendre une activité chimique intense. Elle se manifeste par la dissociation des molécules, l’ionisation 

des atomes et molécules, l’échange d’atomes entre molécules, etc. Tous ces mécanismes 

sont décrits par la cinétique chimique qui modélise les effets de collisions réactives entre particules, 

c’est-à-dire l’évolution du taux de production/destruction des espèces chimiques dans le 

mélange. Concernant le bilan chimique réactionnel, on distingue les réactions homogènes qui se 

déroulent dans la même phase, des réactions hétérogènes qui font intervenir les phases solides 

et gazeuse.


• Les réactions homogènes 

Le modèle le plus simple pour une atmosphère terrestre, en l’absence d’ablation apportant 

des produits carbonés et pour une température inférieure à 10 000K [44], est composé de deux 

éléments (N,O) et de 5 espèces : N 2 , O 2 , NO, O et N. Entre 2500K et 4000K, le dioxygène 

commence à se dissocier en atomes d’oxygène. Des recombinaisons de monoxyde d’azote (NO) 

apparaissent. A partir de 4000K, le diazote commence à son tour à se dissocier ainsi que le 

monoxyde d’azote. Les principales réactions chimiques sont données dans le tableau (Tab. 1.2). 

L’espèce chimique nommée M i est un catalyseur de la i-ème réaction chimique. Il est formé de 

l’une des espèces ou d’une combinaison des espèces présentes : N 2 , O 2 , NO, O ou N. Il disparaît 

dans le bilan global, son rôle étant de favoriser la réaction chimique. M 1 , M 2 , M 3 sont des 

catalyseurs fonctions des 5 espèces chimiques : 

O 2 + M 1 ⇐⇒ 2O + M 1 

N 2 + M 2 ⇐⇒ 2N + M 2 

NO + M 3 ⇐⇒ N + O + M 3 

NO + O ⇐⇒ N + O 2 

N 2 + O ⇐⇒ NO + N 

Table 1.2 – Principales réactions chimiques 

M 1 = N 2 + O 2 + NO+ 5N+ 5O 

M 2 = N 2 + 7O 2 + 7NO+ 30N+ 30O 

M 3 = N 2 + O 2 + 22NO+ 22N+ 22O 

Pour des températures supérieures à 9 000K, le gaz devient un plasma faiblement ionisé composé 

de N, O mais également de O + , NO + , N + et d’électrons libres. Un modèle d’atmosphère 

plus ou moins sophistiqué existe pour chaque planète explorée. 

• Les réactions hétérogènes 

Les réactions chimiques hétérogènes sont nombreuses considérant la gamme de températures 

envisageables. Parmi elles, on peut citer les réactions occasionnées par l’injection de gaz issus de 

la pyrolyse ainsi que les réactions de recombinaison des ions et des électrons. La pyrolyse et les 

réactions d’ablation sont des réactions à bilan de masse non nul. Au cours du temps, le carbone 

constitutif de la protection thermique réagit avec les molécules du milieu fluide, ce qui dégrade 

le matériau. Les recombinaisons catalytiques se déroulent à bilan de masse nul. De plus, ces 

réactions sont exothermiques et ont un impact sur le réchauffement de la surface du matériau. 

Ceci dit, ce sont bien les réactions d’ablation qui vont particulièrement nous intéresser ici. 

La prise en compte de l’ablation est un processus compliqué. Une vaste littérature existe sur 

la chimie du carbone et une variété de modèles existe, parmi eux on citera [17], [43] et [69]. 

Les modèles d’ablation décrivent l’ensemble des phénomènes physico-chimiques concourant à la 

disparition de matière en surface du matériau. Ils prennent en compte les phénomènes de diffusion 

dans la couche limite (oxygène) et les produits chimiques formés à la paroi. La diffusion joue un 

rôle extrêmement important puisqu’elle limite les taux de réaction à la surface, notamment pour 

l’oxygène, suivant le régime de température. Pour cette étude on dissocie le processus d’ablation 

en deux parties : oxydation et sublimation.


Réaction d’oxydation du carbone : le premier mécanisme rencontré est la réaction 

d’oxydation entre le matériau et l’air qui conduit à la formation d’un nouveau composé : le 

monoxyde de carbone CO (Fig. 1.5). 

Équation bilan de la réaction : 

2C (s) + O 2 −→ 2CO 

Figure 1.5 – Réaction d’oxydation du carbone 

Pour T < 1000K, l’ablation est contrôlée principalement par la cinétique des réactions d’oxydation 

à la paroi. Cependant les réactions d’oxydation sont trop lentes pour brûler tout l’oxygène 

qui diffuse de la frontière extérieure de la couche limite vers la paroi. Dans ce régime, le débit 

d’ablation ṁ oxi est une fonction croissante de la température de paroi. 

Pour 1000K < T < 2500K, l’ablation est limitée par la diffusion de l’oxygène vers la paroi. 

Tout l’oxygène qui diffuse vers la paroi est consommé immédiatement par le carbone. Le débit 

d’ablation reste constant alors que la température croît. La figure 1.6 représente le débit massique 

d’ablation réduit en fonction de la température pour des pressions différentes. à des températures 

plus élevées, le dioxygène va se dissocier pour donner deux atomes d’oxygène. La réaction 

d’oxydation se déroulera avec l’oxydant O. 

Figure 1.6 – Débit d’ablation en fonction de la température [29] 

Réaction de sublimation du carbone : à très haute température (T > 3000 K), l’oxyde 

de carbone réagit avec l’azote pour former des espèces CN, C 2 N 2 , etc. En même temps, le 

carbone se sublime en créant une multitude d’espèces C α (pour α compris entre 1 et 5) (Fig. 

1.7). 

Ces interactions vont avoir plusieurs conséquences sur la conception du bouclier. Elles vont 

d’abord modifier l’état de surface du bouclier thermique ce qui augmentera les contraintes par-


Équation bilan de la réaction : 

nC (s) −→ C n 

Figure 1.7 – Réaction de sublimation du Carbone 

iétales. Ainsi, lors du vol de la sonde, la déformation du bouclier devra être prise en compte afin 

de corriger la trajectoire de rentrée. Pour toutes ces raisons et leurs conséquences sur la sonde, 

il est nécessaire de pouvoir caractériser l’évolution de la structure du matériau et de connaître 

son impact sur l’écoulement. 

1.1.2.3 Récapitulatif des phénomènes pariétaux 

Comme l’attestent les deux paragraphes précédents, la phénoménologie de la rentrée est 

complexe. Elle met en jeu un nombre important de concepts et rend, par la même occasion, toute 

tentative de modélisation complète ambitieuse. Nous proposons ici au lecteur un récapitulatif 

des ces phénomènes sous la forme de schémas. D’abord, la figure 1.8 présente les principaux 

transferts et échanges entre l’écoulement réactif et le bouclier thermique en carbone. De son 

côté, le schéma 1.9 résume toutes les réactions chimiques qui ont lieu en surface et au cœur du 

matériau. 

Figure 1.8 – Résumé des phénomènes physiques associés aux transferts pariétaux 

1.1.3 Développement de rugosités 

1.1.3.1 Les essais expérimentaux disponibles 

Pour connaître l’évolution structurelle du bouclier thermique au cours du temps, nous pouvons 

avoir recours à des essais en laboratoire. Afin de reproduire certaines conditions de rentrée


Figure 1.9 – Résumé des réactions chimiques mises en jeu 

atmosphérique et notamment l’ablation de la protection en carbone, il est nécessaire de recréer 

l’interaction de l’écoulement avec le matériau. Pour cela, il faut disposer d’une soufflerie chaude à 

jet continu. Le moyen traditionnellement utilisé est le « jet de plasma »(Fig. 1.10(a)). Ce moyen 

est une soufflerie dans laquelle l’air, ou tout autre gaz d’étude, est chauffé par l’intermédiaire d’un 

arc électrique continu. Ainsi, un échantillon de tuile en carbone est positionné pendant quelques 

secondes en sortie de tuyère pour recevoir le gaz chauffé et recréer l’échauffement aérodynamique 

(Fig. 1.10(b)). 

(a) 

(b) 

Figure 1.10 – Expérience de Jet de plasma 

Malgré les fortes puissances installées, il n’est pas possible de reproduire parfaitement toutes 

les conditions de vol. Il est nécessaire de faire un choix parmi les paramètres à reconstituer 

et donc de n’accepter qu’une représentation partielle de l’essai. On choisit généralement d’être 

représentatif en pression et en flux de chaleur, ce qui permet d’avoir des écoulements laminaires 

ou turbulents. Dans tous les cas, les vitesses d’ablation obtenues sont ainsi voisines de celles 

d’une rentrée. La figure 1.11 représente deux essais de jet de plasma à deux régimes d’écoulement 

différents d’un graphite polycristallin. En régime laminaire (Fig. 1.11(a)), l’état de surface


du matériau reste lisse étant donné que la hauteur de rugosité reste inférieure à 2 µm. En revanche, 

pour un régime turbulent (Fig. 1.11(b)), ce même matériau présente un état de surface 

tourmentée avec une rugosité non négligeable selon l’échelle de Nikuradse [40], la valeur de la 

hauteur de rugosité à partir de laquelle une surface n’est plus considérée comme hydrauliquement 

lisse étant comprise entre 3 µm et 25 µm. 

(a) 

(b) 

Figure 1.11 – État de surface d’un graphite ablaté en régime laminaire (a) et turbulent (b) 

À l’issue de ces essais, nous pouvons affirmer que la turbulence joue un rôle sur la formation 

et l’aspect des rugosités. Tout l’enjeu de ces travaux est de caractériser l’interaction de l’écoulement 

turbulent avec la taille et la structure des rugosités apparaissant à la surface du bouclier 

thermique. 

1.1.3.2 Effets pratiques de l’apparition de la rugosité 

Dans le cadre de la rentrée atmosphérique, les effets de l’apparition de rugosités à la surface 

du bouclier thermique sont multiples. D’abord, ces rugosités entraînent le déclenchement de 

la transition laminaire-turbulent. En effet, les irrégularités géométriques de l’état de surface 

de la paroi vont désorganiser les trajectoires des particules de fluide, donnant naissance à des 

mouvements tourbillonnants et irréguliers (Fig. 1.12), favorisant de fait, la transition laminaireturbulent. 

Figure 1.12 – Conséquence d’une rugosité isolée sur une couche limite laminaire [36] 

Les rugosités présentes à la surface d’un matériau ablatable vont également jouer un rôle 

fondamental sur les échanges de masse et de chaleur. Nikuradse a déjà mis en évidence expérimentalement 

dans les années 30, l’augmentation d’échange de quantité de mouvement et


d’énergie dans la couche limite pour des écoulements en conduite dont les parois avaient été 

frottées par de la toile émerie [40]. Des résultats expérimentaux issus du programme PANT 

pour PAssive Nosetip Technology [67] ont démontré une augmentation du flux de chaleur pariétal 

allant jusqu’à 300 % pour des rugosités de 90 µm (Fig. 1.13). 

Figure 1.13 – Influence de la rugosité sur le flux thermique en régime turbulent [67] 

1.2 Introduction à la turbulence 

La turbulence désigne l’état de mouvement d’un fluide, liquide ou gaz, dans lequel la vitesse 

présente, en tout point, un caractère fluctuant traduisant la présence de mouvements irréguliers, 

chaotiques conventionnellement associés à des tourbillons dont la taille, la localisation et l’orientation 

varient constamment. Tant par la nature des fluides mis en jeu que par les conditions 

de mouvement, il existe une très grande variété d’écoulements turbulents. En dépit de cette 

diversité, ces écoulements possèdent tous un certain nombre de propriétés communes, ce qui 

justifie leur regroupement sous l’égide d’un même régime. La caractéristique essentielle de ce 

régime est l’agitation turbulente qui se manifeste par des mouvements désordonnés sur toute 

une plage d’échelles à l’ordre du milieu continu. C’est pourquoi la turbulence n’est pas liée à la 

nature physique du fluide mais à son mode de mouvement. Ces propriétés particulières confèrent 

à l’agitation turbulente une complexité difficile à cerner. Les recherches menées depuis la fin du 

XIX eme siècle et les premiers travaux d’Osborne Reynolds, aspirent à développer une théorie 

descriptive et prédictive des écoulements turbulents. 

Dans ce paragraphe seront présentés les principales propriétés d’un écoulement turbulent, 

l’approche spectrale à laquelle nous ferons référence tout au long de ce travail et les méthodes 

actuellement utilisées pour la simuler. 

1.2.1 Généralités sur les écoulements turbulents 

1.2.1.1 Observations du phénomène 

En régime laminaire, les caractéristiques de l’écoulement (température, pression, vitesse, ...) 

sont des fonctions déterministes, c’est-à-dire qu’à partir de conditions initiales et aux limites 

identiques, les résultats obtenus restent inchangés. En d’autres termes, deux réalisations d’un 

même écoulement donnent le même résultat. Il en est tout autrement dans le cas du régime 

turbulent ; en effet, diverses réalisations d’un même écoulement (mêmes conditions initiales et


aux limites, même méthode de calcul) fournissent non pas un résultat mais un ensemble de 

réalisations. L’agitation turbulente possède donc un caractère aléatoire, ce qui justifie la mise 

en place d’un post-traitement statistique de la turbulence (cf. 2.2). 

(a) Nuage de fumée au-dessus du volcan 

Grimsvoeth, Islande, 21 mai 2011 

(b) Allées de Von-Kàrmàn aux 

niveaux des Îles Canaries 

Figure 1.14 – Visualisation d’écoulements turbulents réels 

1.2.1.2 Principales propriétés d’un écoulement turbulent 

Il serait précipité de désigner la turbulence comme un phénomène uniquement aléatoire, 

car depuis quelques années, nous savons qu’il existe des mouvements organisés identifiables au 

sein de l’écoulement, même en régime pleinement turbulent. Voici une liste des caractéristiques 

essentielles de la turbulence : 

Irrégularité du mouvement : c’est la caractéristique la plus facilement observable. Les 

variables comme la vitesse, la pression, la masse volumique ou encore la température présentent 

des fluctuations aléatoires. 

Nombre de Reynolds élevé : l’origine de la turbulence est le résultat d’une déstabilisation 

de l’écoulement laminaire qui intervient lorsque le nombre de Reynolds dépasse une certaine 

valeur critique. Pour de faibles nombres de Reynolds, l’écoulement demeure laminaire de manière 

permanente, toute éventuelle instabilité étant immédiatement corrigée par la prépondérance 

des effets stabilisants. Par contre, dès que ce nombre devient grand, l’écoulement est le siège 

d’un régime turbulent (Fig. 1.15(a)). Il représente le rapport entre le temps nécessaire à une 

perturbation pour être amortie par la viscosité du fluide et le temps mis par une particule pour 

traverser une distance caractéristique de l’écoulement sous l’effet de son inertie [32]. 

Diffusivité accrue et cinématique rotationnelle : la turbulence accélère le processus de 

mélange par le brassage et la dispersion qu’elle engendre, de plus les écoulements turbulents 

sont fortement rotationnels ; ces propriétés sont observables dans le cas simple d’un café que 

l’on mélange (Fig. 1.15(b)). Ces structures tourbillonnaires jouent un rôle important dans les 

mécanismes de transfert d’énergie. 

Dissipation : les écoulements turbulents sont toujours dissipatifs. L’énergie cinétique turbulente 

est dissipée par les contraintes visqueuses, on parle de décroissance de la turbulence.


(a) Représentation schématique des lignes de 

courant suivant le régime 

(b) Visualisation de l’accélération du 

processus de mélange 

Figure 1.15 – Diffusivité accrue des écoulements turbulents 

Une multitude d’échelles : les écoulements turbulents sont formés d’une multitude de tourbillons 

ayant des tailles, des orientations et des distributions différentes (Fig. 1.16). Dépendantes 

de la configuration étudiée, les fluctuations à grande échelle coexistent avec celles agissant à petite 

échelle qui possèdent une dynamique propre, plus ou moins indépendante de la géométrie. 

Plusieurs échelles caractéristiques seront présentées pour préciser cet aspect de l’agitation (cf. 

1.2.1.3). 

Figure 1.16 – Vue 2D d’un champ de vorticité d’un écoulement turbulent 

Ainsi, la turbulence, ou l’agitation de l’écoulement dit turbulent, se développe dans la plupart 

des écoulements qui conditionnent notre environnement immédiat (rivières, océans, atmosphère). 

Elle se révèle être aussi un, sinon le, paramètre dimensionnant dans un bon nombre 

d’écoulements industriels. Il n’est donc pas étonnant que soient entrepris des efforts visant sa 

prédiction. Paradoxalement, même s’il est possible d’anticiper la nature turbulente d’un écoulement 

et même, d’un point de vue théorique, de dégager certaines caractéristiques communes et 

apparemment universelles aux écoulements turbulents, leur prédiction dans des cas précis reste 

délicate. Les chercheurs ne sont pourtant pas démunis aujourd’hui pour aborder ce problème. Ils 

considèrent ainsi que la turbulence peut être appréhendée comme un phénomène continu gouverné 

par les équations classiques de la mécanique des fluides : les équations de Navier-Stokes. 

Ces équations ainsi que les outils mathématiques nécessaires à leur compréhension seront abordés 

dans le chapitre 2.


1.2.1.3 Les échelles caractéristiques de la turbulence 

Les échelles de la turbulence sont de taille supra-moléculaire, bornées inférieurement par une 

fonction de la viscosité ν du fluide. Cette limite inférieure correspond à l’équilibre entre les forces 

d’inertie d’une part, et les forces de viscosité des plus petits mouvements d’agitation à l’échelle du 

continu, d’autre part. De leur coté, les grandes échelles, fonctions de la configuration étudiée ainsi 

que moyens de génération de la turbulence, peuvent s’étendre bien au-delà de cette limite. La 

volonté d’estimer la taille des structures responsables de la production d’énergie, de la dissipation 

du phénomène et enfin de la transition entre ces deux phénomènes, nous conduit à considérer 

trois échelles caractéristiques de la turbulence : l’échelle de Kolmogorov η, la micro-échelle de 

Taylor λ T et l’échelle des tourbillons porteurs d’énergie turbulente l t (ou l T suivant la définition 

adoptée). Ces différentes longueurs s’expriment en fonction des paramètres de l’écoulement tels 

que la dissipation ε, la viscosité µ et l’agitation turbulente u ′ . 

L’échelle de Kolmogorov : liée à la dissipation, elle peut être prise au sens d’une échelle de 

longueur η et une échelle de temps τ η de retournement. Le nombre de Reynolds des tourbillons 

de Kolmogorov Re η est de l’ordre de l’unité, en conformité avec le rôle dominant des effets 

visqueux à cette échelle. Il s’agit de la plus petite échelle associée à la turbulence. 

η = 

( 

ν 

3 

ε 

) 1 

4 

(1.2) 

v η = (νε) 1 4 (1.3) 

( ) 1 

ν 2 

τ η = 

ε 

(1.4) 

Re η = ηv η 

ν = 1 (1.5) 

L’échelle de Taylor : aussi appelée micro-échelle λ T (ou échelle de Taylor), elle correspond 

à la distance parcourue par un tourbillon de taille η transporté à la vitesse u ′ avant qu’il ne soit 

totalement dissipé. Plusieurs expressions existent pour caractériser cette échelle, nous choisissons 

d’adopter la définition basée sur l’énergie cinétique k suivante : 

λ T = 

√ 

15νu ′2 

ε 

(1.6) 

v λ = u ′ (1.7) 

Re λ = λ T u ′ 

ν 

(1.8) 

Re λ quantifie la séparation des échelles entre les structures porteuses d’énergies et les petites 

structures dissipatives.


L’échelle intégrale : liée à la production, cette macro-échelle est définie par : 

l t = u′3 

ε 

(1.9) 

v t = u ′ (1.10) 

τ t = u′2 

ε 

Re t = u′ l t 

ν = u′4 

εν 

(1.11) 

(1.12) 

avec l t la longueur turbulente et τ t le temps de retournement des tourbillons porteurs d’énergie. 

D’autres relations existent pour exprimer les échelles de longueur relatives à l’échelle intégrale, 

celles que nous venons de voir s’appuient sur le paramètre u ′ , celles que nous proposons maintenant 

s’appuient elles sur l’énergie cinétique k avec : 

l T = k 3 2 

ε 

τ T = k ε 

(1.13) 

(1.14) 

Re T = k2 

εν 

(1.15) 

Ces deux définitions sont bien relatives à la même échelle de longueur compte-tenu de la relation 

k = 3 2 u′ 2 . En outre, il est possible de relier certains nombres de Reynolds entre eux avec : 

Re T = 3 

20 Re2 λ (1.16) 

Re T = 9 4 Re t (1.17) 

1.2.1.4 Aspects de la turbulence au voisinage d’une surface de blocage 

En régime incompressible, la présence d’une paroi entraîne des modifications qui peuvent être 

attribuées à trois facteurs distincts que sont le cisaillement par le champ moyen, la viscosité par 

réduction locale du nombre de Reynolds et le blocage par confinement inertiel. Lorsque les trois 

facteurs opèrent simultanément (dans une couche limite réelle), l’effet global résultant s’obtient 

par simple addition des effets élémentaires. 

En régime turbulent, la paroi provoque l’anisotropie de l’agitation turbulente. En effet, la 

condition d’adhérence imposée à la paroi et appliquée à une turbulence quasi-homogène et 

isotrope provoque, en l’absence de tout autre effet, un amortissement des tensions de Reynolds 

normales. Cet amortissement diffuse transversalement selon les échelles réglées sur la viscosité 

du fluide. En l’absence de blocage transversal (v ≠ 0 à la paroi), l’atténuation de ces contraintes 

est partiellement compensée par l’effet de redistribution entre composantes normales et tangentielles 

sous l’action des corrélations pression-déformation. Ces mécanismes sont très présents au 

voisinage immédiat de la paroi alors qu’ils s’atténuent à mesure que l’on s’éloigne de la surface 

de blocage. 

Un état de l’art conséquent existe sur la turbulence en proche paroi, le lecteur souhaitant en 

avoir un aperçu pourra se référer au paragraphe 5.1.1.1 du chapitre cinq. On y trouve notamment 

la chronologie des progrès faits par la recherche pour caractériser ces phénomènes.


1.2.2 Représentation spectrale de la turbulence 

L’approche naturelle consiste à étudier l’écoulement turbulent dans l’espace réel et ce dans 

le cadre le plus général. Pourtant l’analyse des phénomènes dans l’espace de Fourier (aussi 

appelé espace spectral) s’avère souvent plus efficace pour étudier les phénomènes qui nous intéressent. 

Cela permet, par exemple, de caractériser naturellement les mécanismes d’interactions 

et d’échanges entre nombre d’onde, ou d’exploiter les méthodes numériques spectrales ou pseudospectrales 

pour simuler numériquement les écoulements turbulents. 

1.2.2.1 Spectres énergétiques et dissipatifs de la turbulence 

Un tourbillon se caractérise dans l’espace spectral par sa fréquence de rotation et par son 

énergie cinétique. Un nombre d’onde κ est associé à chaque échelle de longueur caractéristique 

l tel que κ = 2π l 

. Il s’agit là d’un « raccourci conceptuel », l’association à tout nombre d’onde 

d’un tourbillon en tant que structure physique identifiée dans l’espace physique étant, en toute 

rigueur, abusive. Le spectre d’énergie qui est alors une fonction de κ et du temps t est classiquement 

noté E(κ, t). Ce spectre est essentiel dans les simulations numériques directes : il 

est une caractéristique de l’écoulement considéré. Le spectre de dissipation D(κ, t) de l’énergie 

est dans le cas d’une THI, donné par la relation D(κ, t) = 2νκ 2 E(κ, t). Ces deux spectres sont 

schématisés sur la figure (Fig. 1.17). 

Figure 1.17 – Représentation des spectres énergétiques et dissipatifs de la turbulence 

Pour un nombre de Reynolds de turbulence suffisant (i.e. une zone inertielle significative), 

le spectre d’énergie E(κ, t) peut être principalement caractérisé par deux nombres d’onde : 

– κ e lié aux échelles les plus énergétiques (l e = 2π 

κ e 

), dépendant des conditions de production 

de la turbulence, 

– κ d lié aux échelles dissipatives (l d = 2π 

κ d 

) fonction de la viscosité du fluide et du taux de 

dissipation. 

Le rapport κ d /κ e permet de caractériser la dynamique de l’écoulement dans le sens où il 

détermine la taille de cette zone inertielle. Dans cette zone, la forme du spectre d’énergie est 

bien connue, elle est donnée par la loi spectrale de Kolmogorov : 

E(κ) = Aε 2/3 κ −5/3 (1.18)


La valeur de A est fournie par les données expérimentales : A = 1.5. Cette loi suppose implicitement 

que κ e


de l’énergie sous forme de chaleur. Cette zone contient le pic de dissipation correspondant 

au nombre d’onde κ d , maximum du spectre de dissipation. 

Ce scénario de cascade énergétique a été proposé à l’origine par Richardson. Ce dernier 

soulignait que dans ce processus de cascade des grandes échelles vers les petites échelles, les 

interactions non linéaires étaient essentiellement locales, c’est-à-dire que la cascade se fait par des 

petits sauts d’une échelle à une autre, voisine, mais plus petite. Autrement dit, le flux d’énergie 

à une échelle donnée ne fait qu’intervenir principalement des échelles de taille comparable. 

Ce scénario est illustré artistiquement sur la figure 1.19 ci-dessous. Même si en théorie, cette 

image s’avère être une image mentale, elle permet de s’affranchir de la complexité relative des 

écoulements turbulents. 

Figure 1.19 – Scénario de la cascade énergétique imaginé par Richardson 

1.2.2.3 Lien entre l’espace physique et l’espace de Fourier 

Afin de maintenir une cohérence entre les espaces réel et spectral, le spectre énergétique de 

la turbulence est défini de telle sorte que son aire dans l’espace spectral corresponde à l’énergie 

cinétique turbulente k. 

k = 

∫ ∞ 

0 

E(κ)dκ (1.19) 

Dans un contexte de turbulence homogène isotrope (qui sera l’objet du chapitre 4), la dissipation 

turbulente ε peut de la même manière être reliée aux expressions des spectres E(κ) et D(κ) avec : 

ɛ = 

∫ ∞ 

0 

2νκ 2 E(κ)dκ = 

∫ ∞ 

0 

D(κ)dκ (1.20) 

La dissipation croissante aux petites échelles est due au terme κ 2 provenant de la dérivée des 

fluctuations de vitesse dans l’espace spectral. 

Divers auteurs ont donné des expressions pour E(κ, t), pour différentes plages spectrales 

et/ou modèles d’interactions. Pour la plupart, ces expressions sont obtenues en résolvant, pour 

un domaine particulier de nombres d’onde, l’équation de Lin d’évolution de la densité spectrale 

d’énergie, qui s’écrit en THI : 

∂ 

∂t E(κ, t) = T (κ, t) − 2νκ2 E(κ, t) (1.21)


où T (κ, t) représente le transfert d’énergie entre les différentes longueurs d’onde. Dans le cas 

d’une turbulence homogène isotrope, T vérifie la relation : 

∫ ∞ 

T (κ, t)dκ = 0 (1.22) 

0 

Le lecteur pourra trouver en annexe A une présentation détaillée des spectres de Passot-Pouquet 

et de Von-Kármán Pao. 

1.2.3 Méthodes de simulation de la turbulence 

1.2.3.1 Méthodes prédictives en turbulence 

Nous allons dresser maintenant une liste des différentes méthodes utilisées pour simuler la 

turbulence. Ici, méthode sous-entend tout moyen permettant d’obtenir des éléments dimensionnant 

quantitatifs autre que l’expérimentation directe sur la configuration étudiée. Chassaing 

[13] identifie ainsi sept types de méthodes qu’il classe en cinq générations (Tab. 1.3). Celles-ci 

traduisent l’évolution de la nature de l’outil mathématique et du niveau de description statistique. 

Nous proposons ensuite une description sommaire de chacune de ces méthodes, incluant 

leurs avantages et défauts respectifs. 

Indice de 

génération 

Type de méthode 

Nature des relations 

mathématiques 

1 Lois de régression et abaques Expressions entre grandeurs 

primitives 

Type d’approche 

statistique 

Globale avant résolution 

2 Méthodes intégrales Équations différentielles Globale avant résolution 

3 Méthodes RANS 

Méthodes spectrales 

Méthodes probabilistes 

4 Simulation des grandes 

échelles (LES) 

5 Simulation numérique directe 

(DNS) 

Équations aux dérivées 

partielles 


partielles 


partielles 

Table 1.3 – Méthodes prédictives en turbulence 

Globale avant résolution 

Statistique partielle 

Statistique après résolution 

• Loi de régression et abaques 

Cette méthode propose des relations ou “corrélations”entre divers coefficients (de frottements, 

de perte de charge, de transfert, ...) et des paramètres de l’écoulement (nombre de Reynolds, 

de Prandtl, de Schmidt, ...). Ces relations peuvent être implicites ou explicites, analytiques 

ou graphiques. Elles proviennent généralement de données expérimentales ou de méthodes de 

simulation plus précises (DNS par exemple). 

– Avantages : mise en œuvre rapide et utilisation très simple. 

– Défauts : restriction à des situations simples connues, limitation aux configurations d’écoulement 

prescrites lors de l’établissement des “corrélations ”. 

• Méthodes intégrales 

Initialement développées pour l’étude des écoulements de couche limite, ces méthodes reposent 

sur une écriture simplifiée des équations de Navier-Stokes selon les approximations de Prandtl et


utilisent une expression différentielle ordinaire de ces équations locales obtenue par intégration 

spatiale. Cependant, elles nécessitent d’introduire certaines approximations (forme particulière 

du profil de vitesse, corrélations entre paramètres intégraux) pour être directement résolues en 

régime turbulent. 

– Avantages : mise en œuvre simple, plus détaillée et plus souple que les méthodes de première 

génération. 

– Défauts : géométries de couche limite, hypothèses de résolution expérimentales. 

• Méthodes RANS 

Ces méthodes de statistiques en un point, aussi appelées méthodes RANS (Reynolds Averaged 

Navier-Stokes), consistent en la résolution des équations de Navier-Stokes dont les paramètres 

ont été au préalable moyennés. Ce traitement engendre une perte d’informations qu’il convient 

de pallier par des schémas de fermeture judicieusement élaborés que nous évoquerons dans le 

paragraphe 1.2.3.2. Ces équations moyennées complétées d’hypothèses de fermeture fournissent 

ainsi un système conservant les caractères fondamentaux du système de Navier-Stokes (localité 

en variable d’Euler, non-linéarité advective, diffusion, dissipation). 

– Avantages : accès aux champs locaux de paramètres statistiques dans toute configuration 

géométrique, large éventail de modèles de fermeture. 

– Défauts : non adaptées pour des écoulements caractérisés par des phénomènes instationnaires 

importants, pas de modèle de validité générale. 

• Méthodes spectrales 

Ces méthodes s’appuient sur des équations obtenues par transposition des coordonnées physiques 

dans le domaine fréquentiel. De la même manière que les méthodes RANS, elles appellent des 

problèmes de fermeture qui se distinguent par la nécessité d’un traitement en transformées de 

Fourier. Elles traitent ainsi de la hiérarchie tourbillonnaire et permettent donc d’appréhender les 

phénomènes fondamentaux directement liés aux mécanismes de transferts internes de l’agitation 

turbulente. 

– Avantages : simulation des phénomènes de transferts énergétiques liés à la cascade énergétique, 

– Défauts : spécificité du formalisme, restriction à des situations homogènes (géométries 

simples). 

• Méthodes probabilistes 

Ces méthodes s’inscrivent dans le prolongement fini des méthodes RANS et spectrales, dans la 

mesure où ce ne sont plus les moments d’ordre ou leurs équivalents spectraux qui font l’objet 

de la description statistique mais les fonctions de probabilités proprement dites. Les équations 

relatives à ces f.d.p, issues d’un traitement approprié des équations instantanées, posent là encore 

un problème spécifique de fermeture. 

– Avantages : adaptées aux questions de suivi lagrangien (transport de particules, mélange 

de milieux inertes ou réactifs). 

– Défauts : assimilation de l’approche mathématique spécifique, résolution numérique adaptée 

[26], temps de calcul beaucoup plus élevé que la méthode RANS. 

• Simulation des grandes échelles (LES) 

L’utilisation de telles méthodes permet la résolution directe des contributions aux grandes 

échelles, alors que celles liées aux structures dont la taille est inférieure à une dimension car-


actéristique, appelée longueur de coupure, sont modélisées. Le modèle de turbulence est alors 

qualifié de modèle de sous-maille. 

– Avantages : compromis entre la DNS et les méthodes RANS 

– Défauts : empirisme des fermetures en un point des équations moyennées, puissance de 

calcul requise importante. 

• Simulation numérique directe (DNS) 

La DNS est une solution numérique des équations tridimensionnelles instationnaires de Navier- 

Stokes, obtenue sans aucune modélisation préalable. Le terme « direct » fait référence au fait que 

toutes les échelles de temps et d’espace de l’écoulement sont simulées. L’obtention des données 

statistiques sur l’écoulement est du coup reportée après résolution. C’est cette méthode qui sera 

utilisée pour simuler les écoulements dans ce travail. En ce sens, nous y reviendrons dans le 

paragraphe 1.2.3.3. 

– Avantages : informations très détaillées (champ de vitesse, pression, ...) en chaque point du 

domaine et à chaque instant désignant la DNS telle une véritable expérience numérique. 

– Défauts : utilisation limitée à des géométries relativement simples et des nombres de 

Reynolds modérés. Temps de calcul très long. 

Nous pouvons conclure en mentionnant le fait que toutes ces méthodes sont actuellement 

utilisées, ce qui montre à l’évidence qu’aucune d’elles n’est parfaite. De plus, prises dans leur 

ensemble, ces méthodes sont plus complémentaires que concurrentes. Le choix sera donc orienté 

par des considérations de mise en œuvre, de performance, de degré de représentativité ou encore 

de souplesse d’utilisation. 

1.2.3.2 Modèles de fermeture 

Parmi les méthodes de simulation précédemment énumérées, certaines comme les méthodes 

RANS, nécessitent l’ajout d’équations supplémentaires afin de fermer le problème, c’est l’objet 

des modèles de fermeture. Il est d’usage de classer ces modèles suivant deux critères : on distingue 

les modèles par leur ordre (un ou deux en général) et par le nombre d’équations de fermeture 

supplémentaires (plutôt une ou deux selon la complexité du modèle de fermeture). 

• Modèles du premier ordre 

Ces modèles limitent les études aux valeurs moyennes des fonctions de l’écoulement. Dans 

le cas d’un écoulement cisaillé simple, on peut relier linéairement les tensions de Reynolds et 

le gradient de vitesse, le coefficient de proportionnalité étant la viscosité de turbulence. Cette 

hypothèse, aussi appelée hypothèse de Boussinesq, est primordiale pour la classe des modèles 

du premier ordre. On distingue les modèles à : 

– zéro équation qui consistent à relier les flux turbulents (dont les corrélations doubles) aux 

grandeurs moyennes, sans introduire de nouvelle équation. On peut citer l’exemple des 

schémas dits de longueur de mélange, 

– une équation qui ont l’avantage d’être assez simple et de prendre en compte l’histoire de la 

turbulence mais le choix de l’échelle de longueur additionnelle est empirique et l’extension 

au cas tridimensionnel est difficile, 

– deux équations où l’on considère que la viscosité tourbillonnaire dépend de deux paramètres 

représentatifs de l’agitation. Le modèle k−ε est de ce type : il est souvent utilisé et présente


l’avantage de prendre en compte les variations spatiales de l’agitation turbulente même 

s’il reste mal adapté aux écoulements complexes. Une description détaillée de ce modèle 

est proposée dans le paragraphe 2.2.3. 

Il est intéressant de noter qu’il existe des modèles spécifiques à la configuration étudiée, relevant 

de la classe de modèles à bas Reynolds. Typiquement, les modèles « standards » de type 

k − ε sont mal adaptés aux écoulements à bas Reynolds que l’on trouve près des parois (écoulement 

de couche limite). Dans cette situation de proche paroi, quatre phénomènes physiques 

interviennent : le cisaillement, le blocage cinématique, la réflexion de pression et la viscosité. 

Des études en Simulation Numérique Directe ont permis d’évaluer l’importance relative de 

chacun de ces phénomènes. Dans la pratique, on utilisera un modèle bas Reynolds lorsque le 

nombre de Reynolds Re de l’écoulement sera inférieur à 100. Il existe 3 familles de modèles : 

– algébrique : on associe à la viscosité de turbulence une fonction d’amortissement près de 

la paroi. Exemple : le modèle de Van Driest [16], 

– double couche : l’écoulement est divisé en deux couches (une externe et une interne). À 

chacune de ces couches, une formule de viscosité de turbulence est associée. Le raccordement 

est assuré à la frontière des deux couches. Exemple : le modèle de Baldwin-Lomax 

[3], il permet d’obtenir un coefficient de frottement correct en situation compressible mais 

en l’absence de décollement. Il est très utilisé en aéronautique, des abaques sont mêmes 

disponibles, 

– multi-équations : adaptations de modèles k−ɛ aux écoulements bas Reynolds, les fonctions 

d’amortissement agissent sur les coefficients du modèle et le terme de diffusion visqueuse. 

Tous ces modèles souffrent d’un même défaut : une surestimation du frottement turbulent 

et un retard de décollement. Exemple : modèle de Lam Bremhorst [57]. 

• Modèles du second ordre 

Ces modèles se distinguent des précédents par le fait que l’équation de transport des tensions 

de Reynolds est résolue en même temps que les équations du champ moyen. Ils abandonnent 

l’hypothèse de viscosité de turbulence des modèle du premier ordre. Ils sont plus adaptés que les 

modèles du premier ordre pour simuler les écoulements tourbillonnaires et à forts cisaillements 

(écoulements avec séparation de région). Malgré un plus grand nombre d’équations aux dérivées 

partielles à résoudre, ils restent moins coûteux d’utilisation que les méthodes LES (Large Eddy 

Simulation). Parmi ces modèles, nous aurons l’occasion de revenir plus en détail sur les modèles 

dits RSTE (Reynolds Stress Transport Equation) dans le paragraphe 2.2.3.3. 

1.2.3.3 Retour sur la simulation numérique directe 

La simulation numérique par le calcul haute performance (HPC) est devenue un outil essentiel 

de la recherche scientifique, technologique et industrielle. Elle permet de remplacer les 

expériences qui ne peuvent être menées en laboratoire quand elles sont dangereuses (accidents), 

de longue durée (climatologie), inaccessibles (astrophysique) ou interdites (essais nucléaires). En 

effet, depuis l’avènement des résolutions numériques directes, l’accès à l’ensemble des paramètres 

de l’écoulement fait de ces simulations une première tentative véritable de prédétermination de 

la turbulence. Ainsi la DNS permet une approche de la turbulence où toutes les structures 

tourbillonnaires potentiellement présentes, sont explicitement calculées. Toute l’énergie de la 

turbulence est donc elle aussi calculée et on ne se sert d’aucun modèle pour représenter tout ou 

partie du spectre de la turbulence.


Pour autant, la DNS est toujours limitée à des domaines d’étude de taille modeste, d’autant 

plus modeste que le nombre de Reynolds de l’écoulement est élevé. D’ailleurs, le nombre de 

points requis pour une simulation est proportionnel à Re 9 4 

T 

. Elle est donc de fait cantonnée aux 

laboratoires de recherche, car trop gourmande en ressources de calcul pour pouvoir traiter des 

cas d’intérêt industriel. On l’utilise néanmoins de plus en plus dans le monde de la recherche 

afin d’élucider des mécanismes physiques au sein des écoulements étudiés. Nous verrons dans 

le chapitre 3 que le CEA dispose, pour ce genre de simulations, d’un super-calculateur capable 

d’effectuer 1,05 million de milliards d’opérations par seconde (1,05 pétaflops). L’importance d’un 

tel moyen de calcul est en parfaite adéquation avec l’utilisation de la DNS. 

Dans le cas d’écoulements en milieux réactifs, la prise en compte des réactions chimiques est 

un élément encore plus contraignant et ce pour trois raisons : 

– le nombre de variables augmente avec le nombre d’espèces chimiques que l’on considère, 

– l’échelle de temps et d’espace du problème est souvent plus large, l’échelle de temps de 

la réaction chimique étant souvent plus petite que la plus petite échelle de temps de 

l’écoulement, 

– la turbulence influence le taux de production des réactions chimiques, pendant que la 

chaleur libérée par réactions chimiques altère la turbulence et la propriété de transport de 

chaque espèce. 

Pour toutes ces raisons, les problèmes d’écoulement turbulent réactif sont en général trop compliqués 

à résoudre par la DNS, mais celle-ci, avec un nombre limité d’espèces chimiques pour un 

problème simplifié, peut déjà procurer une nouvelle vision d’ensemble intéressante. 

Synthèse du chapitre 

Ce chapitre présente au lecteur le contexte scientifique de cette étude. Une large revue des 

phénomènes physiques se produisant lors d’une rentrée atmosphérique est abordée. Elle permet 

de se faire une idée quant à la complexité et à l’interaction de ces évènements. Bien sûr, une 

attention toute particulière est portée aux phénomènes se produisant au niveau de la paroi 

du bouclier thermique. Les réactions chimiques homogènes et hétérogènes y sont également 

évoquées, parmi lesquelles les réactions d’oxydation et de sublimation. Puis les conséquences de 

l’apparition de rugosités à la surface du bouclier sur l’écoulement incident sont discutées. 

Parallèlement, nous avons défini le cadre théorique de l’étude de la turbulence. Ceci pour 

mettre en exergue les principales propriétés turbulentes que le code développé devra être en 

mesure de simuler fidèlement. En effet, des essais de « jet de plasma » ont permis de caractériser 

l’apparition de motifs particuliers de rugosités lors de l’ablation sous régime turbulent, les mêmes 

profils demeurant lisses en régime laminaire. 

L’objectif de ce travail étant de comprendre l’impact des structures tourbillonnaires sur la 

formation des rugosités (qui sont de l’ordre de 50 µm), l’accès à une telle précision de résultats 

nécessite l’utilisation de la simulation numérique directe (DNS). Les équations de la mécanique 

des fluides et de la cinétique chimique que nous résolvons grâce à cette méthode de simulation 

sont présentées dans le chapitre suivant.

42 Chapitre 1. Contexte scientifique

Chapitre 2 

Les équations du problème physique 

Sommaire 

2.1 Les équations du code EVEREST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.1.1 Les équations de conservation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.1.1.1 Équation de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.1.1.2 Équation de conservation de quantité de mouvement . . . . . . 45 

2.1.1.3 Équation de conservation de l’énergie totale . . . . . . . . . . . 46 

2.1.2 Cinétique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

2.1.2.1 Équation de conservation de la fraction massique . . . . . . . . 46 

2.1.2.2 Équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

2.1.2.3 Taux de production chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

2.1.2.4 Caractérisation du flux thermique . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

2.1.3 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

2.1.3.1 État de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2.1.3.2 Équations adimensionnalisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

2.1.4 Coefficients de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

2.1.4.1 Coefficients de diffusion multicomposants . . . . . . . . . . . . 50 

2.1.4.2 Viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

2.1.4.3 Conductivité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

2.2 L’approche statistique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.2.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.2.1.1 Statistique avant résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

2.2.1.2 Statistique après résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.2 Les moyennes de la description statistique . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.2.2.1 Moyenne d’ensemble et moyenne temporelle . . . . . . . . . . . 54 

2.2.2.2 Moyennes spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

2.2.2.3 Règles de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

2.2.3 Modèles utilisés pour la validation de la turbulence simulée . . . . . . . 56 

2.2.3.1 Mise en place des équations de statistique en un point . . . . 56 

2.2.3.2 Modèle issu de la statistique d’ordre 1 : le modèle k − ε . . . 57 

2.2.3.3 Modèle issu de la statistique d’ordre 2 : les modèles RSTE . . 58 

2.2.4 Analyse corrélatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

43

44 Chapitre 2. Les équations du problème physique 

2.2.4.1 Définition des outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2.2.4.2 Corrélations doubles en THI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

2.2.4.3 Corrélations et incompressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

2.2.4.4 Définition des échelles corrélatoires de Taylor . . . . . . . . . 62 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

Dédié à la présentation des aspects mathématiques de ce travail, ce chapitre évoque les 

différentes équations résolues par le code numérique EVEREST. Il s’agit ici de dresser à la 

fois un descriptif des équations initialement présentes dans le code, mais aussi de présenter les 

nouvelles procédures de calcul et traitements implémentés durant ce travail de thèse. La première 

catégorie comprend les équations de la mécanique des fluides de Navier-Stokes ainsi que les 

équations de la cinétique chimique. En ce qui concerne la seconde catégorie, nous analyserons 

d’abord les outils statistiques de post-traitement nécessaires pour exploiter l’importante quantité 

de résultats. Dans une autre partie, nous aborderons la mise en place des différents modèles et les 

équations que nous utiliserons pour valider les résultats issus de ce code de simulation numérique 

directe.

Chapitre 2. Les équations du problème physique 45 

2.1 Les équations du code EVEREST 

Le point de départ de l’analyse d’un écoulement turbulent réactif procède des équations 

du mouvement d’un fluide ainsi que de celles relatives à la cinétique chimique des espèces en 

présence. L’ensemble de ces équations faisait partie de la version précédente du code EVEREST, 

néanmoins il est nécessaire de les rappeler ici afin de bien définir le type d’écoulement que nous 

allons simuler. 

2.1.1 Les équations de conservation de Navier-Stokes 

Nous commencerons d’abord par rappeler les équations relatives à la description du régime 

turbulent de l’écoulement : les équations de Navier-Stokes. Vieilles de plus d’un siècle et demi, 

ces équations sont toujours utilisées de nos jours pour décrire l’évolution spatio-temporelle de 

la turbulence à l’échelle du milieu continu. Ainsi, la fraction massique, la vitesse et l’énergie 

vérifient les équations de conservation décrites dans cette section. 

2.1.1.1 Équation de conservation de la masse 

La conservation de la masse est une loi fondamentale de la chimie et de la physique. Elle 

indique non seulement qu’au cours de toute expérience, y compris lorsqu’elle implique une transformation 

chimique, la masse se conserve, mais aussi que le nombre d’éléments de chaque espèce 

chimique se conserve. L’équation d’ensemble de la conservation de la masse s’écrit : 

∂ρ 

+ ∇. (ρu) = 0 (2.1) 

∂t 

où ρ désigne la masse volumique du fluide. Dès lors, deux cas particuliers sont à considérer : 

– pour un fluide à masse volumique constante on a ∇.u = 0, l’écoulement est alors qualifié 

d’isovolume, 

– pour un écoulement stationnaire, on ∂ t ρ = 0 et ∇. (ρu) = 0 ce qui implique que ρ∇.u + 

u.∇ρ = 0. 

2.1.1.2 Équation de conservation de quantité de mouvement 

La conservation de la quantité de mouvement s’exprime par l’équation : 

∂ (ρu) 

+ ∇. (ρu ⊗ u) = −∇P + ∇.τ + F (2.2) 

∂t 

où τ désigne le tenseur des contraintes visqueuses qui est, sous l’hypothèse de Newton-Stokes, 

proportionnel au tenseur des taux de déformation S qui s’écrit selon la convention d’Einstein 

pour la sommation : 

( 

∂ui 

τ ij = µ + ∂u j 

− 2 ) 

∂u l 

δ ij = 2µS ij − 2 ∂x j ∂x i 3 ∂x l 3 µSδ ij (2.3) 

En utilisant les indices discrets, l’équation (2.3) devient : 

∂(ρu i ) 

+ ∂(ρu ju i ) 

= ρF i − ∂P + 

∂ 

( ( 

∂ui 

µ + ∂u j 

− 2 )) 

∂u l 

δ ij 

∂t ∂x j 

∂x i ∂x j ∂x j ∂x i 3 ∂x l 

où F i=1,2,3 représente les forces extérieures de volume et µ la viscosité du fluide. Par exemple, 

la force volumique F intervenant dans l’équation (2.4) peut être la pesanteur avec : F = ρg. 

(2.4)


2.1.1.3 Équation de conservation de l’énergie totale 

La conservation de l’énergie totale E prend, en l’absence de rayonnement des gaz, la forme 

générale suivante : 

∂ρE 

+ ∇. (uρE) = ∇p + ∇. (uτ + q) + u.F (2.5) 

∂t 

où q représente la densité de flux d’énergie transporté par la conduction thermique et l’enthalpie 

de chaque espèce (cf. 2.1.2.4). Pour un gaz parfait, l’enthalpie h et l’énergie interne e sont des 

fonctions linéaires de la température et sont explicitement données par : 

h = C p T (2.6) 

e = C v T (2.7) 

où C p et C v sont les capacités calorifiques à pression et à volume constant. L’énergie totale E 

pour un gaz parfait s’écrit : 

E = e + 1 2 ‖u‖2 (2.8) 

Comme pour l’équation de conservation de la quantité de mouvement, nous écrivons cette relation 

à l’aide d’indices discrets : 

∂ρE 

∂t 

+ ∂ (ρu jE) 

= − ∂ (P u i) 

+ ∂ (τ iju i ) 

− ∂q i 

+ F j u j (2.9) 

∂x j ∂x i ∂x j ∂x i 

2.1.2 Cinétique chimique 

Jusqu’à présent nous n’avons pas considéré l’aspect réactif de l’écoulement qui, dans le cas de 

la rentrée atmosphérique, est composé de nombreuses espèces réagissant entre elles (cf. 1.1.2). Le 

paragraphe suivant est consacré au rappel des équations régissant ces espèces. L’aspect réactif 

de l’écoulement mentionné ci-dessous est pris en compte dans le code numérique à condition que 

le nombre d’espèces considérées soit supérieur à 1. Cela sera effectivement le cas dans le chapitre 

six qui traite de l’interaction entre le régime turbulent et l’ablation de la paroi. 

2.1.2.1 Équation de conservation de la fraction massique 

Pour un écoulement réactif turbulent, la conservation de l’espèce chimique est souvent exprimée 

en terme de fraction massique de l’espèce α, définie comme le rapport entre la masse 

volumique de l’espèce chimique et celle du mélange : 

C α = ρ α 

ρ 

(2.10) 

Pour chaque espèce chimique α parmi les n e espèces considérées, la fraction massique C α=1,2,...,ne 

vérifie l’équation de conservation de la masse (2.1) : 

∂ρC α 

∂t 

+ ∂ρC αu α j 

∂x j 

= ˙ω α (2.11) 

avec u α j , composante du vecteur vitesse de l’espèce α dans la direction j et ˙ω α, taux de production 

ou de destruction chimique de l’espèce α.


La vitesse moyenne du mélange est définie comme étant la somme pondérée par la masse 

volumique. 

u j = 1 ρ 

n e ∑ 

α=1 

ρ α u α j (2.12) 

On retrouve l’équation générale de conservation de la masse (2.1) présentée plus haut par sommation 

des équations (2.12) sur l’ensemble des espèces. On définit alors la vitesse de diffusion 

−→ 

V α de l’espèce α telle que : 

−→ V α = ⃗u − −→ u α (2.13) 

Cette vitesse de diffusion peut être modélisée par la loi de Fick : 

−→ V 

α 

j = − D α 

C α 

∂C α 

∂x j 

(2.14) 

(2.11) s’écrit alors : 

∂ρC α 

∂t 

+ ∂ρC αu j 

= ∂ 

( ) 

∂C α 

ρD α + ˙ω α (2.15) 

∂x j ∂x j ∂x j 

Dans le bilan final des équations de conservation, l’équation (2.15) qui rend compte de l’aspect 

multi-espèces et de l’aspect réactif de l’écoulement sera donc préférée à l’équation (2.1) qui n’est 

pas adaptée dans l’optique de ce travail. 

2.1.2.2 Équation d’état 

Dans toute cette étude nous utiliserons la loi des gaz parfaits pour chaque espèce chimique 

présente dans l’écoulement (2.16). Selon la théorie cinétique des gaz cela signifie qu’à l’échelle 

microscopique, un gaz parfait est un gaz dont les molécules n’interagissent pas entre elles en 

dehors des chocs. Aussi la taille des molécules est prise négligeable par rapport à la distance 

intermoléculaire moyenne. Sous ces conditions, l’énergie du gaz parfait correspond à la somme 

des énergies cinétiques des centre de masse des molécules et de l’énergie interne de chacune 

d’entre elles (rotation, oscillation). 

avec 

P = 

n e ∑ 

α=1 

P α = 

∑n e 

ρ α 

α=1 

n 

1 e 

M = ∑ 

R 

T = ρ R M α M T (2.16) 

C α 

M 

α=1 α 

où R est la constante des gaz parfaits avec R = 8.3145107 J.mol −1 .K −1 et M α est la masse 

molaire de l’espèce α. 

2.1.2.3 Taux de production chimique 

Toutes les réactions chimiques mises en jeu peuvent s’écrire sous la forme générale suivante : 

n e ∑ 

α=1 

ν ′ (k) 

α A α ⇋ 

n e ∑ 

α=1 

ν ′′ (k) 

α A α (2.17)


où ν ′(k) et ν ′′(k) sont respectivement les coefficients stœchiométriques dans le sens direct et 

inverse. A α est une espèce chimique du gaz considéré. Si l’espèce α intervient dans plusieurs 

réactions chimiques, son taux de production global ˙ω α s’écrit : 

kreact ∑ 

˙ω α = M α 

k=1 

( 

ν ′′ (k) 

α 

− ν ′ (k) 

α 

⎡ 

) 

⎢ 

⎣k (k) ∏n e 

f 

j=1 

′ 

( ) (k) ν j ρj 

− k (k) 

b 

M j 

n e ∏ 

j=1 

′′ 

) (k) 

⎤ 

ν j 

⎥ 

⎦ (2.18) 

M j 

avec k (k) 

f 

et k (k) 

b 

respectivement les vitesses de réaction dans le sens direct (forward) et inverse 

(backward) de la réaction k. Il a été montré expérimentalement que les vitesses de réaction 

dépendent de la température et suivent généralement une loi de type Arrhenius : 

( 

ρj 

k f = A f T B f 

exp(− θ f 

T ) (2.19) 

k b = A b T B b 

exp(− θ b 

T ) (2.20) 

où A f , B f , θ f , A b , B b , θ b sont dépendants de la réaction considérée. L’indice b et f faisant 

respectivement référence à back et forward. 

2.1.2.4 Caractérisation du flux thermique 

Dans le cadre de cette étude, la représentation du flux thermique par la relation q = −λ∇T 

n’est pas suffisante, compte-tenu de la réactivité de l’écoulement. Ainsi pour caractériser le flux 

thermique q i de l’équation (2.9), nous devons considérer l’effet enthalpique de chaque espèce. 

Nous définissons d’abord l’enthalpie total H T : 

où 

H T = 

n e ∑ 

α=1 

C α h α + u i u i /2 (2.21) 

∫ T 

h α = h 0 f,α + C p (T )dT 

T 0 

h 0 f,α est l’enthalpie de formation de l’espèce α. Le flux de diffusion de la quantité de chaleur 

pour un gaz multi-espèces suivant la direction x i est alors décrit par la relation : 

q i = −λ ∂T + 

∂x i 

n e ∑ 

α=1 

En remplaçant la relation (2.14) dans (2.22), on obtient : 

q i = −λ ∂T − 

∂x i 

ne ∑ 

α=1 

ρ α V α 

i h α (2.22) 

ρD α h α 

∂C α 

∂x i 

(2.23) 

La définition de ce flux thermique réactif va nous permettre de rendre compte, dans l’équation 

de conservation de l’énergie, de la présence d’espèces réactives. À ce propos, les propriétés de 

transport (µ, λ, D) sont étudiées dans le paragraphe 2.1.4. 

2.1.3 Adimensionnement 

Afin de réduire au mieux les erreurs d’arrondi et de troncature, nous adimensionnons le 

système composé des équations (2.15), (2.4) et (2.9) afin de l’intégrer dans le code numérique.


2.1.3.1 État de référence 

Plusieurs choix s’offrent à nous pour adimensionner le système d’équations. Nous avons 

adopté ici l’état de référence suivant : 

T ref = (γ − 1)T f0 , u ref = a ref = 

√ 

γRT ref , L ref = Re acν ref 

t ref = L ref 

, ρ ref = P atmM 

a ref T ref R ρ ∞, P ref = γP atm , µ ref = µ 0 , C pref = γ 

γ − 1 

a ref 

R 

M 

(2.24) 

où T f0 est la température initiale du fluide, P atm la pression atmosphérique et M = 32 g.mol −1 

la masse molaire du dioxygène. Les variables indépendantes adimensionnées utilisées sont : 

u + = u/u ref , x + = x/L ref , t + = t/t ref , ρ + = ρ/ρ ref , T + = T/T ref , 

p + = p/p ref , ¯k + = ¯k/a 2 ∞, µ + = µ/µ ref , C + p = C p /C pref (2.25) 

et les nombres sans dimension sont : 

( 

1. Le nombre de Mach, Ma = u 

a ∞ 

, qui exprime le rapport de la vitesse locale du fluide 

)ref 

sur la vitesse du son à l’infini. Il mesure le rapport entre les forces liées au mouvement et 

le compressibilité du fluide. Typiquement, des valeurs de nombre de Mach supérieures à 5 

(écoulement hypersonique) seront à considérer dans la présente étude. 

2. Le nombre de Reynolds, Re = 

d’inertie. 

( ) ρuL 

µ 

, qui compare les forces de viscosités aux forces 

ref 

3. Le nombre de Péclet de masse, P e = uL D 

, qui compare la vitesse du transport convectif à 

celle du transport diffusif. Lorsque P e ≫ 1, la convection est très rapide devant la diffusion, 

on parlera alors de transport convectif, à l’inverse pour P e ≪ 1, on parlera de transport 

diffusif. 

( ) µCp 

4. Le nombre de Prandtl, P r = 

λ 

, qui représente le rapport entre la viscosité 

ref 

cinématique ν et la diffusivité thermique, compare la rapidité des phénomènes thermiques 

et des phénomènes hydrodynamiques dans un fluide. Un Prandtl élevé indique que le profil 

de température dans le fluide sera fortement influencé par le profil de vitesse. Un Prandtl 

faible indique que la conduction thermique est tellement rapide que le profil de vitesse a 

peu d’effet sur le profil de température. 

5. le nombre de Schmidt, Sc = 

( ) µ 

ρD 

ref 

, dérivé du Reynolds et du Péclet avec Sc = 

P e 

Re , qui 

représente le rapport entre la viscosité cinématique ν et la diffusivité massique. Il est utilisé 

pour caractériser les écoulements de fluides dans lesquels interviennent simultanément 

viscosité et transfert de matière.


2.1.3.2 Équations adimensionnalisées 

L’introduction de ces variables (2.25) dans les équations (2.15), (2.4) et (2.9) mène aux 

équations adimensionnées suivantes : 

∂ρ + C + α 

∂t + 

∂ρ + u + i 

∂t + 

+ ∂ρ+ u + j C+ α 

∂x + j 

+ 

∂ρ+ u + j u+ i 

∂x + j 

∂ρ + E + 

∂t + + ∂ρ+ u + j E+ 

∂x + j 

= 

1 

ReSc 

∂ 

∂x + j 

( 

ρ + D + α 

= − 1 ∂p + 

Ma 2 + 1 ∂x i Re 

= − ∂p+ u + i 

∂x + i 

+ 

1 

ReSc 

∂ 

∂x + i 

+ Ma2 

Re 

∂C α 

+ ) 

∂x + j 

( 

∂ 

∂x + j 

∂ 

∂x + j 

+ ˙ω + α 

µ + ( 

∂u 

+ 

i 

∂x + j 

( ∑ne 

ρ + D α + h + ∂C α 

+ 

α 

α=1 

∂x + i 

+ ∂u+ j 

∂x + i 

( ) 

τ ij + u+ i + 1 

ReP r 

) 

+ F + j u+ j 

− 2 ∂u + )) 

l 

3 ∂x + δ ij + ¯F i 

+ 

l 

( 

∂ 

∂x + λ + ∂T + ) 

i ∂x + i 

Pour alléger l’écriture des équations, nous omettrons désormais les +, pour obtenir le système 

d’équations final résolu : 

∂ρC α 

∂t 

∂ρu i 

∂t 

∂ρE 

∂t 

+ ∂ρu jC α 

∂x j 

= 

( 

1 ∂ 

ReSc ∂x j 

+ ∂ρu ju i 

∂x j 

= − 1 

Ma 2 ∂p 

) 

∂C α 

ρD α + ˙ω α (2.26) 

∂x j 

( ( 

∂ ∂ui 

µ + ∂u j 

− 2 )) 

∂u l 

δ ij + 

∂x j ∂x j ∂x i 3 ∂x ¯F i (2.27) 

l 

∂x i 

+ 1 Re 

+ ∂ρu jE 

= − ∂pu i 

+ Ma2 

∂x j ∂x i Re 

+ 

1 

ReSc 

∂ 

(τ ij u i ) + 1 ( 

∂ 

λ ∂T ) 

∂x j ReP r ∂x i ∂x i 

( 

∂ ne 

) 

∑ ∂C α 

ρD α h α + F j u j (2.28) 

∂x i ∂x 

α=1 i 

2.1.4 Coefficients de transport 

Nous complétons ici la présentation des équations par les choix de modélisation des différents 

coefficients de transport. De manière générale, le coefficient de diffusion binaire, la conductivité 

thermique et la viscosité sont solutions de systèmes linéaires issus du calcul faisant intervenir les 

intégrales de collision entre molécules. Pour chacun de ces coefficients nous mentionnerons leurs 

valeurs théoriques exactes ainsi que les schémas approximatifs retenus pour les implémenter. 

À noter aussi que la description des coefficients de transport peut aussi être complétée en 

considérant l’impact du flux de chaleur sur les gradients de concentration (effet Soret) ou bien 

encore l’effet (inverse) des gradients de concentration sur les gradients de température (effet 

Dufour). Dans ce travail, nous négligerons l’occurrence de ces effets. Le lecteur intéressé pourra 

se référer aux travaux menés par Mortimer et Eyring [39] pour plus de détails. 

2.1.4.1 Coefficients de diffusion multicomposants 

• Calcul exact du coefficient de diffusion D ij 

Parmi les solutions des intégrales de collision entre molécules dont il est question, on peut citer 

le potentiel d’interaction de Lennard-Jones très utilisé pour des interactions peu énergétiques et


qui conduit à l’expression suivante pour le coefficient de diffusion binaire : 

avec notamment : 

D ij = 3 16 

– la pression P qui s’exprime en atm, 

– la masse molaire réduite M ij = M i M j / (M i + M j ) : 

√ 

2πk 3 B T 3 /M ij 

P πσ 2 ij Ω(1,1) (2.29) 

M ij = 

M iM j 

M i + M j 

(2.30) 

où M ii = 1 2 M i 

– l’intégrale de collision de diffusion Ω (1,1) qui est, selon Lennard-Jones, fonction de la température 

réduite T ⋆ définie par : 

T ⋆ = k BT 

ε ij 

(2.31) 

– la diamètre de collision de Lennard-Jones σ ij , de l’ordre de quelques nm, 

– l’intensité du potentiel de Lennard-Jones ε ij /k B 

Le coefficient d’auto-diffusion D α de l’espèce α est facilement obtenu en faisant i = j : 

√ 

T 

D α = 5.8755 10 −6 3 /M α 

P σαΩ 2 (1,1) (T ⋆ ) 

(2.32) 

• Approximation du coefficient de diffusion D α 

Même si le terme D α peut être calculé numériquement, le temps de calcul nécessaire est 

généralement trop grand (à chaque pas de temps, dans chaque maille). C’est pourquoi, nous 

utiliserons pour ce travail une approximation sommaire qui impose un nombre de Schmidt constant 

et qui néglige, on le rappelle, les effets de Soret et Dufour, tel que : 

D α = µ α 

ρSc 

(2.33) 

2.1.4.2 Viscosité 

• Calcul exact de la viscosité µ 

Sous l’effet de forces intermoléculaires [59], la viscosité d’un gaz pur peut être exprimée par : 

µ α = 5 √ RMα T 

√ 

16N πσ 2 α Ω (2,2) (T ⋆ ) 

(2.34) 

où Ω (2,2) est une intégrale de collision de Lennard-Jones qui est, comme pour le coefficient de 

diffusion, fonction de la température réduite T ⋆ (2.31).


• Approximation de la viscosité µ 

Nous utiliserons plusieurs modèles d’estimation de la viscosité suivant les conditions initiales 

adoptées : la loi de Sutherland, la loi de PANT ainsi que la loi de mélange de Wilke-Bird. 

– La loi de Sutherland affirme que la viscosité du mélange d’air, assimilé à un mélange de 

gaz parfaits, prend la forme suivante : 

µ = 1.711 10 −5 ( T 

T S 

) 3 

2 T S + 110.4 

T + 110.4 

(2.35) 

avec T S = 273.15 K. Cependant le domaine de validité de ce modèle est restreint à 

des conditions d’écoulement froid, c’est-à-dire à des écoulements non dissociés dont la 

température de translation est comprise entre 200 K et 1500 K. 

– La loi de PANT (PAssive Nosetip Technology Program) est utilisée surtout pour un gaz 

réel : 

⎧ 

⎪⎨ 

( ) 

4.4646 10 −5 3 

T 2 1221.4 

T 

µ = 

S T +110.33 

si T < 1111.11 K 

⎪⎩ 

( (2.36) 

2.7882 10 −5 T 

555.56) 0.7 

sinon 

– La loi de Wilke modifiée par Bird est une loi de mélange qui prend la forme : 

µ = 

n e ∑ 

α=1 

X α µ α 

∑ ne 

β=1 X (2.37) 

βψ µ,αβ 

où µ α est la viscosité du gaz α et ψ µ,αβ correspond à l’interaction de viscosité entre les 

espèces α et β par : 

( ( ) 1 ( ) 1 

) 2 

1 + 

µα 2 M β 4 

µ β M α 

ψ µ,αβ = [ ( )] 1 

(2.38) 

8 1 + Mα 2 

M β 

et où 

X α = ρ α 

ρ 

X α étant la fraction molaire de l’espèce α. 

M 

M α 

= MC α 

M α 

(2.39) 

2.1.4.3 Conductivité thermique 

• Calcul exact de la conductivité thermique λ 

De même que la viscosité, la conductivité thermique d’un gaz pur peut être exprimée sous la 

forme : 

√ 

λ α = 75 

64N 

T 

πM α 

R 3 2 

σ 2 αΩ (2,2) (T ⋆ ) 

(2.40) 

Il existe ainsi une relation entre la viscosité et la conductivité thermique pour un gaz pur 

monoatomique : 

λ α = 15 R 

µ α (2.41) 

4 M α


• Approximation de la conductivité thermique λ 

Afin d’estimer la conductivité thermique d’un gaz supposé parfait, la première approximation 

utilisée est l’hypothèse du nombre de Prandtl constant avec : 

P r = µC p 

λ 

En ce qui concerne les gaz multi-espèces, nous appliquerons, là encore, la loi de Wilke avec : 

λ = 

n e ∑ 

α=1 

(2.42) 

X α λ α 

∑ ne 

β=1 X (2.43) 

βψ λ,αβ 

où λ α est la conductivité thermique du gaz α et ψ λ,αβ correspond à l’interaction de conductivité 

thermique entre les espèces α et β par : 

ψ λ,αβ = 

( ( ) 1 ( ) 1 

) 2 

1 + λα 2 M β 4 

λβ M α 

[ ( )] 1 

8 1 + Mα 2 

M β 

(2.44) 

Maintenant que nous avons rappelé l’ensemble des équations utilisées pour simuler les écoulements 

turbulents composés d’espèces réactives, nous allons présenter les outils, mis en place 

durant cette thèse, nécessaires à la validation de la simulation de la turbulence. 

2.2 L’approche statistique de la turbulence 

La mise en place d’une théorie statistique de la turbulence s’explique par le caractère aléatoire 

de la turbulence (cf. 1.2.1.1). Le fait de considérer un ensemble de réalisations, plutôt que chaque 

réalisation prise individuellement, va nous permettre d’identifier les propriétés et les phénomènes 

reproductibles de la turbulence. Nous définissons ici les outils statistiques adéquats destinés à 

valider le phénomène de turbulence modélisé par les équations du paragraphe 2.1. 

2.2.1 Motivations 

Que ce soit à l’époque des premières observations de Léonard de Vinci ou des tentatives de 

caractérisation d’Osborne Reynolds, il n’était pas possible d’accéder, par le calcul, à tous les 

détails des fluctuations de l’agitation turbulente. La situation a changé au début des années 

1970 avec les premiers travaux d’Orszag [41] qui a introduit la résolution numérique directe 

des équations de Navier-Stokes. Ces calculs, ambitieux, nécessitent encore des temps de calcul 

très longs et pour la plupart des problèmes intéressant l’ingénieur, la résolution d’équations 

moyennées suffit. Dans les deux cas, l’approche statistique est considérée car la détermination de 

données statistiques en turbulence peut s’envisager selon deux types de démarches : la statistique 

avant et après résolution. 

2.2.1.1 Statistique avant résolution 

Il s’agit de l’approche probabiliste standard où la vitesse, la pression, la température, entre 

autres, sont considérées comme des fonctions aléatoires, décomposables en une somme d’une 

partie moyenne et d’une partie fluctuante (cf. 2.2.2.3). Sur le plan théorique, l’évolution d’une 

mesure de probabilité des équations du mouvement n’a pas été résolue dans le cas général.


Cependant, en s’accordant à restreindre cette description statistique, la modélisation mathématique 

de la turbulence est possible à partir des équations de Navier-Stokes moyennées (2.61). 

Dès lors, deux orientations principales ont été prises : 

– la modélisation à statistique globale, où les mouvements d’agitation sont considérés, dans 

leur intégralité, comme ayant un comportement aléatoire (exemple : méthodes RANS), 

– la modélisation à statistique partielle où seules certaines classes de tourbillons sont traitées 

statistiquement, l’évolution des autres relevant d’une résolution directe (exemple : méthodes 

LES). 

2.2.1.2 Statistique après résolution 

La répétitivité des conditions initiales et aux limites n’est physiquement possible qu’avec un 

certain degré de tolérance. Au contraire du régime laminaire, cette tolérance n’est pas valable 

dans le cas du régime turbulent où deux réalisations d’un même écoulement vont se traduire 

par deux résultats différents. Cette approche consiste à déduire les caractéristiques statistiques 

d’un champ turbulent par moyennage sur plusieurs de ses réalisations. Il s’agit typiquement de 

l’approche que nous adopterons dans le contexte de notre étude de simulation numérique directe. 

Les questions fondamentales sous-jacentes sont de savoir à partir de combien de réalisations, 

les résultats moyennés seront considérés comme consistants. Les réponses à ces questions révèlent 

encore d’un certain empirisme et aucun critère de représentativité n’a encore été établi. 

C’est pourquoi, nous fixons le nombre d’échantillons représentatif à 20. Ce nombre est inférieur 

à celui qu’utilisaient Perot et Moin [47] pour leurs simulations (de l’ordre de 60 réalisations 

représentatives). Néanmoins, nous verrons qu’il s’avère suffisant pour lisser convenablement les 

courbes de résultats, dans le cas où l’instationnarité des écoulements prévaut. 

2.2.2 Les moyennes de la description statistique 

2.2.2.1 Moyenne d’ensemble et moyenne temporelle 

Lorsque la source d’énergie générant l’écoulement est stationnaire et en ignorant d’éventuels 

effets transitoires, alors l’écoulement possède aussi un caractère aléatoire stationnaire. En d’autres 

termes, bien qu’il soit instable dans le détail et que ses propriétés détaillées ne soient pas 

prédictibles, l’écoulement est statistiquement stable et ses propriétés statistiques sont reproductibles. 

Nous introduisons donc la moyenne temporelle du signal étudié. Pour une fonction 

aléatoire f(x, t), cette moyenne s’écrit : 

∫ 

1 T/2 

〈f(x, t)〉 = lim f(x, t)dt (2.45) 

T →∞ T −T/2 

D’un point de vue théorique, il est préférable de définir la moyenne 〈.〉 comme une moyenne 

sur un très grand nombre N d’expériences « identiques ». Les quantités mesurées vont varier 

d’une expérience à l’autre, c’est-à-dire d’une réalisation à l’autre. La moyenne sur toutes les 

réalisations est appelée moyenne d’ensemble qui est définie comme la moyenne arithmétique, 

quand N tend vers l’infini, d’une collection de N échantillons f n (x, t), n = 1, ..., N de la variable 

aléatoire f(x, t) correspondant chacun à une réalisation possible de l’écoulement, soit : 

1 

˜f(x, t) = lim 

N→∞ N 

N∑ 

f (i) (x, t) (2.46) 

i=1


Il est intéressant de noter que les valeurs moyennes au sens statistique du terme peuvent 

s’obtenir à partir d’une seule réalisation, il faut pour cela que le processus soit ergodique. 

Ces deux estimations deviennent alors équivalentes lorsque certaines propriétés statistiques de 

la fonction aléatoire considérée sont invariantes par translation spatiale ou temporelle. Ceci 

implique que sous certaines conditions, la moyenne d’ensemble pourra se confondre avec la 

moyenne temporelle (stationnarité temporelle) ou bien avec la moyenne spatiale (stationnarité 

spatiale). Ces deux propriétés seront conjuguées lors de l’étude de la turbulence homogène 

isotrope (cf. 4). 

2.2.2.2 Moyennes spatiales 

La moyenne spatiale volumique dans le domaine d’étude correspond à l’expression suivante : 

∫ ∫ ∫ 

1 

f(x, t) = lim 

f(x, t)dV (2.47) 

V→∞ V V 

Cette moyenne sera largement utilisée dans ce travail ; elle sera calculée sur l’ensemble des 

l f × m f × n f points du maillage. Nous l’emploierons notamment pour caractériser les montants 

d’énergie cinétique turbulente et celui du taux de dissipation de la turbulence, notés respectivement 

k et ε, mais qui correspondent implicitement à k et ε. 

Si une grandeur est homogène dans un plan horizontal y = cte, on pourra être amené à 

considérer une moyenne par plan : 

f(y, t) = 

∫ ∫ 

1 

lim 

Π xz→∞ Π xz 

Π xz 

f(x, t)dσ (2.48) 

Calculée sur l f × n f , cette moyenne permet d’étudier l’évolution verticale des statistiques à un 

instant donné. Cela étant, pour les plus grosses structures de l’écoulement, la convergence des 

moyennes horizontales ne sera pas forcément assurée et pourra entraîner des variations de ces 

moyennes dont il faudra tenir rigueur. 

Dans certaines configurations d’écoulements, nous pourrons être amenés à coupler plusieurs 

de ces moyennes. Ainsi, lors de l’étude de la paroi en présence de zones de blocages pariétaux 

(cf. 5), nous améliorerons la convergence des moyennes horizontales en considérant la nature 

stationnaire de l’écoulement. Il s’agira donc d’effectuer une moyenne par plan des moyennes 

d’ensemble des moyennes temporelles qui peut se noter : 

1 

̂f(x, t) = lim 

N→∞ N 

[ 

N∑ 

i=1 

lim 

Π xz→∞ 

∫ ∫ 

1 

Π xz 

Π xz 

( 

lim 

T →∞ 

1 

T 

∫ T/2 

−T/2 

f(x, t)dt 

) 

dσ 

] 

(2.49) 

ou schématiquement : 

̂f = ˜〈f〉 

2.2.2.3 Règles de Reynolds 

La décomposition de toute fonction aléatoire A en somme de sa moyenne d’ensemble A et 

de sa fluctuation centrée a se traduit formellement par : 

A = A + a avec a = 0 (2.50)


Soient α et β deux constantes et B une autre fonction aléatoire quelconque, l’ensemble des 

moyennes mentionnées plus haut (on prend l’exemple de la moyenne spatiale) vérifient les propriétés 

suivantes : 

αA + βB = αA + βB (2.51) 

A.B = A.B + a.b (2.52) 

∂A 

= ∂A 

∂t ∂t 

(2.53) 

∂A 

= ∂A 

∂x j ∂x j 

(2.54) 

Ces moyennes s’avèrent être des opérateurs linéaires qui sont en outre supposés commuter avec 

l’opérateur différentiel. 

2.2.3 Modèles utilisés pour la validation de la turbulence simulée 

Pour valider la turbulence simulée par le code EVEREST, nous utiliserons des équations 

issues des modèles de fermeture classiques de la turbulence. Nous présentons, ici, les équations 

de Reynolds moyennées ainsi que les deux modèles pour la validation : le modèle k − ε et les 

modèles RSTE. 

2.2.3.1 Mise en place des équations de statistique en un point 

On introduit maintenant la décomposition de Reynolds (cf. 2.2.2.3) en grandeur moyenne et 

grandeur fluctuante pour la vitesse, la pression et le tenseur visqueux avec : 

u i = U i +u ′ i (2.55) 

p = P +p ′ (2.56) 

τ ij = τ ij +τ ′ ij (2.57) 

Les lettres capitales désigneront conventionnellement les grandeurs moyennées en plus du trait 

de l’opérateur moyenne. En considérant l’écoulement comme incompressible (en fait, masse 

volumique constante), il vient par la condition de continuité : 

∂ ( ) 

U i + u ′ i = 0 (2.58) 

∂x i 

et par application de l’opérateur moyenne à l’équation (2.58), on a : 

∂U i 

∂x i 

= 0 et 

∂u′ i 

∂x i 

= 0 (2.59) 

Ainsi le champ de turbulence de vitesse est isovolume. La moyenne des équations de conservation 

classiques de la masse et de Navier-Stokes (mono-espèce) des paramètres décomposés selon 

Reynolds donne : 

) 

∂ 

(ρU i 

∂t 

∂ ( ) 

ρU j 

∂x j 

+ ∂ ( 

ρU i U j 

) 

= 0 (2.60) 

∂x j 

= − ∂P 

∂x i 

+ ∂ ( 

) 

τ ij − ρu ′ i u′ j 

(2.61) 

∂x j


Ce sont les équations de Reynolds où le terme −ρu ′ i u′ j est le tenseur des contraintes de Reynolds. 

On constate qu’en écrivant une équation sur le moment d’ordre n (ici n = 1), pour le champ 

moyen et à cause de la non linéarité convective, on obtient le moment d’ordre n + 1, ici le 

tenseur de Reynolds. En supposant que l’on ne connaisse alors que le champ moyen, une fermeture 

devient nécessaire pour résoudre ces équations. Parmi ces méthodes et conformément à 

la classification établie dans le paragraphe 1.2.3.2, nous distinguerons les méthodes statistiques 

d’ordre un (modèle k − ε) des méthodes statistiques d’ordre deux (modèle RSTE). 

2.2.3.2 Modèle issu de la statistique d’ordre 1 : le modèle k − ε 

• Approche phénoménologique du concept de viscosité de turbulence 

Supposons que l’écoulement moyen se décompose en filets horizontaux, et que la vitesse 

moyenne u i soit croissante suivant la direction x j . Les particules de fluide qui pénètrent dans 

un filet par le bas (u ′ j > 0) ont en moyenne une vitesse horizontale plus petite que la vitesse 

moyenne du filet : u ′ i < 0. Parallèlement, les particules qui pénètrent par le haut (u′ j < 0) ont 

quant à elles une vitesse horizontale plus grande que la vitesse moyenne du filet : u ′ i > 0. Ainsi, 

dans les deux situations la contrainte de Reynolds σ ij ′ vérifie σ′ ij ≡ −ρu′ i u′ j > 0. Le même raisonnement 

s’applique lorsque la vitesse moyenne U i est décroissante suivant x j et conduit cette fois 

à σ ij ′ ≡ −ρu′ i u′ j < 0. 

Cette description phénoménologique suggère l’existence d’un frottement turbulent responsable 

d’échanges de quantité de mouvement entre les filets du mouvement moyen : des régions 

rapides vers les régions lentes. Ainsi, en 1877, Boussinesq [10] fut le premier à introduire le 

concept de viscosité tourbillonnaire ou viscosité de turbulence, il proposa d’écrire : 

σ ′ ij = µ t 

∂u i 

∂x j 

(2.62) 

où µ t > 0 s’interprète comme une viscosité de turbulence. Il s’agit là de traiter la turbulence 

comme un état d’agitation de la matière en considérant les mouvements turbulents comme des 

mouvements moléculaires, mais avec des molécules dont le libre parcours moyen serait macroscopique 

et non plus microscopique. Dans le cadre de cette approximation, le tenseur (complet) 

des contraintes de Reynolds, symétrique de trace nulle, s’exprime sous la forme : 

( 

∂ui 

−ρu i u j = µ t + ∂u j 

− 2 ) 

∂u l 

δ ij 

∂x j ∂x i 3 ∂x l 

} {{ } 

− 2 3 ρkδ ij (2.63) 

2S ij 

Le modèle de viscosité de turbulence est présenté ici car il est à la base du modèle k − ε que 

nous aller maintenant expliciter plus en détail. 

• Équations du modèle k − ε 

La question est alors de savoir comment évaluer cette nouvelle inconnue qu’est la viscosité 

de turbulence. Dans le modèle k − ε développé initialement par Launder & Jones [31], l’analyse 

dimensionnelle de l’expression de la viscosité de turbulence permet d’écrire : 

µ t = c µ ρ k2 

ε 

(2.64)


où c µ désigne une constante de modélisation, k l’énergie cinétique et ε le taux de dissipation du 

mouvement turbulent. Au moins deux équations de transport supplémentaires (suivant l’ordre du 

modèle) sont donc nécessaires afin de calculer ces dernières quantités, dans le cas d’un écoulement 

incompressible à grand nombre de Reynolds de turbulence, elles s’écrivent : 

∂ρk 

∂t + u ∂ρk 

j = 

∂x j 

∂ρε 

∂t + u ∂ρε 

j = 

∂x j 

∂ [( 

µ + µ ) ] 

t ∂k ∂u i 

− ρu i u j − ρε (2.65) 

∂x l σ k ∂x l ∂x j 

∂ [( 

µ + µ ) ] 

t ∂ε ε 

− C ε,1 

∂x l σ ε ∂x l k u ∂u i 

iu j − C ε,2 ρ ε2 

∂x j k 

(2.66) 

A noter que le terme de pression dans l’équation (2.65) est inclus artificiellement dans le terme 

de diffusion. En effet, la corrélation pression-vitesse est difficile à modéliser. 

Dans les équations (2.65) et (2.66) apparaissent les constantes de modélisation C µ , C ε,1 , C ε,2 , 

σ k et σ ε . Ces constantes ont été voulues les plus universelles possibles, elles ont été déterminées 

dans les configurations de référence suivantes : 

– C µ est calculée de manière à ce que la production turbulente soit équivalente à la dissipation 

turbulente dans la couche limite, on parle de loi logarithmique de paroi ; 

– C ε,1 est une constante de fermeture dans le terme source de l’équation de dissipation. 

Elle fait référence à l’évolution de la zone pleinement turbulente d’une couche limite et 

notamment de la déformation ou du cisaillement uniforme ; 

– C ε,2 est une constante de fermeture dans le terme puit de l’équation de dissipation. Elle 

représente la destruction du taux de dissipation (voir aussi Tab. 4.7) ; 

– σ k est le nombre de Prandtl d’énergie cinétique de turbulence, supposé en général constant, 

sa valeur a été fixée d’après des comparaisons avec l’expérience du jet-sillage ; 

– σ ε est le nombre de Prandtl de dissipation turbulente. Comme pour σ k , elle fait référence 

à l’expérience de jet-sillage. 

On regroupe dans le tableau 2.1 les valeurs standards de chacune des constantes du modèle k−ε. 

Les chapitres 4 et 5, concernant l’étude de la THI, seront l’occasion de valider l’implémentation 

de la turbulence en retrouvant la valeur de certaines de ces constantes de modélisation. 

C µ C ε,1 C ε,2 σ k σ ε 

0.09 1.44 1.92 1.00 1.30 

Table 2.1 – Valeurs des constantes de modélisation du modèle k ε 

2.2.3.3 Modèle issu de la statistique d’ordre 2 : les modèles RSTE 

Les modèles RSTE (pour Reynolds Stress Transport Equations) abandonnent l’hypothèse de 

viscosité de turbulence. L’écriture des équations de Navier-Stokes moyennées (2.61) fait apparaître 

une non-linéarité correspondant au tenseur de Reynolds u i u j . On dérive alors les équations 

de transport de ce tenseur de manière à obtenir les équations de transport des corrélations du 

second ordre : 

où : 

∂u i u j 

∂t 

+ U k 

∂u i u j 

∂x k 

= P ij + D u ij + D p ij + Dν ij + Π ij − ε ij (2.67)


P ij = − 

( 

) 

∂U j ∂U i 

u i u k + u j u k 

∂x k ∂x k 

est le terme de production par le mouvement moyen ; 

Dij u = − ∂u iu j u k 

est la corrélation triple des vitesse (diffusion) ; 

∂x k 

D p ij = − 1 ( 

∂pui 

+ ∂pu ) 

j 

est la diffusion par fluctuation de pression ; 

ρ ∂x j ∂x i 

Dij ν = ν ∂2 u i u j 

∂x k ∂x k 

est la diffusion moléculaire ; 

Π ij = p ( 

∂ui 

+ ∂u ) 

j 

ρ ∂x j ∂x i 

est le terme de corrélation pression-déformation ; 

ε ij = 

( ) 

∂ui ∂u j 

2ν 

∂x j ∂x i 

est la pseudo-dissipation. 

Ces équations mettent en jeu des termes de transport (advection et diffusion) qui disparaissent 

dans le cadre d’une THI. En revanche, dans le cadre d’écoulements confinés, ces termes 

deviennent un ensemble de sources et de puits locaux qui provoquent, soit une variation de 

l’énergie cinétique turbulente, soient des transferts intercomposantes. Lors des simulations d’écoulements 

de proche paroi, il s’agira alors de modéliser les termes de production, de corrélation 

pression-déformation et de dissipation afin de valider la simulation de la turbulence. 

En abandonnant l’hypothèse de viscosité de turbulence, les modèles RSTE permettent de 

s’affranchir d’une relation locale entre les tensions de Reynolds et l’écoulement moyen. Ils permettent 

donc de mieux prendre en compte les effets d’histoire ou encore d’anisotropie de la 

turbulence. Des modèles d’ordre supérieur, basés sur la fermeture d’équations de transport d’ordre 

égal ou supérieur à trois, sont difficilement envisageables, d’une part par le manque de 

données expérimentales sur ce type de corrélations d’ordre élevé, et d’autre part par la lourdeur 

de la démarche engagée. Les modèles RSTE constituent donc un bon intermédiaire entre les 

modèles à viscosité de turbulence et les méthodes de simulation numérique directe. 

2.2.4 Analyse corrélatoire 

C’est Taylor [60] qui étudia le premier les corrélations statistiques des fluctuations de vitesse 

en deux points distincts d’un champ turbulent. Leur emploi est un prolongement naturel de 

l’analyse corrélatoire en un point, dont on a vu l’importance, notamment avec le tenseur des 

contraintes de Reynolds −ρu i u j . 

Bien que l’utilisation de ces corrélations doubles ne soit pas aisée dans le cas général, leur 

étude en situation de turbulence homogène et isotrope prend tout son sens. En effet, des propriétés 

remarquables sont alors identifiables et nous permettent de nous doter d’éléments de 

validation supplémentaires. 

2.2.4.1 Définition des outils mathématiques 

Soient deux points P 1 ( ⃗x 1 , t) et P 2 ( ⃗x 2 , t) du domaine spatial muni d’un repère orthonormé 

(⃗i,⃗j, ⃗ k). La corrélation double spatio-temporelle de vitesse, s’exprime par : 

Q i,j (P 1 , P 2 , t 1 , t 2 ) = u i (P 1 , t 1 )u j (P 2 , t 2 ) (2.68)


et représente en fait la moyenne spatiale du produit entre u i (P 1 , t 1 ), composante sur −→ i du vecteur 

d’agitation au point P 1 à l’instant t 1 , et u j (P 2 , t 2 ), composante sur −→ j du vecteur d’agitation au 

point P 2 à l’instant t 2 . 

La moyenne d’ensemble de la variable x, notée x étant définie dans le paragraphe 2.2.2. Pour 

obtenir des quantités variant entre −1 et +1, on norme les corrélations par le produit des valeurs 

efficaces : 

u i (P 1 , t 1 )u j (P 2 , t 2 ) 

R i,j (P 1 , P 2 , t 1 , t 2 ) = 

(2.69) 

√u i (P 1 , t 1 ) 

√u 2 j (P 2 , t 2 ) 2 

Cette définition des corrélations doubles de vitesse en deux points fait apparaître une dépendance 

à huit coordonnées spatio-temporelles. Nous verrons dans le paragraphe 2.2.4.2 que sous certaines 

conditions sur l’écoulement, ce nombre peut être ramené à deux. Dans un premier temps, nous 

considérerons les composantes de vecteur vitesse d’agitation au même instant t afin de simplifier 

les écritures. 

Les études de Batchelor [4] et Hinze [22] nous incitent à distinguer les corrélations particulières 

suivantes : 

– Corrélation longitudinale : 

Q 1,1 (P 1 , P 2 , t) = u(P 1 , t) × u(P 2 , t) (2.70) 

– Corrélation transversale : 

Q 2,2 (P 1 , P 2 , t) = v(P 1 , t) × v(P 2 , t) (2.71) 

Parallèlement à l’étude des corrélations doubles de vitesse, il est intéressant de définir les 

corrélations mixtes pression vitesse en deux points. En raison du caractère scalaire de la 

pression, l’ordre du tenseur des ces corrélations est inférieur d’une unité au rang de la corrélation. 

Elles sont caractérisées par le vecteur suivant : 

P u ,i(P 1 , P 2 , t) = p(P 1 , t)u i (P 2 , t) (2.72) 

La notation utilisée ici mérite certaines précisions quant au positionnement de la virgule devant 

ou derrière l’indice de composante spatiale i. Ainsi, la virgule servira toujours à séparer, dans 

la liste des indices, ceux relatifs à des propriétés affectées au point P 1 (avant la virgule) et au 

point P 2 (après la virgule), de sorte que : 

2.2.4.2 Corrélations doubles en THI 

P u i,(P 1 , P 2 , t) = p(P 2 , t)u i (P 1 , t) (2.73) 

Compte-tenu des propriétés d’invariance géométrique par translation, rotation et symétrie 

de la turbulence homogène isotrope, Robertson [53] montre que les tenseurs de corrélations 

se mettent sous la forme des équations (2.75). En notant r le module du vecteur −−−→ 

√ 

P 1 , P 2 avec 

r = x 2 −−−→ 

i les composantes du vecteur P 1 , P 2 x i (i = 1, 2, 3), ces corrélations sont de la forme : 

P u ,i(P 1 , P 2 , t) ≡ p(P 1 , t)u i (P 2 , t) = l(r, t) × x i (2.74) 

Q i,j (P 1 , P 2 , t) ≡ u i (P 1 , t)u j (P 2 , t) = q (1) (r, t) × x i x j + q (2) (r, t) × δ ij (2.75)


où l, q (1) et q (1) sont des fonctions scalaires inconnues dépendantes de r et t. 

Les expressions classiques des coefficients de corrélations longitudinales f(r) et transversales 

g(r) sont : 

u(x)u(x + r) 

f(r, t) = R 11 (r, t) ≃ 

u ′2 (2.76) 

g(r, t) = R 22 (r, t) ≃ 

v(x)v(x + r) 

u ′2 (2.77) 

où u ′ représente l’intensité des fluctuations de l’écoulement et vérifie la relation k = 3 2 u′2 avec k 

la moyenne d’ensemble de l’énergie cinétique turbulente. Les représentations schématiques des 

fonctions f et g sont données en figure 2.1. 

f(r) 

v(x) 

g(r) 

v(x+r) 

A 

u(x) 

r 

B 

u(x+r) 

A 

r 

B 

Figure 2.1 – Corrélations longitudinales et transversales 

Il est possible d’établir les équivalences entres les composantes des tenseurs de corrélations 

et les expressions des coefficients de corrélations f et g. On utilise pour cela les équations (2.75) 

et (2.77), de manière à obtenir : 

2.2.4.3 Corrélations et incompressibilité 

q (1) (r, t) = u 

′2 

f(r, t) − g(r, t) 

r 2 (2.78) 

q (2) (r, t) = u ′2 g(r, t) (2.79) 

Si on considère désormais que les conditions d’homogénéité et d’isotropie sont couplées à 

une évolution isovolume, les conditions (2.59) impliquent que les divergences des tenseurs P u ,i et 

Q i,j sont nulles. Ces nouvelles propriétés font qu’en situation de THI isovolume, les corrélations 

pression vitesse en deux points sont nulles avec : 

P u i = 0 ∀i = 1, 2, 3 (2.80) 

En ce qui concerne les corrélations doubles de vitesse, on prouve une relation entre les fonctions 

scalaires q (1) et q (2) , en appliquant la condition d’incompressibilité (2.59) à l’expression de Q i,j 

(2.75) : 

4q (1) + r ∂q(1) 

= 1 = 0 (2.81) 

∂r r ∂r 

Ces relations, dans les cas des échelles f(r) et g(r), permettent d’exprimer les relations de 

Von-Kármán et Howarth en substituant dans l’équation (2.81) les équations (2.79) : 

∂q (2) 

g(r, t) = f(r, t) + r ∂f(r, t) 

2 ∂r 

(2.82)


2.2.4.4 Définition des échelles corrélatoires de Taylor 

La mise en place des échelles caractéristiques de la turbulence, abordée au paragraphe 1.2.1.3, 

est complétée par une approche basée sur l’analyse corrélatoire en deux points, dans le but 

d’établir des échelles supplémentaires, à la fois représentatives des petites et des grandes structures. 

Ainsi, on présente ainsi les deux échelles de Taylor issues du traitement statistique. 

• Micro-échelle de Taylor 

En multipliant le développement en série de Taylor de la fluctuation longitudinale de vitesse 

u(x+r, t) membre à membre avec u(x), et sous les conditions d’homogénéité et d’isotropie, Chassaing 

[13] rappelle que les fonctions de corrélations f(r, t) et g(r, t) possèdent des comportements 

à l’origine de la forme : 

f(r, t) ≃ 1 + r2 2 

avec : ( 

∂ 2 ) 

f(r, t) 

∂r 2 

r=0 

( 

∂ 2 ) 

f(r, t) 

∂r 2 

r=0 

= − 1 ( ∂u(r, t) 

u 2 (t) ∂r 

( 

+ O r 4) (2.83) 

) 2 

r=0 

g(r, t) possédant une expression sensiblement analogue à celle de f(r, t). 

(2.84) 

On définit alors la micro-échelle longitudinale, plus communément appelée micro-échelle de 

Taylor) λ T (t) à partir de la relation (2.84) en posant : 

( 

1 ∂ 2 ) 

λ 2 T (t) = − f(r, t) 

∂r 2 

r=0 

≡ 1 ( ∂u(r) 

u ′ 2 (t) ∂r 

) 2 

r=0 

(2.85) 

Les expressions (2.83) et (2.84) montrent que lorsque r tend vers 0, f(r, t) admet une courbe 

osculatrice 1 qui s’avère être une parabole d’équation : 

y = 1 − r2 

λ 2 T 

(2.86) 

La micro-échelle de Taylor λ T représente donc la distance du point d’intersection de cette 

parabole avec l’axe des abscisses (Fig. 2.2). Le fait que la courbure à l’origine de la fonction 

f(r, t) soit sous la dépendance des petits tourbillons, explique le qualificatif de “micro”de cette 

échelle. 

De la même manière, la fonction g(r, t) est utilisée pour définir la micro-échelle transversale 

de Taylor λ g (t) : 

( 

1 ∂ 2 ) 

λ 2 g(t) = − g(r, t) 

∂r 2 (2.87) 

On déduit de la relation de Von-Kármán et Howarth (2.82) que ces deux échelles vérifient la 

relation : 

λ T (t) = √ 2λ g (t) (2.88) 

1. En géométrie différentielle, la notion de contact approfondit l’étude de la tangence, en déterminant des cas 

particuliers pour lesquels deux courbes s’épousent plus fortement au voisinage du point de contact. La tangence 

est un contact d’ordre au moins 1 ; quand le contact est d’ordre au moins 2, on parle de courbes osculatrices, puis 

sur-osculatrices pour un contact d’ordre supérieur à 2. 

r=0


Figure 2.2 – Allure des corrélations longitudinale et transversale en THI 

• Macro-échelle de Taylor 

Contrairement à la micro-échelle de Taylor qui rend compte du comportement des corrélations 

doubles de vitesse à l’origine (r → 0), la macro-échelle représente le comportement à l’infini des 

fonctions f et g. On définit ainsi les échelles intégrales (ou macro-échelles de Taylor), longitudinale 

et transversale respectivement Λ T et Λ g grâce aux relations suivantes et sous réserve de 

convergence des intégrales : 

Λ T (t) = 

Λ g (t) = 

∫ ∞ 

O 

∫ ∞ 

O 

f(r, t)dr (2.89) 

g(r, t)dr (2.90) 

Géométriquement, elles représentent l’aire sous les courbes des fonctions de corrélations doubles 

de vitesse f et g (Fig. 2.2). Comme pour les micro-échelles, les échelles intégrales bâties sur ces 

fonctions vérifient une relation de proportionnalité : 


Λ T (t) = 2Λ g (t) (2.91) 

L’aspect mathématique de ce travail repose sur l’élaboration des équations de la mécanique 

des fluides qui vont être résolues de manière directe par le code numérique. L’objectif étant 

de simuler des écoulements compressibles et réactionnels en 3 dimensions, nous avons utilisé les 

équations de conservation de Navier-Stokes, auxquelles nous avons adjoint les équations relatives 

à la cinétique chimique et aux propriétés des coefficients de transports. Le système d’équations 

finalement résolu est : 

∂ρC α 

+ ∂ρu ( ) 

jC α 1 ∂ ∂C α 

= 

ρD α + ˙ω α 

∂t ∂x j ReSc ∂x j ∂x j 

∂ρu i 

∂t 

∂ρE 

∂t 

+ ∂ρu ju i 

= − 1 ∂p 

∂x j Ma 2 + 1 ∂x i Re 

+ ∂ρu jE 

= − ∂pu i 

+ Ma2 

∂x j ∂x i Re 

+ 

1 

ReSc 

( 

∂ 

µ 

∂x j 

( 

∂ui 

∂x j 

+ ∂u j 

∂ 

(τ ij u i ) + 1 

∂x j ReP r 

∂ 

∂x i 

( ne ∑ 

α=1 

ρD α h α 

∂C α 

∂x i 

) 

+ F j u j 

− 2 )) 

∂u l 

δ ij + 

∂x i 3 ∂x ¯F i 

l 

( 

∂ 

λ ∂T ) 

∂x i ∂x i


Malgré l’utilisation d’une résolution numérique directe, le rappel de notions sur l’approche 

statistique de la turbulence a été nécessaire en raison de l’usage complémentaire de modèles 

classiques de la turbulence (modèle k − ε et modèle RSTE) et de l’analyse corrélatoire qui sera 

faite par la suite. L’ensemble de outils de statistique présenté ici sera aussi très pratique pour 

traiter et interpréter l’importante quantité de résultats générés par le code.

Chapitre 3 

Présentation du code EVEREST 

Sommaire 

3.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.1.1 Environnement de développement . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.1.2 État du code au démarrage de la thèse . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.1.3 Rappel des objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

3.1.2 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

3.1.2.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

3.1.2.2 Boucle d’intégration en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

3.1.2.3 La sortie des fichiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

3.1.2.4 Le traitement des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

3.1.3 Informations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

3.1.3.1 Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

3.1.3.2 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

3.2 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.2.1 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.2.1.1 Schéma de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.2.1.2 Définition du pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

3.2.1.3 Critère de stabilité temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

3.2.2 Discrétisation spatiale des schémas compacts . . . . . . . . . . . . . . . 75 

3.2.2.1 Les schémas compacts dans la littérature . . . . . . . . . . . . 75 

3.2.2.2 Définition des dérivées premières et secondes . . . . . . . . . . 76 

3.2.2.3 Caractérisation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . 78 

3.2.2.4 Transformation conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

3.2.2.5 Critères de résolution spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

3.3 Génération d’un champ turbulent de vitesse . . . . . . . . . . . . . . 81 

3.3.1 Considérations spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

3.3.1.1 Spectre énergétique des fluctuations spatiales . . . . . . . . . . 82 

3.3.1.2 Maintien de la cohérence entre espace continu et espace discrétisé 82 

3.3.1.3 Définition des champs de vitesse spectrale . . . . . . . . . . . . 83 

3.3.2 Passage des fluctuations spectrales dans le domaine physique . . . . . . 84 

65

66 Chapitre 3. Présentation du code EVEREST 

3.3.2.1 Présentation de la librairie FFTW . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

3.3.2.2 Transformée de Fourier des champs de vitesse . . . . . . . . . 85 

3.3.2.3 Efficacité de la librairie FFTW . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

3.3.2.4 Visualisation des champs de vitesse initiaux . . . . . . . . . . . 86 

3.3.3 Critère de résolution spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

3.3.3.1 Expression de la pulsation modifiée . . . . . . . . . . . . . . . 86 

3.3.3.2 Efficacité de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

3.4 Parallélisation du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

3.4.1.1 Découpage du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

3.4.1.2 Parallélisation du schéma compact . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

3.4.2 Efficacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

3.4.2.1 Présentation du calculateur utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

3.4.2.2 Temps de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

3.4.2.3 Influence du nombre de processeurs utilisés . . . . . . . . . . . 92 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

Dans ce chapitre, nous dressons une liste des méthodes numériques explicitées par le code 

EVEREST 1 . Après une présentation générale du code, nous traiterons des méthodes de discrétisation 

implémentées. Nous aborderons ensuite la démarche pour générer un champ turbulent 

de vitesse, avant d’évoquer le travail effectué pour paralléliser et améliorer les performances de 

l’outil numérique. 

1. Évaluation des Effets de la Rugosité sur les Écoulements et Simulation de la Turbulence

Chapitre 3. Présentation du code EVEREST 67 

3.1 Présentation générale 

3.1.1 Contexte 

3.1.1.1 Environnement de développement 

Dans sa volonté de parfaire sa connaissance dans le domaine de la rentrée atmosphérique, le 

CEA a engagé des recherches sur plusieurs thématiques s’y rapportant, et parmi elles, la modélisation 

des phénomènes de paroi des boucliers thermiques. Entamé depuis plusieurs dizaines 

d’années, ce sujet a fait l’objet d’une première thèse en 2007 [64]. Réalisée par M. Velghe, cette 

thèse fut à l’origine de la mise en place de nouvelles fonctionnalités que nous seront amenés à 

décrire dans ce chapitre. 

Bénéficiant à la fois de la collaboration privilégiée avec le département aérodynamique, énergétique 

et propulsion de l’ISAE et des équipes d’ingénieurs et informaticiens du CEA, ce 

travail jouit d’une assise théorique certaine et dispose de moyens et de compétences reconnus 

dans le monde de la recherche appliquée. Récemment, le CEA s’est doté d’un moyen de calcul 

de très haute performance (TERA-100) qui justifie d’autant plus l’utilisation de la simulation 

numérique directe pour mener à bien cette étude (cf. 3.4.2.1). 

3.1.1.2 État du code au démarrage de la thèse 

Au début de sa thèse, Velghe disposait d’un code séquentiel basé sur l’utilisation de schémas 

compacts pour le calcul des dérivées spatiales et un schéma d’intégration en temps de type 

Runge-Kutta. L’essentiel de son travail a été d’adapter numériquement le code à la résolution des 

phénomènes de paroi. Pour cela, il a d’abord implémenté et validé une transformation conforme 

(cf. 3.2.2.4), afin de simuler correctement la récession de la paroi du bouclier thermique. Dans un 

second temps, il a amélioré les performances du code en le faisant migrer d’une version séquentielle 

à une version parallèle (cf. 3.4). Une fois ces outils numériques mis en place, il a effectué la 

validation du code sur des cas tests ayant permis de garantir ces nouvelles fonctionnalités. Voici 

une liste des différentes expériences numériques réalisées : 

• Le tourbillon de Green-Taylor est une solution exacte des équations de Navier-Stokes, 

pour un écoulement isovolume, dans un espace bidimensionnel périodique. La validation consiste 

à recaler les profils de vitesse simulés afin qu’ils correspondent aux expressions analytiques : 

u = sin(x) cos(y) exp(−2νt) 

v = − cos(x) sin(y) exp(−2νt) 

(3.1) 

Les résultats obtenus confirment la bonne résolution du modèle et permettent d’apprécier la 

précision du schéma compact et son caractère très peu dissipatif au cours du temps. Nous 

reviendrons sur ces schémas numériques dans le paragraphe 3.2.2.4. 

• Les premier et second problèmes de Stokes ont permis de vérifier la bonne implémentation 

des conditions aux limites de paroi. Là encore, il s’agit de retrouver les évolutions 

analytiques des champs de vitesse. 

• La convection de deux espèces chimiques est un cas-test utile pour garantir les 

conditions aux limites développées par Poinsot et Lele [48], dans le cadre d’une condition de 

sortie subsonique non réfléchissante. Malgré les bons résultats, Velghe détecta tout de même 

l’existence d’une onde rentrante (dans ce cas relative à la fraction massique) alors que l’espèce


chimique commençait à sortir du domaine de calcul. La simulation des écoulements turbulents 

visqueux compressibles sera cependant en mesure de dissiper cette perturbation, la rendant de 

fait moins pénalisante. 

• La simulation d’espèces chimiques réactives dans un fluide au repos rend compte de 

la capacité du code à simuler les réactions chimiques. En l’occurrence, pour des réactions telles 

que la décomposition du dioxygène et la réaction de combustion, les simulations confirment la 

bonne représentation du terme de production/destruction chimique ˙ω α dans les équations de 

Navier-Stokes (2.15). 

• La caractérisation des instabilités de Kelvin-Helmholtz fut l’occasion de valider l’aspect 

multi-espèces en présence d’un écoulement de Poiseuille perturbé. Cette vérification fut l’une 

des plus contraignantes à réaliser compte-tenu du temps de calcul nécessaire, plus de 400 heures, 

pour un temps de simulation de 1 seconde. 

À l’issue de ces vérifications, des simulations d’écoulements en présence de paroi ablatable ont 

été entreprises, révélant l’influence des caractéristiques de la turbulence sur la hauteur de rugosité 

et l’état de surface de la paroi. Néanmoins, à défaut d’une méthode de forçage consistante, les 

hauteurs de rugosité atteintes n’excédaient pas 1.4 10 −10 m et ce pour des temps de calcul 

d’environ 420h. À défaut de réalisme physique, l’interprétation des résultats fut limitée ce qui 

justifia la réalisation de cette nouvelle thèse. 

3.1.1.3 Rappel des objectifs 

Compte tenu des travaux antérieurs qui viennent d’être rappelés, l’accès à des échelles d’ordre 

microscopique s’avère être d’une importance cruciale considérant la taille des rugosités apparues 

lors d’essais en ablation ; en effet, concernant la rentrée atmosphérique des véhicules spatiaux 

hypersoniques, cette taille est du même ordre de grandeur que l’échelle de Kolmogorov. À la 

vue des résultats de Velghe, ces rugosités sont loin d’être faciles à caractériser tant que la 

représentativité physique du code n’est pas assurée. C’est pourquoi, il est primordial de garantir 

le réalisme physique des écoulements simulés afin que l’interprétation des données issues du 

calcul prenne tout son sens. 

Dans cette optique, le code EVEREST doit être capable de retranscrire le plus fidèlement 

possible ce qui se passe aux plus petites échelles. Nous verrons que la condition sur le raffinement 

du maillage nécessaire à une telle modélisation requiert de très grandes ressources informatiques 

(mémoire, temps CPU et tailles des données). La réalisation des objectifs précédents s’accompagnera 

donc de la réalisation d’objectifs secondaires qui porteront sur l’optimisation des conditions 

de calcul. 

3.1.2 Principe de fonctionnement 

L’exploitation du code EVEREST se décompose en 4 parties : l’initialisation, la boucle 

d’intégration en temps, la sortie des fichiers et le traitement statistique des résultats. 

3.1.2.1 Initialisation 

La diversité des écoulements abordés en situation de milieux réactifs multi-espèces, requiert 

une base de données conséquente. Dès lors, la phase d’initialisation consiste en la lecture des 

deux fichiers de données suivants :


• La base de données principale 

Ce fichier d’entrée permet la définition des paramètres généraux du code. Il définit notamment : 

– le type d’écoulements simulés (régime laminaire ou turbulent, forme initiale du champ de 

vitesse), 

– les paramètres de calcul (pas de temps conductif et diffusif, durée de simulation), 

– le dimensionnement du domaine de calcul (taille et définition du maillage), 

– les types de coefficients de transport utilisés, pour un gaz mono-espèce, λ et µ, et la valeur 

initiale des nombres adimensionnels (Re ac , P e , L e et Sc), 

– les paramètres de la cinétique chimique (A f , B f , Θ f , A b , B b , Θ b ), 

– les données sur l’écoulement moyen initial (U 0 , P 0 et T 0 ) et celles relatives à l’initialisation 

de la turbulence (u ′ , κ e , κ d ), 

– les caractéristiques du forçage éventuellement utilisé (nature, intensité, fréquence de forçage 

et nombre d’onde de forçage κ f ), 

– la nature et la fréquence de sortie des résultats, 

– les conditions aux limites. 

• La base de données chimiques 

Elle contient les informations relatives à 64 espèces, parmi lesquelles figurent par exemple N 2 , 

O 2 , NO, N, C, CO, CO 2 , F , Na + , OH, H 2 O, C 3 , Air, etc. Plus précisément, les caractéristiques 

réactionnelles des espèces sont répertoriées avec notamment : 

– les constantes chimiques, 

– les masses molaires, les densités, les enthalpies de formation, 

– les coefficients de transport D α , λ α et µ α , 

– les indicateurs atomiques et d’ionisation, 

– les propriétés quantiques relatives aux niveaux d’énergie d’excitation. 

Ce bref aperçu des éléments paramétrables dans nos simulations prouve l’aptitude du code 

EVEREST à simuler un grand nombre de configurations d’écoulements réactionnels. 

3.1.2.2 Boucle d’intégration en temps 

La boucle d’intégration est le cœur du code, à chaque pas de temps, elle s’effectue grâce à 

un schéma de Runge-Kutta d’ordre 4 et se décompose en cinq étapes : 

1. les coefficients métriques sont calculés pour la transformation conforme, 

2. les conditions aux limites sont évaluées afin d’estimer les dérivées spatiales, 

3. les équations de la mécanique des fluides sont résolues de manière directe grâce aux schémas 

compacts, 

4. le forçage de la turbulence est appliqué le cas échéant,


5. l’extraction des paramètres spectraux de la turbulence est menée. 

Il est important de noter que les étapes 4 et 5 de la boucle en temps utilisent la librairie 

FFTW et nécessitent, à ce titre, un retour à une simulation séquentielle et non plus parallèle. 

Compte-tenu de la rapidité de cette librairie (cf. 3.3.2.3), cela aura très peu d’incidence sur 

l’efficacité numérique de ces étapes. 

3.1.2.3 La sortie des fichiers 

Une fois la boucle d’intégration en temps achevée, i.e. le critère d’arrêt de résolution atteint, 

différentes façons d’extraire les résultats sont utilisées suivant la nature même de ceux-ci. Nous 

distinguons alors deux catégories de fichiers : les fichiers de suivi temporel des paramètres globaux 

et ceux répertoriant les valeurs des paramètres en chaque point du maillage. 

• Les fichiers de suivi temporel 

Ces fichiers rendant compte de l’évolution temporelle des données globales de l’écoulement. 

Ainsi à chaque pas de temps, l’ensemble des paramètres présents dans le tableau 3.1 est extrait du 

calcul et écrit dans les fichiers de sortie. Ces derniers ne nécessitent pas de traitement statistique 

supplémentaire car la moyenne spatiale est calculée au fur et à mesure des itérations. 

Catégorie 

Paramètres de la THI 

Tensions de Reynolds et paramètres d’(an)isotropie 

Échelles de turbulence 

Forçage de la turbulence 

Dérivées spatiales 

Corrélations 

Paramètres extraits 

∀(i, j) ∈ 1, 2, 3 

k, ε, ∇.u, S k , T k , Re T 

u 2 , v 2 , w 2 , uv, uw, vw 

η, λ T , L ii , l T 

k inj , κ f 

∂u i 

∂x j 

ε ii , Π ii , T u i , P u i 

Table 3.1 – Contenance des fichiers de sortie de suivi temporel 

• Les fichiers stockant l’ensemble des données 

Ces fichiers sont les plus volumineux car ils répertorient toutes les valeurs de tous les paramètres 

de l’écoulement, et ce, en chaque point du maillage. Ils sont d’autant plus volumineux que le 

maillage sera raffiné. Trois types de fichiers sont ainsi extraits de manière non formatée (langage 

binaire) afin de diminuer l’espace disque nécessaire. Le premier type stockera les valeurs instantanées 

(valeurs brutes) des paramètres en chaque point, le second sera réservé aux moyennes 

temporelles des ces paramètres, tandis que le dernier type correspondra aux fichiers de sauvegarde, 

nécessaires à d’éventuelles reprises ultérieures du calcul. Les données disponibles dans 

chacun de ces fichiers sont regroupées dans le tableau 3.2. 

Dans l’optique d’améliorer les performances du code, nous avons parallélisé l’écriture de 

ces fichiers. Du coup, ce n’est pas trois fichiers que nous devons traités mais bien 3 × n procs , 

où n procs est le nombre de processeurs engagés. La somme considérable de fichiers de sortie, 

nous a naturellement poussé à développer un module de traitement des résultats non formatés 

mentionnés dans le tableau 3.1.


Nature du fichier de sortie 

Valeurs instantanées 

Moyennes temporelles 

Données pour la reprise 

Paramètres disponibles 

u, v, w, P , T , 

ρ, µ, (C i ) i=1,ne , 

ε 11 , ε 22 , ε 33 , 

Π 11 , Π 22 , Π 33 

∂u i 

∀(i, j) ∈ 1, 2, 3 

∂x j 

〈u〉, 〈v〉, 〈w〉, 〈P 〉, 〈T 〉, 

〈ρ〉, 〈µ〉, (〈C i 〉) i=1,ne 

〈u i u j 〉, ∀(i, j) ∈ 1, 2, 3, i ≠ j 

〈P 2 〉, 〈P u〉, 〈P v〉, 〈P w〉 

〈T 2 〉, 〈T u〉, 〈T v〉, 〈T w〉 

〈ε 11 〉, 〈ε 22 〉, 〈ε 33 〉, 

〈 

〈Π 

〉 11 〉, 〈Π 22 〉, 〈Π 33 〉 

∂ui 

, ∀(i, j) ∈ 1, 2, 3 

∂x j 

x, y, z, Uc i , i = 1, n eqt 

Table 3.2 – Contenance des fichiers des données non formatées 

3.1.2.4 Le traitement des résultats 

Ce module de traitement des fichiers de sortie ne fait pas partie du code en lui-même. Absent 

du code à l’origine, ce module est primordial afin de traiter statistiquement les résultats obtenus. 

En d’autres termes, nous utilisons cet outil afin de réaliser : 

– les moyennes d’ensembles des fichiers temporels, 

– la représentation graphique 3D des champs des paramètres (vitesse, vorticité, pression, 

température,...), 

– les moyennes par plan à la paroi des moyennes d’ensemble, 

– le suivi et l’analyse des surfaces récessives. 

Ainsi, une fois plusieurs réalisations d’un même écoulement accomplies, le module de posttraitement 

nous permet, suivant l’étude envisagée, d’extraire l’ensemble des résultats relatifs 

à la dite configuration. Par exemple, lors de l’étude d’écoulements en présence de surfaces de 

blocage, il nous permettra de tracer les moyennes par plans des tensions de Reynolds. 

La figure 3.1 représente un schéma récapitulatif du mode de fonctionnement du code EVER- 

EST tel qu’il résulte des modifications apportées au cours de cette thèse. 

3.1.3 Informations générales 

3.1.3.1 Dimensionnement 

L’utilisation de la DNS exige que la configuration géométrique étudiée soit simple. C’est 

pourquoi, le domaine de calcul est un parallélépipède dont les dimensions sont paramétrables 

par l’utilisateur (Fig. 3.2). 

Pour capturer l’éventail des phénomènes physiques mis en jeu, il est nécessaire de représen-


Reprise 

Initialisation 

Lecture du fichier de donnée 

Chargement de la base de données chimiques 

Lecture des réactions chimiques 

Communication des données d'entrée 

Définition du maillage 

Initialisation des grandeurs physiques et du 

spectre de la turbulence 

Boucle d'intégration en temps 

Méthode Runge-Kutta d'ordre 4 

Communication des données d'entrée 

Évaluation de la transformation conforme 

Calcul des coefficients métriques 

Évaluation des conditions aux limites 

Conditions de périodicité 

Zones de blocage pariétal 

Paroi ablatable 

Résolution des équations de Navier-Stokes 

Évaluation des dérivées et des coefficients de 

transport 

Parties diffusive et convective 

Terme source (production chimique) 

Évaluation des moyennes spatiales des 

paramètres de l'écoulement 

Forçage spectral de la 

turbulence 

Extraction des 

propriétés spectrales 

Écriture des fichiers de sortie 

(fichiers non formatés des résultats et fichiers de sauvegarde) 

Traitement statistique des résultats 

Partie parallèle Partie 

Partie parallèle 

Partie 

séquentielle 

séquentielle 

Parties du code créées ou modifiées durant cette thèse 

Figure 3.1 – Schéma directeur du code Everest


Figure 3.2 – Domaine de calcul du code Everest 

ter toutes les échelles caractéristiques de la turbulence, de l’échelle intégrale à l’échelle de Kolmogorov. 

Les plus grandes structures de l’écoulement, les tourbillons porteurs d’énergie, sont 

de l’ordre de l’échelle de longueur intégrale définie par la relation (1.9), elle-même de l’ordre de 

l e . Selon Eswaran et Pope [18], il faut que l’échelle intégrale reste suffisamment petite devant 

les dimensions du domaine de calcul afin de justifier l’utilisation de conditions aux limites périodiques. 

En notant L dom la taille du domaine de calcul, les auteurs affirment que la condition 

(3.2) suivante doit être vérifiée tout au long du calcul. 

l e ≤ L dom 

4 

(3.2) 

Dans le cadre d’étude de la décroissance énergétique d’une turbulence, il faudra rester vigilant 

quant à l’évolution de cette condition, étant donné que l’échelle intégrale l e augmente au cours 

du temps. Il s’agira donc de stopper les simulations dans l’éventualité où le critère de Eswaran et 

Pope ne serait plus vérifié. D’autres critères de résolution seront adoptés au cours de ce travail, 

nous y reviendrons au fur et à mesure de ce chapitre en abordant plus en détail les critères de 

résolution spatiale, temporelle et spectrale (cf. 3.2). 

3.1.3.2 Maillage 

Le nombre de nœuds dans les directions x, y et z sont respectivement l f , m f et n f (Fig. 3.3). 

Deux mailles supplémentaires sont ajoutées dans chaque direction de discrétisation de manière 

à fixer les conditions aux limites sur ces mailles fictives. Ainsi, tous les tableaux implémentés 

dans le code sont de dimension : [0 : l f + 1; 0 : m f + 1; 0 : n f + 1]. Le nombre de nœuds est donc 

égal à (l f + 2) × (m f + 2) × (n f + 2). À chaque face du parallélépipède peut correspondre une 

condition à la limite différente, le paragraphe 3.2.2.3 dresse un inventaire des conditions aux 

limites intégrées dans le code. 

Suivant les configurations d’écoulements étudiées, il sera intéressant de pouvoir augmenter le 

raffinement dans certaines zones du domaine de calcul, que ce soit aux abords de la paroi ou au 

centre du domaine. Ainsi le code dispose de plusieurs fonctions de distribution du maillage aptes 

à préciser les résultats dans les zones du domaine qui nous intéressent. La figure 3.4 regroupe les 

fonctions utilisées pour la raffinement suivant l’axe y ainsi que leur représentation graphique.


Figure 3.3 – Maillage du domaine de simulation 

Expression de la coordonnée y 

Visualisation des fonctions 

y M1 = m m f ( ( )) 

y M2 = tan α 2m 

m f 

− tan (−α) 

tan(α) ( ( − tan(−α) )) 

y M3 = tanh m−(mf +1) 

α 

2 

( 

( 

tan 

y M4 = exp (αm) 

( ( 

α m − m )) 

f +1 3 ( 

2 − 

y M5 = 

( ) 3 

2 

α m f +1 

2 

α m f +1 

2 

) 

− tan 

( 

− tanh 

α m f +1 

2 

−α m f +1 

2 

) 3 

−α m ) 

f +1 

2 

) 

Figure 3.4 – Fonctions de distribution du raffinement 

3.2 Discrétisation 

Ce paragraphe dresse une description détaillée des différentes méthodes de discrétisation 

utilisées dans le code. 

3.2.1 Discrétisation temporelle 

3.2.1.1 Schéma de Runge-Kutta 

Les méthodes de type Runge-Kutta possèdent en général une précision suffisante et offrent des 

limites de stabilité supérieures à d’autres méthodes. Elles sont extrêmement peu dissipatives, 

faciles à mettre en œuvre mais demandent un temps de calcul important. Le schéma RK4 

est retenu pour intégrer l’équation différentielle ∂x 

∂t = F (x, t). Ici, x est de dimension n e + 4 

(x = ((ρC α ) α=1..ne , ρu, ρv, ρw, ρE)). Cette méthode nécessite 4 étapes pour intégrer x : 

⎧ 

k 1 = F (x i , t i ) 

⎪⎨ k 2 = F (x i + ∆t 

2 k 1, t i + ∆t 

2 ) 

k 3 = F (x i + ∆t 

2 k 2, t i + ∆t 

2 ) 

k 4 = F (x i + ∆tk 3 , t i + ∆t) 

⎪⎩ 

x i+1 = x i + ∆t 

6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )


3.2.1.2 Définition du pas de temps 

La structure totalement explicite de l’algorithme, sa grande précision (6 ème ordre en espace, 

4 ème ordre en temps) et la dissipation numérique très faible qui en résulte, conduisent à limiter 

le pas de temps pour garantir la stabilité. Ce dernier est déterminé comme étant le minimum 

des pas de temps convectif et diffusif : 

- Le pas de temps convectif est relatif au temps nécessaire à l’onde pour parcourir la distance 

d’une maille à la vitesse u+c. C’est la (célèbre) condition de Courant-Friedrichs-Lewy [52] 

ou CFL : 

( ) ∆x 

∆t < CF L × min 

| −→ (3.3) 

u | + c 

où ∆x est la taille de la maille. 

- Le pas de temps diffusif est imposé par un critère de type Fourier. Il correspond au temps 

nécessaire à la diffusion pour s’effectuer sur la distance entre deux nœuds : 

( ) 

∆x 

2 

∆t < F o × min 

(3.4) 

1 µ 

Re ρ 

Avec ∆x la taille de la maille, ∆t le pas de temps et c la vitesse du son. 

3.2.1.3 Critère de stabilité temporelle 

De grands nombres de Courant conduisent à des pas de temps élevés et permettent une durée 

de simulation plus courte pour un pas de temps de restitution égal. Néanmoins, la stabilité 

numérique du code devant être garantie, le pas de temps du calcul doit être limité. Il s’agit 

donc d’optimiser le compromis entre, d’une part, la stabilité et la précision de la simulation et, 

d’autre part, le temps de calcul que l’on cherche à minimiser. Avec les schémas explicites, des 

instabilités peuvent apparaître lorsque la condition CFL dépasse une valeur critique qui est de 

l’ordre de l’unité. En deçà, les erreurs dues à la discrétisation temporelle sont proportionnelles 

à CFL 2 . Pour nos simulations, nous retenons donc les critères suivants : 

3.2.2 Discrétisation spatiale des schémas compacts 

3.2.2.1 Les schémas compacts dans la littérature 

F o = 0.1 (3.5) 

CF L ∈ [0.1, 0.6] (3.6) 

Le code de simulation numérique directe utilise un schéma implicite aux différences finies. Ce 

schéma appartient à l’une des familles de schémas compacts d’ordre élevé proposé par Lele [15]. 

Les premiers travaux sur cette discrétisation ont été complétés par Hirsch [23] et Adam [1]. Leur 

précision est comparable à celle atteinte par des codes spectraux (qui sont d’ordre infini), avec 

une dissipation numérique très faible, voire nulle, sur une certaine bande de longueurs d’onde. 

Ainsi, ils capturent une large plage de nombres d’onde en offrant une plus grande liberté sur les 

conditions aux limites et la géométrie. Depuis cet article, les schémas de Padé ont fait l’objet de 

nombreuses publications. 

Parmi les schémas compacts, on distingue les schémas centrés et les schémas décentrés. 

Les premiers sont intéressants, car nonobstant les erreurs de dispersion qu’ils induisent, ils ne


génèrent aucune erreur de dissipation numérique. Ils sont cependant moins robustes et souvent 

couplés à une procédure de filtrage pour stabiliser les simulations et réduire les erreurs de 

repliement. Les seconds, quant à eux, engendrent une dissipation numérique apte à contrôler 

ces erreurs d’aliasing. À ce propos, Park [45] montre par une analyse dynamique de l’erreur de 

discrétisation, que l’erreur d’aliasing diminue avec la dissipation numérique. Il montre également 

l’existence d’un taux de dissipation optimal qui minimise l’erreur de discrétisation lors de l’utilisation 

d’un schéma décentré. La forme du schéma aux bords est souvent dictée par le type de 

condition à la limite. Pour résumer, un schéma centré sera utilisé dans le cas périodique et un 

schéma décentré aux bords en présence d’une paroi. 

3.2.2.2 Définition des dérivées premières et secondes 

• Dérivée première 

Les schémas compacts sont basés sur une approximation de la dérivée d’une fonction f par une 

combinaison linéaire de ses valeurs f i et celles de ses dérivées f i ′ sur les nœuds i de la grille. 

βf ′ i−2 + αf ′ i−1 + f ′ i + αf ′ i+1 + βf ′ i+2 = c f i+3 − f i−3 

6h 

+ b f i+2 − f i−2 

4h 

+ a f i+1 − f i−1 

2h 

Des relations entres les coefficients a, b, c, α et β peuvent être établies par comparaison avec les 

coefficients d’un développement de la dérivée en série de Taylor. En fonction de l’ordre formel de 

l’erreur de troncature, on obtient des relations à vérifier pour les paramètres a, b, c, α et β. Dans 

son article, Lele propose une discussion approfondie des familles formées par ces paramètres. La 

relation (3.7) conduit à un système d’équations linéaires à résoudre selon l’ordre de précision : 

(3.7) 

a + b + c = 1 + 2α + 2β ordre 2 (3.8) 

a + 2 2 b + 3 2 c = 2 3! ( ) 

α + 2 2 β 

2! 

ordre 4 (3.9) 

a + 2 4 b + 3 4 c = 2 5! 

4! 

( ) 

α + 2 4 β 

ordre 6 (3.10) 

Le nombre de paramètres libres dépend de l’ordre du schéma utilisé : on aura ainsi quatre 

paramètres libres à l’ordre 2, trois à l’ordre 4, et deux à l’ordre 6. Le choix de ces paramètres 

libres est arbitraire. À l’ordre 6, on exprime les coefficients a, b et c en fonction des valeurs 

choisies pour α et β grâce aux équations suivantes : 

a = 1 (9 + α − 20β) 

6 

b = 1 (−9 + 32α + 62β) 

15 

c = 1 (1 − 3α + 12β) 

10 

Pour un nombre fini de nœuds, seules les conditions aux limites périodiques permettent d’établir 

un système complet avec des schémas centrés de la forme ci-dessus. Dans le cas général, i.e. avec 

des conditions aux limites arbitraires, des relations supplémentaires sont nécessaires pour la 

discrétisation des dérivées au voisinage du bord. Ce sont les schémas décentrés décrits par Lele : 

f ′ 1 + αf ′ 2 = 1 h (af 1 + bf 2 + cf 3 + df 4 ) (3.11) 

Dans ce cas non homogène, le système est résolu grâce à un algorithme de Thomas pour un coût 

en O(N). En configuration périodique, le système devient cyclique.


• Dérivée seconde 

Par analogie avec la dérivée première, on introduit une discrétisation de la dérivée seconde, qui 

suivant le même principe, prend la forme suivante : 

βf ′′ 

i−2+αf ′′ 

i−1+f ′′ 

i +αf ′′ 

i+1+βf ′′ 

i+2 = c f i+3 − 2f i + f i−3 

9h 2 

les relations entres les coefficients a, b, c, α et β étant : 

+b f i+2 − 2f i + f i−2 

4h 2 +a f i+1 − 2f i + f i−1 

h 2 (3.12) 

a + b + c = 1 + 2α + 2β ordre 2 (3.13) 

a + 2 2 b + 3 2 c = 2 4! ( ) 

α + 2 2 β 

2! 

ordre 4 (3.14) 

a + 2 4 b + 3 4 c = 2 6! 

4! 

( ) 

α + 2 4 β 

a + b + c = 1 + 2α + 2β ordre 2 

a + 2 2 b + 3 2 c = 2 4! ( α + 2 2 β ) ordre 4 

2! 

a + 2 4 b + 3 4 c = 2 6! ( α + 2 4 β ) ordre 6 

4! 

ordre 6 (3.15) 

Comme précédemment, l’ordre du schéma de dérivation nous donne le nombre de paramètres 

libres. La dérivée seconde étant précise à l’ordre 6, on choisit arbitrairement α et β. Les valeurs 

de a, b et c se déduisent alors des relations : 

a = 1 (6 − 9α − 12β) 

4 

b = 1 (−3 + 24α − 6β) 

5 

c = 1 (2 − 11α + 124β) 

20 

Il est également nécessaire de disposer de schémas décentrés pour les nœuds sur les bords : 

f ′′ 

1 + αf ′′ 

2 = 1 h 2 (af 1 + bf 2 + cf 3 + df 4 + ef 5 ) (3.16) 

Pour les schémas (3.7)/(3.11) et (3.12)/(3.16), Lele a démontré que l’ordre formel de l’erreur 

ne diminue pas si l’ordre du schéma aux bords n’est pas inférieur de plus de deux ordres à 

celui du schéma centré intérieur. Cependant, il est difficile d’atteindre des ordres plus élevés que 

le troisième ou quatrième ordre pour les schémas aux bords. Avec les schémas (3.7) et (3.12), 

seul un schéma du quatrième ordre peut être utilisé pour les nœuds voisins du bord. Ainsi, la 

configuration retenue est un schéma tridiagonal (l’utilisation d’un schéma pentadiagonal alourdit 

considérablement le calcul) du 6 ème ordre à l’intérieur, un schéma du 4 ème ordre sur les nœuds 

voisins du bord et un schéma du 3 ème ordre sur les bords. Les valeurs des paramètres a, b, c, α 

et β choisies dans le cas des schémas centrés (nœuds intérieurs) sont : 

Les discrétisations retenues sont donc : 

À chaque discrétisation des dérivés spatiales, une matrice tridiagonale contenant les coefficients 

du schéma compact est construite. La méthode de décomposition LU est employée afin 

d’inverser cette matrice. Les études poussées de la stabilité et de la propagation d’onde de ce 

schéma ont été réalisées par Baum [5].


α β a b c 

1 14 1 

Dérivée première 

3 

0 

9 9 

0 

2 12 3 

Dérivée seconde 

11 

0 

11 11 

0 

Table 3.3 – Valeurs des coefficients du schéma compact choisi 

Dérivée première 

( 

Noeuds intérieurs 3f i−1 ′ + 9f i ′ + 3f i+1 ′ = 1 1 

h 4 f i+2 + 7f i+1 − 7f i−1 − 1 4 i−2) 

f 

Noeuds proches bords f i−1 ′ + 4f i ′ + f i+1 ′ = 3 h (f i+1 − f i−1 ) 

Noeuds sur les bords 2f 1 ′ + 4f 2 ′ = 1 h (5f 1 + 4f 2 + cf 3 + f 4 ) 

Dérivée seconde 

( ) 

Noeuds intérieurs 2f i−1 ′′ + 11f 

′′ 

i + 2f i+1 ′′ = 1 3 

h 2 4 f i+2 + 12f i+1 − 51 2 f i + 12f i−1 + 3 4 f i−2 

Noeuds proches bords f i−1 ′′ + 10f 

′′ 

i + f i+1 ′′ = 12 (f 

h 2 i+1 − 2f i + f i−1 ) 

Noeuds sur les bords f 1 ′′ + 11f 

′′ 

2 = 1 (13f 

h 2 1 − 27f 2 + 15f 3 − f 4 ) 

Table 3.4 – Schémas compacts retenus pour la dérivée première et la dérivée seconde 

3.2.2.3 Caractérisation des conditions aux limites 

Même si les schémas numériques fournissent une précision élevée et une faible dissipation 

numérique, la qualité des résultats dépend fortement de la nature des conditions aux limites. 

Lorsque des conditions périodiques sont utilisées, aucune condition supplémentaire n’est nécessaire. 

Cependant, la considération de conditions d’entrée, de sortie ou bien encore de parois 

ablatables dans notre cas sous-entendent le besoin d’une alternative. Cette alternative est proposée 

par Poinsot et Lele qui ont développé des conditions appelées Navier-Stokes Characteristic 

Boundary Conditions (NSCBC). Elles consistent à traiter explicitement les ondes acoustiques 

dans les équations de Navier-Stokes. En utilisant l’analyse de caractéristiques [62], les termes 

hyperboliques des équations de Navier-Stokes correspondant à des ondes dans la direction x sont 

modifiés. Les équations de transport des différentes variables conservatives s’écrivent alors : 

∂ρC α 

∂t 

+ C α d 1 + d α + ∂ρC αv 

+ ∂ρC αw 

∂y ∂z 

∂ρu 

∂t + ud 1 + ρd 3 + ∂ρuv 

∂y 

∂ρv 

∂t + vd 1 + ρd 4 + ∂ρvv 

∂y 

∂ρw 

+ wd 1 + ρd 5 + ∂ρwv 

∂t 

∂y 

∂ρE 

∂t 

= ∂ 

( ) 

µ ∂C α 

+ ˙ω α 

∂x j ReSc ∂x j 

+ ∂ρuw 

∂z 

+ ∂ρvw 

∂z 

+ ∂ρww 

∂z 

= ∂τ 1j 

∂x j 

+ ∂p 

∂y = ∂τ 2j 

∂x j 

+ ∂p 

∂z = ∂τ 3j 

∂x j 

+ 1 2 (u ku k )d 1 + d 2 

γ − 1 + ρud 3 + ρvd 4 + ρwd 5 + . . . 

. . . ∂ ∂y [(ρE + p)v] + ∂ ∂z [(ρE + p)w] = ∂u jτ ij 

∂x i 

(3.17) 

− ∂q i 

∂x i


Le vecteur d contient les dérivées normales à la frontière x et ses composantes peuvent être 

estimées par : 

⎛ 

⎞ 

⎛ ⎞ [ 

L α 

d α 

1 

d 1 

c 2 L 2 + 1 ] 

2 (L 5 + L 1 ) 

d d = 2 

1 

= 

d 

⎜ 3 

2 (L 5 + L 1 ) 

(3.18) 

⎟ 

1 

⎝ d 4 ⎠ 

⎜ 2ρc (L 5 − L 1 ) 

⎟ 

d 5 ⎝ L 3 

⎠ 

L 4 

où L i sont les amplitudes des ondes caractéristiques associées à chaque vitesse (u + c, u, u − c), 

et où c désigne la vitesse du son. 

Les amplitudes des ondes caractéristiques L i sont définies par : 

L α = u ∂C α 

∂x [ ] 

∂p 

L 1 = (u − c) 

∂x − ρc∂u ∂x 

L 2 = u(c 2 ∂ρ 

∂x − ∂p 

∂x ) 

L 3 = u ∂u 2 

∂x 

L 4 = u ∂u 3 

∂x [ ] 

∂p 

L 5 = (u + c) 

∂x + ρc∂u ∂x 

(3.19) 

Si toutes les valeurs de L i peuvent être calculées, alors le système (3.17) est utilisé pour 

donner les valeurs des variables principales sur la frontière, et ce en fonction du pas de temps. 

Pour les ondes se propageant de l’intérieur vers l’extérieur du domaine de calcul, les valeurs L i 

peuvent être calculées en utilisant les schémas différentiels aux bords. Pour les ondes entrantes, 

sur chaque point de la frontière, on suppose que l’on a un problème localement 1D et non visqueux 

(Local-One-Dimensional-Inviscid). Le système LODI est utilisé pour évaluer les variations des 

amplitudes des ondes entrantes, il s’écrit sous forme conservative de la façon suivante : 

∂ρC α 

∂t 

+ 1 [L 

c 2 2 + 1 ] 

2 (L 5 + L 1 ) C α + L α = ˙ω α (3.20) 

] 

∂ρu 

∂t + 1 [ 

c 2 L 2 + 1 2 (L 5 + L 1 ) 

∂ρv 

∂t + 1 [ 

c 2 

u + 1 2c (L 5 − L 1 ) = 0 (3.21) 

L 2 + 1 ] 

2 (L 5 + L 1 ) v + ρL 3 = 0 (3.22) 

∂ρw 

+ 1 [L 

∂t c 2 2 + 1 ] 

2 (L 5 + L 1 ) w + ρL 4 = 0 (3.23) 

∂ρE 

+ 1 [ 

∂t 2c 2 (u ku k ) L 2 + 1 ] 

2 (L 5 + L 1 ) + ... 

(L 5 + L 1 ) 

2(γ − 1) + u 2c (L 5 − L 1 ) + ρvL 3 + ρwL 4 = 0 (3.24)


Chaque face du domaine de calcul de la figure 3.2 peut se voir affecté de plusieurs conditions 

aux limites parmi la liste suivante : 

– condition périodique, 

– condition d’entrée subsonique, 

– condition de sortie subsonique, 

– condition de flux sortant pour le cas hypersonique, 

– condition de paroi isotherme non-glissante, 

– condition de paroi adiabatique non-glissante, 

– condition de paroi isotherme avec ablation. 

3.2.2.4 Transformation conforme 

Afin de prendre en compte le recul de la paroi ablatable, une transformation conforme exacte 

a été élaborée et introduite dans le code. Elle conduit à la construction d’un maillage déformable 

dont l’objectif est de conserver l’ordre élevé des schémas numériques employés et d’assurer en 

même temps, la correspondance entre les espaces mathématique et physique (Fig. 3.5). 

Figure 3.5 – Correspondance entre les espaces mathématique et physique 

Pour réaliser ce couplage fort, tous les phénomènes se déroulant à proximité de la paroi 

doivent être capturés. La transformation conforme exacte en coordonnées généralisées des équations 

de Navier-Stokes va nous permettre d’assurer la déformation du maillage au cours des 

itérations. Cela permettra notamment de prendre en compte le recul (non uniforme) de la paroi 

et de ne pas pénaliser le temps CPU en comparaison avec l’emploi d’un maillage uniforme équivalent. 

Comme l’illustre la figure (3.6), l’idée est de réaliser les calculs sur un maillage uniforme 

qui n’évolue pas au cours du temps, et cela, malgré les déformations physiques du domaine réel 

d’étude. C’est pourquoi, l’application T : (x, y, z) → (ξ, η, ζ) de la transformation conforme 

assure le passage entre le domaine physique, sur lequel toutes les grandeurs physiques sont initialisées, 

et le domaine mathématique servant à la discrétisation des équations de la mécanique 

des fluides. 

Les lecteurs intéressés par une étude approfondie de cette transformation peuvent se rapporter 

aux travaux de Velghe [64]. Ils y trouveront notamment : 

– les expressions des matrices J (matrice jacobienne de la transformation) et J −1 , 

– une évaluation des coefficients métriques, 

– une phase de validation s’appuyant sur des cas tests de la littérature.


(a) Maillage physique 

(b) Maillage mathématique 

Figure 3.6 – Maillages de référence 

3.2.2.5 Critères de résolution spatiale 

Considérant un domaine de calcul cubique, de longueur L dom , avec un maillage régulier 

constitué de N 3 points. La taille de la maille ∆x est donc égale à L dom /N. Suivant Boughanem 

& Trouvé [9], les critères liés à une bonne résolution de la turbulence sont de deux types : 

– les critères de type échantillonnage : le domaine de calcul doit contenir au minimum 4 

échelles intégrales l T de manière à s’assurer de la décorrélation des champs sur la longueur 

du domaine de calcul L dom . La condition 3.2 garantit donc un échantillon statistique 

représentatif. 

– les critères de type résolution : la taille de la maille ∆x doit être inférieure à deux 

échelles de Kolmogorov η pour résoudre correctement les petites échelles, ceci afin d’éviter 

une accumulation d’énergie dans les plus petites structures résolues, sources d’instabilités 

numériques. Soit : 

∆x ≤ η 2 

(3.25) 

Pratiquement, cela revient à adapter la taille du maillage de manière à ce que l’échelle de 

Kolmogorov soit suffisamment discrétisée. Il convient donc de respecter la situation de la 

figure 3.7(b) contrairement à celle de 3.7(a). 

3.3 Génération d’un champ turbulent de vitesse 

Dans le cadre de la simulation d’un écoulement turbulent, il est intéressant de pouvoir utiliser, 

comme condition initiale, des champs fluctuants les plus réalistes et dont les paramètres principaux 

soient modulables. Des auteurs comme Preux [50], et Réveillon [56] ont déjà utilisé une 

initialisation des champs de vitesse d’après les paramètres spectraux de la turbulence, tant dans 

le cadre de l’étude d’une turbulence décroissante, que dans celui d’une turbulence entretenue. 

Nous présentons ici une description détaillée de la méthode d’initialisation numérique de la 

turbulence.


η/2 

η/2 

Δx 

Δx 

(a) Mauvaise résolution 

(b) Bonne résolution 

3.3.1 Considérations spectrales 

Figure 3.7 – Critère de résolution spatiale 

3.3.1.1 Spectre énergétique des fluctuations spatiales 

L’espace spectral S a le même nombre de dimensions que l’espace physique P (i.e. 3). Le 

passage d’un espace à l’autre s’effectue grâce à une transformée de Fourier, les données de P 

étant réelles, celles de S complexes. L dom est la taille du domaine physique dans les 3 directions, 

il est découpé, dans la direction i, suivant N i mailles séparées par une distance constante notée 

∆x i telle que ∆x i = L dom /N i . Dans S, la distance élémentaire ∆κ i=1,2,3 est définie pour toutes 

les directions par ∆κ i = 2π/L dom = 1. 

En turbulence homogène isotrope il est possible d’introduire simplement le tenseur spectral 

φ ij = ũ i ũ j , où ũ i est la transformée de Fourier de u i . Il correspond dans l’espace des fréquences 

au tenseur des corrélations spatiales des fluctuations de vitesse (u i ) :. 

Si le problème est considéré de manière continue, E(κ) représente l’énergie des fluctuations 

contenue dans la couronne sphérique Θ κ de rayon κ, d’épaisseur élémentaire dκ située dans S 

(3.8). Ainsi, en notant dΘ κ = 4πκ 2 dκ le volume élémentaire d’intégration, on a : 

E(κ) = 1 ∫ 

φ ij dΘ κ (3.26) 

2 Θ κ 

Comme le schématise la figure 3.8, l’énergie contenue dans la couronne Θ κ , Θ κ +dΘ κ correspond 

au niveau d’énergie κ de la courbe spectrale E(κ) sur une plage élémentaire dκ. 

3.3.1.2 Maintien de la cohérence entre espace continu et espace discrétisé 

La génération précise du champ turbulent à partir du spectre énergétique continu implique 

aussi la connaissance de la répartition et de l’intensité des fluctuations de vitesse sur toutes les 

sphères considérées. Or seule l’intégrale de l’énergie sur la sphère peut être déduite du spectre 

énergétique. Le problème est alors simplifié en considérant les hypothèses suivantes : 

– le module des vitesses spectrales est constant sur une même sphère, 

– la génération d’une turbulence homogène isotrope signifie une équi-répartition des corrélations 

de vitesse sur les sphères énergétiques qui est obtenue par un tirage aléatoire de la 

phase.


E(K) 

Correspondance 

k 3 

dκ 

k 1 

dκ 

k 

k 2 

Figure 3.8 – Liaison entre le spectre 1D et l’espace spectral 3D 

S est divisé en mailles de longueur ∆κ i ce qui rend le problème considéré discret. Ce ne sont 

donc pas des sphères de rayon κ qui sont considérées mais des couronnes sphériques de rayon 

interne κ et d’épaisseur moyenne ∆κ = √ ∆κ i ∆κ i . Les hypothèses décrites précédemment seront 

donc appliquées à ces couronnes. L’énergie contenue dans la couronne [Θ κ , Θ κ+∆κ ] s’écrit : 

∫ Θκ+∆κ 

E κ,κ+∆κ = 1 2 

Θ κ 

φ ii dΘ κ 

Elle est reliée au spectre énergétique par la relation : 

E κ,κ+∆κ = E(κ)∆κ 

Par hypothèse, φ ii est constant dans la couronne [Θ κ , Θ κ+∆κ ] ce qui implique : 

E κ,κ+∆κ = 2πκ 2 φ ii (κ)∆κ (3.27) 

Une des difficultés du problème réside dans le fait qu’il faille passer d’une vision sphérique 

continue à une description discrétisée cartésienne. De ce fait, l’énergie appliquée en tout point 

du maillage spectral cartésien devra représenter l’énergie contenue dans le volume : 

. 

∆V κ = 

3∏ 

∆κ i 

1 

3.3.1.3 Définition des champs de vitesse spectrale 

Soit un point de S dont les coordonnées (κ 1 , κ 2 , κ 3 ) inclus dans la couronne [Θ κ , Θ κ+∆κ ]. Le 

tenseur continu et constant peut être considéré comme une densité d’énergie volumique (3.27). 

La relation liant d’une part le module de vitesse spectrale en ce point et le tenseur continu qui 

est constant sur toute la couronne s’écrit donc : 

‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ 2 = φ ii (κ)∆V κ


k 3 

dκ 

k 2 

k 1 

Équivalence numérique 

k 2 

k 3 

k 1 

Figure 3.9 – Maintien de la cohérence entre l’espace continu et l’espace discrétisé 

On en déduit, pour tout point (κ 1 , κ 2 , κ 3 ) de l’espace spectral S, une relation entre le module 

de la vitesse et le spectre de l’énergie turbulente : 

‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ 2 = E(κ) 

2πκ 2 ∆V κ (3.28) 

√ 

où κ = κ 2 1 + κ2 2 + κ2 3 . À ce niveau, le module du champ de vitesse est connu. En tout point de 

l’espace spectral, les phases liées aux vecteurs de vitesse spectrale sont tirées au sort, ce qui offre 

la possibilité de générer des champs de vitesse turbulents différents pour un même spectre. Il 

existe néanmoins une contrainte sur la phase qui devra être telle que la transformée de Fourier 

inverse du champ de vitesse spectrale soit réelle. Les expressions des composantes du vecteur 

vitesse spectrale (ũ 1 , ũ 2 , ũ 3 ) que l’on peut retrouver dans [55] s’écrivent : 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ √ 

ũ 1 = ⎝ Γκκ 2 + Λκ 1 κ 3 

√ ⎠ , ũ 2 = ⎝ −Γκκ 1 + Λκ 2 κ 3 

√ ⎠ , ũ 3 = ⎝− Λ κ 2 1 + ⎞ 

κ2 2 

⎠ (3.29) 

κ κ 2 1 + κ2 2 

κ κ 2 1 + κ2 κ 

2 

avec 

Γ = Γ(κ 1 , κ 2 , κ 3 , α 1 , α 3 ) = ‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ exp(iα 1 ) cos(α 3 ) (3.30) 

Λ = Λ(κ 1 , κ 2 , κ 3 , α 2 , α 3 ) = ‖ũ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ exp(iα 2 ) sin(α 3 ) (3.31) 

Les phases α 1 , α 2 et α 3 sont choisies aléatoirement. 

3.3.2 Passage des fluctuations spectrales dans le domaine physique 

3.3.2.1 Présentation de la librairie FFTW 

La librairie FFTW (Fastest Fourier Transform in the West) écrite en C permet de calculer 

la Transformée de Fourrier Discrète (TFD) d’un signal complexe ou réel, quel que soit le nombre 

de dimensions. Ainsi, la compilation de la transformation se déroule en deux phases : 

– La première phase est appelée ”planner” : elle génère un plan qui indique à la machine 

utilisée le moyen le plus rapide de calculer.


– La deuxième phase est appelée ”executor” : elle calcule la TFD suivant la méthode décrite 

dans le plan. 

Ce modèle de planification / exécution s’applique pour les différents modèles de calcul que 

sont la transformation complexe 1D (FFTW), la transformation complexe multi-dimensions 

(FFTWND), la transformation réelle 1D (RFFTW) et la transformation réelle multi-dimensions 

(RFFTWND). 

Pour cette étude, le code doit effectuer une transformée de Fourier afin de passer de l’espace 

spectral (complexe) à l’espace physique (réel). La transformation RFFTWND est donc choisie 

pour obtenir ce champs de vitesses réel en 3 dimensions. 

3.3.2.2 Transformée de Fourier des champs de vitesse 

Considérons un domaine unidimensionnel de longueur 2π discrétisé de manière uniforme sur 

N +1 points (x i = i∆x ; i = 0, .., N, avec ∆x = 2π N 

). Toute fonction périodique f est représentée 

par un ensemble de valeurs discrètes f = {f i ; i = 0, ..., N}. La transformée de Fourier discrète 

est donnée par le polynôme d’interpolation trigonométrique de degré N/2 : 

f i = 

N/2−1 

∑ 

κ=−N/2 

ˆf κ exp(jx i κ) avec ˆfκ = 1 N 

N−1 ∑ 

i=0 

f i exp(−jx i κ) (3.32) 

Dans le cas de la TFD, on développe la formulation mathématique exacte de la RFFTWND. 

Soit X un vecteur réel de d dimensions tel que X s’écrit X[j 1 , j 2 , ..., j d ] où 0 ≤ j s ≤ n s , ∀s ∈ 

{1, 2, ..., d}. On note ω s = e 2πi 

ns , s ∈ {1, 2, .., d}. La transformation de Fourier directe va générer 

un vecteur complexe Y tel que : 

Y [k 1 , k 2 , ..., k d ] = 

n 1 −1 ∑ 

n 2 −1 ∑ 

j 1 =0 j 2 =0 

n∑ 

d −1 

... 

j d =0 

Or Y vérifie une symétrie hermitienne tel que : 

X[j 1 , j 2 , ..., j d ]ω −k 1j 1 

1 ω −k 2j 2 

2 ...ω −k dj d 

d 

Y [k 1 , k 2 , ..., k d ] = Y [n 1 − k 1 , n 2 − k 2 , ..., n d − k d ] ⋆ , ∀0 ≤ k s ≤ n s 

Ainsi, on se contente de stocker seulement la moitié des valeurs de Y , en passant d’un vecteur 

de dimensions ( ∏ n s ) s=1,d 

à un vecteur à (∏ n s 

( nd 

2 

+ 1 )) s=1,d−1 dimensions. 

De la même manière, on écrit la formulation exacte pour la transformation de Fourier inverse. 

Soit X un vecteur complexe de d dimensions tel que X s’écrit X[j 1 , j 2 , ..., j d ] où 0 ≤ j s ≤ n s , 

∀s ∈ {1, 2, ..., d}. Le vecteur X est hermitien, il vérifie la relation : 

X[j 1 , j 2 , ..., j d ] = X[n 1 − j 1 , n 2 − j 2 , ..., n d − j d ] ⋆ , ∀0 ≤ j s ≤ n s 

On note ω s = e 2πi 

ns , s ∈ {1, 2, .., d}. La transformation de Fourier inverse va générer un vecteur 

réel Y tel que : 

Y [k 1 , k 2 , ..., k d ] = 

n 1 −1 ∑ 

n 2 −1 ∑ 

j 1 =0 j 2 =0 

n∑ 

d −1 

... 

j d =0 

X[j 1 , j 2 , ..., j d ]ω k 1j 1 

1 ω k 2j 2 

2 ...ω k dj d 

d


3.3.2.3 Efficacité de la librairie FFTW 

L’avantage supplémentaire de cette librairie est la possibilité d’effectuer des allers-retours 

entre le domaine fréquentiel et le domaine physique très rapidement. Ainsi, en effectuant une 

transformation de Fourier directe au cours du calcul (les équations de Navier-Stokes sont résolues 

dans le domaine réel), nous serons en mesure d’extraire les propriétés spectrales de l’écoulement. 

En effet, la donnée du champs de vitesse (u, v, w) nous fournira alors la valeur du champ fluctuant. 

On en déduit alors l’allure du spectre E(κ). Nous vérifions grâce à la figure 3.10 la bonne 

implémentation de la librairie en comparant le spectre initial avec celui extrait après un allerretour 

dans l’espace physique, et ceux, pour les deux types de spectres implémentés. L’efficacité 

de l’extraction des données spectrales sera étudiée dans le paragraphe 4.5. 

(a) Spectre PP 

(b) Spectre VKP 

Figure 3.10 – Vérification de l’implémentation de la librairie FFTW 

3.3.2.4 Visualisation des champs de vitesse initiaux 

La figure 3.11 représente les champs de vorticités obtenus pour les spectres Passot-Pouquet 

(PP) et Von-Kármán Pao (VKP). Le profil des champs obtenus démontre la capacité du spectre 

VKP à représenter les plus petites échelles de l’écoulement, car pour un même nombre d’onde 

κ e caractéristique des tourbillons porteurs d’énergie, le spectre VKP représente une gamme 

d’échelles de longueur plus significative que le spectre PP. 

3.3.3 Critère de résolution spectrale 

3.3.3.1 Expression de la pulsation modifiée 

Pour évaluer le pouvoir de résolution de la méthode de dérivation de Lele, on travaille dans 

l’espace spectral. En effet, le pouvoir de résolution correspond à l’erreur commise entre la dérivée 

exacte et la dérivée approchée. En reprenant les notations du paragraphe 3.3.2, les opérateurs




Figure 3.11 – Champs initiaux des vorticités pour les spectres PP et VKP 

de dérivation continue s’écrivent : 

df 

dx (x i) = 

d 2 f 

dx 2 (x i) = 

N/2−1 

∑ 

κ=−N/2 

N/2−1 

∑ 

κ=−N/2 

jk ˆf κ exp(jx i κ) (3.33) 

−κ 2 ˆfκ exp(jx i κ) (3.34) 

Le schéma de dérivation donne une valeur approchée des dérivées de f. Ainsi, les dérivées 

premières et secondes s’écrivent : 

df 

dx (x i) ≈ f ′ i = 

d 2 f 

dx 2 (x i) ≈ f ′′ 

i = 

N/2−1 

∑ 

κ=−N/2 

N/2−1 

∑ 

κ=−N/2 

jκ ′ (ω κ ) ˆf κ exp(jx i κ) (3.35) 

−κ ′′ (ω κ ) ˆf κ exp(jx i κ) (3.36) 

où ω κ = κ∆x est la pulsation associée au nombre d’onde κ. Ces expressions font apparaître 

les nombres d’onde modifiés κ ′ et κ ′′ . Le pouvoir de résolution est défini grâce aux pulsations 

modifiées : 

ω ′ (ω κ ) = ∆xk ′ (ω κ ) ; ω ′′ (ω κ ) = (∆x) 2 k ′′ (ω κ ) 

D’après Lele [15], pour le schéma compact de dérivation première, la pulsation modifiée s’écrit : 

ω ′ (ω κ ) = a sin(ω κ) + (b/2) sin(2ω κ ) + (c/3) sin(3ω κ ) 

1 + 2α cos(ω κ ) + 2β cos(2ω κ ) 

(3.37) 

Le nombre d’onde maximal résolu correspond à l’extrémité de la zone dans laquelle κ ′ = κ + ɛ 

(ou ω ′ (ω κ ) = ω κ + ɛ) avec ɛ le niveau d’écart toléré vérifiant la relation : 

ω ′ − ω 

∣ ω ∣ ≤ ɛ (3.38)


3.3.3.2 Efficacité de la résolution 

Pour le schéma d’ordre 6 choisi et pour un écart maximal ɛ de 0.001, on estime l’efficacité 

de résolution à 35% (Fig. 3.12(a)), par comparaison, une méthode aux différences finies centrées 

d’ordre 2 possède une efficacité de 5.8%. De même, pour le schéma compact centré de dérivation 

seconde de Lele, la pulsation modifiée ω ′′ s’exprime par : 

ω ′′ (ω κ ) = 2a(1 − cos(ω κ)) + (b/2)(1 − cos(2ω κ )) + (2c/9)(1 − cos(3ω κ )) 

1 + 2α cos(ω κ ) + 2β cos(2ω κ ) 

(3.39) 

L’efficacité de la résolution est dans ce cas là de 38% (Fig. 3.12(b)) pour un niveau d’écart ɛ de 

0.001. 

Les nombres d’onde modifiés du schéma compact de Lele de dérivation première et seconde 

ainsi que ceux du schéma aux différences finies d’ordre 2 sont tracés sur la figure 3.12. Lorsque l’on 

peut raisonnablement supposer l’isotropie aux petites échelles, on adopte conventionnellement 

le critère de résolution spectral : 

κ max η = 1.5; (3.40) 

(a) Dérivée première 

(b) Dérivée seconde 

Figure 3.12 – Nombres d’onde modifiés 

Pour le schéma compact d’ordre 6 utilisé ici, 35% des modes ne sont pas contaminés par la 

dispersion et sont effectivement résolus. Le critère (3.40) doit dont être modifié en conséquence 

pour finalement avoir : 

κ max η = 1.5. 100 = 4.3 (3.41) 

35 

3.4 Parallélisation du code 

3.4.1 Principe 

La nécessité de simuler toutes les échelles caractéristiques de l’écoulement et la volonté de 

respecter les critères de résolution impliquent l’utilisation d’un domaine de calcul finement maillé. 

Afin d’améliorer le temps de calcul, Velghe a fait évoluer le code vers une version parallèle que 

nous continuons encore à optimiser de manière à atteindre des maillages toujours plus denses. 

La librairie Message Passing Interface (MPI) est utilisée pour la parallélisation du code.


3.4.1.1 Découpage du domaine 

Le schéma directeur du code (Fig. 3.1) nous montre que l’initialisation est réalisée en séquentiel, 

c’est-à-dire que seul le processeur de rang 0 effectue la lecture des fichiers de données. Ces 

informations sont alors transmises aux autres processeurs. Dès lors, chacun des processeurs mis 

en jeu effectue l’initialisation des variables physiques dont il a la charge. 

Toutes les grandeurs physiques (vitesse, pression, concentration, densité, etc.) utilisées dans le 

code sont des valeurs locales centrées sur les nœuds du domaine. Lors de la boucle d’intégration en 

temps, les schémas compacts utilisés font appel aux valeurs des plus proches voisins pour pouvoir 

évaluer les dérivées premières et secondes. Lors du découpage du domaine de calcul, l’évaluation 

des dérivées spatiales sur les nœuds aux bords des sous-domaines nécessite la connaissance des 

nœuds du domaine voisin qui sont connus par le processeur ayant la charge de ce dernier. 

Comme l’indique la figure 3.13, le découpage est effectué suivant la direction z. Le domaine 

initial est ainsi scindé en autant de sous-domaines que de processeurs engagés. La difficulté va 

maintenant résider dans le respect de la conservation de l’ordre formel des schémas compacts 

lors de l’utilisation de ces sous-domaines de calcul. 

Figure 3.13 – Découpage du domaine de simulation 

3.4.1.2 Parallélisation du schéma compact 

L’objectif est la conservation de l’ordre formel du sixième ordre pour la résolution des dérivées 

spatiales. Ceci s’effectue en imposant le schéma du troisième ordre sur le bord et du quatrième 

ordre sur les nœuds voisins du bord et le schéma du sixième ordre au centre du domaine. Le 

découpage du domaine initial en sous-domaines augmente donc le nombre de frontières et par 

conséquent le traitement de l’ordre du schéma pour les dérivées aux bords. Pour assurer l’ordre 

du schéma à l’intérieur du domaine, six nœuds fictifs sont ajoutés à chaque sous-domaine. Le 

sous-domaine aura alors trois nœuds fictifs au début du domaine et trois nœuds fictifs à la 

fin. Ces nœuds vont nous permettre de recopier les valeurs existantes dans les tableaux des 

processeurs voisins afin de calculer les dérivées. 

On distingue alors deux types de communications entre les processeurs. D’abord, il y a celles 

qui consistent en l’envoi des trois dernières mailles du tableau de rang n sur les premières mailles 

fictives du tableau de rang n + 1, d’autre part, celles envoyant les premières mailles du tableau


de rang n sur les dernières mailles fictives du tableau de rang n − 1. Bien sûr, un cas particulier 

subsiste à propos du premier et du dernier processeur sur lesquels nous imposons une condition 

de périodicité du domaine initial. Le dernier processeur envoie la valeur de sa dernière maille sur 

la première maille fictive du premier processeur pendant que le premier envoie son premier nœud 

sur le dernier nœud fictif du dernier processeur. La figure 3.14 résume ces différents schémas de 

communication sur un exemple mettant en jeu 4 processeurs. 

Figure 3.14 – Schéma de communications 

Pour ce qui est de la précision du schéma compact dans un cadre multi-processeurs, le schéma 

du 3 ème ordre est appliqué sur le premier nœud fictif, le schéma du 4 ème ordre est appliqué à 

son voisin et le schéma du 4 ème ordre est appliqué sur le troisième nœud fictif. Ce découpage 

permet d’évaluer la première dérivée sur les nœuds intérieurs du domaine de calcul en utilisant 

le schéma centré du 6 ème ordre faisant appel à l’évaluation de la dérivée du nœud fictif voisin qui 

est lui aussi évalué avec ce même schéma. Cette configuration limite la diffusion numérique liée 

aux calculs de dérivées sur le bord. La figure 3.15 reprend l’ordre des schémas qui est imposé 

sur les mailles fictives. 

Figure 3.15 – Ordre du schéma numérique et parallélisme


3.4.2 Efficacité 

3.4.2.1 Présentation du calculateur utilisé 

Durant ce travail nous avons eu la chance de bénéficier de ressources de calcul très performantes, 

grâce à la mise à disposition par le CEA du calculateur TERA-100 (Fig. 3.16) destiné 

au Programme Simulation du CEA. D’une puissance théorique de 1,25 Pétaflops, TERA-100 

se classe en 2009 parmi les 3 premiers super-calculateurs mondiaux. Il est issu d’un vaste programme 

initié en 2008 associant étroitement Bull et le CEA. Il est le premier super-calculateur 

pétaflopique 1 conçu et développé en Europe. 

TERA-100 est constitué de 4300 serveurs. Il intègre 140 000 cœurs Intel Xeon 7500, 300 To 

de mémoire centrale et dispose d’une capacité totale de plus de 20 Po de stockage. En outre son 

débit de 500Go/sec constitue un record du monde pour ce type de système. Ainsi, ce calculateur 

offre une capacité de calcul exceptionnelle. Pour comparaison, la machine peut réaliser plus 

d’opérations en une seconde que ce que la population mondiale ferait en 48 heures, à raison 

d’une opération par seconde par personne. C’est aussi une capacité de transfert d’information 

équivalente à 1 million de personnes regardant en même temps des films HD ; et enfin une 

capacité de stockage équivalente à plus de 25 milliards de livres. 

Figure 3.16 – Super-calculateur TERA-100 

3.4.2.2 Temps de résolution 

Dans le cadre de l’utilisation d’un code de simulation numérique directe, la gestion du temps 

est un point essentiel. En effet, le temps de calcul des différentes configurations simulées sont 

généralement très importants. Il est d’autant plus grand pour les deux raisons suivantes : 

– l’utilisation de maillages raffinés pour capturer l’ensemble des phénomènes liés autant aux 

échelles énergétiques qu’à l’échelle de Kolmogorov, 

– la nécessité de mener plusieurs réalisations d’une même configuration d’étude. En pratique, 

cela revient à conserver les données initiales inhérentes à l’écoulement (propriétés 

spectrales, configuration, paramètres fluides) et à modifier uniquement la valeur du triplet 

(α 1 , α 2 , α 3 ) dans les équations (3.30) et (3.31). 

1. pétaflopique : qui est capable de réaliser un million de milliards d’opérations par seconde


3.4.2.3 Influence du nombre de processeurs utilisés 

Théoriquement, l’utilisation de davantage de processeurs est une solution pour diminuer le 

temps CPU, mais dans notre cas elle risquerait de perturber la précision des schémas compacts 

lors du découpage du domaine. Pour s’en assurer, nous avons mené une étude paramétrique 

sur la précision générale du code en fonction du nombre de processeurs engagés. Ainsi la figure 

3.17 assure qu’il n’y a pas ou très peu d’influences du nombre de processeurs utilisés sur la 

précision des résultats obtenus. En effet, un zoom important est nécessaire pour déceler un écart 

entre les courbes, écart d’autant plus important que les processeurs engagés sont nombreux. La 

précision des schémas compacts n’est donc pas (ou infiniment peu) altérée jusqu’à un nombre 

de processeurs équivalent à 64. 

(a) Vue globale 

(b) Dérivée seconde 

Figure 3.17 – Évolution de k en fonction du nombre de processeurs engagés 

Néanmoins, comme nous l’avons évoqué dans le paragraphe 3.1.2.3, le nombre de fichiers de 

sortie est directement lié au nombre de processeurs engagés. Cette particularité sera un élément 

limitant quant à l’utilisation d’un trop grand nombre de processus. 


L’enjeu de cette thèse est développer le code numérique EVEREST afin, d’une part, de 

simuler le couplage fort entre la paroi ablatable et l’écoulement turbulent et, d’autre part, 

d’établir une base de données nécessaire à la création de modèles de paroi plus complets. Les 

premières recherches s’y rapportant ont été menées par Velghe ; même s’il a développé des 

outils numériques précieux, il ne fut pas en mesure de garantir la représentativité physique 

des simulations. Cela explique la volonté du CEA d’optimiser les performances numériques et 

physiques du code, au cours de cette thèse. 

EVEREST est un code écrit en Fortran de simulation numérique directe (DNS). Il se décompose 

en 4 étapes : l’initialisation, la boucle d’intégration en temps, la sortie des fichiers et le 

traitement des résultats. L’utilisation de la librairie FFTW a ouvert de nombreuses perspectives


quant à l’initialisation de la turbulence, le forçage et l’extraction spectrale des paramètres de 

l’écoulement. 

Avec l’objectif de calculer des écoulements turbulents dans des configurations académiques, 

le choix de la discrétisation spatiale s’est porté vers une résolution par une méthode de différences 

finies, s’appuyant sur des schémas compacts d’ordre 6 de Lele, dans le but de disposer 

d’un haut degré de précision et d’une meilleure représentation des petites échelles. En ce qui 

concerne la discrétisation temporelle, nous avons opté pour un schéma basé sur une intégration 

en temps satisfaisant la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Chacune de ces discrétisations a 

exigé l’établissement de critères de résolution aptes à garantir la stabilité numérique du code. 

Enfin, les questions d’optimisation des performances numériques ont été abordées. D’abord 

nous avons décrit la méthode de parallélisation utilisée, puis nous avons introduit le calculateur 

de très haute performance, TERA-100, sur lequel nos calculs sont moins lourds en termes de 

ressources informatiques.

94 Chapitre 3. Présentation du code EVEREST

Chapitre 4 

Simulation de la Turbulence 

Homogène Isotrope (THI) 

Sommaire 

4.1 Initialisation du champ turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

4.1.1 Configuration d’écoulement étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 


4.1.1.2 Simplifications des écoulements simulés . . . . . . . . . . . . . 97 

4.1.1.3 Paramètres de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

4.1.2 Initialisation par un spectre de Passot-Pouquet (PP) . . . . . . . . . . . 99 

4.1.2.1 Expressions des spectres PP utilisés . . . . . . . . . . . . . . . 99 

4.1.2.2 Valeurs initiales des paramètres de l’écoulement . . . . . . . . 100 

4.1.2.3 Visualisation des champs initiaux de l’écoulement . . . . . . . 100 

4.1.3 Initialisation par un spectre de Von-Kármán corrigé par Pao (VKP) . . 100 

4.1.3.1 Expression du spectre VKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

4.1.3.2 Valeurs initiales des paramètres de l’écoulement . . . . . . . . 102 

4.1.3.3 Limites quant à l’utilisation du spectre VKP . . . . . . . . . . 103 

4.2 Caractérisation des principales propriétés de la THI . . . . . . . . . 104 

4.2.1 Vérification du caractère homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.2.1.1 Caractéristiques d’un champ de turbulence homogène . . . . . 104 

4.2.1.2 Parité de la fonction de corrélation R ij . . . . . . . . . . . . . 105 

4.2.1.3 Facteurs de dissymétrie et d’aplatissement . . . . . . . . . . . 106 

4.2.1.4 Incompressibilité du l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

4.2.2 Analyse de l’isotropie de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

4.2.2.1 Corrélations doubles des vitesses en un point . . . . . . . . . . 107 

4.2.2.2 Études des échelles corrélatoires doubles de vitesse . . . . . . 109 

4.2.2.3 Corrélations et pression incompressible . . . . . . . . . . . . . 110 

4.3 Décroissance énergétique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . 111 

4.3.1 Validation des comportements analytiques des simulations . . . . . . . . 111 

4.3.1.1 Expressions analytiques des paramètres . . . . . . . . . . . . . 111 

4.3.1.2 Caractérisation du temps de mise en place de la THI . . . . . 112 

95

96 Chapitre 4. Simulation de la Turbulence Homogène Isotrope (THI) 

4.3.1.3 Validation analytique de la THI simulée . . . . . . . . . . . . 112 

4.3.1.4 Vérification de l’évolution des critères de résolution . . . . . . 114 

4.3.2 Recalage de la constante C ε,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

4.3.2.1 Méthode d’estimation de la constante . . . . . . . . . . . . . . 116 

4.3.2.2 Valeurs de C ε,2 extraites pour un spectre de Passot-Pouquet . 117 

4.3.2.3 Cas du spectre Von-Kármán Pao . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 

4.3.3 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

4.3.3.1 Analyse des mécanismes de retour à l’isotropie . . . . . . . . . 118 

4.3.3.2 Choix du spectre d’initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

4.3.3.3 Capacité du code à simuler la THI . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

4.3.3.4 Recalage constante C ε,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

4.4 Étude d’une turbulence forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

4.4.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

4.4.1.1 Décroissance rapide de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . 119 

4.4.1.2 Forçage linéaire initialement utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . 120 

4.4.1.3 Une taille de rugosités à atteindre . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

4.4.2 Caractérisation du forçage spectral utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

4.4.2.1 Principe du forçage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

4.4.2.2 Description des écoulements forcés simulés . . . . . . . . . . . 123 

4.4.2.3 Maintien d’un niveau d’énergie cinétique constant . . . . . . . 123 

4.4.2.4 Conservation de l’homogénéité et l’isotropie du champ forcé . 124 

4.4.3 Interprétation des méthodes de forçage implémentées . . . . . . . . . . . 125 

4.4.3.1 Comparaison des forçages spectral et linéaire . . . . . . . . . . 125 

4.4.3.2 Efficacité du forçage spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

4.5 Extraction des paramètres spectraux de l’écoulement . . . . . . . . 127 

4.5.1 Principe de l’extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

4.5.2 Résultats du suivi spectral de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

4.5.2.1 Extraction lors d’une THI en décroissance . . . . . . . . . . . 128 

4.5.2.2 Extraction au cours d’un écoulement forcé . . . . . . . . . . . 128 

4.5.2.3 Simulation de la présence d’une paroi ablatée . . . . . . . . . . 130 

4.5.3 Interprétation des résultats liés à l’extraction spectrale . . . . . . . . . . 132 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 

La première étape de ce travail consiste en la validation des caractéristiques physiques de 

la turbulence implémentée. L’objectif principal est de retrouver numériquement les propriétés 

énoncées dans le chapitre 1. Pour ce faire, nous mettrons en œuvre les outils statistiques définis 

au chapitre 2. Dans le cadre du développement du code EVEREST présenté dans le chapitre 

3, la validation numérique est primordiale pour garantir la réalité « physique » et ainsi justifier 

l’interprétation des résultats issus de nos simulations. Aussi, par souci de reproductibilité des 

résultats, une description détaillée des expériences numériques conduites sera menée avant de 

présenter et de valider les résultats obtenus. Nous verrons que dans la perspective de l’étude de 

l’ablation, nous avons été amenés à développer une nouvelle méthode de forçage de la turbulence. 

Enfin, nous avons mis en place un suivi spectral des paramètres de la turbulence de manière à 

compléter l’analyse des phénomènes liés à la cascade énergétique.

Chapitre 4. Simulation de la Turbulence Homogène Isotrope (THI) 97 

4.1 Initialisation du champ turbulent 

Pour initialiser la turbulence, nous utiliserons deux types de spectres : le spectre de Passot- 

Pouquet (PP) et le spectre de Von-Kármán modifié par Pao (VKP). Avant de définir les propriétés 

de chacun d’eux, nous présentons les caractéristiques générales des simulations de la 

THI. 

4.1.1 Configuration d’écoulement étudiée 


L’adimensionnement des équations simulées nécessite la définition des états de références 

(2.24). Considérant un fluide à une température T ∞ de 400 K et une pression atmosphérique 

P atm égale à 1.01325 × 10 5 P a, nous obtenons, selon la nature du spectre utilisée, les états de 

référence suivants lors de l’initialisation : 

Variables Spectre PP Spectre VKP Unité 

Re ac 500 1000 - 

T ref 160 160 K 

a ref 43.16 43.16 m.s −1 

t ref 1.91×10 −6 3.82×10 −6 s 

C p,ref 903.3 903.3 J.kg −1 .K −1 

P ref 1.412×10 5 1.412×10 5 P a 

ρ ref 2.405 2.405 kg.m −3 

µ ref 1.711×10 −5 1.711×10 −5 P a.s (ou P l) 

ν ref 7.113×10 −6 7.113×10 −6 m 2 .s −1 

L ref 8.241×10 −5 1.648×10 −5 m 

Table 4.1 – Paramètres de référence associés aux spectres initiaux 

Dans la suite, pour redonner une « réalité dimensionnelle » aux résultats présentés, il suffira 

de multiplier les valeurs calculées par les paramètres de référence du tableau 4.1 afin d’obtenir 

les valeurs physiques réelles associées. 

4.1.1.2 Simplifications des écoulements simulés 

Le fluide considéré pour cette étude est un fluide satisfaisant la loi des gaz parfaits. Nous 

admettons que ce fluide est assimilable au dioxygène dont la viscosité et la densité volumique 

sont supposées constantes. On se place donc dans le cas d’un écoulement incompressible, monoespèce 

afin de s’affranchir des effets de la cinétique chimique. Les nombres de Lewis, Prandtl et 

Schmidt sont égaux à : 

Le = 1 (4.1) 

P r = 0.7 (4.2) 

Sc = 1 (4.3)


D’après les propriétés définies sur les coefficients de transport dans le paragraphe 2.1.4, les 

expressions de la conductivité thermique λ et du coefficient de diffusion D sont simplifiées avec : 

D = µ ρ 

λ = µC p 

0.7 

(4.4) 

(4.5) 

Nous verrons dans le paragraphe 4.2 que l’étude détaillée de la THI appelle à la nullité du 

champ moyen de l’écoulement permettant une meilleure représentation des phénomènes liés à 

l’agitation turbulente. En reprenant la décomposition classique des écoulements de Reynolds, 

cela équivaut à dire que U = 0. D’un point de vue numérique, cela amène à définir un fluide, 

initialement au repos, dans lequel est injecté une énergie turbulente k grâce à la méthode de 

génération d’un champ turbulent de vitesse explicitée dans le paragraphe 3.3. 

4.1.1.3 Paramètres de la simulation 

L’étude de la THI requiert l’utilisation d’un domaine infini. À cet effet, nous adjoindrons au 

domaine de simulation de taille 2π (représenté en bleu sur la figure 4.1), un ensemble de nœuds 

dits « fantômes » (en l = 0, l = l f + 1, m = 0, m = m f + 1, n = 0 et n = n f + 1) qui rendront 

possible l’implémentation de conditions de périodicité dans les trois directions d’espace. 

L dom 

=2π 

m f+1 

m f 

L dom 

=2π 

1 

0 

0 1 Domaine de simulation l f 

l f+1 

Figure 4.1 – Schématisation du domaine de simulation en THI (coupe 2D) 

Les différentes caractéristiques numériques des simulations sont regroupées dans le tableau 

4.2 ci-dessous :


Caractéristiques Spectres PP Spectre VKP 

Longueur du domaine 2π 2π 

Échantillonnage 160 3 240 3 

Pas du maillage h 0.039 0.026 

Durée de la simulation 60 t ref 60 t ref 

Durée du calcul 28 h 50 h 

Nombres de processeurs 16 64 

Table 4.2 – Caractéristiques numériques des simulations 

4.1.2 Initialisation par un spectre de Passot-Pouquet (PP) 

4.1.2.1 Expressions des spectres PP utilisés 

Parmi l’ensemble des spectres disponibles pour définir un écoulement turbulent, nous choisissons 

d’abord d’utiliser le spectre PP dont l’expression est rappelée ici : 

( ) ( 

κ 

4 ( ) ) 

κ 

2 

E(κ) = A exp −2 

(4.6) 

κ e κ e 

où la constante A représente l’amplitude du spectre et κ e le nombre d’onde associé aux structures 

porteuses d’énergie. La vérification des équations (1.19) et (1.20) relatives au maintien de la 

cohérence entre l’espace physique et l’espace spectral, permet d’exprimer la valeur de la constante 

A uniquement en fonction de u ′ et κ e avec 

A = 16u′2 

κ e 

√ 2 

π 

(4.7) 

Ainsi, la définition du spectre PP dépend uniquement de la valeur du couple (u ′ , κ e ). Nous 

pourrons donc fixer le montant énergétique injecté au sein de l’écoulement et définir l’ordre 

de grandeur de l’échelle intégrale qui fait référence aux structures tourbillonnaires porteuses 

d’énergie. 

Dans la perspective d’évaluer l’influence des valeurs initiales de Re T et κ e , nous entreprenons 

d’étudier deux ensembles, notés respectivement S A et S B , composés de trois spectres PP chacun. 

L’ensemble S A sera destiné à l’étude de l’influence de l’agitation turbulente u ′ à travers le nombre 

de Reynolds Re T , alors que l’ensemble S B analysera celle du nombre d’onde caractéristique des 

tourbillons porteurs d’énergie κ e (à nombre de Reynolds constant). Une situation sera commune 

aux deux ensembles et sera notre spectre de référence (S1 

A = SB 2 ). Le tableau 4.3 récapitule les 

configurations étudiées lors de ce travail. 

Ensemble S A 

κ e = 6, Re T variables 

Spectre κ e u ′ Re T 

S1 A (réf.) 6 0.163 100 

S2 A 6 0.229 200 

S3 A 6 0.325 400 

Ensemble S B 

κ e variables, Re T = 100 

Spectre κ e u ′ Re T 

S1 B 4 0.109 100 

S2 B (réf.) 6 0.163 100 

S3 B 8 0.215 100 

Table 4.3 – Présentation des ensembles de spectres PP étudiés


4.1.2.2 Valeurs initiales des paramètres de l’écoulement 

Les champs spectraux caractérisés par le spectre PP sont ensuite transportés dans l’espace 

physique (cf. 3.3.2). À l’issue de la 1 ère itération durant laquelle les équations de Navier-Stokes 

sont résolues, on extrait la valeur des paramètres initiaux (Tab. 4.4). 

Paramètres Référence Ensemble A Ensemble B 

initiaux S1 A = SB 2 S2 A S3 A S1 B S3 

B 

Couleur rouge vert bleu cyan orange 

u ′ 0 0.163 0.229 0.325 0.109 0.215 

k 0 3.99 10 −2 7.87 10 −2 0.159 1.79 10 −2 6.95 10 −2 

ε 0 7.76 10 −3 1.53 10 −3 3.09 10 −2 1.59 10 −3 2.37 10 −2 

ν 0 2.03 10 −3 2.03 10 −3 2.03 10 −3 2.03 10 −3 2.03 10 −3 

Re T 0 100 200 400 100 100 

Re λ0 25.8 36.5 51.6 25.8 25.8 

∆t 6.66 10 −3 5.85 10 −3 4.67 10 −3 7.97 10 −3 5.85 10 −3 

L T 0 1.03 1.44 2.05 1.51 0.77 

L ii0 0.40 0.40 0.40 0.60 0.31 

λ T 0 0.14 0.14 0.14 0.21 0.11 

η 0 3.21 10 −2 2.71 10 −2 2.28 10 −2 4.78 10 −2 2.43 10 −2 

κ max 140 140 140 140 140 

κ e 6 6 6 4 8 

κ d 7.35 7.35 7.35 4.90 9.80 

Table 4.4 – Valeurs initiales des paramètres de la turbulence initialisée par un spectre PP 

4.1.2.3 Visualisation des champs initiaux de l’écoulement 

La description précédente de l’état initial des écoulements (Tab. 4.4) est complétée par une 

visualisation des champs de vorticité correspondants (Fig. 4.2). Ces représentations permettent 

de constater l’effet du nombres de Reynolds Re T et du nombre d’onde κ e sur l’écoulement généré. 

Ainsi, les spectres S A montre qu’une augmentation de Re T provoque une hausse de l’amplitude 

de l’agitation turbulente alors que les spectres S B illustrent l’influence du choix de κ e sur la 

taille des structures porteuses d’énergie. 

4.1.3 Initialisation par un spectre de Von-Kármán corrigé par Pao (VKP) 

Les efforts consentis pour implémenter un spectre VKP afin d’initialiser la turbulence sont 

motivés par la capacité de ce spectre à modéliser des zones inertielles plus grandes que dans le 

cas d’un spectre PP. Ainsi, il jouit d’une meilleure représentativité des écoulements turbulents.


(a) S A 1 : Re T = 100, κ e = 6 (b) S A 2 : Re T = 200, κ e = 6 (c) S A 3 : Re T = 400, κ e = 6 

(d) S B 1 : Re T = 100, κ e = 4 (e) S B 2 : Re T = 100, κ e = 6 (f) S B 3 : Re T = 100, κ e = 8 

Figure 4.2 – Visualisation des champs de vorticité de la 1 ère itération (spectre PP) 

4.1.3.1 Expression du spectre VKP 

L’expression du spectre énergétique proposée par Von-Kármán et modifiée par Pao est : 

( ) 4 

E(κ) = 3 u ′5 κ 

K e 

2 ɛ 

[ ( ) ] 17 

exp 

(− 3 ( ) 4 

) 

κ 

2 6 2 α 3 

(4.8) 

K 

1 + κ d 

K e 

Le spectre énergétique VKP est défini par le quadruplet {u ′ , ε, K e , K d }. Il faut être prudent 

quant aux notations utilisées car les nombres K e et K d présents dans l’expression de E(κ) (4.8) 

ne sont pas égaux à κ e et κ d maximums respectifs des spectres énergétique E(κ) et dissipatif 

D(κ) (c’est le cas pour le spectre de Passot-Pouquet). En effet, les couples (K e , K d ) et (κ e , κ d ) 

sont reliés par les expressions suivantes : 

17 

3 

17 

3 

[ 

κe 

[ 

1 + 

[ 

1 + 

K e 

] 2 

[ 

κe 

K e 

] 2 

] + 3 

1 

[ ] ] 

κd 

2 

− 3 

K e 

[ ] 4 

κe 3 

− 4 =0 (4.9) 

K d 

[ ] 4 

κd 3 1 + =0 (4.10) 

K d 3 

La méthode d’initialisation du spectre VKP se décompose en trois étapes :


1. choix des valeurs des nombres d’onde κ e et κ d , 

2. résolution des équations (4.9) et (4.10), ce qui procure alors les valeurs des nombres K e et 

K d , 

3. enfin la détermination de u ′ et ε en assurant la cohérence entre les domaines physique 

et spectral (1.19) et (1.20), de sorte que l’énergie injectée dans l’expression du spectre 

corresponde à l’énergie cinétique réelle k. 

L’équation (1.20) faisant intervenir le terme de viscosité ν, la donnée de κ e , κ d et ν permet donc 

de définir intégralement le quadruplet {u ′ , ε, K e , K d }. Le fait de fixer nous-mêmes la taille de 

la zone inertielle (choix de κ e et κ d ) offre une meilleure modélisation de la cascade énergétique, 

permettant l’étude d’écoulements plus réalistes. Cependant, les informations relatives au spectre 

VKP dans le tableau 4.2 suggèrent que les ressources informatiques requises sont plus importantes. 

Elles ont motivé notre choix de se contenter d’un unique cas d’un tel spectre dans notre 

étude. Les paramètres retenus pour l’initialisation du spectre VKP sont regroupés au tableau 

4.5. 

κ e κ d ν 

4 10.5 2 10 −3 ⇒ 

K e K d u ′ ε Re T 

2.80 31.0 0.245 0.018 430 

Table 4.5 – Paramètres d’initialisation du spectre VKP 

4.1.3.2 Valeurs initiales des paramètres de l’écoulement 

Comme nous l’avons fait pour les spectres PP, nous présentons les valeurs des différents 

paramètres de l’écoulement initialisé grâce à un spectre VKP. Contrairement aux premiers cités, 

les valeurs imposées pour u ′ et ε lors de l’initialisation du spectre VKP ne sont pas identiques 

aux valeurs calculées par le code dès la première itération. Cet aspect est révélé par les données 

du tableau 4.6. Ainsi, le nombre de Reynolds initialement égal à 430, voit sa valeur chuter à 335 

Paramètres 

Valeurs 

t = 0 1 ère itération 

u ′ 0 0.245 0.221 

k 0 9.04 10 −2 7.40 10 −2 

ε 0 1.88 10 −2 1.04 10 −2 

ν 0 1.00 10 −3 1.02 10 −3 

Re T 0 430 335 

Re λ0 54 47 

Échelles de Valeurs 

longueurs t = 0 1 ère itération 

l T 0 1.52 1.23 

L ii0 0.27 0.27 

λ T 0 0.21 0.21 

η 0 1.51 10 −2 1.58 10 −2 

κ e 4 4 

κ d 10.5 10.5 

Table 4.6 – Valeurs initiales des paramètres de la turbulence initialisée par un spectre VKP 

dès la première itération. Il semble ainsi que le passage des valeurs de u ′ et ε dans le domaine 

physique ne soit pas aussi efficace qu’avec un spectre PP. Dans la suite de ce travail, les valeurs 

initiales relatives au spectre VKP correspondront aux valeurs observées à l’issue de la première 

itération. 

Nous proposons au lecteur la visualisation du champ de vorticité obtenu à partir de ce 

spectre VKP à l’issue de la 1 ère itération (Fig. 4.3). Cette figure permet de constater la capacité 

du spectre à simuler plus efficacement les petites structures dissipatives de l’écoulement.


Figure 4.3 – Visualisation du champ initial de vorticité (spectre VKP) 

4.1.3.3 Limites quant à l’utilisation du spectre VKP 

La définition d’un spectre VKP est plus contraignante que celle d’un spectre PP du fait de 

la possibilité de paramétrer la taille de la zone inertielle. En effet pour un spectre PP, la taille 

de cette zone est fixée à : 

(√ ) 

3 

2 − 1 

κ d − κ e = 

κ e (4.11) 

La situation est différente pour un spectre VKP pour lequel les propriétés turbulentes sont 

définies à partir de la taille de cette zone. Cette procédure d’initialisation ne permet pas de 

choisir, indépendamment des autres paramètres, le montant énergétique de l’écoulement. En 

effet comme le montre la figure 4.4, le nombre de Reynolds turbulent Re T admet, avant la 

première itération, un minimum d’environ 400 atteint pour K d /K e ≃ 11.6. Dans le paragraphe 

précédent, nous avons révélé l’existence d’un écart, propre à l’usage du spectre VKP, entre les 

valeurs initiales et celles calculées après une itération. Vu que nous conservons la deuxième 

catégorie de valeurs pour définir l’état initial de notre calcul, le minimum pour Re T retenu est 

donc ramené à 315. Cette valeur reste sensiblement élevée et le spectre VKP ne pourra donc pas 

être utilisé pour définir des écoulements à faible nombre de Reynolds turbulent. 

Figure 4.4 – Nombre de Reynolds turbulent en fonction de K d /K e 

Il est difficile de donner une signification physique au rapport K d /K e qui ne peut être interprété 

comme un indicateur de la taille de la zone inertielle. C’est pourquoi nous représentons


sur la figure 4.5, la valeur du nombre Re T obtenue d’après le choix initial des nombres d’onde 

κ e et κ d (la viscosité est fixée, égale à sa valeur définie dans le tableau 4.6). Cette figure permet 

de constater l’existence d’une région pour laquelle Re T atteint des valeurs très élevées alors que 

κ d −κ e < 1 (zone centrale rouge). Cette incohérence suggère qu’il faille définir une zone inertielle 

suffisamment grande de façon à éviter cette région dont l’existence se justifie difficilement. Ainsi, 

pour toute utilisation du spectre VKP, nous imposons la condition : 

κ d /κ e > 2 (4.12) 

Figure 4.5 – Nombre de Reynolds de turbulence en fonction de κ e et κ d 

4.2 Caractérisation des principales propriétés de la THI 

L’étude de la THI se révèle très intéressante car il est possible d’avancer l’analyse assez 

loin, mais aussi parce que les structures turbulentes les plus fines ont un comportement quasiisotrope. 

On espère en particulier pouvoir modéliser correctement ces petites structures souvent 

non représentées dans les simulations numériques. Cette section est destinée à exposer les résultats 

garantissant la conservation de l’homogénéité et de l’isotropie au cours des simulations 

d’écoulements de THI. 

4.2.1 Vérification du caractère homogène 

4.2.1.1 Caractéristiques d’un champ de turbulence homogène 

Un champ de turbulence homogène est un domaine infini de l’espace dans lequel les propriétés 

statistiques de la turbulence sont invariantes par translation spatiale. Autrement dit, les 

moyennes statistiques ne dépendent pas du point x d’observation. Même si de telles propriétés 

n’existent pas dans les écoulements réels, l’étude d’une turbulence homogène est attractive, 

considérant la simplification du formalisme mathématique qui en découle, mais aussi, car elle 

présente les propriétés physiques remarquables suivantes : 

– découplage dynamique entre mouvement moyen et mouvement d’agitation,


– absence de toute diffusion, 

– réduction des couplages implicites liés aux termes de pression, 

– nullité de la production du mouvement moyen sur celui d’agitation. 

Nous allons maintenant vérifier l’implémentation du caractère homogène de la turbulence, 

d’abord grâce à l’étude de la parité des fonctions de corrélations, puis en considérant les facteurs 

de dissymétrie et d’aplatissement. Nous terminerons par étudier l’évolution temporelle des 

moyennes spatiales des dérivées du champ de vitesse. 

4.2.1.2 Parité de la fonction de corrélation R ij 

Pour une turbulence homogène, l’expression des fonctions de corrélations en deux points 

(2.69) ne va dépendre que de la distance r séparant ces points avec : 

R i,j (P 1 , P 2 , t 1 , t 2 ) = R ij (r, t) (4.13) 

Dans un tel cadre, la fonction R ij va vérifier la relation suivante : 

R ij (r) = R ij (−r) (4.14) 

La fonction de corrélation R ij est donc une fonction paire de la variable r séparant les points 

P 1 et P 2 . Cette relation est a fortiori valable pour une même composante de la vitesse en deux 

points (i = j). On vérifie cette propriété en se plaçant dans le plan d’équation x = π, puis en 

évaluant ces corrélations de part et d’autre de ce plan. Le même raisonnement est conduit dans 

la direction y de manière à obtenir les profils illustrés sur la figure 4.6. Les résultats ainsi obtenus 

confirment bien la parité des fonctions de corrélation R ii . 

(a) Direction x 

(b) Direction y 

Figure 4.6 – Parité des corrélations doubles de vitesse R ii (r) (normées par R ii (0))


4.2.1.3 Facteurs de dissymétrie et d’aplatissement 

Les facteurs de dissymétrie S k et d’aplatissement T k permettent de quantifier l’écart à la 

situation gaussienne des gradients de fluctuations de vitesse. Ils sont définis par : 

S k = 1 3 

3∑ 

i=1 

( ) 3 ∂ui 

∂x i 

( ) 2 

3/2 et T k = 1 

∂ui 

3 

∂x i 

3∑ 

i=1 

( ∂ui 

∂x i 

) 4 

( ∂ui 

∂x i 

) 2 

2 

(4.15) 

Diverses études, comme celle menée par Mills et al [37], affirment que pour caractériser une 

turbulence développée et homogène, les conditions suivantes doivent être satisfaites : 

−0.5 ≤ S k ≤ −0.4 (4.16) 

3.3 ≤ T k ≤ 4.0 (4.17) 

La figure 4.7 représente l’évolution temporelle des facteurs S k et T k obtenue pour l’ensemble des 

spectres présentés dans la section 4.1 (la mention [-] dans la légende signifie que la variable est 

exprimée sans dimension). Considérant les critères définis par Mills et al., les valeurs obtenues 

(a) Ensemble S A (b) Ensemble S B (c) Spectre VKP 

Figure 4.7 – Évolution des facteurs de dissymétrie S k et d’aplatissement T k 

par le code sont satisfaisantes. Néanmoins, pour le spectre PP, il semble que la précision soit 

d’autant plus faible que la dynamique présente dans l’écoulement est grande (i.e. Re T est grand). 

En effet, S k et T k sont respectivement égaux en fin de simulation à −0.3 et 3.2 pour le cas S A 3 

(Re T = 400). Dans les autres cas, les critères sont parfaitement respectés, tout comme le cas du 

spectre VKP, ce qui démontre sa capacité à simuler plus efficacement les écoulements à nombre 

de Reynolds élevés. 

4.2.1.4 Incompressibilité du l’écoulement 

On entreprend maintenant de vérifier que l’agitation turbulente simulée est isovolume. Mathématiquement, 

cela se traduit par : 

∂u i 

= 0 pour ∀i ∈ 1, 2, 3, ∀t 

∂x i 

(4.18) 

div⃗u = 0 (4.19)


Les évolutions temporelles des divergences des champs de vitesse calculées pour chaque spectre 

des ensembles S A et S B ainsi que pour celui utilisant le spectre VKP sont représentées sur la 

figure 4.8. La nullité des termes de divergence de u est vérifiée pour tous les spectres même 

(a) div u (cas S A ) (b) div u (cas S B ) (c) div u (cas S V KP ) 

Figure 4.8 – Divergence du champ de vitesse instantanée 

si la divergence du champ de vitesse du cas S3 

A présente une amplitude plus importante. Cela 

démontre l’influence du nombre de Reynolds qui, pour les spectres PP, est responsable de l’augmentation 

de l’amplitude des dérivées du champ de vitesse, à la différence du nombre d’onde 

κ e qui n’a pas d’influence sur ces termes. La vérification des relations (4.19) confère donc à 

l’agitation turbulente un caractère isovolume, i.e. incompressible. 

4.2.2 Analyse de l’isotropie de l’écoulement 

Une turbulence isotrope est une turbulence homogène dont les propriétés statistiques sont 

invariantes par toute rotation. Nous ajoutons également ici l’invariance par symétrie plane. En 

fait, tout champ isotrope est nécessairement homogène, car toute translation peut se réduire 

à la composée de deux rotations. En toute rigueur, il suffirait de n’employer que le qualificatif 

isotrope pour une THI comme l’a fait Hinze [22]. La dénomination THI sera néanmoins conservée 

conformément à l’usage. En pratique, pour une turbulence isotrope, il est donc impossible de 

détecter une direction privilégiée d’observation en configuration d’écoulements périodiques. Pour 

vérifier l’isotropie de l’écoulement, nous ferons référence aux outils définis dans le paragraphe 

relatif à l’analyse corrélatoire et plus particulièrement à ceux qui traitent des corrélations doubles 

en THI (cf. 2.2.4.2). 

4.2.2.1 Corrélations doubles des vitesses en un point 

Une première conséquence de l’hypothèse d’isotropie confère une forme particulière au tenseur 

de Reynolds. Ainsi : 

u 2 = v 2 = w 2 = u ′2 (4.20) 

Pour ce qui concerne les corrélations de composantes croisées en un même point, on choisit 

dans un premier temps les vecteurs u et v respectivement parallèles aux axes x et y, on effectue 

ensuite une rotation d’angle π/2 à ce système, comme le montre la figure 4.9. On en déduit par 

isotropie que uv = −uv et par conséquent, la corrélation croisée uv ne peut être que nulle. Par


y 

v 

y 

u 

A 

u 

v 

A 

x 

x 

Figure 4.9 – Corrélations croisées en un point 

des raisonnements identiques, on montre que : 

uv = uw = vw = 0 (4.21) 

L’évolution temporelle de ces corrélations (Fig. 4.10) permet de vérifier que les conditions 

(4.20) et (4.21) sont bien retranscrites par le code EVEREST. L’évolution des corrélations 

(a) S A 1 − S B 2 : Re T = 100, κ e = 6 (b) S A 2 : Re T = 200, κ e = 6 (c) S A 3 : Re T = 400, κ e = 6 

(d) S B 1 : Re T = 100, κ e = 4 (e) S B 3 : Re T = 100, κ e = 8 (f) S V KP 

Figure 4.10 – Vérification du caractère isotrope de la turbulence 

doubles u i u i montre une légère anisotropie en début de simulation, celle-ci s’estompe ensuite


rapidement par l’action de mécanismes liés à la pression. Ces corrélations restent, dans l’ensemble, 

proches de la valeur u ′2 caractérisant ainsi l’isotropie au sein de l’écoulement. La situation 

est différente pour les corrélations croisées u i u j . En effet, dans le cas des spectres PP à forts 

Reynolds, comme c’est le cas pour S3 

A (Re T = 400), les corrélations croisées deviennent non négligeables. 

À Reynolds équivalent, S V KP montre de bien meilleurs résultats, révélant les limites 

du spectre PP à modéliser des écoulements à nombre de Reynolds élevé. 

4.2.2.2 Études des échelles corrélatoires doubles de vitesse 

Nous définissons maintenant les échelles intégrales d’auto-corrélation L l ij . L’objectif est de 

vérifier que le code modélise correctement le comportement de ces échelles qui représentent une 

longueur moyenne de corrélation spatiale du champ de vitesse fluide dans la direction l par : 

L l ij = 

∫ ∞ 

0 

R i,j (r −→ e l , t)dr (4.22) 

avec r = ‖ −→ r ‖ et −→ e l le vecteur unitaire dans la direction l. Puisque l’isotropie impose u i u j = 0 

pour i ≠ j, il vient L ij,l = 0 pour i ≠ j. Ainsi, seules les échelles intégrales d’auto-corrélation 

L k ii sont non nulles. L’hypothèse d’isotropie amène donc naturellement à : 

L 1 11 = L 2 22 = L 3 33 (4.23) 

On constate d’ailleurs que L 1 11 et L1 22 correspondent aux échelles Λ f (2.89) et Λ g (2.90) qui sont 

les macro-échelles de Taylor. Elles représentent la distance maximum d’extension d’un processus 

équivalent de corrélation unité et vérifient la dépendance déjà évoquée par la relation (2.91) : 

L j ii = Li ii 

2 

pour i ≠ j (4.24) 

La figure 4.11 représente l’évolution des échelles L j ii au cours du temps dans le cas de l’utilisation 

du spectre de référence S1 

A = SB 2 . Les relations (4.23) et (4.24) sont bien vérifiées dès 

l’établissement de la THI à t = 5. 

Figure 4.11 – Évolution au cours du temps des échelles intégrales d’auto-corrélation (cas S A 1 )


4.2.2.3 Corrélations et pression incompressible 

L’étude corrélatoire en THI nous a permis de caractériser la nullité des corrélations pressionvitesse 

P u en un point (2.80). Dans le cadre d’un écoulement isotrope, le même raisonnement 

peut être appliqué aux corrélations pression-déformation Π ii définies dans le paragraphe 2.2.3.3. 

Le nombre d’onde κ e n’ayant pas d’incidence sur ces corrélations, nous représentons sur les 

figures 4.12 et 4.13 les évolutions temporelles des corrélations pression-vitesse P u i et pressiondéformation 

Π ii uniquement pour les spectres S A 1 , SA 3 et SV KP . Actifs durant la période d’initial- 

(a) S A 1 : Re T = 100, κ e = 6 (b) S A 3 : Re T = 400, κ e = 6 (c) S V KP 

Figure 4.12 – Corrélations pression-vitesse en un point 

(a) S A 1 : Re T = 100, κ e = 6 (b) S A 3 : Re T = 400, κ e = 6 (c) S V KP 

Figure 4.13 – Corrélations pression-déformation en un point 

isation, les mécanismes liés aux corrélations pression-vitesse et pression-déformation participent 

à corriger l’anisotropie initiale des écoulements. Pour les spectres PP, cette action est d’autant 

plus importante que l’agitation turbulente est grande. Dans le cas du spectre VKP, le profil 

obtenu témoigne là encore ses qualités pour définir une THI efficiente. Progressivement les corrélations 

liées à la pression deviennent nulles traduisant la mise à l’équilibre des phénomènes 

turbulents.


4.3 Décroissance énergétique de la turbulence 

Dans cette section, l’évolution d’un écoulement de THI en décroissance libre est calculée par 

le code EVEREST puis comparée avec son évolution prédite par les équations du modèle k − ε 

(cf. 2.2.3.2). 

4.3.1 Validation des comportements analytiques des simulations 

4.3.1.1 Expressions analytiques des paramètres 

Dans le cas d’une THI, il est possible de déterminer analytiquement les lois d’évolution de 

k, ε et des différentes échelles de longueurs. En effet, le traitement des équations (2.65) et (2.66) 

du modèle k − ε, en régime de turbulence incompressible, conduit à des équations de transport 

modélisées par l’équation exacte (4.25) et la relation du modèle k − ε (4.26). 

∂k 

= −ε 

∂t 

(4.25) 

∂ε 

∂t = −C ε 2 

ε,2 

k 

(4.26) 

Le système différentiel ci-dessus possède une solution analytique. On introduit alors l’échelle de 

temps τ T (1.14) liée à l’échelle intégrale dont la valeur correspond au temps de retournement 

des tourbillons porteurs d’énergie. L’introduction du changement de variable τ T = k/ε dans le 

système (4.25) et (4.26) amène à : 

En notant f τ (t) = 1 + (C ε,2 − 1) 

dε 

ε = −C dt 

ε2 

(4.27) 

τ T 

dτ T 

= C ε2 − 1 (4.28) 

dt 

t 

τ T 0 

, les solutions analytiques de ce système sont de la forme : 

τ T (t) = τ T 0 [f τ (t)] (4.29) 

1 

k(t) = k 0 [f τ (t)] 

1−C ε2 (4.30) 

ε(t) = ε 0 [f τ (t)] C ε2 

1−C ε2 (4.31) 

où τ T 0 , ε 0 et k 0 sont respectivement les valeurs à l’instant initial de τ T , k et ε. On a de la même 

manière les relations exprimant le comportement des échelles de longueurs : 

l T (t) = l T 0 [f τ (t)] 2C ε2 −3 

2(C ε2 −1) 

(4.32) 

λ T (t) = λ T 0 [f τ (t)] 1 2 (4.33) 

η(t) = η 0 [f τ (t)] 

C ε2 

4(C ε2 −1) 

(4.34) 

Re T = Re T 0 [f τ (t)] C ε2 −2 

C ε2 −1 

(4.35) 

L’ensemble des relations (4.29) à (4.35) constitue la base des expressions analytiques dont 

nous allons nous servir pour valider les résultats de THI simulés par le code EVEREST.


4.3.1.2 Caractérisation du temps de mise en place de la THI 

L’analyse des corrélations doubles de vitesse (Fig. 4.10) a montré une légère anisotropie en 

début de simulation. Ceci suggère que les simulations nécessitent un temps d’adaptation pour 

que les mécanismes de la THI soient établies. Durant cette phase d’initialisation, la solution est 

légèrement influencée par les conditions initiales imparfaites et évolue progressivement vers une 

dynamique de l’écoulement plus réaliste. Ce temps est en fait nécessaire pour que le phénomène 

de cascade énergétique par transfert l’énergie des grosses aux plus petites structures, se mette 

en place selon le principe décrit dans le paragraphe 1.2.2.2. Pour nos simulations ce temps sera 

égal au temps τ T 0 du cas de référence S1 A = SB 2 , à savoir t = 5. 

Les expériences numériques menées confirment l’existence d’une période transitoire en constatant 

que, pour tous les écoulements simulés, τ T est initialement décroissant avant d’adopter 

son comportement linéaire théorique (Fig. 4.14). Cette figure révèle aussi qu’une augmentation 

(a) S A : Influence de Re T 

(b) S B : Influence de κ e 

Figure 4.14 – Évolution temporelle de τ T 

du nombre de Reynolds Re T entraîne des coefficients directeurs plus importants pour τ T (Fig. 

4.14(a)), alors qu’une valeur élevée du nombre d’onde κ e influe seulement sur la valeur initiale 

de τ T , sans modifier son coefficient directeur final (Fig. 4.14(b)). D’ailleurs, la valeur de κ e pour 

le cas S1 

B est voisine de 11. Pour étudier ce spectre, il aurait fallu théoriquement attendre ce 

temps pour caractériser la THI. Cependant, par souci de commodité et considérant les résultats 

obtenus quant à l’homogénéité et l’isotropie, nous conserverons ce temps t = 5 pour commencer 

l’étude. La durée effective des simulations passe ainsi de 60 à 55 unités de temps pour les spectres 

PP et VKP étudiés. 

4.3.1.3 Validation analytique de la THI simulée 

La première chose à valider est la vérification de l’équation exacte (4.25) traduisant le comportement 

théorique de k et ε en THI. Pour nos simulations, leurs expressions sont : 

k = 1 ) 

(u 

2 

2 + v 2 + w 2 (4.36) 

⎛ ( ) ⎞ 

3∑ 2 

∂ui 

ε = ν ⎝ 

⎠ (4.37) 

∂x j 

i,j=1


Les vérifications de l’équation d’évolution (4.25) par les paramètres k et ε estimés par les 

relations (4.36) et (4.37) sont représentées sur la figure 4.15. Les résultats simulés correspondent 

bien à la théorie même si la méthode d’Euler utilisée pour évaluer dk/dt trouve ses limites 

dans le cas d’écoulements à dynamique élevée. En effet, cette méthode d’évaluation de la dérivée 

engendre des oscillations pour le spectre S3 

A (et dans une moindre mesure pour le cas SA 2 ) autour 

d’une valeur moyenne qui coïncide malgré tout avec l’évolution de ε. 

(a) S A (b) S B (c) S V KP 

traits pleins : valeurs calculées, symboles : valeurs théroriques 

Figure 4.15 – Vérification de la loi d’évolution ε = −dk/dt (4.25) 

Dans un second temps, on valide sur les figures 4.16 et 4.17 les évolutions temporelles de 

l’énergie cinétique k et du taux de dissipations ε par comparaison aux expressions analytiques du 

modèle k −ε Les mêmes vérifications sont menées pour les échelles de longueurs caractéristiques 



Figure 4.16 – Validation de l’évolution de l’énergie cinétique turbulente k 

η, λ T et L ii (Fig. 4.18) et permettent de conclure quant à la très bonne simulation des paramètres 

de l’écoulement de THI. La valeur de la constante C ε,2 utilisée pour la validation de ces profils 

varie selon le cas considéré. Elle fait l’objet d’une étude plus approfondie que nous aborderons 

plus loin (cf. 4.3.2.1).




Figure 4.17 – Validation de l’évolution du taux de dissipation turbulence ε 


(d) S A 1 : Re T = 100, κ e = 4 (e) S A 1 : Re T = 100, κ e = 8 (f) S V KP 

traits pleins : valeurs calculées, symboles : valeurs théoriques 

Figure 4.18 – Validation des évolutions des échelles de longueurs η, λ T et Lii 

4.3.1.4 Vérification de l’évolution des critères de résolution 

Nous avons vu au chapitre 3 que les simulations doivent vérifier certains critères de résolution. 

La tenue de ces critères est destinée à garantir numériquement la représentativité physique de 

la THI. Ils sont de trois natures :


– le critère de résolution temporelle (3.6) est vérifié en prenant une valeur de la CFL inférieure 

à 0.6, le pas de temps diffusif F o est maintenu constant et égal à 0.1 ; 

– les critères de résolution spatiale avec la condition relative aux grandes échelles (3.2) qui 

stipule que l’échelle intégrale ne doit pas être supérieure au rapport L dom /4. Le critère 

relatif aux petites échelles (3.25) établit de son côté une condition sur le pas du maillage 

pour que l’échelle de Kolmogorov soit suffisamment échantillonnée ; 

– le critère de résolution spectrale (3.41) est quant à lui vérifié lorsque le produit de la valeur 

de l’échelle de Kolmogorov par le nombre d’onde maximal résolu κ max est supérieur à 4.3. 

• Critères de résolution pour les spectres PP : 

L’évolution des critères de résolution pour les spectres PP étudiés est illustrée sur la figure 

4.19. À l’issue du temps de mise en place de la THI, le critère de résolution spectrale est bien 

(a) Critère spectral : κ maxη (b) Grandes échelles : L T (c) Petites échelles : η 2 − h 

Figure 4.19 – Évolution des critères de résolutions (cas du spectre PP) 

supérieur à 4.3 pour toutes les configurations de spectres PP étudiées (Fig. 4.19(a)). Le critère 

de résolution des grandes échelles est lui aussi bien vérifié car toutes les échelles intégrales restent 

bien inférieures à L dom /4 (Fig. 4.19(b)). 

En ce qui concerne le critère relatif aux petites échelles, on s’aperçoit qu’il n’est pas vérifié 

intégralement pendant nos simulations. En effet, pour les écoulements à grande dynamique (S A 2 

et S A 3 ), il faut attendre un temps t voisin de 3τ T 0 pour que ∆x < η/2 (Fig. 4.19(c)). L’explication 

de ce défaut réside dans le raffinement adopté qui n’est pas suffisant pour simuler précisément 

les plus petites échelles. La tenue de ce critère, dès l’instant t = 5, aurait nécessité un maillage 

de 400 × 400 × 400 qui aurait engendré un temps de simulation 10 fois supérieur. Considérant 

que ce défaut n’a pas d’incidence sur la validation de l’homogénéité et de l’isotropie, nous avons 

choisi de conserver le maillage actuel pour ne pas trop allonger le temps de calcul. Nous gardons 

bien sûr en mémoire que la représentation des tourbillons à l’échelle de Kolmogorov n’est pas 

optimale entre le début de l’analyse statistique t = 5 et l’instant t = 15. Dans le cadre de la THI 

en décroissance, cet aspect n’est pas pénalisant étant donné que nous étudions les paramètres 

globaux de l’écoulement. En revanche, il s’agira de trouver une solution pour remédier à cette 

limite lorsque nous voudrons étudier l’influence de l’échelle de Kolmogorov lors de l’étude de 

l’ablation.


• Critères de résolution pour le spectre VKP : La figure 4.20 indique que le critère 

des grandes échelles ainsi que le critère spectral sont bien vérifiés. Il en est autrement du critère 

relatif aux petites échelles qui n’est atteint qu’en fin de simulation pour le spectre VKP. Malgré le 

raffinement important du maillage utilisé, l’utilisation d’un spectre VKP implique des structures 

turbulentes dissipatives si petites que ces dernières ne peuvent être résolues conformément au 

critère (3.25). 

(a) Critère spectral : κ maxη (b) Grandes échelles : L T (c) Petites échelles : η 2 − h 

Figure 4.20 – Évolution des critères de résolutions (cas du spectre VKP) 

4.3.2 Recalage de la constante C ε,2 

4.3.2.1 Méthode d’estimation de la constante 

L’introduction de la variable τ T dans le système d’équations (4.25) et (4.26), permet l’écriture 

des expressions exactes des paramètres de l’écoulement. Ces expressions dépendent uniquement 

des conditions initiales et de la constante C ε,2 . La méthode utilisée pour évaluer cette constante 

est d’exploiter la linéarité de τ T en fonction du temps (Fig. 4.14) car C ε,2 − 1 n’est autre que le 

coefficient directeur de la fonction linéaire avec : 

τ T (t) = (C ε,2 − 1) t + τ T 0 (4.38) 

Ainsi, une fois la turbulence établie, nous calculons la valeur de C ε,2 permettant d’approcher au 

mieux l’évolution globale de τ T . Les valeurs de C ε,2 ainsi caractérisées sont ensuite injectées dans 

les expressions analytiques définies précédemment. Parallèlement, nous comparons les valeurs 

trouvées à celle issues de la littérature que nous rappelons dans le tableau 4.7. 

Source 

Valeur de C ε2 

Modèle k − ε 1.92 

Comte-Bellot et al [15] 1.80 

Boughanem [8] 1.75 

Yakhot et al [68] 1.68 

Table 4.7 – Valeurs standards pour le paramètre C ε,2


4.3.2.2 Valeurs de C ε,2 extraites pour un spectre de Passot-Pouquet 

Le recalage de la constante C ε,2 présenté dans le paragraphe précédent est appliqué à l’ensemble 

des spectres étudiés. Nous savons d’ores et déjà que la résolution numérique directe de la 

THI conduit généralement à des valeurs inférieures à 1.92 (Tab. 4.7). Grâce aux propriétés des 

spectres utilisés pour les ensembles S A et S B , nous évaluons l’influence du nombre de Reynolds 

Re T et du nombre d’onde κ e sur les valeurs de C ε,2 obtenues. Cette initiative a été motivée 

par l’évolution temporelle de τ T (Fig. 4.14) qui suggère que C ε,2 dépend de la valeur de Re T . 

Le tableau 4.8 confirme cette dépendance et recense les valeurs de C ε,2 caractérisées pour les 

spectres étudiés. 

Ensemble S A 

Spectre κ e u ′ Re T C ε,2 

S1 A (réf.) 6 0.163 100 1.59 

S2 A 6 0.229 200 1.61 

S3 A 6 0.325 400 1.63 

Ensemble S B 

Spectre κ e u ′ Re T C ε,2 

S1 B 4 0.109 100 1.59 

S2 B (réf.) 6 0.163 100 1.59 

S3 B 8 0.215 100 1.58 

Table 4.8 – Valeurs extraites pour la constante C ε,2 (cas des spectres PP) 

Pour compléter les données du tableau 4.8, nous avons mené plusieurs réalisations des écoulements 

de l’ensemble S A pour lesquelles nous avons modifié uniquement la valeur de l’agitation 

turbulente u ′ . Ces études complémentaires nous ont permis de caractériser des écoulements possédant 

différents nombres de Reynolds pour disposer de suffisamment de résultats pour tracer 

l’évolution de C ε,2 en fonction de Re T (Fig. 4.21). 

Figure 4.21 – Valeurs de C ε,2 caractérisées pour des spectres PP 

4.3.2.3 Cas du spectre Von-Kármán Pao 

De même que pour le spectre PP, nous estimons la valeur de C ε,2 pour la THI initialisée avec 

un spectre VKP. L’utilisation de ce spectre doit permettre de trouver des valeurs plus proches 

de la valeur théorique de 1.92 [8]. Pour le spectre VKP étudié, la constante C ε,2 ainsi calculée 

est de 1.70. Cette valeur confirme la capacité du spectre VKP à modéliser plus fidèlement les 

mécanismes de transferts énergétiques entre les grosses et les petites structures turbulentes.


4.3.3 Interprétation des résultats 

4.3.3.1 Analyse des mécanismes de retour à l’isotropie 

La validation des caractères d’homogénéité et d’isotropie de la turbulence a permis de révéler 

l’existence d’un temps d’initialisation de la turbulence que nous avons caractérisé comme étant 

voisin du temps initial de retournement des tourbillons τ T 0 . Ainsi pour les cas utilisant un spectre 

PP, l’écoulement présente en début de calcul, à la fois une anisotropie et une inhomogénéité. 

Une fois le temps t = 5 dépassé, ces défauts sont corrigés et les mécanismes de la THI sont 

considérés comme établis. Les termes de pression sont communément associés à la redistribution 

de l’énergie entre les différentes composantes de la vitesse. Durant la phase d’initialisation, 

le « retour à l’isotropie » peut ainsi être relié à l’augmentation de l’amplitude des termes de 

corrélations pression-vitesse (Fig. 4.12) et pression-déformation (Fig. 4.13). Nous verrons dans 

le chapitre suivant que le rôle de ces corrélations peut être bien différent suivant la configuration, 

œuvrant alors pour structurer l’anisotropie de l’écoulement turbulent en proche paroi. 

Même s’il est possible de suivre l’évolution des différents paramètres durant la phase d’initialisation, 

leur interprétation physique dans le cadre de la THI est délicate. En effet, ce temps 

est nécessaire pour que les mécanismes de la cascade énergétique soient pleinement développés, 

laissant aux grandes structures porteuses d’énergie, le temps de transférer l’énergie aux 

structures dissipatives. La mise à l’équilibre entre les phénomènes de production et de dissipation 

de l’énergie cinétique turbulente rend alors numériquement fiable l’étude d’une THI. C’est 

pourquoi, nous n’avons pas mené d’analyses physiques des résultats plus poussées durant cette 

phase de d’établissement. 

4.3.3.2 Choix du spectre d’initialisation 

L’étude des rapports d’isotropie et des moyennes spatiales des dérivées du champ de vitesse 

a montré les limites du spectre PP pour modéliser des écoulements à nombre de Reynolds élevé. 

Cette caractéristique s’explique par la faible épaisseur de la zone inertielle sur laquelle sont 

injectés des montants d’agitation turbulente toujours plus élevés. Ainsi, à Re T équivalent, le 

spectre VKP permet de caractériser un meilleur comportement des propriétés de la THI car il 

distribue mieux l’énergie entre les échelles de longueurs de la turbulence. Ceci dit, les conditions 

sur le maillage nécessaires à son utilisation sont, compte-tenu des capacités de calcul actuelles, 

assez lourdes. C’est la raison pour laquelle, nous utiliserons préférentiellement des spectres PP 

en raison de leur plus grande souplesse d’implémentation. 

Néanmoins, la mise en œuvre de ces deux spectres permet de mettre en exergue le rôle joué 

par le paramètre κ e . En effet, comme le montrent les figures 4.2 et 4.3, ce nombre d’onde permet 

de définir la taille des tourbillons caractéristiques de l’écoulement turbulent. Cette caractéristique 

s’applique particulièrement bien avec le spectre de Passot-Pouquet. De son côté, le spectre VKP 

modélise préférentiellement les structures les plus fines. Ces propriétés confèrent aux spectres PP 

et VKP la possibilité d’étudier l’influence d’un large intervalle de tailles de structures porteuses 

d’énergie sur le phénomène d’ablation. 

4.3.3.3 Capacité du code à simuler la THI 

Les simulations ont montré que le code était en mesure de garantir l’homogénéité et l’isotropie 

de la turbulence générée. Cela dit, la durée de la phase exploitable des simulations est limitée. 

On s’aperçoit que plus le nombre de Reynolds turbulent initial est élevé, moins le caractère


isotrope de la turbulence est vérifié pour les temps longs (Fig. 4.10). Dans notre cas, la tenue 

du critère (3.2) assure la décorrélation spatiale malgré la constante augmentation de l’échelle 

intégrale. Pour expliquer la dégradation des résultats en fin de simulation, nous estimons que 

l’agitation turbulente n’est plus suffisante pour garantir la cohérence des mécanismes de la THI. 

En fait, nous assistons à une relaminarisation de l’écoulement aux temps longs qui conduit à 

un écoulement turbulent « résiduel » ayant des statistiques moins représentatives. Il s’agit donc 

de définir un temps relatif à l’extinction de la turbulence t dissip à partir duquel le montant 

énergétique n’est plus suffisant pour qualifier convenablement la THI en décroissance. À la vue 

des résultats obtenus, nous fixons cette valeur à : 

t dissip = 10τ T 0 (4.39) 

D’un point de vue dynamique, la décroissance énergétique de la turbulence est très rapide. 

Le nombre de Reynolds initial Re T 0 , égal à à 100 (cas de notre simulation de référence pour le 

spectre de Passot-Pouquet), diminue jusqu’à une valeur de 25 à l’issue du temps d’adaptation 

τ T 0 . Malgré la différence des profils observés entre ces deux instants, la qualité des résultats 

obtenus lors de la validation prouve la capacité du code à simuler correctement la THI. En 

effet, les figures 4.16, 4.17 et 4.18 confirment que les expressions analytiques sont parfaitement 

simulées et la figure 4.15 assure le respect de la loi d’évolution ε = −dk/dt. 

4.3.3.4 Recalage constante C ε,2 

Le recalage de la constante de modélisation C ε,2 est un élément incontournable pour qualifier 

la turbulence. Sa valeur généralement admise et issue de l’expérience est de 1.92. Pourtant les 

récents travaux de simulation numérique directe tendent à utiliser des valeurs plus faibles pour 

caractériser les écoulements de THI (Tab. 4.7). Le code EVEREST confirme cette tendance en 

avançant des valeurs de C ε,2 allant de 1.58 à 1.68 pour le spectre PP (Fig. 4.21) et une valeur de 

1.70 pour le spectre VKP. Il est intéressant de noter que C ε,2 est une fonction de Re T qui tend en 

principe vers 1.92 lorsque Re T est suffisamment grand et que la zone inertielle est suffisamment 

large. Cet aspect justifie les meilleurs résultats fournis avec le spectre VKP pour l’obtention des 

valeurs de C ε,2 plus « réalistes ». 

4.4 Étude d’une turbulence forcée 

4.4.1 Motivations 

4.4.1.1 Décroissance rapide de la turbulence 

Sans apport d’énergie extérieure dans l’écoulement, la turbulence décroît rapidement. Comme 

l’indique la figure 4.22, le maximum du spectre E(κ, t) de la turbulence se déplace progressivement 

vers les faibles nombres d’onde. Ainsi, les petites structures décroissent plus rapidement 

que les structures porteuses d’énergie. Cette propriété est vérifiée en représentant sur la figure 

4.23 l’évolution du champ de vorticité en décroissance. En plus de la diminution rapide de l’énergie 

(caractérisée par le diminution de l’aire sous la courbe du spectre E(κ)), on constate que 

la taille des tourbillons porteurs d’énergie augmente au cours du temps. Ceci est en adéquation 

avec le comportement de l’échelle intégrale qui est croissante dans le cas d’une THI (Fig. 4.18). 

Ces propriétés s’expliquent en étudiant de plus près l’équation de Lin d’évolution de la densité 

spectrale d’énergie (1.21). En considérant que les tourbillons de tailles différentes n’interagissent


(a) Vue classique 

(b) Vue logarithmique 

t 1 < t 2 < t 3 < t 4 < t 5 < t 6 

Figure 4.22 – Évolution du spectre de la turbulence au cours du temps 

(a) t 1 = 5 (b) t 2 = 20 (c) t 3 = 50 

Figure 4.23 – Évolution de la vorticité en l’absence de forçage (échelles de couleur non constante) 

pas entre eux (on suppose que la fonction de transfert du spectre T (κ, t) est négligeable), cette 

équation s’écrit : 

∂ 

∂t E(κ, t) = −2νκ2 E(κ, t) (4.40) 

Le déplacement du nombre d’onde κ e vers des faibles valeurs et la décroissance de l’énergie cinétique 

turbulente sont formalisés respectivement en intégrant et en passant à la limite l’équation 

de Lin modifiée (4.40) : 

( 

) 

E(κ, t) = E(κ, t 0 ) exp −2νκ 2 (t − t 0 ) 

(4.41) 

lim 

k→0 

∂ 

E(κ, t) = 0 (4.42) 

∂t 

4.4.1.2 Forçage linéaire initialement utilisé 

La première méthode utilisée pour forcer la turbulence a été d’ajouter dans le domaine 

réel, une force externe aux équations de Navier-Stokes, pour tous les modes inférieurs à κ f 

(|κ| < κ f ). Ainsi, Lundgren [33] proposa un schéma de forçage « linéaire ». Son idée est d’évaluer


la dissipation par effets visqueux et de réinjecter cette dissipation sous la forme d’une force 

proportionnelle à la fluctuation de vitesse. Il a montré que ce forçage permet de recouvrir une 

gamme de nombre d’onde allant de l’échelle intégrale à la zone inertielle. Autrement dit, le 

forçage agit principalement sur les tourbillons porteurs d’énergie. Son principal avantage est qu’il 

s’applique directement dans le domaine physique avec des conditions aux limites non périodiques. 

Le terme de forçage s’ajoute aux équations de conservation de la quantité de mouvement 

(2.4) avec : 

( ) 

∂ui 

ρ 

∂t + u ∂u i 

j = ρF i − ∂P + µ ∂2 u i 

+ ρBu i (4.43) 

∂x j ∂x i ∂x j ∂x j 

où le paramètre B est donnée par la relation : 

B = ɛ + u i.∇p 

ρu i .u i 

= ɛ + u i.∇p 

3ρu ′2 (4.44) 

La figure 4.24 représente la variation de l’énergie cinétique turbulente moyenne k et du taux 

moyen de dissipation turbulente ε dans le cas sans et avec forçage. Ce forçage linéaire est 

déclenché une fois la THI établie, dans le cas présent à t = 5. Il apparaît que la valeur de k reste 

constante pour t > 5 tandis que celle de ε ne cesse de décroître. 

(a) Évolution de k 

(b) Évolution de ε 

Figure 4.24 – Conséquences du forçage sur les évolution de k (a) et ε (b) 

Ceci a pour conséquence de modifier les profils de vorticité au cours du forçage comme 

l’indique la figure 4.25. Nous remarquons sur cette figure que les petites structures tourbillonnaires 

sont bien simulées à l’instant initial, mais celles-ci sont dissipées par effets visqueux et 

ne sont pas alimentées par les grosses structures. Cette évolution est due au terme de forçage 

de la turbulence qui ne laisse pas de temps aux grosses structures tourbillonnaires de recréer la 

cascade énergétique du fait de la ré-injection de la dissipation turbulente sur des nombres d’onde 

trop petits. 

4.4.1.3 Une taille de rugosités à atteindre 

La principale motivation de l’utilisation d’un forçage est l’obtention de profils ablatés possédant 

des rugosités de taille significative (de l’ordre du µm). En l’occurrence, nous venons de 

montrer les difficultés rencontrées avec l’utilisation d’un forçage dans le domaine physique. En


(a) t 1 = 5 (b) t 2 = 40 (c) t 3 = 50 

Figure 4.25 – Évolution de la vorticité avec forçage linéaire 

effet, malgré des temps de calcul très longs (≃ 420h), la taille de rugosité caractérisée avec ce 

forçage n’excédait pas 1.3 10 −10 m [64]. 

L’utilisation de la librairie FFTW pour l’initialisation de la turbulence nous a naturellement 

incité à caractériser un forçage dans le domaine fréquentiel, dans l’objectif d’atteindre des tailles 

de rugosités plus significatives. Ce travail fut donc l’occasion d’implémenter et de valider une 

nouvelle méthode de forçage : le forçage spectral de la turbulence. 

4.4.2 Caractérisation du forçage spectral utilisé 

4.4.2.1 Principe du forçage 

Contrairement au forçage linéaire qui intervient directement sur les équations de Navier- 

Stokes et donc sur le champ des fluctuations des vitesses, le forçage spectral va consister en 

la création d’un nouveau champ des fluctuations spectrales qui, ajouté au champ spectral de 

l’écoulement existant, va maintenir l’énergie résultante constante. La génération de ce nouveau 

champ suit exactement la procédure présentée dans le paragraphe 3.3, à l’exception du paramétrage 

du spectre PP. En effet, nous modifierons ici la valeur de l’agitation turbulente u ′ f afin de 

maintenir un niveau énergétique constant, ainsi que le nombre d’onde κ e de manière à choisir 

la taille des tourbillons sur lequel le forçage s’effectuera. Ce forçage spectral suit la démarche 

suivante : 

1. on fixe la valeur de l’énergie cinétique que l’on souhaite entretenir au sein de l’écoulement, 

on la note k ⋆ , elle correspond à la valeur de k au début du forçage soit k ⋆ = k(τ T 0 ) ; 

2. on laisse décroître la turbulence jusqu’à ce que la condition de l’équation (4.45) soit satisfaite 

: 

k(t) < (1 − s k )k ⋆ (4.45) 

où k(t) est l’énergie cinétique moyenne turbulente à l’instant t et s k le seuil prédéfini par 

l’utilisateur. Pour nos simulations d’écoulements forcés nous prendrons s k = 1% ; 

3. une fois ce seuil atteint, on effectue une transformée de Fourier directe (TFD) de manière 

à transposer le champ des fluctuations de vitesse dans l’espace spectral, ce champ spectral 

Ψ 1 possède une énergie égale à k(t) = k ⋆ (1 − s k ) ;


4. on génère alors un champ de fluctuations spectrales Ψ 2 dont l’énergie est égale à k ⋆ − k(t) 

et le nombre d’onde de forçage κ f correspond soit à une valeur fixée κ ⋆ f (on parlera de 

forçage spectral fixe), soit à sa valeur théorique en THI décroissante (on parlera de forçage 

spectral variable). Dans ce dernier cas, l’équation définissant le nombre d’onde de forçage 

κ f (t) s’écrit à l’instant t pour un spectre de Passot-Pouquet : 

√ 

2ε(t) 

κ f (t) = 

5ν(t)k(t) 

(4.46) 

5. on ajoute alors les champs fluctuants Ψ 1 et Ψ 2 afin d’obtenir le champ Ψ dont l’énergie 

est égale à k ⋆ . On applique finalement une transformée de Fourier inverse (TFI) au champ 

spectral Ψ afin de transporter le champ forcé dans le domaine physique. 

Il est important de noter que ce forçage est à divergence nulle afin d’éviter toute influence 

du forçage sur le champ de pression. De plus, ce forçage doit satisfaire les conditions suivantes : 

– l’énergie k ⋆ − k(t) du champ spectral Ψ 2 doit être non négligeable devant k(t), critère 

satisfait en prenant s k = 0.01, 

– le forçage de la turbulence ne doit s’opérer qu’une fois la THI mise en place, autrement 

dit, le forçage ne sera déclenché que pour t > τ T . 

4.4.2.2 Description des écoulements forcés simulés 

Le montant énergétique que l’on peut injecter à chaque forçage doit être faible devant l’énergie 

existante. Cette condition empêche donc tout forçage utilisant un spectre VKP car, comme 

nous l’avons évoqué dans le paragraphe 4.1.3.3, seuls des écoulements à Re T importants sont 

modélisés avec ce spectre. Nous utiliserons donc des spectres PP pour forcer la turbulence. Les 

écoulements forcés étudiés ainsi que les forçages spectraux associés sont définis dans le tableau 

4.9. L’énergie étant fixée à k ⋆ , nous paramétrons notre étude en fonction du nombre d’onde de 

forçage κ f , fixe ou variable. 

Écoulements forcés étudiés 

Dénomination S f 1 S f 2 S f 3 S f 4 

Écoulement initial S1 B S2 B S3 B S2 

B 

Nature du forçage spectral Fixe Fixe Fixe Variable 

Nombre d’onde de forçage κ f 4 6 8 - 

Début forçage t = 5 t = 5 t = 5 t = 5 

Table 4.9 – Présentation des écoulements forcés 

4.4.2.3 Maintien d’un niveau d’énergie cinétique constant 

L’objectif de cette procédure de forçage est de garantir un état stationnaire de la turbulence 

au sein de l’écoulement. Comme pour le forçage linéaire, la condition nécessaire, le niveau d’énergie 

cinétique turbulente doit être maintenu constant autour de la valeur k ⋆ , avec une amplitude 

inférieure à s k . À l’issue de la phase de décroissance correspondant au temps de mise en place 

de la THI, nous vérifions cette propriété sur la figure 4.26.


En regardant les choses de plus près, on constate que le profil de l’énergie cinétique k(t) n’est 

pas vraiment constant, il présente une série de décroissances énergétiques et de forçages comme 

l’indique le zoom de la figure 4.26. L’évolution de la vorticité pour le cas S f 2 , représentée sur la 

(a) k 

(b) ε 

Figure 4.26 – Évolution de k et ε pour les écoulements forcés étudiés 

figure 4.27, permet de s’assurer de la conservation de ces structures au cours du forçage. 

(a) t = 5 (b) t = 20 (c) t = 40 

Figure 4.27 – Évolution de la vorticité forcée 

4.4.2.4 Conservation de l’homogénéité et l’isotropie du champ forcé 

Le maintien d’une énergie constante rendue possible grâce à l’utilisation du forçage spectral 

se doit de conserver les caractères d’homogénéité et d’isotropie de l’écoulement de THI. L’objectif 

est d’obtenir un état stationnaire de la cascade énergétique décrite par Richardson en alimentant 

fréquemment la turbulence par forçage. Comme dans le cas de la décroissance énergétique, nous 

vérifions d’abord que durant le forçage, les facteurs de dissymétrie et d’aplatissement respectent 

les critères (4.16) et (4.17) de Mills sur la figure 4.28(a). Ensuite, ce sont les évolutions de 

la divergence du champ de vitesse instantannée divu (Fig. 4.28(b)) ainsi que les corrélations 

doubles de vitesse en point (Fig. 4.28(c)) qui sont analysées. Les résultats étant similaires pour 

les écoulements considérés, nous exposons seulement les résultats obtenus pour le cas de référence 

S f 2 . Cette figure permet de confirmer que le forçage s’effectue bien à divergence nulle. Elle révèle


(a) S k et T k (b) divu (c) u 2 i /u′2 (légende cf. 4.10) 

Figure 4.28 – Vérification des caractères homogène et isotrope de la THI forcée (cas S f 2 ) 

surtout que le forçage spectral ne perturbe ni l’homogénéité, ni l’isotropie de l’écoulement de 

THI. 

4.4.3 Interprétation des méthodes de forçage implémentées 

4.4.3.1 Comparaison des forçages spectral et linéaire 

La comparaison des évolutions du champ des vorticités obtenues par forçage linéaire (Fig. 

4.25) et par forçage spectral (Fig. 4.27) démontre les limites du forçage linéaire proposé par 

Lundgren pour maintenir un état turbulent stationnaire. En effet, même s’ils permettent tous 

deux de fixer correctement le montant d’énergie cinétique de turbulence, les structures d’agitation 

se dissipent malgré tout dans le cas du forçage linéaire, rendant impossible l’étude de 

l’influence des échelles de longueurs caractéristiques. D’ailleurs, l’étude des évolutions de k et ε 

représentées sur les figures 4.24 et 4.26, indique que le forçage linéaire ressemble au cas S f 4 du 

forçage spectral. En effet, contrairement aux cas relatifs au forçage spectral fixe, ces deux configurations 

montrent une baisse constante du taux de dissipation turbulente ε. Ce comportement 

explique l’augmentation constante des échelles de longueurs ainsi que du nombre de Reynolds 

turbulent (Fig. 4.29). Dans le cas du forçage spectral fixe, le maintien des échelles de longueurs 

caractéristiques de la turbulence est très bien assuré. 

4.4.3.2 Efficacité du forçage spectral 

Dans le paragraphe 4.4.2, deux types de forçage ont été mentionnés suivant la valeur κ f du 

nombre d’onde utilisé par le spectre de forçage E f (κ) du champ Ψ 2 généré : 

– le premier consiste à forcer la turbulence en utilisant toujours le même nombre d’onde κ f . 

Nous qualifions ce type de forçage de forçage spectral fixe. Il concerne les configurations 

S f 1 , Sf 2 et Sf 3 ; 

– le second consiste à forcer à l’instant t sur le nombre d’onde théorique κ f = κ e (t) pour 

une THI (4.46), on parlera alors de forçage spectral variable. La configuration S f 4 est ainsi 

destinée à étudier ce forcage particulier. 

On représente sur la figure 4.30 les nombres d’ondes de forçage utilisés dans chacun des cas 

du tableau 4.9, ainsi que le rapport k(t)/k ⋆ représentant l’écart entre l’énergie effectivement


(a) Échelles de longueurs 

(b) Nombres de Reynolds turbulents 

Figure 4.29 – Comparaison des forçages linéaire et spectral variable S f 4 

atteinte à l’instant t et celle visée k ⋆ . Cette courbe révèle d’abord que le nombre d’onde de 

(a) Évolution de κ f 

(b) Évolution du rapport k/k ⋆ 

Figure 4.30 – Évolution de κ f et du rapport k/k ⋆ pour des forçages fixe et variable 

forçage théorique en THI est bien décroissant au cours du calcul, ceci est en adéquation avec les 

remarques du paragraphe 4.4.1. Les autres nombres d’onde possèdent bien une valeur fixée tout 

au long des simulations. La figure 4.30 permet aussi de constater que le montant énergétique 

k ⋆ est efficacement maintenu. En d’autres termes, il n’y a pas de phase transitoire du forçage 

spectral quelles que soient les configurations envisagées. Cet avantage est dû à la distribution 

aléatoire des structures turbulentes à chaque génération du champ de forçage Ψ 2 . 

L’étude de la figure 4.26 illustrant l’évolution de k et ε pour les cas de forçages spectraux 

étudiés permet de juger l’efficacité de chacune des configurations quant à la manière d’entretenir 

la turbulence. Ainsi, comme dans le cas du forçage linéaire, on constate que le taux de dissipation 

turbulente ε est décroissant pour le cas S f 4 suggérant que les échelles de longueurs ne sont pas 

constantes. Cette propriété est vérifiée sur la figure 4.31 qui illustre l’augmentation des échelles 

η, λ T et L ii . Ce comportement est bien en adéquation avec l’évolution théorique des ces échelles 

dans le cas d’une THI en décroissance. Quant aux cas S f 1 , Sf 2 et Sf 3 , ils permettent de fixer 

correctement la valeur des échelles. La comparaison des champs de vorticité obtenus pour un


(a) Échelles de longueurs 

(b) Nombres de Reynolds turblents 

Traits pleins : forçage spectral fixe S f 2 , tirets : forçage spectral variable Sf 4 , pointillés : sans 

forçage S1 

A 

Figure 4.31 – Échelles de longueurs et des nombres de Reynolds au cours du forçage 

temps long (t = 40) pour les configurations S f 2 et Sf 4 témoigne de la différence des structures 

turbulentes accessibles par ces deux types de forçages spectraux (Fig. 4.32). 

(a) Forçage spectral fixe (cas S f 2 ) (b) Forçage spectral variable (cas Sf 4 ) 

Figure 4.32 – Comparaison des champs de vorticité obtenus à t = 40 pour S f 2 et Sf 4 

Le choix entre le forçage spectral fixe et le forçage spectral variable se fera selon la nature 

de l’étude engagée. Le forçage spectral fixe sera utilisé pour caractériser l’influence d’un jeu 

d’échelles de longueurs spécifique alors que le forçage spectral variable sera appliqué pour simuler, 

à énergie constante, le comportement théorique de ces échelles lors d’une THI en décroissance. 

4.5 Extraction des paramètres spectraux de l’écoulement 

La volonté de suivre l’évolution spectrale de la turbulence a été l’une des pistes de recherche 

de ce travail. En permettant un passage rapide entre espaces physique et spectral, la librairie 

FFTW a offert la possibilité d’extraire facilement les propriétés spectrales de la turbulence au 

cours de la simulation. Dans cette section, nous évoquerons la méthode utilisée pour effectuer


l’extraction, puis nous présenterons les résultats obtenus avant de les interpréter. 

4.5.1 Principe de l’extraction 

De la même manière que le forçage spectral, l’extraction nécessite de transporter le champ 

des vitesses dans l’espace fréquentiel S. Ce passage se fait grâce à une transformée de Fourier 

(directe en l’occurrence), afin d’obtenir le champ spectral des vitesses ũ, comme le schématise 

la relation suivante : 

⎛ ⎞ ⎛ 

U = 

⎜ 

⎝ 

u 

v 

w 

⎟ 

⎠ ⇒ ũ = 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

ũ 1 

⎟ 

ũ 2 

ũ 3 

⎠ (4.47) 

Dès lors, il s’agit de déterminer la valeur du spectre E(κ) en utilisant l’équation (3.28) qui relie 

le module du champ de vitesse spectral au spectre énergétique E(κ) avec : 

‖ŭ(κ 1 , κ 2 , κ 3 )‖ 2 = ũ 1 2 + ũ 2 2 + ũ 3 2 = E(κ) 

2πκ 2 ∆V κ (4.48) 

où ∆V κ , produit des pas spectraux ∆V κi , est égal à 1. 

Au cours des simulations, une telle extraction sera réalisée une vingtaine de fois. Ce nombre 

nous semble suffisant pour avoir suffisamment de données afin de caractériser les évolutions 

spectrales des paramètres. 

4.5.2 Résultats du suivi spectral de la turbulence 

Nous exposons ici les différents spectres énergétiques THI extraits pour les configurations 

étudiées. Nous distinguons les cas avec et sans forçage spectral, avant d’analyser une situation 

originale dans laquelle le forçage s’effectue sur des nombres d’onde élevés de manière à simuler 

la présence d’une surface rugueuse. 

4.5.2.1 Extraction lors d’une THI en décroissance 

Nous reprenons ici les écoulements définis dans la section 4.1 pour lesquels nous avons assuré 

un suivi spectral de l’écoulement. La figure 4.33 représente les spectres énergétiques extraits 

pour les ensembles de simulation S A et S B des spectres PP au cours du temps. 

Le suivi spectral dans le cadre d’une THI en décroissance permet de retrouver l’allure des 

spectres théoriques évoquée dans l’approche spectrale (cf. 4.4.1.1). On constate la diminution 

de l’amplitude du spectre E(κ), synonyme de décroissance énergétique, ainsi que la diminution 

de κ e (Fig. 4.34) signifiant une augmentation des échelles de longueurs caractéristiques en THI. 

De plus, on s’aperçoit que la pente de Kolmogorov de − 5 3 

est majoritairement respectée. 

4.5.2.2 Extraction au cours d’un écoulement forcé 

En complément du travail de validation déjà effectué pour ce forçage, nous vérifions, maintenant 

grâce au suivi spectral, les spectres énergétiques extraits au cours d’écoulements entretenus 

par un forçage spectral. Les configurations envisagées ici correspondent aux situations 

des spectres définis dans le tableau 4.9. Sur la figure 4.35, nous représentons donc les spectres 

extraits au cours des quatre cas étudiés. Leurs allures confirment l’état stationnaire de la 

turbulence dans le cas d’un forçage fixe. Les résultats acquis pour le cas du forçage spectral 

variable attestent du déplacement vers des faibles nombres d’onde de κ e (cas de la THI) tout en 

maintenant un niveau d’énergie constant matérialisé par une amplitude constante de E(κ).



(d) S B 1 : Re T = 100, κ e = 4 (e) S B 2 : Re T = 100, κ e = 6 (f) S B 3 : Re T = 100, κ e = 8 

Figure 4.33 – Spectres énergétiques E(κ) extraits durant une THI en décroissance 

Figure 4.34 – Évolutions des nombres d’onde κ e extraits


(a) κ f = 4 (b) κ e = 6 

(c) κ e = 8 

(d) κ e(t) 

Figure 4.35 – Spectres énergétiques E(κ) extraits durant une THI en forçage spectral (même 

légende que 4.33) 

4.5.2.3 Simulation de la présence d’une paroi ablatée 

Dans l’optique d’évaluer la redistribution de l’énergie lorsque l’écoulement est « parasité » 

par des structures turbulentes très petites (typiquement représentatif de ce qui se passe avec 

la création d’une rugosité de surface), nous avons mis en place un forçage s’effectuant sur des 

nombres d’onde beaucoup plus petits que les nombres d’onde caractéristiques des structures 

porteuses d’énergie. Nous avons ainsi eu recours à deux configurations différentes : 

– la première simulation débute avec un κ e égal à 6, puis à l’issue de la phase d’initialisation, 

l’écoulement est forcé sur un nombre κ f égale à 12 ; 

– la seconde simulation est identique à la première, à la différence du nombre d’onde de 

forçage qui sera égal ici à 20. 

Afin que le lecteur puisse visualiser les situations étudiées nous représentons sur les figures 

4.36 et 4.37, l’évolution des champs de vorticités au temps t = 5, t = 10 et t = 20 pour ces deux 

forçages. 

Les spectres énergétiques obtenus au cours de ces expériences sont regroupés sur la figure 

4.38 ci-dessous. Cette figure permet d’évaluer la redistribution énergétique entre les structures 

turbulentes existantes et les structures parasites sur lesquelles l’écoulement est forcé. On observe


(a) t = 5 (b) t = 10 (c) t = 20 

Figure 4.36 – Évolution de la vorticité pour le cas (κ e = 6, κ f = 12) 

(a) t = 5 (b) t = 10 (c) t = 20 

Figure 4.37 – Évolution de la vorticité pour le cas (κ e = 6, κ f = 20) 

(a) κ e = 6; κ f = 12 (b) κ e = 6; κ f = 20 

(même légende que 4.33) 

Figure 4.38 – Spectres énergétiques extraits lors de forçages sur des nombres d’onde élevés 

en effet une augmentation du nombre d’onde κ e extrait au cours de la simulation traduisant la 

rééquilibrage énergétique s’effectuant entre les nombres d’onde κ = 6 initial et le nombre d’onde 

de forçage κ f .


4.5.3 Interprétation des résultats liés à l’extraction spectrale 

La mise en place d’un module de suivi spectral de la turbulence a permis de retrouver les 

propriétés déjà mises en avant dans l’espace réel aussi bien pour le cas d’une configuration de THI 

en décroissance que pour une THI forcée. Cela dit les profils obtenus montrent des oscillations 

synonymes du manque d’échantillons représentatifs utilisés pour ces études. En effet, un nombre 

de réalisations plus important aurait permis de lisser l’allure des spectres énergétiques extraits. 

La situation est plus intéressante dans le cas du forçage simulant la présence d’une paroi 

ablatable étant donné que cette étude nous permet de disposer des premiers éléments concernant 

l’interaction entre un écoulement turbulent et une paroi ablatable. Ainsi, nous avons été en 

mesure de caractériser le rééquilibrage énergétique qui se déroulait lors du forçage spectral 

localisé sur des nombres d’onde importants. 


La validation des phénomènes liés à la THI est un enjeu crucial pour garantir la modélisation 

de la turbulence faite par le code EVEREST. Dans cette optique, nous avons réalisé plusieurs 

simulations en utilisant différents types d’initialisations spectrales (PP et VKP) de manière à 

identifier l’influence des caractéristiques essentielles des écoulements turbulents : le nombre de 

Reynolds de turbulence Re T ainsi que le nombre d’onde relatif aux structures porteuses d’énergie 

κ e . 

Les premiers éléments que nous avons vérifiés sont les propriétés intrinsèques de la THI, à 

savoir l’homogénéité et l’isotropie. Pour cela, nous avons analysé les évolutions temporelles des 

corrélations doubles de vitesse, les moyennes spatiales des dérivées du champ de vitesse ainsi 

que les facteurs de dissymétrie et d’aplatissement S k et T k . Les résultats obtenus ont permis 

de vérifier que le mouvement d’agitation reste bien homogène et isotrope durant le temps de 

simulation, conférant à l’écoulement des propriétés statistiques particulièrement intéressantes. 

Dans un second temps, nous avons comparé l’évolution temporelle de paramètres tels que 

l’énergie cinétique turbulente k, le taux de dissipation turbulente ε et les échelles de longueurs 

caractéristiques avec leurs expressions analytiques prédites par le modèle k − ε appliqué à une 

THI. Là encore, le code numérique prouve ses capacités de prédiction en constatant que les 

résultats calculés coïncident parfaitement avec les évolutions classiques. 

La décroissance énergétique étant très rapide, nous avons du considérer l’implémentation 

d’un forçage pour disposer d’un état stationnaire turbulent. La méthode utilisée initialement 

consistait à forcer l’écoulement dans le domaine réel en ajoutant aux équations de Navier- 

Stokes une force proportionnelle aux fluctuations de vitesse. Cependant, ce forçage s’est avéré 

inefficace pour caractériser des rugosités suffisantes lors de l’étude de l’ablation. L’intégration de 

la librairie FFTW dans le code a ainsi permis de développer une méthode de forçage spectral de 

la turbulence qui s’avère très efficace pour maintenir un niveau d’énergie constant. L’originalité 

de la méthode repose sur la possibilité de forcer la turbulence soit sur un nombre d’onde fixe 

(ce qui permet de maintenir constantes les échelles intégrales) soit sur la valeur du nombre 

d’onde théorique κ e (t) d’une THI en décroissance. Le premier mode permet, en outre, en forçant 

l’écoulement sur des nombres d’onde très grands, de simuler la présence d’une surface rugueuse 

interagissant avec des structures turbulentes très petites. Cet aspect est un outil supplémentaire 

pour caractériser l’interaction entre un écoulement turbulent et une paroi ablatable.


Enfin, nous avons opéré un suivi spectral de l’évolution de la turbulence afin de détailler 

le comportement du spectre énergétique de la turbulence E(κ) durant nos simulations. Ceci 

a permis de fournir une nouvelle preuve de la bonne modélisation de la turbulence, forcée ou 

non, par le code EVEREST. Cette première étape de validation faite, nous nous intéressons 

maintenant aux conséquences de l’introduction d’une paroi dans l’écoulement turbulent.

134 Chapitre 4. Simulation de la Turbulence Homogène Isotrope (THI)

Chapitre 5 

Turbulence en présence d’un blocage 

pariétal 

Sommaire 

5.1 Justification des adaptations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

5.1.1 Définition du cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

5.1.1.1 État de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

5.1.1.2 Revue de la physique en proche paroi . . . . . . . . . . . . . . 138 

5.1.1.3 Positionnement du code EVEREST . . . . . . . . . . . . . . . 138 

5.1.2 Configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

5.1.2.1 Méthode d’insertion de la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

5.1.2.2 Maillage et dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 


5.1.2.4 Modélisation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . 142 

5.1.3 Formalisme mathématique de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

5.1.3.1 Simplifications des équations du modèle RSTE . . . . . . . . 142 

5.1.3.2 Analyse asymptotique du champ au voisinage de la surface . . 143 

5.1.3.3 Traitement statistique des résultats à la paroi . . . . . . . . . 144 

5.1.4 Adaptation du forçage de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

5.1.4.1 Particularité du confinement du domaine de simulation . . . . 144 

5.1.4.2 Principe du confinement du forçage adopté . . . . . . . . . . . 144 

5.2 Pré-requis à l’étude de l’écoulement en cisaillement libre . . . . . . 146 

5.2.1 Définition des champs turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

5.2.1.1 Champs relatifs à l’étude de l’influence de Re T . . . . . . . . . 146 

5.2.1.2 Champs relatifs à l’étude de l’influence de κ e . . . . . . . . . . 147 

5.2.2 Vérification de la tenue des critères de résolution . . . . . . . . . . . . . 147 

5.2.2.1 Hypothèses initiales sur les critères . . . . . . . . . . . . . . . 147 

5.2.2.2 Critère de résolution spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 

5.2.2.3 Critère de décorrélation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 

5.2.2.4 Critère de résolution des petites échelles . . . . . . . . . . . . . 149 

5.2.3 Évaluation du forçage confiné de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . 149 

135

136 Chapitre 5. Turbulence en présence d’un blocage pariétal 

5.2.3.1 Efficacité du forçage confiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 

5.2.3.2 Visualisation du champs de vorticité générés . . . . . . . . . . 150 

5.3 Résultats généraux des écoulements en présence de parois . . . . . 151 

5.3.1 Étude des paramètres de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 

5.3.1.1 Comportements de k, ε et Re T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 

5.3.1.2 Analyse des échelles de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

5.3.2 Aspects thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 

5.3.2.1 Profils des températures des ensembles Si A et Si B . . . . . . . . 154 

5.3.2.2 Paramétrisation de la température du fluide . . . . . . . . . . 155 

5.3.2.3 Influence de parois chaudes sur l’écoulement . . . . . . . . . . 155 


5.3.3.1 État de la cascade énergétique selon le spectre PP étudié . . . 157 

5.3.3.2 Couches caractéristiques de l’écoulement . . . . . . . . . . . . 158 

5.3.3.3 Analyse des transferts thermiques au sein du fluide . . . . . . 158 

5.4 Bilan des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

5.4.1 Cas d’une paroi adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

5.4.1.1 Étude des ensembles corrélations doubles de vitesse R ii . . . . 159 

5.4.1.2 Bilan des équations de transport des tensions de Reynolds . . 160 

5.4.1.3 Influence de la température du fluide . . . . . . . . . . . . . . 161 

5.4.2 Cas de la paroi isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

5.4.2.1 Étude des ensembles Si A et Si B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

5.4.2.2 Influence de parois chaudes sur l’écoulement . . . . . . . . . . 164 

5.4.2.3 Corrélations température-vitesse et pression-vitesse en parois 

chaudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

5.4.3 Interprétations des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

5.4.3.1 Positionnement des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

5.4.3.2 Effets d’amortissement relatif à la condition d’adhérence . . . 167 

5.4.4 Transfert énergétique intercomposantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

La présence d’une surface de blocage pariétal modifie les caractéristiques classiques de la 

THI définie dans le chapitre précédent. En effet, des conditions particulières sur les composantes 

du champ de vitesse y sont imposées. Paradoxalement, cela s’avère être une source de complexité 

supplémentaire pour appréhender les phénomènes turbulents. Pourtant, la validation de 

ces derniers en présence d’une paroi est un pré-requis obligatoire afin d’envisager l’interaction 

entre la turbulence et l’ablation. C’est aussi un élément essentiel pour améliorer les capacités 

prédictives des modèles de paroi couramment appliqués dans le monde industriel. 

Ce chapitre traite d’abord des adaptations numériques réalisées pour simuler le mieux possible 

ces phénomènes incluant une description précise de la configuration étudiée. Afin de caractériser 

l’effet de blocage, une étude paramétrique a été conduite en faisant varier le nombre de 

Reynolds turbulent de l’écoulement, le nombre d’onde caractéristique des structures porteuses 

d’énergie κ e ainsi que la nature de la paroi considérée.

Chapitre 5. Turbulence en présence d’un blocage pariétal 137 

5.1 Justification des adaptations numériques 

L’insertion de surfaces de blocage dans des écoulements de THI a nécessité la réalisation 

de modifications numériques afin de modéliser plus précisément les phénomènes se déroulant en 

proche paroi. Dans cette section, nous présentons le contexte théorique de l’étude incluant notamment 

le formalisme mathématique applicable dans cette situation. Nous détaillerons ensuite 

la configuration étudiée ainsi que la méthode de confinement du forçage recommandée par la 

présence d’une surface de blocage. 

5.1.1 Définition du cadre théorique 

L’interaction entre la turbulence et une zone de blocage pariétal est caractérisée par la 

réduction locale du nombre de Reynolds et le mécanisme bien connu de cisaillement. Cependant, 

d’autres mécanismes, plus subtils, existent et peuvent être identifiés dans des écoulements en 

cisaillement libre. 

5.1.1.1 État de l’art 

Les premières expériences de simulation de couche limite en cisaillement libre ont été menées 

par Uzkhan et Reynolds [63] en 1967. Au cours de ces expériences, la turbulence créée par une 

grille interagit avec une paroi se déplaçant à la vitesse moyenne de l’écoulement. Loin de la 

paroi, le fluide se comporte selon les mécanismes classiques de décroissance de la turbulence. 

Uzkhan et Reynolds ont ainsi pu caractériser l’amortissement important de la turbulence en 

proche paroi sur une zone dimensionnée par l’échelle de Kolmogorov. Dix ans plus tard, Thomas 

et Hancock [61] disposèrent d’outils numériques plus précis pour réaliser cette simulation avec 

un nombre de Reynolds de turbulence plus élevé (R T = 2000 au lieu de 90 pour Uzkhan et 

Reynolds). À la différence de leurs prédécesseurs, ils mirent en avant que certaines composantes 

du champ de vitesse présentaient une augmentation significative en proche paroi. En 1978, Hunt 

et Graham [24] réconcilièrent ces deux théories en affirmant que l’agitation turbulente était 

soumise en proche paroi à l’interaction de deux mécanismes dont les effets s’opposent : d’une 

part la viscosité responsable de l’amortissement, d’autre part, l’effet de blocage cinématique qui 

entraîne une augmentation des composantes tangentielles de la vitesse. 

Dès lors, plusieurs auteurs ont tenté de simuler des écoulements sans cisaillement moyen 

en présence d’une surface de blocage. C’est ainsi que Biringen et Reynolds [6] utilisèrent la 

simulation des grandes échelles (LES) pour confirmer les observations de Hunt et Graham. 

Malheureusement, leurs analyses se heurtèrent aux limites mêmes de la méthode LES utilisée 

(cf. 1.2.3.1). En 1993, Malan et Johnston [35] s’intéressèrent au transfert radiatif dans une couche 

limite non cisaillée pour différents nombres de Reynolds turbulents. 

Il fallut attendre les premiers travaux de simulation numérique directe pour être témoin 

d’avancées significatives dans la compréhension des phénomènes turbulents près de la paroi. Les 

premiers à utiliser la DNS pour faire interagir de la turbulence non cisaillée avec une surface 

perméable, libre ou adhérente, furent Perot et Moin [47] en 1995, suivis, un an plus tard, par 

Walker et al. [66]. Leurs travaux consistaient alors à introduire une surface de blocage dans un 

écoulement turbulent initialement homogène et isotrope. Ces expériences ont permis d’améliorer 

les prédictions de Hunt et Graham. Les valeurs instantanées ainsi que les valeurs moyennes de 

l’écoulement y sont calculées, parmi lesquelles, les termes de l’équation de transport des tensions 

de Reynolds (2.67).


Plus récemment, Campagne [11] et Bodart [7] ont proposé d’étudier des écoulements de 

paroi en état statistiquement stationnaire de la turbulence. S’inspirant des études de Walker, 

Campagne mena des études dans le cadre d’une surface libre alors que Bodart se préoccupait 

davantage du cas de la paroi adhérente. Dans leur configuration, la surface de blocage est alimentée 

en continu par une turbulence synthétisée grâce à un forçage aléatoire à distance, sans 

influence du cisaillement moyen. Ces deux études ont permis de retrouver, voire de nuancer, les 

conjectures avancées par leurs précurseurs. Le paragraphe suivant dresse un état des lieux des 

phénomènes turbulents se déroulant en présence d’une surface de blocage. 

5.1.1.2 Revue de la physique en proche paroi 

Selon l’état de l’art actuel, il faut retenir qu’en présence d’une paroi, la turbulence est caractérisée 

par l’occurrence simultanée de deux phénomènes : l’amortissement par effets visqueux et 

les effets de blocage cinématique qui sont responsables de l’amplification des composantes tangentielles 

de la vitesse. Le phénomène, appelé « floc » en français et « splat » en anglais, permet 

d’expliquer pourquoi les composantes tangentielles de l’intensité turbulente peuvent augmenter. 

Le fluide ne pouvant pénétrer la paroi, tout paquet de fluide venant l’impacter s’y écrase tout en 

s’étalant dans les directions tangentielles. En ce sens, un « floc » transfère l’énergie de la composante 

normale aux deux composantes tangentielles de la vitesse. Perot et Moin révélèrent que 

ces évènements d’impacts étaient nécessairement associés à des éjections (« antisplat ») ayant 

un effet inverse. Pour eux, le faible déséquilibre entre les deux types d’évènements s’explique 

par les phénomènes visqueux. Mais les travaux de Walker, puis ceux de Magnaudet, modérèrent 

cette affirmation laissant le champ de recherche ouvert quant aux mécanismes responsables du 

caractère inhabituel du transfert intercomposantes dans la couche de blocage. 

Lors de l’étude de la THI du chapitre 4, nous avons déjà évoqué ce type de transfert entre les 

composantes u, v et w du champ de vitesse afin de permettre un retour à l’isotropie. Il est associé 

au terme de corrélation pression-déformation Π ii des équations de transport des contraintes de 

Reynolds. Dans le cas de la présence d’une paroi, ces termes œuvrent pour favoriser l’anisotropie 

de la turbulence de manière à ce qu’elle passe de trois à deux composantes. D’autres termes 

comme la dissipation peuvent aussi contribuer à cette redistribution de l’énergie, mais le terme 

de pression-déformation reste le principal responsable, en situation de cisaillement libre, du 

transfert intercomposantes. Ceci s’explique par l’association de forts gradients de pression et 

d’une décroissance importante de la vitesse en zone de proche paroi. Le processus de transfert 

intercomposantes est donc complètement différent de celui se produisant lors d’une THI en 

domaine infini. 

5.1.1.3 Positionnement du code EVEREST 

La volonté de comprendre les mécanismes se déroulant aux plus petites échelles de la turbulence 

(typiquement de l’ordre de l’échelle de Kolmogorov) nous a poussé à considérer un écoulement 

moyen nul pour ne pas masquer les effets dus à l’agitation turbulente sur les phénomènes 

identifiés à la paroi. Pour ce travail, nous laisserons donc de côté l’étude du cisaillement par le 

champ moyen, néanmoins, nous analyserons en détail l’influence de la viscosité et du blocage 

cinématique caractérisé par Huth et Graham. Pour mener à bien, cette validation numérique, 

nous chercherons à retrouver les résultats mis en avant par Perot et Moin [47] et Bodart [7] dans 

le cas d’une paroi solide. Une description détaillée de la configuration étudiée est entreprise dans 

le paragraphe 5.1.2.


Les modèles de simulation de la turbulence du premier ordre trouvent leurs limites dans la 

modélisation des situations anisotropes. En effet, l’hypothèse de viscosité tourbillonnaire n’est 

valable que dans le cas d’un écoulement isotrope. Ces modèles sont donc inadaptés pour simuler 

correctement les phénomènes de paroi qui par nature sont anisotropes, d’autant plus en présence 

de complexités géométriques. Nous utiliserons donc pour valider la turbulence de paroi les modèles 

du second ordre, dits RSTE (cf. 2.2.3.3), qui consistent en la résolution des équations de 

transport des composantes du tenseur de Reynolds. Ils présentent l’avantage certain de caractériser 

l’évolution spatio-temporelle des termes de dissipation et des termes de corrélation 

pression-déformation évoqués plus haut. 

5.1.2 Configuration étudiée 

On aborde dans cette section la méthode d’insertion de la paroi au sein de l’écoulement 

de THI, les caractéristiques du maillage adopté et les propriétés numériques des simulations. 

Cette description de la configuration est finalement complétée par l’inventaire des conditions 

aux limites appliquées au cours des simulations. 

5.1.2.1 Méthode d’insertion de la paroi 

La méthode utilisée pour étudier la turbulence en présence d’une surface de blocage s’inspire 

des travaux de Perot et Moin [47]. Toutes les simulations débutent par une phase de mise en place 

de la THI à l’issue de laquelle des parois adhérentes infinies sont introduites instantanément dans 

l’écoulement de THI en décroissance spatio-temporelle. Au même moment, le forçage spectral 

de la turbulence est déclenché. Ce procédé requiert une attention particulière compte-tenu de 

la soudaine prépondérance des termes de pression et de viscosité dans les régions de proche 

paroi. Numériquement, cela est rendu possible par une diminution drastique du pas de temps 

dès l’insertion des parois. On rappelle enfin que l’absence de cisaillement permet de s’affranchir 

de toute influence de l’écoulement moyen sur les propriétés turbulentes observées à la paroi. La 

méthode utilisée est schématisée sur la figure 5.1 où les surfaces de blocage étudiées sont placées 

à la base et au sommet du domaine de simulation. 

Figure 5.1 – Visualisation du domaine d’étude 

La configuration que nous proposons est un peu différente de celle de Perot et Moin dans


le sens où, une fois la paroi insérée, la turbulence est entretenue par forçage spectral. L’écoulement 

généré est ainsi temporellement et spatialement stationnaire. Le double échantillonnage 

dû à la présence de deux parois va permettre de multiplier par deux le nombre des réalisations 

disponibles, améliorant de fait, l’analyse statistique des résultats en proche paroi. 

5.1.2.2 Maillage et dimensionnement 

La compréhension des phénomènes se déroulant à la paroi nécessite un maillage adapté 

destiné à discrétiser le mieux possible cette région du domaine. Lors de l’étude de la THI en 

décroissance libre, nous avons vu que le critère relatif à la résolution de l’échelle de Kolmogorov 

était mal respecté avec un maillage uniforme. C’est pourquoi nous utilisons le maillage M 3 (Tab. 

3.4) caractérisé par une augmentation du raffinement en région de proche paroi dans la direction 

normale y au détriment de la zone centrale. L’enjeu est de vérifier que le critère de résolution 

des plus petites échelles est bien respecté au niveau de la surface de blocage sur une distance 

comprise entre 0 et L dom /6. D’un point de vue numérique, les parois correspondent aux plans 

d’équations y = 0 et y = m f + 1. Les autres faces du domaine de simulation, normales aux 

directions x et z, conservent quant à elles des conditions de périodicité. La figure 5.2 permet de 

visualiser la configuration (en coupe 2D) de la discrétisation adoptée. 

Figure 5.2 – Visualisation du maillage utilisé (vue 2D) 

Pour définir les éléments de la discrétisation spatiale du domaine de calcul, nous distinguons 

les directions normale et tangentielles à la paroi dans le tableau 5.1 où h min représente la taille 

des mailles les plus petites situées au voisinage immédiat des parois, compte-tenu du maillage 

M 3 adopté (Tab. 5.1). Les autres caractéristiques numériques des simulations sont regroupées 

dans le tableau 5.2 suivant. 

Afin d’analyser les effets visqueux en proche paroi, les coefficients de transport sont eux 

aussi modifiés. La viscosité cinématique n’est plus prise constante comme en situation de THI, on


Caractéristiques 

Directions 

2 tangentielles 1 normale 

⃗x et ⃗z 

⃗y 

Longueur du domaine L x = L z = 2π L y = 2π + 2h min 

Échantillonnage 150 180 

Pas du maillage h 0.039 variable 

Table 5.1 – Éléments de la discrétisation spatiale 

Caractéristiques 

Valeurs 

κ max 140 

0.1 pour 5 < t < 5.5 

Condition CFL 

0.3 pour 5.5 < t < 10 

0.4 pour t > 10 

Durée de la simulation 30 

Durée réelle du calcul 

47h 

Nombres de processeurs 32 

Table 5.2 – Caractéristiques numériques des simulations 

adopte ici le critère de PANT pour définir ν selon l’ équation (2.36). Ce critère permet d’exprimer 

le terme de viscosité en fonction de la température du fluide assimilé ici à un gaz parfait. 

Les coefficients de diffusion ainsi que la conductivité thermique s’appuient sur des nombres de 

Schmidt et de Prandtl constants (voir 2.1.4). 


L’adimensionnement des équations simulées nécessite ici aussi la définition des états de 

référence (2.24). La pression initiale du fluide est égale à 10 −5 Pa, mais à la différence des 

cas de THI en domaine périodique, le fluide sera susceptible d’avoir des températures initiales 

T f différentes. Certaines variables de référence étant dépendantes de la valeur de T f , on obtient 

des états de référence propres à chaque configuration thermique envisagée (Tab. 5.3). 

Variables 

Valeurs de T f 

1000 K 2000 K 4000 K 

Unité 

Re ac 750 750 750 - 

T ref 400 800 1600 K 

a ref 68.23 96.50 136.5 m.s −1 

t ref 7.01 ×10 −6 1.13 ×10 −5 1.83 ×10 −5 s 

P ref 1.42 ×10 5 1.42 ×10 5 1.42 ×10 5 Pa 

ρ ref 0.962 0.481 0.241 kg.m −3 

µ ref 4.19 ×10 −5 6.73 ×10 −5 1.09 ×10 −4 Pa.s (ou P l) 

ν ref 4.35 ×10 −6 1.40 ×10 −4 4.52 ×10 −4 m 2 .s −1 

L ref 4.79 ×10 −4 1.09 ×10 −3 2.50 ×10 −3 m 

Table 5.3 – Variables de référence associées 

Lorsque les variables seront exprimées sans unité, il suffira de multiplier les valeurs calculées


par les paramètres de référence précédents afin d’obtenir les valeurs physiques réelles associées. 

5.1.2.4 Modélisation des conditions aux limites 

La présence d’une surface de blocage impose des conditions aux limites particulières pour 

les champs de vitesse et de température. Notre volonté est de caractériser, indépendamment de 

toute réaction d’ablation, les effets de la viscosité, du blocage cinématique et de la température 

sur la turbulence en proche paroi. 

En ce qui concerne les conditions aux limites sur le champ de vitesse, des conditions de parois 

adhérentes, notées Σ adh , seront utilisées. Ces dernières rendent compte des effets simultanés 

de la viscosité et du blocage cinématique en imposant la nullité des composantes du champ 

de vitesse nulle à la paroi. Cette condition révèle l’occurrence des phénomènes identifiés pour 

les parois parfaitement perméables et de ceux observés pour les surfaces libres [47]. Même si 

cette configuration est plus délicate à interpréter, l’observation des phénomènes turbulents se 

déroulant au voisinage d’une telle paroi permettra de mesurer l’influence de la réaction d’ablation 

sur les dits phénomènes. 

Nous complétons la description des conditions aux limites relatives aux champs de vitesse 

par des conditions portant sur le champ des températures. Au cours de ce travail, nous ferons 

la distinction entre les parois suivantes : 

– Les parois adiabatiques, notées Σ q , qui considèrent un flux thermique nul à la surface, 

– Les parois isothermes, notées Σ T , qui imposent la valeur de la température à la paroi T w . 

On regroupe dans le tableau 5.4 ci-dessous les expressions numériques des conditions aux 

limites étudiés au cours de ce travail. Dans le but de caractériser l’influence de parois chaudes 

sur l’écoulement, la température de la paroi isotherme T w pourra prendre comme valeurs 1000, 

2000 ou 4000 K. 

Types de C.L. 

Conditions de paroi 

Condition sur le champ des vitesses : 

Σ adh paroi adhérente u = v = w = 0 

Conditions sur le champ de température : 

Σ q paroi adiabatique ∇.T = 0 

Σ T 

T 

paroi isotherme 

w imposée 

(1000, 2000 ou 4000 K) 

Table 5.4 – Récapitulation des conditions aux limites 

5.1.3 Formalisme mathématique de l’approche 

5.1.3.1 Simplifications des équations du modèle RSTE 

Dans la configuration retenue, les propriétés de l’écoulement et la symétrie de la configuration, 

exposées dans le paragraphe 5.1.2, permettent de réduire à deux les équations scalaires 

issues de l’équation tensorielle de transport des contraintes de Reynolds (2.67). La première 

équation représente le comportement des contraintes de Reynolds tangentielles u 2 et w 2 , tandis


que la deuxième est relative à la contrainte de Reynolds normale v 2 . L’absence de cisaillement 

moyen permet alors d’écrire : 

− ∂u2 v 

∂y 

− ∂v3 

∂y 

+ν ∂2 u 2 

∂y 2 

+2 p ∂u 

ρ ∂x 

+2 p ∂v 

ρ ∂y 

−2 ∂ ( ) p 

∂y ρ v +ν ∂2 v 2 

∂y 2 

D u D p D ν Π −ε 

−2ν ∂u ∂u 

∂x k ∂x k 

= 0 

−2ν ∂v ∂v 

∂x k ∂x k 

= 0 

L’identification de l’amortissement dû à la viscosité et aux transferts intercomposantes agissant 

à la paroi nous amène à estimer uniquement les termes de dissipation ε ii et les termes de 

corrélation pression-déformation Π ii . Les expressions calculées pour ces termes sont : 

Π 11 = 2 P ρ 

Π 22 = 2 P ρ 

Π 33 = 2 P ρ 

∂u 

∂x 

∂v 

∂y 

∂w 

∂z 

⎛ 

3∑ 

ε 11 = 2ν ⎝ 

k=1 

⎛ 

3∑ 

ε 22 = 2ν ⎝ 

ε 33 = 2ν 

k=1 

⎛ 

3∑ 

⎝ 

k=1 

⎞ 

∂u ∂u 

⎠ 

∂x k ∂x k 

⎞ 

∂v ∂v 

⎠ (5.1) 

∂x k ∂x k 

⎞ 

∂w ∂w 

⎠ 

∂x k ∂x k 

Nous analyserons en détail les résultats relatifs à l’évolution des termes du bilan des contraintes 

de Reynolds dans le paragraphe 5.4. 

5.1.3.2 Analyse asymptotique du champ au voisinage de la surface 

Pour estimer les résultats aux niveaux des surfaces de blocage, l’analyse asymptotique classique 

utilise les développements limités des fluctuations de vitesse et de pression dans la direction 

normale à la paroi. Considérant les conditions aux limites de paroi adhérente et la dégénérescence 

de l’équation de continuité selon laquelle ∂v/∂y = 0, on arrive à : 

u = a 1 y+ a 2 y 2 + O(y 3 ) 

v = b 2 y 2 + O(y 3 ) 

w = a 1 y+ a 2 y 2 + O(y 3 ) 

P 

ρ = P 0+ P 1 y+ P 2 y 2 + O(y 3 ) 

L’équation de la dynamique dans le plan de la paroi permet alors d’écrire : 

(5.2) 

∂P 

∂y = ∂2 v 

∂y 2 , d’où P 1 = νb 2 . (5.3) 

Le même raisonnement est applicable pour exprimer le comportement asymptotique des 

termes du bilan des tensions de Reynolds avec : 

Π 11 = 

∂a 1 

2P 0 

∂y y + O(y2 ) ε 11 = 2νa 2 1 + O(y2 ) 

Π 11 = 2P 0 b 2 y + O(y 2 ) ε 22 = O(y 2 ) 

Π 33 = 2P 0 

∂a 1 

∂y y + O(y2 ) ε 33 = 2νa 2 1 + O(y2 ) 

(5.4)


Pour le bilan de la composante normale, seul le terme de corrélation pression-déformation est 

non nul au premier ordre au contact de la paroi adhérente. Les développements limités établis 

dans ce paragraphe permettront de justifier les résultats obtenus lors de l’étude des tensions de 

Reynolds. 

5.1.3.3 Traitement statistique des résultats à la paroi 

Les statistiques de la turbulence sont évaluées en composant plusieurs moyennes statistiques. 

Ceci est rendu possible du fait de la stationnarité spatiale et temporelle de l’écoulement généré. 

Nous utiliserons donc la moyenne ̂f définie dans le paragraphe 2.2.2.2 qui consiste en la composition 

des moyennes temporelle, d’ensemble et par plans. On rappelle qu’une symétrie axiale de 

plan y = π sera utilisée pour doubler le nombre d’échantillons représentatifs. Aussi, les différentes 

réalisations d’un même écoulement sont obtenues avec les mêmes conditions initiales à la différence 

seule du triplet (α 1 , α 2 , α 3 ) des équations (3.30) et (3.31) utilisées lors de l’initialisation 

de la turbulence et des différents forçages. 

Malgré tous ces efforts pour améliorer la convergence statistique des résultats, il arrivera que 

des oscillations soient présentes, synonyme d’un manque de convergence statistique. En tout état 

de cause, il suffirait d’augmenter le nombre de réalisations de manière à améliorer la précision 

des résultats mais pour ne pas contraindre davantage le temps d’exécution du code EVEREST, 

nous nous contenterons de l’échantillonnage statistique actuel. 

5.1.4 Adaptation du forçage de la turbulence 

5.1.4.1 Particularité du confinement du domaine de simulation 

Le forçage de la turbulence a pour objectif de maintenir le niveau d’énergie cinétique turbulente 

constant au sein de l’écoulement. La méthode utilisée ici pour conserver un montant 

énergétique fixe s’inspire de celle définie dans le paragraphe 4.4.2. L’utilisation d’un spectre PP 

pour initialiser le champ spectral de vitesse forcé offre la possibilité d’injecter cette énergie sur 

un intervalle de nombres d’onde paramétrable (on rappelle que le montant de l’énergie injectée 

à chaque forçage est égal à s k = k ⋆ /100). Dans l’espace réel, nous vérifierons que cela se traduit 

par le maintien des moyennes d’ensemble des échelles de longueur turbulentes (cf. 5.3.1.2). 

Après l’insertion de la paroi à t = 5, la présence de surfaces de blocage pariétal en y = 0 

et y = 2π empêche la définition de structures turbulentes « cohérentes » en proche paroi lors 

des nombreux forçages effectués. Le confinement du domaine de forçage, dans l’espace physique, 

devient alors une nécessité étant donné que la direction normale aux parois n’est plus homogène 

et périodique. La symétrie autour du plan médian y = π permet alors, en doublant virtuellement 

la taille du domaine de forçage selon l’axe y, de « périodiser » la configuration dans cette direction. 

Cette caractéristique est importante car la méthode utilisée génère par nature une force à 

extension spatiale infinie. On rappelle finalement que ce forçage s’opère à divergence nulle afin 

de supprimer toute influence sur le champ de pression. 

5.1.4.2 Principe du confinement du forçage adopté 

L’objectif est de confiner la zone de forçage de la turbulence entre deux couches parallèles à la 

surface y = π (Fig. 5.3). L’agitation turbulente alors générée dans le domaine de forçage diffuse 

ensuite vers les parois. Contrairement à la THI en domaine infini 4.4.2, l’addition du champ forcé 

à l’écoulement existant se fait, non plus dans le domaine fréquentiel, mais directement dans le


Figure 5.3 – Propriétés du forçage confiné 

domaine réel. En pratique, le champ de vitesse issu du forçage est au préalable multiplié par la 

fonction de confinement F (y) représentée sur la figure 5.4 et définie par la relation (5.5). 

⎧ 

⎨0 si y < 

F (y) = ( ) 

2π 3 ou y > 4π 3 

⎩sin 

3 

2 y sinon 

Afin de maintenir un niveau d’énergie global constant autour de la valeur k ⋆ nous compensons 

(5.5) 

Figure 5.4 – Fonction de confinement 

la réduction de la taille du domaine de forçage en multipliant la vitesse d’agitation turbulente 

de forçage u ′ f de l’expression du spectre de Passot-Pouquet par le rapport R A défini par : 

R A = 

∫ Ldom 

0 

F (y)dy 

∫ 2π 

0 

dy 

≃ 4.3 (5.6) 

L’efficacité de cette méthode de forçage quant au maintien d’un état stationnaire de la turbulence 

sera vérifiée dans le paragraphe 5.2.3.1.


5.2 Pré-requis à l’étude de l’écoulement en cisaillement libre 

Cette section présente l’initialisation et les propriétés de tous les spectres étudiés au cours 

des simulations. Les critères de résolution sont ensuite vérifiés aux abords de la surface avant 

d’évaluer la bonne implémentation du forçage spectral confiné. 

5.2.1 Définition des champs turbulents 

On reprend ici la démarche du chapitre 4 au cours de laquelle nous distinguions deux ensembles 

de spectres de Passot-Pouquet : 

– les spectres S A i sont obtenus en modifiant l’agitation turbulente u ′ lors de l’initialisation 

de la turbulence permettant d’obtenir, à nombre d’onde κ e constant, des écoulements à 

nombres de Reynolds variables, 

– les spectres S B i sont définis chacun par un nombre d’onde κ e différent, ensuite nous adaptons 

la valeur de u ′ de manière à obtenir des écoulements à nombres de Reynolds égaux 

(Re T 0 = 100). 

Les tableaux 5.5 et 5.6 recensent les propriétés respectives des ensembles Si 

A et Si B. Sauf 

indication contraire, la température initiale du fluide et la température imposée à la paroi 

isotherme sont égales à 1000 K. 

5.2.1.1 Champs relatifs à l’étude de l’influence de Re T 

Dans un premier temps, nous considérons des écoulement initialisés par des spectres de 

Passot-Pouquet dont les nombres de Reynolds turbulent Re T sont différents (Tab. 5.5). 

Spectres S1 A S2 A S3 

A 

Code couleur rouge vert bleu 

u ′ 0 0.125 0.179 0.215 

k 0 2.35 10 −2 7.87 10 −2 0.159 

ε 0 3.68 10 −3 3.09 10 −2 1.59 10 −3 

ν 0 1.48 10 −3 1.48 10 −3 1.48 10 −3 

Valeurs initiales Re T 0 100 200 300 

Re λ0 25.8 51.6 25.8 

κ e 6 6 6 

κ d 7.35 7.35 7.35 

∆t 4.90 10 −3 4.20 10 −3 3.80 10 −3 

Forçage 

u ′ f 7.83 10 −3 1.02 10 −2 1.15 10 −2 

κ f 6 6 6 

k(t) ≃ k ⋆ 9.20 10 −3 1.56 10 −2 1.98 10 −2 

Régime permanent 

ε(t) 1.52 10 −3 3.01 10 −3 4.05 10 −3 

Re T (t) 38 54 64 

Re f 220 330 380 

Table 5.5 – Valeurs des paramètres pour les cas S A i 

étudiant l’influence du nombre de Reynolds


5.2.1.2 Champs relatifs à l’étude de l’influence de κ e 

La seconde catégorie d’écoulements envisagés se distingue par le choix du nombre d’onde 

κ e des spectres PP utilisés lors de l’initialisation et des forçages de la turbulence. Ce nombre 

caractérise, dans le domaine réel, la taille des structures porteuses d’énergie de l’écoulement. Les 

cas étudiés sont répertoriés dans le tableau 5.6. 

Spectres S1 B S2 B S3 

B 

Code couleur cyan rouge orange 

u ′ 0 0.085 0.125 0.162 

k 0 1.07 10 −2 2.35 10 −2 4.13 10 −2 

ε 0 7.61 10 −4 3.68 10 −3 1.13 10 −2 

ν 0 1.48 10 −3 1.48 10 −3 1.48 10 −3 

Valeurs initiales Re T 0 100 100 100 

Re λ0 25.8 25.8 25.8 

κ e 4 6 8 

κ d 4.89 7.35 9.80 

∆t 5.63 10 −3 4.90 10 −3 4.31 10 −3 

Forçage 

u ′ f 6.93 10 −3 7.83 10 −3 7.53 10 −3 

κ f 4 6 8 

k ≃ k ⋆ 7.21 10 −3 9.20 10 −3 8.51 10 −3 

Régime permanent ε 6.31 10 −4 1.52 10 −3 2.06 10 −3 

Re T 54 38 23 

Re f 380 220 150 

Table 5.6 – Valeurs des paramètres pour les cas S B i 

étudiant l’influence du nombre d’onde κ e 

5.2.2 Vérification de la tenue des critères de résolution 

Pour ce travail, on évoque dans un premier temps les hypothèses de départ. Ensuite, on 

analyse le critère de résolution spectral ainsi que les critères associés à la résolution des petites et 

des grandes échelles. Les résultats présentés sont indépendants de la nature de la paroi considérée, 

adiabatique ou isotherme. C’est la raison pour laquelle on expose uniquement ceux obtenus pour 

le cas de la paroi adiabatique Σ q . 

5.2.2.1 Hypothèses initiales sur les critères 

La configuration actuelle requiert d’adapter les critères de résolution adoptés dans le chapitre 

précédent. La démarche appliquée s’accompagne des remarques suivantes : 

– on tolère une certaine sous-résolution dans la zone forcée afin de garantir une agitation 

turbulente suffisante, 

– on utilise les critères établis en champ périodique dans la zone de diffusion, 

– on exige que les critères de résolution soient respectés dans la zone de proche paroi. Il s’agit 

de valider la cohérence des structures turbulentes au voisinage d’une surface de blocage 

en vue de l’étude des profils d’ablation.


5.2.2.2 Critère de résolution spectrale 

On constate sur la figure 5.5 que le critère de résolution spectrale n’est pas respecté à 

l’intérieur du domaine de forçage. Les valeurs du critère, dans les régions de proche paroi qui 

nous intéressent, restent cependant très satisfaisantes (entre 6 et 8). Cette figure révèle aussi 

qu’une augmentation du nombre de Reynolds de turbulence provoque une diminution globale 

du critère κ max η qui reste vérifié aux abords de la paroi pour tous les cas étudiés. 

(a) Spectres S A i : influence de Re T (b) Spectres S B i : influence de κ e 

Figure 5.5 – Critère de résolution spectrale 

5.2.2.3 Critère de décorrélation spatiale 

Afin de garantir la périodisation de l’écoulement dans les directions x et z, on vérifie que la 

décorrélation spatiale des structures turbulentes est préservée. Cette condition exige que l’échelle 

intégrale L T reste inférieure au rapport L dom /4. La figure 5.6 montre que ce critère est toujours 

respecté. La décorrélation spatiale des structures porteuses d’énergie sera confirmée aussi par 

l’analyse des échelles intégrales eulériennes L ii (Fig. 5.14) ; 

(a) S A i : influence de Re T (b) S B i : influence de κ e 

Figure 5.6 – Critère de résolution des grandes échelles (légende : Fig. 5.5)


5.2.2.4 Critère de résolution des petites échelles 

Le critère de résolution des petites échelles demande une attention toute particulière étant 

donné qu’il n’était pas respecté en situation de THI libre. L’objectif est de s’assurer que le 

maillage adopté (très raffiné en proche paroi) permet de garantir cette condition. À la vue 

des profils verticaux du terme η/2 − dx de la figure 5.7, on constate que le critère traduisant 

la résolution de l’échelle de Kolmogorov est vérifié seulement au proche voisinage de la surface 

(y < 0.5) pour les cas Si B . Une hausse du nombre de Reynolds entraîne quant à elle la diminution 

de la taille de cette couche (y < 0.3 pour S3 A ). La valeur de l’échelle de Kolmogorov étant voisine 

de 0.05 à la paroi (0.04 pour le cas S3 A ), l’épaisseur de cette couche semble être suffisante pour 

simuler convenablement la présence des tourbillons de Kolmogorov. 

(a) S A i : influence de Re T (b) S B i : influence de κ e 

Figure 5.7 – Critère de résolution de l’échelle de Kolmogorov (légende : Fig. 5.5) 

5.2.3 Évaluation du forçage confiné de la turbulence 

On propose maintenant de vérifier que le forçage confiné permet d’obtenir des états turbulents 

cohérents malgré les différents spectres de Passot-Pouquet étudiés ici. L’efficacité du spectre pour 

maintenir une énergie cinétique constante sans influence sur le champ de pression est étudiée 

avant de représenter les champs de vorticité obtenus en régime permanent. 

5.2.3.1 Efficacité du forçage confiné 

Même si l’essentiel de la validation physique du forçage spectral, notamment en ce qui concerne 

les propriétés d’homogénéité et d’isotropie, a été réalisé dans le paragraphe 4.4.2 en configuration 

de THI libre, il faut nous assurer ici que le confinement du forçage ne perturbe par 

le champ de pression de l’écoulement. La figure 5.8(a) indique que le forçage confiné conserve 

le caractère isovolume (divergence nulle) pour toutes les simulations envisagées. Parallèlement, 

on observe que les montants énergétiques globaux restent constants durant le temps de simulation 

(Fig. 5.8(b)) où les évolutions de k(t) sont normées par l’énergie visée k ⋆ . Ces propriétés 

garantissent l’efficacité du code pour entretenir une énergie cinétique turbulente constante dans 

le domaine de simulation.


(a) div u 

(b) k(t)/k ⋆ 

Figure 5.8 – Évaluation de l’efficacité du forçage confiné (légende : Fig. 5.5) 

5.2.3.2 Visualisation du champs de vorticité générés 

Les champs de vorticité des écoulements S A i et S B i de THI entretenu par forçage spectral 

confiné sont représentés sur la figure 5.9. Pour toutes les configurations, on observe de forts 

niveaux d’agitation turbulente dans la zone de forçage. Sinon, on visualise bien les différences 

de montants énergétiques (cas S a i ) et de tailles des structures énergétiques (cas SB i ). 

(a) S A 1 (b) S A 2 (c) S A 3 

(d) S B 1 (e) S B 2 (f) S B 3 

Figure 5.9 – Visualisation des champs de vorticité obtenus en régime permanent (t = 20)


5.3 Résultats généraux des écoulements en présence de parois 

Cette section présente les différentes études destinés à caractériser l’influence de l’agitation 

turbulente u ′ et du nombre d’onde κ e sur les écoulements en présence d’une surface de blocage. 

5.3.1 Étude des paramètres de la turbulence 

D’abord, les résultats nécessaires à la compréhension globale des phénomènes turbulents sont 

analysés afin d’évaluer les conditions dimensionnantes du problème. Dans la suite, on appliquera 

le traitement statistique défini dans le paragraphe 5.1.3.3 pour caractériser l’évolution verticale 

des paramètres. 

5.3.1.1 Comportements de k, ε et Re T 

On commence l’analyse des phénomènes turbulents en s’intéressant à l’évolution temporelle 

des moyennes d’ensemble k(t), ε(t) et Re T (t). Comme le montre la figure 5.10, malgré une légère 

phase d’adaptation (notamment pour la dissipation turbulente), ces grandeurs sont maintenues 

constantes dès l’insertion des parois et le début du forçage spectral. Du fait de la période de mise 

en place de la THI, les valeurs caractérisées en régime stationnaire sont inférieures aux valeurs 

initiales (Tab. 5.5 et 5.6). 

(a) k(t) (b) ε(t) (c) Re T (t) 

Figure 5.10 – Évolution des moyennes d’ensemble de k, ε et Re T (légende : Fig. 5.5) 

Concernant les évolutions temporelles de la figure 5.10, on constate que : 

– à nombre de Reynolds initial Re T 0 fixé, les montants énergétiques établis avec des spectres 

possédant des nombres d’onde κ e différents sont quasiment identiques dès la mise en place 

de la THI (cas S B i ). À l’inverse, à taille des structures turbulentes équivalente (cas SA i ), 

les valeurs de l’énergie cinétique moyenne en régime permanent sont d’autant plus grandes 

que le nombre de Reynolds de turbulence est élevé (Fig. 5.10(a)), 

– à l’issue de la période de mise en place de la THI, les taux de dissipation de l’agitation 

turbulente sont d’autant plus importants que Re T 0 est grand et que les structures porteuses 

d’énergie sont petites, i.e. κ e grand (Fig. 5.10(b)), 

– la relation d’ordre existant entre les nombres de Reynolds initiaux des spectres S A i est 

conservée au moment de l’insertion de la paroi. En revanche, la modification de la taille 

des tourbillons de l’échelle intégrale entraîne des taux de dissipation différents. Ces taux


expliquent les écarts entre les valeurs de Re T obtenues en régime permanent pour les 

spectres Si 

B qui étaient pourtant tous égaux à t = 0 (Fig. 5.10(c)). 

En la figure 5.11 sont représentées les évolutions spatiales de ces trois paramètres entre les 

plans y = 0 de la paroi adiabatique considérée et y = π du plan médian (les résultats obtenus 

pour la paroi isotherme sont sensiblement identiques). Pour les cinq spectres étudiés, chaque 

paramètre prend la forme de la fonction de confinement dans la zone de forçage. Ensuite, les 

valeurs se stabilisent sur une grande partie de la zone de diffusion (0.2 < y < 1.5) avant de 

décroître rapidement au niveau de la surface de blocage (y < 0.2). En effet, les mécanismes de la 

dissipation qui agissent en tout point du domaine réduisent le niveau d’énergie à mesure que l’on 

s’éloigne de la zone forcée, en s’intensifiant notablement au niveau de la paroi où l’on constate 

une augmentation significative du taux de dissipation. 

(a) ̂k (b) ̂ε (c) ̂ReT 

Figure 5.11 – Profils verticaux de k, ε et Re T en régime permanent (légende : Fig. 5.5) 

5.3.1.2 Analyse des échelles de longueur 

Les échelles de longueur caractéristiques de la turbulence définies dans le paragraphe 1.2.1.3 

s’expriment en fonction de l’agitation turbulente et du taux de dissipation. C’est la raison pour 

laquelle, les échelles η, λ T et L T possèdent aussi des moyennes d’ensemble constantes durant les 

simulations (Fig. 5.12). Les résultats montrent que plus le nombre de Reynolds de turbulence est 

(a) η(t) (b) λ T (t) (c) L T (t) 

Figure 5.12 – Évolution des moyennes d’ensemble de η, λ T et L T (légende : Fig. 5.5)


élevé, plus les échelles intégrales L T sont grandes et les échelles dissipatives η petites (l’influence 

sur la micro-échelle de Taylor est mineure). Les spectres Si 

B permettent quant à eux de constater 

qu’une augmentation de κ e entraîne une diminution globale des échelles de longueur caractéristiques. 

Il est intéressant de noter que pour chacun des cas étudiés, on retrouve en régime établi 

la relation : 

L T 

η = (Re T ) n où n = 3 (5.7) 

4 

En effet, en considérant les valeurs de η, L T et Re T établies en régime permanent, on calcule 

pour chaque cas la valeur de n expérimentale issue de la relation (5.8). Les résultats, regroupés 

dans le tableau 5.7, assurent que, même en régime forcé, le rapport entre les échelles porteuses 

d’énergie et les échelles dissipatives vérifient la loi de THI (5.7). 

n = ln (L T /η) 

ln Re T 

(5.8) 

Spectre S1 A S2 A S3 A S1 B S2 B S3 

B 

n 0.749 0.758 0.760 0.747 0.749 0.748 

Table 5.7 – Valeurs extraites pour la valeur de n (5.8) 

On étudie maintenant l’influence de la condition d’adhérence sur ces échelles (Fig. 5.13). 

La nature de la paroi, adiabatique ou isotherme n’a ici aussi aucune influence sur les évolutions 

caractérisées, les profils présentés correspondent indifféremment à l’une ou l’autre des conditions 

aux limites. On observe qu’à l’intérieur de la zone de forçage, l’échelle turbulente L T est maximale 

tandis que l’échelle dissipative η est minimale. Ensuite, la diffusion de l’agitation turbulente vers 

les parois entraîne la réduction progressive de la dynamique se traduisant par la diminution de 

L T et l’augmentation de η. 

(a) ̂η (b) ̂λT (c) ̂LT 

Figure 5.13 – Moyennes par plan des échelles de longueur caractéristiques (légende : Fig. 5.5) 

Enfin, l’étude des échelles caractéristiques de la turbulence est complétée en évoquant le cas 

des échelles intégrales eulériennes L ii (aussi appelées échelles d’autocorrélation de vitesse) déjà 

étudiées dans le paragraphe 4.2.2.2. Les résultats obtenus dans la direction tangentielle montrent 

que le domaine est suffisamment grand pour que la fonction d’autocorrélation longitudinale 

s’annule lorsque r est grand, assurant de fait, la décorrélation spatiale des structures turbulentes 

dans les directions périodiques (Fig. 5.14).


Figure 5.14 – Échelles d’auto-corrélation longitudinale L ii dans la direction x (légende : Fig. 

5.5) 

5.3.2 Aspects thermiques 

Jusqu’à présent les résultats observés étaient indépendants de la condition à la paroi, étant 

donné que la température imposée à la surface de blocage isotherme était voisine de celle du 

fluide (T w = 1000 K). Dorénavant, la distinction sera faite entre les parois adiabatiques Σ q et 

isothermes Σ T . Dans un premier temps, les profils de température observés pour les ensembles 

S A i et S B i sont présentés. Puis, on étudie l’influence d’une augmentation de la température du 

fluide T f ainsi que de celle de la paroi isotherme T w sur l’écoulement. 

5.3.2.1 Profils des températures des ensembles S A i et S B i 

L’augmentation constante des moyennes d’ensemble de la température pour tous les cas 

étudiés (Fig. 5.15(a)) s’explique par le forçage de l’agitation turbulente qui entretient l’interaction 

entre les différentes structures turbulentes et les transferts énergétiques associés. À la fin de 

la simulation (t = 30), les températures obtenues pour les surfaces Σ T sont inférieures à celles 

associées à la paroi adiabatique Σ q . 

(a) T 

traits pleins : paroi adiabatique Σ q , pointillés : paroi isotherme Σ T , couleurs : cf. Fig. 5.5 

Figure 5.15 – Moyenne d’ensemble et profils verticaux de température (exprimée en Kelvin) 

Pour comprendre cette différence, on étudie le comportement de la température au voisinage 

des parois Σ q et Σ T durant le régime établi. De manière générale, on observe une légère hausse de 

(b) ̂T


celle-ci au voisinage de la paroi Σ q alors que dans le cas isotherme, elle décroît jusqu’à la valeur 

T wall = 1000 K imposée à la paroi (Fig. 5.15(b)). Les faibles écarts de températures observés 

entre les parois Σ q et Σ T (au maximum de 80 K pour le cas S3 A ) justifie que les résultats du 

paragraphe précédent ne dépendent pas de la condition de paroi. 

5.3.2.2 Paramétrisation de la température du fluide 

On caractérise maintenant l’effet de la température initiale du fluide T f sur les propriétés 

turbulentes de l’écoulement. On considère donc trois configurations utilisant le cas S1 A = SB 2 

de référence pour lesquelles T f prend différentes valeurs (1000, 2000 ou 4000 K). L’analyse du 

comportement des échelles de longueur aux abords de la surface de blocage (Fig.5.16) révèle 

les variations occasionnées par l’augmentation de T f sur l’échelle de Kolmogorov η, l’échelle 

turbulente L T et le nombre de Reynolds de turbulence Re T . 

(a) ̂η (b) ̂LT (c) ̂ReT 

Figure 5.16 – Influence de T f sur les profils des échelles de longueur 

La variation de la température T f a peu d’impact sur le comportement des paramètres en 

proche paroi. Cependant, la faible diminution de la viscosité du fluide occasionnée provoque une 

hausse du nombre de Reynolds Re T , la croissance des structures turbulentes porteuses d’énergie 

et la finesse accrue des échelles de Kolmogorov. 

5.3.2.3 Influence de parois chaudes sur l’écoulement 

On étudie maintenant les conséquences d’une hausse de la température des parois isothermes 

T w . Les simulations effectuées utilisent encore le spectre S A 1 = S B 2 défini au tableau 5.5 et 

consistent en l’insertion de parois isothermes de différentes températures (1000, 2000 ou 4000 K) 

au sein de l’écoulement (T f = 1000 K) conformément à la méthode décrite dans le paragraphe 

5.1.2. À la fin de la simulation, la température moyenne du fluide dans le cas T w = 4000 K est 

de 1450 K alors qu’elle est d’environ de 1050 K pour T w = 1000. Dans les mêmes conditions, 

la pression passe de 1.30 bar pour T w = 4000 à 1.04 bar pour T w = 1000. Ceci prouve que 

les gradients de température présents à la paroi diffusent à travers le domaine y entraînant 

une hausse de la température du fluide T f , de la pression P et de la viscosité µ ainsi qu’une 

diminution de la masse volumique ρ à la paroi. Pour s’en rendre compte, on illustre sur les figures 

5.17 et 5.18 les profils verticaux obtenus à t = 30 de ces variables. La figure 5.18(a) montre 

que la masse volumique n’est plus constante aux abords de la paroi isotherme. En effet, plus le


(a) ̂T 

(b) ̂P 

Figure 5.17 – Profils aux parois chaudes de T et P 

(a) ̂ρ (b) ̂µ 

Figure 5.18 – Profils aux parois chaudes de ρ et µ 

gradient de température imposé est élevé et plus la masse volumique diminue. Il apparaît enfin 

que la relation P = ρT soit vérifiée proche de la surface. 

L’apparition soudaine de telles parois au sein de l’écoulement provoque une augmentation 

importante du taux de dissipation à la paroi, d’autant plus grand que T w est élevé (Fig. 5.19). 

En effet, la prépondérance des termes de viscosité cause une baisse importante du nombre de 

Reynolds de turbulence à la paroi alors qu’il est globalement plus grand dans le reste du domaine. 

Les profils de l’énergie cinétique turbulente k sont quant à eux très peu affectés par la variation 

de T w . 

Enfin, les conséquences sur le comportement des échelles de longueur sont illustrées sur la 

figure 5.20. On remarque que l’augmentation de la viscosité à la paroi engendre un amortissement 

important responsable du renforcement des échelles dissipatives et de la décroissance de la microéchelle 

de Taylor λ T au voisinage de la paroi. L’échelle de longueur turbulente L T montre, comme 

le nombre de Reynolds de turbulence Re T , un comportement spécifique par rapport aux deux 

autres échelles η et λ T qui peut s’expliquer par l’influence des gradients thermiques imposés à 

la paroi sur les structures porteuses d’énergie.


(a) ̂k (b) ̂ε (c) ̂ReT 

Figure 5.19 – Influence de T w sur k, ε et Re T 

(a) ̂η (b) ̂λT (c) ̂LT 

Figure 5.20 – Influence de T w sur les échelles de longueurs 


5.3.3.1 État de la cascade énergétique selon le spectre PP étudié 

L’ensemble des spectres de Passot-Pouquet utilisés pour cette étude permet d’étudier l’influence 

de l’agitation turbulente (spectres Si A) et du nombre d’onde κ e caractérisant la taille 

des structures turbulentes porteuses d’énergie (spectres Si B ). Durant la période de forçage, les 

nombres de Reynolds de turbulence des spectres Si A , initialement égaux à 100, 200 et 300, sont 

respectivement égaux à 220, 330 et 380 au centre du domaine de forçage en régime établi (on 

note cette valeur de Reynolds Re f ). La relation d’ordre initiale étant conservée, l’étude des spectres 

Si 

A reste cohérente en vue de caractériser l’influence du Re T sur les phénomènes observés 

à la paroi. À ce titre, on constate qu’une augmentation du nombre de Reynolds de turbulence 

entraîne des structures dissipatives plus fines et des échelles intégrales plus grandes. Cela traduit 

le fait que des montants énergétiques élevés intensifient les mécanismes liés à la cascade énergétique 

de Kolmogorov en repoussant vers de grandes valeurs de nombre d’onde les phénomènes 

dissipatifs. Pour preuve, la micro-échelle de Taylor, qui caractérise la distance à partir de laquelle 

un tourbillon de taille η transporté à la vitesse u ′ est dissipé, augmente lorsque Re T grandit. 

Le paramétrage du nombre d’onde κ e utilisé lors de l’initialisation et des forçages successifs 

pour les spectres Si 

B propose des écoulements possédants des jeux d’échelles de longueur car-


actéristiques différents pour chacun des spectres. À la vue des résultats, il semble que plus les 

structures porteuses d’énergie sont grandes, plus la dissipation turbulente est faible et les nombres 

de Reynolds de turbulence sont importants (malgré leurs valeurs initialement identiques). 

En ce qui concerne les échelles caractéristiques de la turbulence, plus le nombre d’onde κ e est 

faible, plus les valeurs η, λ T et L T sont grandes. Cela traduit le décalage dans l’espace spectral 

du phénomène de cascade énergétique sur des plages de nombres d’onde bornées inférieurement 

par la valeur de κ e définie. 

5.3.3.2 Couches caractéristiques de l’écoulement 

Les profils verticaux des différents paramètres turbulents en présence d’une paroi adhérente, 

adiabatique ou isotherme, révèlent l’existence de trois couches caractéristiques de l’écoulement 

(Fig. 5.21) : 

– la zone de forçage qui se caractérise par une activité turbulente intense, les énergies cinétiques 

turbulentes ainsi que les nombres de Reynolds associés y sont très élevés ; 

– la zone de diffusion qui transporte l’agitation turbulente créée dans la zone de forçage 

jusqu’à la paroi. Les valeurs des paramètres turbulents y sont globalement constantes ; 

– la zone de blocage due à la condition d’imperméabilité (v = 0) siège de la réduction de la 

composante normale de la vitesse. À l’intérieur de cette région, on note l’existence d’une 

sous-couche visqueuse qui traduit les effets du frottement visqueux par l’augmentation 

rapide de la dissipation à la paroi. 

Figure 5.21 – Couches caractéristiques de la turbulence diffusant vers la paroi 

La compréhension des phénomènes turbulents dans la zone de blocage est primordiale pour 

identifier les mécanismes susceptibles de modifier les rugosités créées lors de l’ablation. C’est 

pourquoi, l’analyse des termes du bilan des tensions de Reynolds est conduite dans la suite de 

ce chapitre. 

5.3.3.3 Analyse des transferts thermiques au sein du fluide 

Vu que les phénomènes liés à la rentrée atmosphérique se déroulent à températures élevées et 

sont le siège d’importants gradients de températures, nous avons cherché à caractériser l’influence 

de la température du fluide et de la température de la paroi isotherme sur les résultats observés. 

L’influence de la température du fluide se résume principalement à la définition de la viscosité 

du fluide µ (cf. 2.1.4.2). En effet, l’augmentation de T f engendre une baisse de la viscosité


qui explique le développement des nombres de Reynolds de turbulence et la finesse globale des 

structures dissipatives. 

D’autre part, la variation des gradients de température à la surface de blocage modifie 

profondément les phénomènes turbulents à la paroi. L’insertion soudaine de parois chaudes dans 

l’écoulement entraîne une augmentation significative de la viscosité µ qui amplifie les mécanismes 

de dissipation à la paroi, perturbant le comportement de toutes les échelles de longueurs. Alors 

qu’une hausse de T f augmente la dynamique générale de l’écoulement, une paroi chaude provoque 

un amortissement important qui entraîne le renforcement des échelles dissipatives, la décroissance 

des structures porteuses d’énergie et une forte baisse du nombre de Reynolds à la paroi. 

Il faut cependant rester vigilant car la présence de gradient thermique à la paroi (cas des 

parois chaudes) modifie aussi la masse volumique du fluide ρ, altérant de fait la condition 

d’incompressibilité à la surface. Cette remarque est importante car elle implique que les équations 

du modèle RSTE décrites dans le paragraphe 5.1.3.1 ne soient pas utilisables en l’état. Nous 

discutons des résultats du bilan des tensions de Reynolds en présence de parois chaudes dans le 

paragraphe 5.4.2.2. 

5.4 Bilan des tensions de Reynolds 

Dans la suite, on distingue les cas de la paroi adiabatique et celui de la paroi isotherme 

pour présenter les comportements des contraintes de Reynolds, des termes de dissipation et de 

corrélations pression-déformation. 

5.4.1 Cas d’une paroi adiabatique 

On commence l’analyse des termes du bilan des tensions de Reynolds en évoquant le cas 

d’une paroi adhérente qui considère un flux de température nul à la paroi. Les résultats issus 

des simulations de Perot & Moin [47] et Bodart [7] sont destinés à valider les simulations dans 

cette configuration. Nous les intégrerons dans la suite afin de faciliter leurs comparaisons avec 

les résultats obtenus avec le code EVEREST. Dans cette configuration, le caractère isovolume 

est bien vérifié compte-tenu de l’absence de gradients thermiques dans l’écoulement. 

5.4.1.1 Étude des ensembles corrélations doubles de vitesse R ii 

Les évolutions des contraintes de Reynolds tangentielle R 11 = u 2 et normale R 22 = v 2 

après l’insertion de la paroi à t = τ T 0 sont illustrées respectivement sur la figure 5.22 pour les 

différents cas étudiés. On y observe une convergence rapide des contraintes de Reynolds vers 

un profil unique lorsqu’elles sont normées par leur valeur à une distance éloignée de la paroi 

(ici y = 1), notées R 11∞ et R 22∞ . Cette convergence se fait rapidement vu qu’elle s’établit dès 

t = 2τ T 0 . 

Comme pour les travaux de Perot et Moin [47], la contrainte tangentielle R 11 présente un 

pic en proche paroi, dès l’insertion de celle-ci (à t/τ T 0 = 1), qui s’explique par l’inhomogénéité 

engendrée par l’application soudaine de la condition d’adhérence aux champs des vitesses. Ce pic, 

dont l’amplitude est d’autant plus grande que le nombre de Reynolds est élevé (Fig. 5.22(a)) 

et que le nombre κ e est faible (Fig. 5.22(b)), est rapidement dissipé par effets visqueux. On 

s’aperçoit également que la pente à l’origine de R 11 est fonction du montant énergétique de 

l’écoulement turbulent et de la taille des structures porteuses d’énergie.


(a) R 11 (S A i ) (b) R 11 (S B i ) (c) R 11 Perot & Moin [47] 

(d) R 22 (Si A ) (e) R 22 (Si B ) (f) R 22 Perot & Moin [47] 

EVEREST : traits pleins : t = 5.5, tirets : t = 15, pointillés : t = 30, couleurs : Fig. 5.5 

Perot & Moin : 

Figure 5.22 – Composantes tangentielles et normales des contraintes de Reynolds (paroi Σ q )) 

Les profils de la composante normale R 22 des contraintes de Reynolds sont bien différents 

compte-tenu de l’équation de continuité qui impose ∂v/∂y = 0 à la paroi. Les profils de R 22 

normées par R 22∞ pour les spectres S A i et S B i sont en adéquation avec ceux exposés par Perot 

& Moin. En effet, pour chaque cas étudié, la couche sur laquelle la contrainte R 22 s’annule augmente 

au cours du temps jusqu’à atteindre un équilibre pour les temps longs. Deux phénomènes 

semblent être responsables de la diminution de la taille de cette couche d’« inhomogénéité » : 

l’augmentation du nombre de Reynolds (Fig. 5.22(d)) et la présence de structures énergétiques 

plus fines (Fig. 5.22(e)). 

5.4.1.2 Bilan des équations de transport des tensions de Reynolds 

Le comportement des termes ε ii et Π ii décrits par les équations (5.1) est évalué pour les 

deux classes de spectres de l’étude. Les profils verticaux des moyennes spatio-temporelles de la 

figure 5.23 sont adimensionnés par la valeur à la paroi du taux de dissipation turbulente ε 0 qui 

s’expriment en fonction des termes ε ii par : 

ε 0 = 1 2 (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) y=0 

(5.9)


Les résultats obtenus pour les termes de dissipation sont conformes à ceux de la figure (Fig. 

5.24). En effet, les figures 5.23(a) et 5.23(b) indiquent que la composante tangentielle ε 11 de la 

dissipation est maximale au niveau de la paroi alors que la composante normale y est nulle. Loin 

de la zone de blocage (y > 0.2), les composantes normales et tangentielles convergent vers un 

profil unique synonyme de retour à l’isotropie. 

(a) ε ii (S A i ) (b) ε ii (S B i ) 

traits pleins : ε 11 , tirets : ε 22 , couleurs : cf. Fig. 5.5 

(c) Π ii (S A i ) (d) Π ii (S B i ) 

traits pleins : Π 11 , tirets : Π 22 , couleurs : cf. Fig. 5.5 

Figure 5.23 – Termes du bilan des tensions de Reynolds normés par ε 0 (paroi Σ q ) 

Les évolutions des termes de corrélations pression-déformation dans les directions normales 

et tangentielles sont représentées sur les figures 5.23(c) pour les spectres Si 

A et 5.23(d) pour les 

spectres Si B . Les résultats obtenus sont là encore similaires à ceux avancés par Perot & Moin 

ainsi que Bodart (Fig. 5.24) dans la mesure où ces termes assurent le transfert énergétique intercomposantes. 

En effet, la composante tangentielle de la corrélation pression-déformation Π 11 

est un terme source du bilan (signe positif) alors que la composante normale est un terme puits 

(signe négatif). Les bilans adimensionnés sont très similaires sur toute la gamme de nombre de 

Reynolds étudiée (cas Si A ) tandis que des structures turbulentes plus fines augmentent l’amplitude 

des termes de pression-déformation (cas Si B ). Loin de la surface de blocage, on remarque 

que les termes Π ii s’annulent quand ils sont rapportés au taux de dissipation à la paroi ε 0 . 

5.4.1.3 Influence de la température du fluide 

Dans ce paragraphe, on s’intéresse à des écoulements initialisés par le spectre turbulent Si 

A et 

possédant des températures différentes (cf. 5.3.2.2) en configuration de parois adiabatiques. En


(a) Perot & Moin : bilan de u 2 

(b) Perot & Moin : bilan de w 2 

(c) Bodart : bilan de u 2 (d) Bodart : bilan de w 2 

traits pleins : Re f = 125, pointillés : Re f = 300, discontinus : Re f = 675 

Figure 5.24 – Termes du bilan des tensions de Reynolds normés par ε 0 obtenus par [47] et [7] 

l’absence de gradients thermiques à la paroi, l’écoulement conserve son caractère isovolume et les 

équations du modèle RSTE sont applicables. Sur les figures 5.25(a) et 5.25(b), les profils obtenus 

montrent que les corrélations doubles des vitesses R ii = û i u i sont affectées par la température T f 

du fluide. En effet, plus sa valeur est élevée, plus l’amplitude du pic observé pour la composante 

tangentielle R 11 , dès l’insertion de la paroi, est grande et plus la région sur laquelle la contrainte 

R 22 s’annule diminue. 

La température du fluide influe plus faiblement sur les termes du bilan des tensions de 

Reynolds en diminuant les composantes dissipatives ε ii (Fig. 5.25(c)) et en augmentant légère-


(a) R 11/R 11 ∞ 

(b) R 22/R 22 ∞ 

traits pleins : t = 5.5, tirets : t = 15, pointillés : t = 30, couleurs : cf. Fig. 5.5 

(c) ε ii/ε 0 (d) Π ii/ε 0 

traits pleins : composante tangentielle, tirets : composante normale, couleurs : cf. Fig. 5.5 

Figure 5.25 – Influence de T f sur les termes R ii , ε ii et Π ii (paroi Σ q ) 

ment l’amplitude des corrélations pression-déformation Π ii (Fig. 5.25(d)) à la paroi. 

5.4.2 Cas de la paroi isotherme 

L’étude de l’interaction d’un écoulement turbulent avec une paroi isotherme est plus rare 

dans la littérature. Ayant validé la bonne résolution des termes du bilan des tensions de Reynolds 

dans le cas d’une paroi adiabatique grâce aux travaux de Perot, Moin et Bodart, nous modifions 

uniquement la condition limite à la paroi en y imposant désormais une température fixe. Dans 

un premier temps, on étudie les ensembles Si A et Si B pour lesquels la paroi et le fluide sont 

à la même température à l’état initial, i.e. T f = T w = 1000 K. Cette température de paroi 

T w sera ensuite modifiée pour étudier l’influence d’une paroi chaude sur les termes du bilan 

des tensions de Reynolds. Dans ce cas, il s’agira de rester prudent quant à l’interprétation des 

résultats considérant le comportement de la masse volumique à la paroi. 

5.4.2.1 Étude des ensembles S A i et S B i 

On procède ici à l’analyse de l’évolution des contraintes de Reynolds tangentielles R 11 et 

normales R 22 (Fig. 5.26). Les résultats obtenus sont similaires à ceux caractérisés pour la paroi 

adiabatique révélant encore l’existence d’une couche d’« inhomogénéité », dont la taille dépend


du nombre de Reynolds, ainsi que la présence d’un pic pour les composantes tangentielles lors 

de l’insertion de la paroi. La différence par rapport à la paroi adiabatique est que l’amplitude 

de ce pic semble dépendre davantage de la valeur de Re T . 

(a) R 11 (S A i ) (b) R 11 (S B i ) 

(c) R 22 (S A i ) (d) R 22 (S B i ) 

traits pleins : t = 5.5, tirets : t = 15, pointillés : t = 30, couleurs : cf. Fig. 5.5 

Figure 5.26 – Composantes tangentielles et normales des contraintes de Reynolds (paroi Σ T ) 

Pour ce qui est du comportement des termes ε ii et Π ii décrits par les équations (5.1) pour les 

deux classes de spectres étudiées. Les profils verticaux ̂ε ii et ̂Π ii représentées sur la figure 5.27 

correspondent au temps t = 6τ T 0 = 30, ils sont adimensionnés par la valeur à la paroi du taux 

de dissipation turbulente ε 0 décrit par la relation 5.9. Pour les premiers, les résultats obtenus 

sont sensiblement similaires à ceux obtenus dans le cas de la paroi adiabatique. 

La situation est différente pour les termes de corrélations pression-déformation dans la mesure 

où les mécanismes de transfert énergétique intercomposantes se déroulent à une distance plus 

éloignée de la paroi (Fig. 5.27(c) et 5.27(d)). L’amplitude de ces termes en situation de paroi 

isotherme dépend davantage de la valeur du nombre de Reynolds Re T comme l’observèrent 

Hallback et Johansson [19]. 

5.4.2.2 Influence de parois chaudes sur l’écoulement 

Après avoir observé l’influence du nombre de Reynolds de turbulence et du nombre d’onde 

κ e sur les contraintes de Reynolds, les simulations de parois chaudes permettent d’identifier 

les conséquences de la présence de gradients thermiques aux bords du domaine (cf. 5.3.2.3). 

On s’aperçoit sur la figure 5.28(a) que le pic observé au temps courts pour la composante


(a) ε ii (S A i ) (b) ε ii (S B i ) 

traits pleins : ε 11 , tirets : ε 22 , couleurs : cf. Fig. 5.5 

(c) Spectres Si 

A (d) Spectres Si 

B 

traits pleins : Π 11 , tirets : Π 22 , couleurs : cf. Fig. 5.5 

Figure 5.27 – Termes du bilan des tensions de Reynolds normés par ε 0 (paroi Σ T ) 

tangentielle (t = 5.5) possède une amplitude légèrement plus grande et se déroule à une distance 

plus importante lorsque T w augmente. Pourtant, cet effet est relativement négligeable comparé 

à la modification des profils de la composante normale ̂v 2 des contraintes de Reynolds. Au temps 

courts, la figure 5.28(b) révèle une augmentation significative de ces termes jusqu’à une distance 

y = 0.6 pour le cas T w = 4000 K. Pour les temps longs, on note que les parois chaudes réduisent 

le déséquilibre existant entre les composantes normales et tangentielles des termes R ii en proche 

paroi. Loin de la surface de blocage, les profils convergent tous vers un profil unique indépendant 

de la température T w imposée, synonyme de retour à l’isotropie. 

Les résultats traitant du bilan des tensions de Reynolds représentés sur la figure 5.29 suggèrent 

que la température de la paroi affecte les mécanismes de dissipation et de corrélation 

pression-déformation. En effet, une hausse de T w entraîne une forte augmentation de la composante 

normale de la dissipation en proche paroi au détriment de la composante tangentielle. 

En ce qui concerne les termes Π ii , on s’aperçoit que les parois chaudes provoque une inversion 

des transferts qui se déroulent entre les composantes tangentielles devenues des termes puits et 

normales devenues des termes sources. L’amplitude des corrélations pression-déformation est 

d’autant plus élevée que la différence de températures entre le fluide et la paroi est grande. 

Pourtant, ces résultats sont difficilement interprétables en l’état. En effet, nous avons vu 

dans le paragraphe 5.3.2.3 que le caractère isovolume de la turbulence, qui justifie l’application


(a) R 11/R 11 ∞ 

(b) R 22/R 22 ∞ 

Figure 5.28 – Influence de T w sur les contraintes de Reynolds u i u i 

(a) Termes ε ii 

(b) Termes Π ii 

traits pleins : composante tangentielle, tirets : composante normale 

Figure 5.29 – Influence de T w sur les profils ε ii et Π ii normés par ε 0 (paroi Σ T ) 

du modèle RSTE, n’est a priori pas vérifié en proche paroi. Pour confirmer ces suppositions, il 

s’agira, dans les études futures, d’améliorer les équations (5.1) du modèle RSTE, afin qu’elles 

prennent en compte les fluctuations de température ainsi que la dissipation thermique associées 

à la présence de gradients thermiques à la paroi. 

5.4.2.3 Corrélations température-vitesse et pression-vitesse en parois chaudes 

Confrontés aux limites du modèle RSTE vis-à-vis de la présence de parois chaudes, nous 

étudions les composantes tangentielles et normales des termes de corrélation de fluctuations 

température-vitesse et pression-vitesse (Fig. 5.30) afin de mieux caractériser les phénomènes se 

déroulant à la paroi. 

Les profils observés sur la figure 5.30 montrent globalement que les amplitudes de ces corrélations 

sont d’autant plus grandes que les gradients thermiques imposés à la paroi sont élevés. 

Ils suggèrent aussi que : 

̂T ′ u ∝ ̂P ′ u (5.10) 

̂T ′ v ∝ ̂P ′ v (5.11)


(a) ˜T u 

(b) ˜T v 

(c) ˜P u 

(d) ˜P v 

rouge : T w = 1000 K, vert : T w = 2000 K et bleu : T w = 4000 K 

Figure 5.30 – Corrélations des fluctuations température-vitesse et pression-vitesse pour différentes 

parois chaudes à t = 30 

5.4.3 Interprétations des résultats 

5.4.3.1 Positionnement des résultats 

L’analyse des corrélations doubles de vitesse et des termes ε ii et Π ii du bilan des tensions 

de Reynolds a permis de confirmer les capacités du code à simuler efficacement les phénomènes 

turbulents au voisinage d’une surface de blocage cinématique. En effet, les résultats obtenus 

rejoignent ceux établis par Perot & Moin [47] et Bodart [7] dans le cadre d’une paroi adhérente et 

adiabatique. L’introduction d’une condition de paroi isotherme permet alors d’étudier l’influence 

de gradients thermiques sur l’écoulement turbulent. 

5.4.3.2 Effets d’amortissement relatif à la condition d’adhérence 

La condition d’adhérence imposée par la nullité du champ des vitesses à la paroi se traduit 

par l’occurrence des mécanismes liés à l’amortissement et au blocage cinématique avancée par 

Hunt et Graham [24]. Lors de ces simulations, nous avons confirmé l’existence d’une sous-couche 

visqueuse dont la taille dépend à la fois du nombre de Reynolds de turbulence et du nombre 

d’onde κ e . L’étude des différentes configurations d’écoulements obtenues en modifiant les caractéristiques 

du spectre Passot-Pouquet utilisé a permis d’identifier les phénomènes à l’origine du 

rétrécissement de cette sous-couche :


– une température initiale du fluide plus élevée, 

– une dynamique de l’écoulement plus grande (i.e. Re T élevé), 

– des structures porteuses d’énergie plus petites (i.e. κ e élevé). 

Il s’avère que ces phénomènes se traduisent tous par une viscosité plus faible et expliquent 

pourquoi ils entraînent une diminution de la sous-couche visqueuse. 

5.4.4 Transfert énergétique intercomposantes 

L’analyse des termes de corrélations pression-déformation dans le cadre d’une paroi adiabatique 

permet de caractériser le transfert énergétique s’opérant de la composante normale vers 

les composantes tangentielles de l’écoulement au voisinage de la paroi. Lorsque ces termes sont 

normés par le taux de dissipation à la surface ε 0 , leur amplitude dépend d’ailleurs très peu du 

nombre de Reynolds de l’écoulement comme l’évoquait déjà Bodart dans son travail. 

L’implémentation d’une condition de paroi isotherme a permis de révéler que les mécanismes 

de transfert énergétique intercomposantes se déroulent à une distance plus élevée de la 

paroi comparés à ceux observés pour la paroi adiabatique. L’amplitude des termes est d’ailleurs 

davantage dépendant du nombre de Reynolds et du nombre d’onde κ e . 

La présence de gradients de températures à la paroi bouleverse cette phénoménologie. En 

effet, pour les parois chaudes, le sens des transferts énergétiques intercomposantes est inversé : le 

terme Π 11 devient un terme puits pour la contrainte de Reynolds u 2 et Π 33 un terme source pour 

v 2 . Aussi, plus les gradients de température imposés à la paroi sont élevées et plus l’amplitude 

des corrélations pression-déformation à la paroi est grande. Enfin, la sensibilité des termes Π ii 

à la valeur de Re T pour une surface isotherme à T w = 1000 K peut s’expliquer par la présence 

d’un gradient de température de sens opposé à celui rencontré pour les parois chaudes, l’écoulement 

étant plus chaud que la température de la paroi. Il faut pourtant rester vigilant quant à 

l’interprétation de ces résultats car le comportement de la masse volumique dans cette configuration 

laisse penser que la condition d’incompressibilité, nécessaire pour appliquer les équations 

du modèle RSTE, n’est plus vérifiée. 


L’introduction de surfaces de blocage au sein d’un écoulement de THI a nécessité la réalisation 

d’adaptations numériques du code EVEREST. L’utilisation d’un maillage très raffiné aux 

abords de la paroi permet de garantir les critères de résolution numérique alors que le confinement 

spatial du forçage spectral, défini dans le chapitre 4, s’avère très efficace pour maintenir 

un niveau énergétique constant sans influence sur le champ de pression. Dès lors, la mise en 

place d’une batterie de simulations révèle l’influence du nombre de Reynolds (spectres Si A ), du 

nombre d’onde κ e (spectres Si B) et de la condition limite imposée à la paroi (adiabatique Σq ou 

isotherme Σ T ) sur les phénomènes turbulents observés en proche paroi. 

Les résultats obtenus suggèrent l’existence de plusieurs couches de fluide dans le domaine de 

simulation. La première correspond à la zone de forçage caractérisée par une activité turbulente 

intense, la seconde est la zone de diffusion qui transporte l’agitation turbulente créée jusqu’à la 

paroi et enfin la zone de blocage marquée par l’occurrence des phénomènes de blocage cinématique 

et d’amortissement (Fig. 5.21). La taille de cette dernière couche n’est pas fixe et dépend 

de l’agitation turbulente, des échelles caractéristiques de l’écoulement ainsi que d’éventuels gradients 

de températures à la paroi.


Enfin, l’étude des contraintes et des termes du bilan des tensions de Reynolds a permis 

l’analyse approfondie des mécanismes de dissipation et de transferts énergétiques aux abords de 

la surface de blocage. Ainsi, en plus de retrouver les résultats de nos prédécesseurs pour une 

paroi adhérente et adiabatique, nous avons établi que le transfert énergétique intercomposantes, 

traduit par le comportement des corrélations pression-déformation, dépend davantage de la 

valeur du nombre de Reynolds de turbulence ainsi que du nombre d’onde κ e pour la paroi 

isotherme. Enfin, les simulations de parois chaudes qui caractérisent l’influence de gradients de 

températures à la paroi devront faire l’étude d’analyses plus approfondies pour caractériser les 

phénomènes liés aux fluctuations de température et à la dissipation thermique associée.

170 Chapitre 5. Turbulence en présence d’un blocage pariétal

Chapitre 6 

Simulation de l’ablation en 

turbulence confinée 

Sommaire 

6.1 Prise en compte du phénomène d’ablation . . . . . . . . . . . . . . . 173 

6.1.1 Contexte théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 

6.1.1.1 État de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 

6.1.1.2 Profils de surfaces expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . 173 

6.1.1.3 Rappel des résultats acquis par Velghe . . . . . . . . . . . . . 174 

6.1.2 Modélisation retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

6.1.2.1 Réaction de sublimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 

6.1.2.2 Modèle retenu à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

6.1.3 Définition des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

6.1.3.1 Rappel de la configuration étudiée . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

6.1.3.2 États de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

6.1.3.3 Dimensionnement et initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

6.2 Analyse de l’écoulement dans la zone de blocage . . . . . . . . . . . 178 

6.2.1 Comportement des paramètres généraux de l’écoulement . . . . . . . . . 178 

6.2.1.1 Profils de k, ε et Re T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 

6.2.1.2 Échelles caractéristiques de la turbulence . . . . . . . . . . . . 179 

6.2.1.3 Étude des champs de températures . . . . . . . . . . . . . . . 180 

6.2.2 Bilan des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

6.2.2.1 Cas des spectres Si A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

6.2.2.2 Cas des spectres Si B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

6.2.3 Interprétations des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 

6.2.3.1 État de la cascade énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 

6.2.3.2 Effets d’amortissement et transferts énergétiques . . . . . . . . 182 

6.3 Interaction entre l’écoulement et la réaction d’ablation . . . . . . . 183 

6.3.1 Conséquences du régime turbulent sur la récession . . . . . . . . . . . . 183 

6.3.1.1 États de surfaces en régime laminaire et turbulent . . . . . . . 183 

6.3.1.2 Vitesse de récession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 

6.3.1.3 Taille de rugosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 

171

172 Chapitre 6. Simulation de l’ablation en turbulence confinée 

6.3.1.4 Diffusion de l’espèce C 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 

6.3.2 Caractérisation des états de surfaces ablatées . . . . . . . . . . . . . . . 186 

6.3.2.1 Influence de l’agitation turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . 187 

6.3.2.2 Influence de la taille des structures énergétiques . . . . . . . . 187 

6.3.2.3 Méthode d’évaluation de la densité de rugosités . . . . . . . . 188 

6.3.3 Simulation de la présence d’un matériau composite idéalisé . . . . . . . 189 

6.3.3.1 Conditions de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 

6.3.3.2 Visualisation des profils obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 


6.3.4.1 Influence de la turbulence sur la récession . . . . . . . . . . . . 190 

6.3.4.2 Caractérisation des motifs ablatés . . . . . . . . . . . . . . . . 191 

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 

La validation des phénomènes turbulents en configuration périodique et en présence de 

paroi laisse le champ libre à l’étude de l’ablation en interaction avec un écoulement turbulent. 

Ce chapitre présente les constatations que nous avons été en mesure d’avancer considérant le 

temps imparti pour nos recherches. Naturellement, ce travail est loin d’épuiser le sujet et devra 

faire l’objet d’études plus poussées. Quoi qu’il en soit, les résultats exposés ici permettent malgré 

tout d’améliorer la compréhension de ces phénomènes. 

Dans un premier temps, nous rappelons brièvement le contexte de ce travail de simulation 

numérique de l’ablation. Puis, les paramètres de la turbulence sont analysés pour définir dans 

quelle mesure ils sont affectés par la réaction de sublimation. Nous finirons par exposer et 

commenter les états de surface caractérisés grâce aux configurations d’écoulements mises en 

place.

Chapitre 6. Simulation de l’ablation en turbulence confinée 173 

6.1 Prise en compte du phénomène d’ablation 

6.1.1 Contexte théorique 

Avant de présenter l’aboutissement de ces travaux, on rappelle l’état de l’art existant à propos 

de ce sujet ainsi que les résultats établis par Velghe [64]. Ce paragraphe sera aussi l’occasion 

d’exposer des profils ablatés expérimentaux récemment dévoilés. 

6.1.1.1 État de l’art 

Pour décrire le processus d’ablation, deux points de vue sont généralement adoptés : l’un 

ciblant le fluide, l’autre le matériau. Pour le premier, Kuo & Keswani [27], Chelliah [14] et Milos 

& Chen [38] ont mené des études sur les échanges dans la partie fluide pour lesquels la description 

du matériau et de sa réactivité sont assez sommaires. Pour les seconds, qui se placent d’un point 

de vue matériau, des auteurs comme Rodriguez-Mirasol [54], Luo [34] et Han [20] n’offrent pas ou 

très peu de description du couplage dynamique fluide/solide. Enfin, la monographie de Duffa sur 

l’ablation [17] traite des modèles existants pour simuler le phénomène d’ablation. La formation 

de rugosités, mise en évidence par des essais expérimentaux en laboratoire (cf. 6.1.1.2), est 

couramment modélisée par des lois de paroi, comme pour les travaux de Puigt [51]. 

6.1.1.2 Profils de surfaces expérimentales 

Récemment, de nouvelles études expérimentales ont permis d’identifier les conséquences d’un 

écoulement turbulent sur le phénomène d’ablation. Les profils de surfaces obtenus par Hochreim 

& Wright et Powars [49] de la figure 6.1 sont similaires à ceux de la figure 1.11. Ces photographies 

sont destinées à valider les états de surface que nous simulerons grâce au code EVEREST. 

(a) ATJ-S Graphite recovered from Sandia TATER 

flight 

(b) ATJ-S Graphite tested in AFFDL 50 MW 

arc [49] 

Figure 6.1 – Profils dentés observés en régime turbulent 

Malheureusement, nonobstant les profils révélés, Powars ne fut pas en mesure d’avancer 

d’hypothèses tangibles quant aux raisons de l’apparition de motifs ablatés.


6.1.1.3 Rappel des résultats acquis par Velghe 

Les travaux de Velghe ont permis de mettre en évidence le couplage fort qui existe entre 

l’agitation turbulente et l’état de surface d’un matériau ablatable. D’abord, il a prouvé la capacité 

du code à reproduire numériquement la récession du matériau en présence d’un écoulement 

laminaire. Dans ce cas, la surface reste plane tout au long de la simulation. À l’inverse, l’ajout 

d’agitation turbulente au sein de l’écoulement lui a permis d’identifier les conséquences des 

mouvements fluctuants sur les rugosités créées (Fig. 6.2). 

(a) Hauteur de rugosité 

(b) Influence de l’agitation turbulente sur h rugo 

Figure 6.2 – Résultats obtenus par Velghe [64] 

Cependant, malgré le forçage linéaire mis en place, la dégénérescence des structures turbulentes 

a empêché d’identifier l’influence du nombre d’onde κ e et par la même occasion, d’obtenir 

des états rugueux suffisants. En effet, la hauteur de rugosité h rugo maximale caractérisée est 

de l’ordre de 1.2 10 −10 m. Cette valeur est trop faible pour mener une interprétation physique 

réaliste des résultats. Nous verrons dans ce chapitre que le forçage spectral mis en place a permis 

d’améliorer considérablement ces résultats. 

6.1.2 Modélisation retenue 

Cette section a pour but d’établir un modèle permettant la prédiction de l’état de surface 

d’un matériau ablaté afin de reproduire l’état des surfaces observé lors d’expériences de jet 

de plasma (Fig. 1.11) et de Powars (Fig. 6.1). Dans cette optique, le matériau étant composé 

uniquement de carbone solide (noté C (s) ), nous limiterons notre travail à l’étude de la réaction 

de sublimation. 

6.1.2.1 Réaction de sublimation 

Les changements de phases (solide-gaz et/ou liquide-gaz) sont modélisés par les équations 

de Knudsen-Langmuir. Cette approche cinétique repose sur la représentation du solide par une 

espèce gazeuse à sa pression de vapeur saturante [58]. Le flux de masse pour la sublimation est 

estimé par la relation suivante : 

√ 

( ) M Cn 

ṁ = α n pCn − p Cn (6.1) 

2πRT 

avec :


p Cn 

: la pression saturante en vapeur de C n 

α n : le coefficient d’accommodation de l’espèce C n 

M Cn : la masse molaire de l’espèce C n 

R : la constante des gaz parfaits 

Le débit de masse ṁ sub croît exponentiellement avec la température de paroi. L’espèce majoritaire 

est alors C 3 aux pressions élevées (P > 1 bar) et C 1 aux basses pressions. Les espèces 

C 4 et C 5 sont formées dans le milieu gazeux par réactions homogènes. Généralement, les espèces 

produites à la surface par la sublimation sont C 1 , C 2 et C 3 . La figure 6.3 qui représente les 

pressions de vapeur saturante des différentes espèces carbonées en fonction de la température, 

permet de quantifier l’importance de la production de ces espèces. 

Figure 6.3 – Pression de vapeur saturante pour les espèces C 1 , C 2 et C 3 

Dans la suite de ce travail, nous simplifierons les réactions de sublimation en ne considérant 

que celle de l’espèce C 3 . La pression de vapeur saturante est alors estimée par la relation : 

p C3 

= 2.821 × 10 5 A 3 T n 3 

exp (−E 3 /T ) (6.2) 

avec A 3 = 4.3 10 15 , n 3 = −1.5 et E 3 = 97597 K. 

Les valeurs du coefficient d’accommodation α n varient considérablement et sont généralement 

déterminées de façon empirique. Cette détermination étant toujours d’actualité, on évoque deux 

méthodes communément utilisées dans ce cas : 

1. les valeurs de α n sont exprimées en fonction de la température, indépendamment de l’espèce 

chimique, par la loi empirique [17] : 

ln(α n ) = 

{ 

− 

15860 

T 

+ 3.112 si T < 4045 K 

− 21660 

T 

+ 4.546 sinon 

(6.3) 

2. les valeurs de α n sont données de façon tabulée en fonction de la température et de l’espèce 

considérée :


Espèce α i (2700 K) α i (2450 K) α i (2500 K) 

C 0.24 0.37 0.14-0.23 

C 2 0.50 0.34 0.26-0.38 

C 3 0.023 0.08 0.03-0.04 

Table 6.1 – Coefficient d’accommodation α n [69] 

6.1.2.2 Modèle retenu à la paroi 

La fraction massique de l’espèce α à la paroi est déterminée en résolvant un bilan de flux de 

masse qui s’écrit sous la forme générale : 

∂C α 

−ρD α 

∂y + ρC αv jω = Jα 

sub + Jα 

oxi + Jα 

pyro + Jα 

cat + Jα ion 

(6.4) 

Les termes du premier membre de cette équation représente le flux normal dû à la diffusion de 

l’espèce α et à la vitesse d’injection v ω . Considérant les remarques faites dans le paragraphe 

précédent, seule la réaction surfacique de sublimation du carbone C 3 est retenue. À l’instant 

initial, le domaine est composé uniquement d’un fluide composé de dioxygène assimilé à de l’air 

(C AIR = 1). Lorsque la paroi est insérée à t = τ T 0 , le démarrage de la réaction de sublimation 

déclenche le processus d’ablation et entraîne l’injection de l’espèce C 3 sous forme gazeuse (notée 

C 3(g) ) dans l’écoulement turbulent. 

Le système d’équations résolu à la paroi est : 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ρD C3 

∂C C3 

∂y 

+ ρC C 3 

v ω = J sub 

C 3 

∂C CAIR 

ρD AIR + ρC CAIR v ω = 0 

(6.5) 

∂y 

ρ ω v ω = JC sub 

3 

Le bilan de flux de masse à la paroi permet de déterminer la fraction massique des espèces 

chimiques présentes, ainsi que la vitesse d’ablation à chaque pas de temps. En connaissant cette 

vitesse de recul, la récession de la paroi est évaluée afin de prendre en compte la déformation du 

maillage pour le calcul des coefficients métriques de la transformation conforme (cf. 3.2.2.4). Le 

flux de sublimation J sub 

C 3 

s’exprime alors par : 

√ 

JC sub 

( ) M C3 

3 

= ṁ C3 = α 3 pC3 − p C3 

2πRT 

La valeur du coefficient d’accommodation α 3 est fixée à 0.077 pour les simulations. La vitesse 

d’injection des gaz à la paroi v ω est elle déterminée par le débit massique de l’ablation ṁ. En 

supposant que le flux d’ablation est uniquement un flux normal à la paroi, on a : 

(6.6) 

ṁ = J sub 

C 3 

= ρ ω v ω (6.7) 

où ρ ω est la masse volumique du matériau constituant le bouclier thermique, ρ s = 2267 kg.m −3 . 

À partir du système (6.5), on déduit que la vitesse d’ablation v a est égale à : 

v a = ρ ωv ω 

ρ s 

(6.8)


6.1.3 Définition des simulations 

6.1.3.1 Rappel de la configuration étudiée 

On reprend ici la configuration étudiée dans le chapitre précédent à la différence que les 

parois insérées au sein de la THI sont le siège de réactions chimiques de sublimation décrites 

par l’équation-bilan 1.7 (Fig. 6.4). Cela signifie que la viscosité vérifie la loi de PANT alors que 

les coefficients de diffusion ainsi que la conduction reposent sur des approximations basées sur 

des nombres de Lewis et Prandtl constants. La validité de ces approximations dans un contexte 

ablatif n’est pas abordée dans ce rapport. Finalement, les mécanismes réactionnels interagissent 

avec l’écoulement dont la température T f est susceptible de prendre différentes valeurs (3000, 

4000 ou 5000 K). Cette paramétrisation est motivée par la volonté d’estimer l’influence de la 

température du fluide sur le phénomène d’ablation. 

Figure 6.4 – Configuration adoptée pour l’étude de l’ablation 

6.1.3.2 États de référence 

L’adimensionnement des équations simulées exige encore la définition des états de référence 

(2.24) et dépend fortement de la valeur initiale du fluide. On obtient donc un état de référence 

propre à chaque température T f envisagée (Tab. 6.2). 

Lorsque les variables seront exprimées sans unité, il suffira là encore de multiplier les valeurs 

calculées par les paramètres de référence précédents afin d’obtenir les valeurs physiques réelles. 

6.1.3.3 Dimensionnement et initialisation 

Le dimensionnement du domaine de calcul ainsi que des propriétés du maillage sont scrupuleusement 

identiques à ceux donnés dans le paragraphe 5.1.2.2. Les parois adhérentes et isothermes 

insérées possèdent une température fixe T w égale à 4000 K. 

Pour analyser l’influence de l’agitation turbulente et du nombre d’onde κ e sur les motifs 

ablatés, on considère de nouveau les spectres turbulents des ensembles Si A et Si B définis dans 

les tableaux 5.5 et 5.6. Les analyses portant sur la température du fluide utilisent quant à elles 

le spectre de référence S1 

A = S2 B . On résume les différentes études menées pour caractériser 

l’ablation dans le tableau 6.3.


Variables 

Valeurs de T f 

3000 K 4000 K 5000 K 

Unité 

Re ac 750 750 750 - 

T ref 1200 1600 2000 K 

a ref 118.2 136.5 152.6 m.s −1 

t ref 9.22 ×10 −6 1.12 ×10 −5 1.33 ×10 −5 s 

P ref 1.42 ×10 5 1.42 ×10 5 1.42 ×10 5 P a 

ρ ref 0.321 0.241 0.192 kg.m −3 

µ ref 5.05 ×10 −5 6.74 ×10 −5 7.88 ×10 −5 P a.s (ou P l) 

ν ref 1.57 ×10 −4 2.80 ×10 −4 4.08 ×10 −4 m 2 .s −1 

L ref 1.09 ×10 −3 1.53 ×10 −3 2.03 ×10 −3 m 

Table 6.2 – Variables de référence associées 

Type de l’étude Spectres Re T0 κ e T f (en K) couleur 

S A i : influence de u ′ S A 1 100 6 4000 rouge 

S A 2 200 6 4000 vert 

S A 3 400 6 4000 bleu 

S B i : influence de κ e 

S B 1 100 4 4000 cyan 

S B 2 100 6 4000 rouge 

S B 3 100 8 4000 orange 

i : influence de T f S T f 

3 100 6 4000 vert 

T f 

S1 100 6 3000 bleu 

S T f 

3 100 6 5000 rouge 

S T f 

Table 6.3 – Définition des ensembles de spectres étudiés 

6.2 Analyse de l’écoulement dans la zone de blocage 

Dans le but d’identifier les phénomènes se déroulant dans la zone de blocage, on précise le 

comportement des paramètres turbulents aux abords immédiats de la paroi (ici y < 0.5). Dans 

cette région du domaine, les trois critères de résolution numérique imposés ne sont pas modifiés 

par la récession de la paroi et sont identiques à ceux établis dans le paragraphe 5.2.2. Dès lors, 

on étudie les paramètres généraux de l’écoulement (k, ε, Re T et T ) et les échelles de longueur 

(η, λ T et L T ). Puis les termes du bilan des tensions de Reynolds sont évalués. Dans les deux 

cas, on s’intéresse aux conséquences des choix faits pour définir le spectre de turbulence et la 

température initiale du fluide. 

6.2.1 Comportement des paramètres généraux de l’écoulement 

6.2.1.1 Profils de k, ε et Re T 

Les évolutions spatiales de l’énergie cinétique turbulente k, du taux de dissipation turbulente 

ε et du nombre de Reynolds Re T , entre les plans y = 0 et y = 0.5 sont représentées sur la figure 

6.5 pour les cas Si A et Si B . On constate bien l’impact des niveaux d’agitation turbulente forcée 

(cas des spectres Si A) ainsi que l’influence de la taille des structures porteuses d’énergie (cas SB i ) 

sur les nombres de Reynolds à la paroi.


(a) ̂k (b) ̂ε (c) ̂ReT 

Figure 6.5 – Profils verticaux de k, ε et Re T en régime permanent (légende : cf. 6.2) 

D’un autre côté, l’étude des spectres S T f 

i de la figure 6.6 révèle qu’une hausse de la température 

du fluide augmente à la fois les valeurs de l’énergie cinétique turbulente, du taux de 

dissipation turbulente et du nombre de Reynolds au voisinage de la surface de blocage isotherme. 

(a) ̂k (b) ̂ε (c) ̂ReT 

Figure 6.6 – Influence de la température du fluide sur k, ε et Re T en régime permanent 

6.2.1.2 Échelles caractéristiques de la turbulence 

On étudie maintenant l’influence des paramètres d’ensemble sur les échelles caractéristiques 

de la turbulence. On observe sur la figure 6.7 qu’une augmentation de l’agitation turbulente 

dans le fluide entraîne une hausse des structures énergétiques et une réduction des structures 

dissipatives en proche paroi. Les spectres Si 

B permettent quant à eux de constater qu’une augmentation 

de κ e provoque une diminution globale des échelles caractéristiques de la turbulence 

à la surface. 

Enfin, l’influence de la température du fluide sur les comportements des échelles de longueurs 

aux abords de la paroi ablatable est abordée (Fig. 6.8). Contrairement aux écoulements froids 

(T f = 3000 K) qui provoquent la diminution des structures porteuses d’énergies (≃ L T ) et 

une augmentation de l’échelle de Kolmogorov η (amplifiée par la présence d’une paroi chaude 

T w = 4000 K), les écoulements chauds (T f = 5000 K) témoignent des phénomènes inverses et 

amplifient la dynamique turbulente à la paroi.


(a) ̂η (b) ̂λT (c) ̂LT 

Figure 6.7 – Échelles de longueur des cas S A i et S B i dans la zone de blocage (légende : cf. 6.2) 

(a) ̂η (b) ̂λT (c) ̂LT 

Figure 6.8 – Influence de T f sur les échelles de longueur dans la zone de blocage 

6.2.1.3 Étude des champs de températures 

Pour achever l’analyse des paramètres généraux de l’écoulement, les profils de températures 

sont illustrés pour les ensembles Si A, SB i et S T f 

i en la figure 6.9. À température de paroi fixée 

(a) ̂T (cas S 

A 

i et S B i ) : légende cf. 6.2 (b) ̂T (cas S 

T f 

i 

) 

Figure 6.9 – Profils de température à la paroi des différents ensembles d’écoulements étudiés 

(T w = 4000 K), les résultats confirment l’influence de l’agitation turbulente sur le réchauffement 

de l’écoulement étant donné que les profils observés sont supérieurs à la valeur initiale de la


température. À cet égard, le spectre S T f 

3 , correspondant à un écoulement pour lequel T f = 

5000 K, ne semble pas satisfaisant vu que l’agitation turbulente ne cause pas d’augmentation 

de la chaleur moyenne dans le fluide. 

6.2.2 Bilan des tensions de Reynolds 

On approfondit l’étude de l’écoulement à la paroi en analysant le comportement des termes 

du bilan des tensions de Reynolds : les termes dissipatifs ε ii traduisant les effets d’amortissement 

et les corrélations pression-déformation Π ii qui caractérisent les mécanismes de transferts 

énergétiques inter-composantes. 

6.2.2.1 Cas des spectres S A i 

D’abord, les conséquences de la condition de surface et de la hausse de la température du 

fluide sur l’évolution des termes ε ii et Π ii sont évaluées à l’intérieur de la zone de blocage pour 

les cas S A i (Fig. 6.10). 

(a) ε ii (cas S A i ) (b) Π ii (cas S A i ) 

Figure 6.10 – Termes du bilan des tensions de Reynolds normés par ε 0 des cas Si 

A 

6.2) 

(légende cf. 

Pour les premiers, l’élévation du montant énergétique entraîne une augmentation de la dissipation 

à la paroi et une diminution de la sous-couche visqueuse. Ces conclusions étant similaires à 

celles du chapitre précédent, il semble que la réaction d’ablation et la hausse de T f ne perturbent 

pas outre mesure les termes de dissipation. Le comportement des seconds est lui différent si l’on 

s’appuie sur les résultats obtenus en la figure 5.27. En effet dans la configuration actuelle, l’amplitude 

des termes Π ii normée par ε 0 est maximale pour le cas S1 

A et diminue lorsque l’agitation 

turbulente augmente. 

6.2.2.2 Cas des spectres S B i 

En ce qui concerne les spectres Si B , les termes de dissipation sont à peu près équivalents 

même si l’on note que l’augmentation rapide de la dissipation à la surface de blocage se déroule 

sur une distance plus courte lorsque κ e est grand. 

Ce phénomène se retrouve dans le comportement des corrélations pression-déformation étant 

donné que l’action des mécanismes de transferts énergétiques intercomposantes s’effectue à une


(a) ε ii 

(b) Π ii 

Figure 6.11 – Termes du bilan des tensions de Reynolds normés par ε 0 des cas Si 

B 

6.2) 

(légende cf. 

distance d’autant plus proche de la paroi que le nombre κ e est grand (i.e. les structures porteuses 

d’énergie sont petites). En revanche, l’amplitude des termes Π ii ne dépend pas de la valeur de 

κ e . Ces conclusions sont différentes de celles avancées dans le cadre d’une paroi inerte. 

6.2.3 Interprétations des résultats 

6.2.3.1 État de la cascade énergétique 

L’analyse des profils de k, ε et Re T ainsi que des échelles de longueur dans la couche de 

blocage, est nécessaire afin d’estimer l’influence des réactions d’ablation simulées. En ce qui concerne 

les ensembles de spectres Si 

A et Si B , les comportements de ces paramètres sont identiques à 

ceux présentés dans le chapitre précédent. Ainsi, les remarques faites dans le paragraphe 5.3.3.1 

sur l’état de la cascade énergétique s’appliquent aussi au cas de parois ablatables. 

Par ailleurs, on constate les effets de variation de la température du fluide sur le comportement 

des paramètres turbulents à la paroi. Celle-ci étant à température fixe de 4000 K, des 

gradients thermiques existent aux niveaux des surfaces de blocage. De manière générale, les 

écoulements chauds amplifient la dynamique de la cascade énergétique en augmentant d’une 

part les structures porteuses d’énergie, et en diminuant d’autre part les échelles dissipatives. 

Cela s’explique par la diminution de la viscosité du fluide qui est peu affectée par la diffusion 

de l’espèce C 3 lors de l’ablation. 

6.2.3.2 Effets d’amortissement et transferts énergétiques 

Dans ce chapitre, les résultats concernant le bilan des tensions de Reynolds pour les écoulements 

chauds en interaction avec une paroi ablatable, montrent des différences notables avec le 

cas d’une paroi inerte (sans ablation) vu précédemment (on rappelle que T f était égale à 1000 K). 

L’étude des spectres caractérisant l’influence de l’agitation turbulente montre que l’amplitude 

des termes Π ii diminue lorsque Re T grandit. Cette tendance est différente de celle déterminée 

dans le chapitre précédent. Elle semble provenir de l’élévation de la température de l’écoulement 

qui amplifie les écarts existants entre les taux de dissipation turbulente à la paroi des 

spectres S A i . Les amplitudes des profils normés de Π ii sont alors plus faibles lorsque l’agitation


turbulente augmente. Finalement, on peut avancer l’idée que des températures élevées du fluide 

favorisent les effets d’amortissement au détriment des mécanismes de transferts énergétiques 

inter-composantes. 

On observe les mêmes phénomènes pour les spectres Si 

B mis à part que les amplitudes des 

profils normés sont dans ce cas équivalentes. Là encore, il semble que les effets d’amortissement 

deviennent prépondérants par rapport aux mécanismes de transferts énergétiques intercomposantes. 

6.3 Interaction entre l’écoulement et la réaction d’ablation 

6.3.1 Conséquences du régime turbulent sur la récession 

Dans ce paragraphe, on établit l’influence de variations de paramètres turbulents sur la 

manière dont la paroi s’ablate. 

6.3.1.1 États de surfaces en régime laminaire et turbulent 

Dans un premier temps, on vérifie que l’écoulement turbulent provoque bien l’apparition de 

rugosités à la différence du régime laminaire pour lequel la paroi recule de manière uniforme. 

La figure 6.12, sur laquelle on compare les états de surfaces obtenus en fin de simulation pour 

les deux régimes d’écoulements, prouve que cette propriété est correctement simulée par le code 

EVEREST. 

(a) Régime laminaire 

(b) Régime turbulent 

Figure 6.12 – Comparaison des états de surface initaux (rouge) et finaux (bleu) en régime 

laminaire et turbulent


6.3.1.2 Vitesse de récession 

Tout au long de la simulation, on assiste à un recul progressif de la paroi en raison de la 

réaction d’ablation qui y consume le carbone. En notant y min l’altitude moyenne de la paroi, la 

vitesse de récession s’exprime alors par la relation : 

v w = | y min 

| (6.9) 

t 

Les valeurs de v w pour les cas S A i , SB i 

et S T f 

i 

sont représentées sur la figure 6.13. Cette figure 

(a) v w (cas S A i ) (b) v w (cas S B i ) (c) v w (cas S T f 

i 

) 

Figure 6.13 – Vitesse de récession 

montre qu’une augmentation du montant énergétique de l’écoulement entraîne des vitesses de 

récession plus importantes. D’un autre côté, on s’aperçoit que la taille des structures turbulentes 

porteuses d’énergie n’a aucune influence sur l’évolution de v w . En revanche, la température 

du fluide T f joue un rôle essentiel quant à la dynamique réactionnelle de l’écoulement : plus 

l’écoulement est chaud et plus la paroi est ablatée rapidement. 

6.3.1.3 Taille de rugosité 

La taille de la rugosité est également un élément dimensionnant les modifications apportées 

à la surface lors de l’ablation. Le manque de réalisme physique des simulations physiques de 

Velghe n’a pas permis d’obtenir des tailles de rugosités suffisantes (≃ 10 −10 m). En pratique, 

cette hauteur de rugosité correspond à la distance maximale observée entre un pic et une vallée 

(Fig. 6.14). 

Les résultats obtenus concernant l’évolution de la hauteur de rugosité pour les spectres des 

ensembles Si A, SB i et S T f 

i sont visibles sur la figure 6.15. Ces ensembles permettent d’analyser 

l’influence de u ′ , de κ e et de T f sur l’évolution de la hauteur de rugosité. Les valeurs atteintes par 

h rugo en fin de calcul, de l’ordre de 10 −8 m, rendent compte des progrès faits dans le maintien 

d’un état turbulent au sein du domaine de simulation. Sinon, les différentes évolutions révèlent 

que : 

– des montants énergétiques importants entraînent l’augmentation de la taille des rugosités 

des parois ablatables (cas des spectres S A i ), 

– malgré le faible impact du choix de κ e sur la hauteur de rugosité, on remarque que plus la 

taille des structures porteuses d’énergie est grande et plus les rugosités sont développées 

(cas des spectres S B i ),


Figure 6.14 – Définition de h rugo 

(a) h rugo (cas S A i ) (b) h rugo (cas S B i ) (c) h rugo (cas S T f 

i 

) 

Figure 6.15 – Hauteur de rugosité h rugo (légende : cf. 6.2) 

– les hauteurs de rugosités caractérisées sont d’autant plus élevées que la température T f de 

l’écoulement est grande (cas des spectres S T f 

i ). 

Même si les résultats concernant les hauteurs de rugosité sont meilleurs que ceux obtenus par 

Velghe, les valeurs de h rugo demeurent encore faibles par rapport à celles caractérisées lors des 

expériences (Fig. 6.1) qui sont de l’ordre de 10 −6 m. Cependant, l’allure des évolutions illustrées 

en la figure 6.15 suggère qu’il suffirait d’augmenter le temps de simulation pour obtenir des 

valeurs de h rugo plus significatives. 

6.3.1.4 Diffusion de l’espèce C 3 

La réaction de sublimation considérée à la paroi entraîne la création et la diffusion de l’espèce 

C 3 au sein du domaine de calcul. Alors que cette diffusion se fait uniformément dans le cas 

d’un écoulement laminaire, les visualisations de la figure 6.16 montrent que le régime turbulent 

perturbe la répartition de la fraction massique de C 3 aux abords de la paroi. 

Cela dit, ces représentations ne sont pas suffisantes pour évaluer l’influence des propriétés 

turbulentes relatives à chaque cas étudiés. C’est la raison pour laquelle on trace sur la figure 

6.17, l’évolution à la paroi des moyennes de C C3 et C CAIR . On constate que la diffusion de 

l’espèce C 3 s’effectue sur une distance d’autant plus courte que le montant énergétique est élevé. 

Ce phénomène est aussi observé lorsque la température de l’écoulement augmente comme en 

attestent les résultats des cas S T f 

i . Enfin, il faut noter que le choix du nombre d’onde κ e n’a 

aucune influence sur l’injection de C 3 dans le domaine de calcul.


(a) S A 1 (b) S B 1 

(c) S A 2 (d) S B 2 

(e) S A 3 (f) S B 3 

Figure 6.16 – Visualisation en coupde 2D de la diffusion de C C3 en proche paroi 

(a) Ĉ C3 (cas S A i ) (b) Ĉ C3 (cas S B i ) (c) Ĉ C3 (cas S T f 

i 

) 

Figure 6.17 – Moyennes par plan des fractions massiques de l’air et de C 3 au sein du fluide 

6.3.2 Caractérisation des états de surfaces ablatées 

On expose maintenant les différents états de surface obtenus à l’issue de nos simulations en 

distinguant les cas des spectres S A i et S B i .


6.3.2.1 Influence de l’agitation turbulente 

Afin d’évaluer les conséquences d’une augmentation de l’énergie cinétique turbulente sur les 

motifs ablatés observés, on représente sur la figure 6.18 les états de surfaces correspondant aux 

spectres Si 

A à t = 30. Alors que h rugo est augmentée en même temps que u ′ , la densité de 

rugosités semble être indépendante de l’agitation turbulente forcée. 

(a) S A 1 = S B 2 : Re f = 220 

(b) S A 2 : Re f = 330 

(c) S A 3 : Re f = 380 

Figure 6.18 – États de surface obtenus en fin de simulation pour les spectres S A i 

6.3.2.2 Influence de la taille des structures énergétiques 

La mise en place des cas étudiant l’influence de la taille des structures porteuses d’énergie 

est justifiée compte-tenu des états de surfaces illustrés sur la figure 6.19 selon le choix fait pour


κ e . Il est clair que les parois sont d’autant plus rugueuses que les structures turbulentes sont 

petites. 

(a) S B 1 : κ e = 4 

(b) S B 2 : κ e = 6 

(c) S B 3 : κ e = 8 

Figure 6.19 – États de surface obtenus en fin de simulation pour les spectres S B i 

6.3.2.3 Méthode d’évaluation de la densité de rugosités 

L’influence du choix du nombre d’onde κ e sur les motifs ablatés constatée sur la figure 6.19 

nous a incitée à caractériser la densité de rugosité. Pour l’ensemble des échantillons simulés des 

cas S B i , l’idée est d’estimer le nombre de pics caractéristiques relatifs à chaque choix de κ e. Pour


cela, on fixe l’altitude à partir de laquelle un pic sera comptabilisé. Notée y ⋆ , cette distance 

correspond à : 

y ⋆ = y max − 1 10 |y max − y min | (6.10) 

Pour se faire une meilleure idée, on précise sur la figure 6.20 comment nous sélectionnons les 

pics caractéristiques en fonction de l’altitude y ⋆ . 

Figure 6.20 – Critère de sélection des pics caractéristiques 

L’identification du nombre de pics caractéristiques est toutefois délicate considérant l’aspect 

aléatoire de l’agitation turbulente et le faible nombre d’échantillons disponibles (20 par ensemble). 

Les résultats obtenus pour les cas Si 

B traduisent bien l’augmentation du nombre de pics 

caractéristiques lorsque κ e grandit (Fig. 6.21). On identifie ainsi 8 pics pour le cas S1 

B et 14 pics 

pour le cas S B 2 . (a) S B 1 : κ e = 4 (b) S B 2 : κ e = 6 

Figure 6.21 – Répartition des pics caractéristiques 

6.3.3 Simulation de la présence d’un matériau composite idéalisé 

6.3.3.1 Conditions de paroi 

Les boucliers thermiques des sondes spatiales étant composés de matériaux composites, nous 

avons imaginé une condition de paroi particulière pour laquelle on distingue des zones à masses


volumiques élevées (fibres) au sein d’une zone à faible densité (matrice). La répartition des fibres 

à l’intérieur de la matrice est illustrée sur la figure 6.22. Les masses volumiques considérées sont 

de 1350 kg.m −3 pour la matrice et de 1780 kg.m −3 pour les fibres. 

Figure 6.22 – Schématisation de la condition de surface simulant la présence d’un matériau 

composite 

6.3.3.2 Visualisation des profils obtenus 

Les états de surfaces caractérisés en régime laminaire et turbulent sont représentés en la 

figure 6.23. Pour le cas du régime laminaire, on constate que le recul normalement uniforme 

de la paroi est modifié aux niveaux des fibres qui s’ablatent moins rapidement. Dans le cas du 

régime turbulent, les rugosités engendrées par l’agitation turbulente sont telles qu’il est difficile 

de distinguer les fibres de la matrice comme c’est le cas en régime laminaire. 

(a) Régime laminaire (b) Régime turbulent (cas S A 1 ) 

Figure 6.23 – États de surface simulés d’un échantillon de matériau composite 


6.3.4.1 Influence de la turbulence sur la récession 

L’aspect essentiel confirmé par nos simulations est que le régime turbulent provoque l’apparition 

d’une rugosité spécifique qui est inexistante dans le cas laminaire. Ce phénomène traduit 

le rôle majeur de l’agitation turbulente sur la récession de la paroi. Ainsi, l’analyse des spectres


étudiant l’influence du montant énergétique (cas Si A ) permet d’affirmer que le recul de la paroi, 

la hauteur des rugosités et la vitesse d’injection de l’espèce C 3 sont d’autant plus importants 

que l’agitation turbulente initiale u ′ est élevée. Cette dépendance est liée aux propriétés de la 

turbulence qui favorise les échanges de masse et de chaleur. Nos résultats sont différents de ceux 

obtenus par Velghe dans la mesure où ce dernier affirmait que la vitesse de récession du matériau 

ne dépendait pas de l’intensité de la turbulence. Cette divergence d’analyse trouve sûrement son 

origine dans les améliorations faites au cours de ce travail pour entretenir un état stationnaire 

de la turbulence. 

La situation est similaire pour ce qui est de l’influence du nombre d’onde κ e car au-delà 

d’un certain temps, les profils obtenus par Velghe étaient similaires malgré des valeurs de κ e 

différentes. En l’occurrence, même si le choix du nombre d’onde κ e ne modifie ni la vitesse 

récession de la paroi, ni la diffusion de C 3 , il semble néanmoins dimensionner la forme des 

rugosités créées. 

La comparaison d’écoulements initialisés avec le même spectre, mais à des températures de 

fluides différentes, atteste du rôle prépondérant de la valeur de T f sur l’évolution de la surface. 

En effet, plus T f est élevée, plus la récession de la paroi, la hauteur de rugosité et l’injection de 

l’espèce C3 dans le domaine sont importantes. 

6.3.4.2 Caractérisation des motifs ablatés 

Les états de surface présentés permettent d’affirmer que plus les structures tourbillonnaires 

sont fines et plus la paroi ablatable est rugueuse. Cette dépendance de la densité des motifs 

rugueux au choix du nombre d’onde κ e , qui fixe la taille des structures porteuses d’énergie, a 

incité la mise en place de nouveaux outils de caractérisation. Nos simulations suggèrent effectivement 

que κ e dimensionne la densité de rugosités mais le traitement statistique de l’ensemble 

des surfaces reste encore à faire. Il permettra vraisemblablement de formaliser cette dépendance 

en bénéficiant d’un échantillonnage plus important. 

Le code EVEREST possède encore de nombreuses voies d’amélioration afin de se rapprocher 

au mieux des conditions réelles de la rentrée atmosphérique. Dans cette optique, nous avons 

montré la capacité du code à simuler la présence d’un matériau composite idéalisé en modélisant 

la présence de fibres et d’une matrice. Les résultats montrent que la fibre est consumée moins 

rapidement que la matrice même si les profils obtenus en régime turbulent témoignent davantage 

de l’apparition de rugosités de turbulence. 


Cette étude a permis de mettre en évidence le couplage fort qui existe entre l’agitation turbulente 

et l’état de surface d’un matériau ablatable. Les résultats de ces simulations bénéficient 

d’une assise physique plus réelle étant donnée les progrès effectués pour simuler un état turbulent 

stationnaire tout au long des calculs. 

Sans agitation turbulente, la paroi recule uniformément sous l’action de l’ablation. À l’inverse, 

la présence d’agitation turbulente entraîne l’apparition de rugosités à la paroi. Nous avons ainsi 

montré que la vitesse de récession ainsi que la hauteur des rugosités sont d’autant plus grandes 

que le montant énergétique est élevé et l’écoulement chaud. À l’issue de nos simulations, les 

hauteurs de rugosité atteintes sont de l’ordre de 10 −8 m. Ces résultats sont meilleurs que ceux 

de Velghe mais ils peuvent être encore améliorés en allongeant la durée des simulations.


Parallèlement, nous avons vu que le choix de κ e qui détermine la taille des structures porteuses 

d’énergie influence la manière dont les rugosités se forment à la surface. Afin de caractériser 

le lien entre le nombre d’onde κ e et la densité rugueuse observée, des pistes de réflexion 

ont été avancées. Cependant, elles nécessitent la mise en place d’un traitement statistique des 

pics caractéristiques des parois rugueuses qui pourra faire l’objet d’études futures.

Conclusion générale 

Cette thèse s’inscrit dans le cadre des travaux menés par le CEA sur le phénomène d’ablation. 

Elle tire son origine de la comparaison des états de surfaces expérimentaux obtenus, avec 

un jet de plasma ou un arc électrique, en régime laminaire et turbulent. L’ablation du matériau 

composite, initialement lisse, développe une rugosité en régime turbulent tandis qu’en régime 

laminaire la surface reste plane. La modélisation de l’interaction entre un écoulement turbulent 

et une paroi ablatable est réalisée grâce à la simulation numérique directe. L’objectif final de la 

thèse est double : optimiser le dimensionnement des boucliers thermiques des sondes spatiales 

et proposer des modèles de fermeture prenant mieux en compte le phénomène d’ablation. 

D’abord, nous avons procédé à une large revue des phénomènes physiques se produisant lors 

d’une rentrée atmosphérique. La phénoménologie relative à l’activité énergétique et chimique des 

parois du bouclier thermique a été présenté afin d’introduire les principaux concepts analysés 

tout au long de cette étude, parmi lesquels, l’agitation turbulente, la cascade énergétique de 

Kolmogorov, l’approche spectrale ou bien encore les échelles de longueurs caractéristiques. Les 

équations de la mécanique des fluides de Navier-Stokes sont résolues de manière directe, sans 

modélisation, afin de considérer la totalité de la gamme des échelles de longueurs turbulentes. La 

nature fortement aléatoire des écoulements turbulents a aussi exigé l’élaboration d’un traitement 

statistique des résultats. 

Le choix de la discrétisation spatiale s’est porté vers une résolution par une méthode de 

différences finies, s’appuyant sur des schémas compacts d’ordre 6 de Lele, afin de disposer d’un 

haut degré de précision et d’une meilleure représentation des petites échelles (notamment celle 

de Kolmogorov). En ce qui concerne la discrétisation temporelle, un schéma basé sur la méthode 

de Runge-Kutta d’ordre 4 est employé. Chacune de ces discrétisations a exigé l’établissement 

de critères de résolution capables de garantir la stabilité numérique du code. Les simulations 

numériques menées au cours de cette thèse ont été effectuées sur un calculateur de très haute 

performance mis à disposition par les équipes du CEA et de Bull. Dans ce cadre, l’intégration 

de la librairie FFTW a considérablement accéléré le passage entre espace spectral et physique, 

améliorant de fait les étapes d’initialisation de la turbulence, de forçage et d’extraction des 

paramètres spectraux. 

Plusieurs configurations d’écoulements ont été étudiées à l’aide de spectres de turbulence 

de type Passot-Pouquet ou Von-Kármán-Pao dans le but d’identifier l’influence de l’agitation 

turbulente et du nombre d’onde relatif aux structures porteuses d’énergie. D’abord les propriétés 

intrinsèques de la THI, à savoir l’homogénéité et l’isotropie, ont été vérifiées. Ensuite, nous avons 

validé l’évolution temporelle de paramètres tels que l’énergie cinétique turbulente k, le taux de 

dissipation turbulente ε et les échelles de longueurs caractéristiques grâce à leurs expressions 

193

194 Conclusion générale 

analytiques prédites par le modèle k − ε et aux résultats issus des travaux de Comte-Bellot et 

Corrsin [15]. La méthode de forçage linéaire utilisée par Velghe ayant été un facteur limitant pour 

l’interprétation physique des résultats, nous avons imaginé une nouvelle méthode mettant en 

œuvre un forçage spectral permettant l’obtention d’un état turbulent stationnaire. Celle méthode 

se montre particulièrement efficace pour conserver les structures turbulentes de l’écoulement tout 

au long des simulations. 

Dans le cadre de l’étude de la turbulence en présence de surfaces de blocage, l’influence du 

nombre de Reynolds (spectres Si A), du nombre d’onde κ e (spectres Si B ) et des conditions aux 

limites imposées à la paroi (adiabatique Σ q ou isotherme Σ T ) sur les phénomènes turbulents 

observés aux abords de la paroi a été caractérisée. Les simulations effectuées suggèrent l’existence 

de plusieurs couches de fluide dans le domaine de simulation : la zone de forçage marquée par 

une activité turbulente intense, la zone de diffusion qui transporte l’agitation turbulente créée 

jusqu’à la paroi et la zone de blocage dans laquelle les phénomènes de blocage cinématique 

et d’amortissement interagissent. La validation physique des phénomènes de paroi est conduite 

en comparant les contraintes et les termes du bilan des tensions de Reynolds calculées et celles 

présentes dans les travaux de Perot & Moin [47] et Bodart [7]. En plus de retrouver les résultats de 

nos prédécesseurs nous avons été en mesure de caractériser l’influence des paramètres turbulents 

et thermiques de l’écoulement sur les phénomènes d’amortissement et de transferts énergétiques 

intercomposantes. 

L’évolution des états de surfaces, obtenus en considérant la réaction de sublimation du carbone 

à la paroi, a montré qu’elle dépendait à la fois de l’agitation turbulente, du nombre d’onde 

κ e et de la température du fluide T f . Les hauteurs de rugosité atteintes sont de l’ordre de 10 −8 m. 

Ces résultats sont meilleurs que ceux de Velghe, mais il peuvent être améliorer en allongeant 

la durée des simulations. Ceci dit, nos résultats révèlent que la taille des structures porteuses 

d’énergie influence la manière dont les rugosités se forment à la surface. En effet, plus le nombre 

d’onde κ e est grand plus la densité de rugosités observée est importante. Pour étudier cette 

densité, des pistes de réflexion ont été avancées, elles nécessitent cependant la mise en place 

d’un traitement graphique et statistique des pics caractéristiques des parois rugueuses. 

Les principaux points à retenir de cette étude sont les suivants : 

• le développement d’une méthode de forçage spectral destinée à maintenir un niveau d’énergie 

cinétique constant sans altérer les structures turbulentes, 

• la mise en place d’une procédure d’extraction des propriétés spectrales de l’écoulement, 

• la validation des simulations de la turbulence en configuration périodique et en présence 

de surfaces de blocage grâce à l’utilisation respective des modèles k − ε et RSTE. Les 

résultats obtenus sont ensuite comparés à ceux issus de travaux bien connus disponibles 

dans la littérature, 

• une surface plane soumise à l’ablation reste plane au cours du temps lorsque le matériau 

n’est pas surmonté d’une fluctuation turbulente alors qu’en régime turbulent, l’ablation 

engendre la création d’une rugosité surfacique qui dépend à la fois de l’agitation turbulente, 

de la taille des structures porteuses d’énergie et de la température du fluide.

Conclusion générale 195 

Les perspectives qui s’ouvrent à l’issue de ce travail concernent plusieurs aspects. D’abord 

il s’agira de compléter la physique de l’ablation modélisée par le code EVEREST. Pour cela, 

un éventail des compositions et des réactions chimiques des différentes atmosphères rencontrées 

durant la phase de rentrée permettra d’augmenter le réalisme des simulations. Il serait aussi 

opportun de considérer l’ajout d’un bloc solide (en complément du bloc fluide déjà intégré) pour 

simuler les transferts de masse et de chaleur dans le matériau, comme le phénomène de pyrolyse 

par exemple. 

Les simulations menées ici doivent être poursuivies, en effet, plusieurs axes d’études devront 

être approfondis, comme par exemple, le développement de l’outil de traitement statistique afin 

d’avancer des modèles de paroi caractéristiques ainsi que l’optimisation de la procédure d’extraction 

spectrale dans le cas d’un spectre VKP. Il s’agira enfin d’allonger le temps des simulations 

pour que les hauteurs de rugosité caractérisées par le code soient de l’ordre de 10 −6 m conformément 

aux expériences de jet de plasma. La simulation numérique directe des phénomènes 

turbulents en interaction avec le phénomène d’ablation est encore loin d’avoir livré tous ses 

secrets, il est évident que d’autres travaux seront nécessaires pour améliorer la représentativité 

physique des modèles numériques existants.

196 Conclusion générale

Annexe A 

Étude des spectres de 

Passot-Pouquet et de Von-Kármán 

Pao 

Dans cette annexe, une étude approfondie des écoulements initialisés par des spectres de 

Passot-Pouquet et de Von-Kármán Pao dans le cadre d’une THI (Turbulence Homogène Isotrope) 

est entreprise. Nous commençons par une étude analytique des spectres avant de caractériser 

l’influence des paramètres qui les définissent. Finalement, nous comparons ces deux spectres 

pour définir leur efficacité pour modéliser la turbulence. 

A.1 le spectre de Passot-Pouquet 

A.1.1 Étude analytique 

Ce spectre a été proposé par Passot et Pouquet [46], son expression est la suivante : 

( ) ( 

κ 

4 ( ) ) 

κ 

2 

E(κ) = A exp −2 

κ e κ e 

(A.1) 

A représente l’amplitude du spectre et κ e le nombre d’onde associé aux structures porteuses 

d’énergie. Ce spectre ne prend en compte que les grandes échelles de la turbulence (i.e. les 

faibles nombres d’onde). Pour une THI [22], la donnée du spectre E(κ) est suffisante pour 

calculer k et ε. Ces deux paramètres ainsi que l’échelle intégrale Eulérienne L ii permettent alors 

de définir l’ensemble des paramètres de l’écoulement à partir des équations (1.19) et (1.20) dont 

nous rappelons les expressions ici : 

ε = 

∫ ∞ 

0 

k = 

∫ ∞ 

0 

E(κ)dκ 

2νκ 2 E(κ)dκ = 

La détermination de la valeur de (A, ε) amène à : 

∫ ∞ 

0 

D(κ)dκ 

A = 16u′2 

κ e 

√ 2 

π 

(A.2) 

197

198 Annexe A. Étude des spectres de Passot-Pouquet et de Von-Kármán Pao 

On regroupe les expressions des paramètres de l’écoulement dans le tableau A.1. 

Paramètres turbulents : 

k = 3u′2 

ε = 15u′2 κ 2 e ν 

2 

4 

Échelles de longueur caractéristique : 

( 4 4 

η = 

15)1 ( u ′ ) 

κ − 

1 

e 

2 

λ = 2u′2 

l t = 4u′ 

ν 

κ e 15νκ 2 e 

Échelles de temps 

√ 

: 

4 1 

τ η = 

15 u ′ τ l = 2 

κ e 5νκ 2 e 

Nombres de Reynolds : 

Re λ = 2u′ 

νκ e 

Re Lii = 2u′ 

νκ e 

√ π 

2 

Re t = 4u′2 

15ν 2 κ 2 e 

Table A.1 – Expressions des paramètres initialisées par un spectre PP 

A.1.2 

Étude paramétrique 

Le spectre énergétique E(κ) a une forme symétrique par rapport à κ e , l’essentiel de l’énergie 

est concentré sur les nombres d’onde voisins de κ e . Cependant, le spectre représente très mal les 

petites échelles. En effet, la zone énergétique et la zone dissipative sont sensiblement les mêmes. 

D’ailleurs, on vérifie, outre la relation κ d = 

√ 3 

2 κ e, que les spectres E(κ) et D(κ) présentent une 

symétrique axiale d’axe κ = κ e sur la figure A.1. On constate l’absence de zone inertielle pour ce 

(a) 

(b) 

Figure A.1 – Caractérisation de la zone inertielle du spectre PP 

spectre. Une augmentation de κ e à énergie constante ne fait qu’élargir la forme quasi-gaussienne 

de E(κ) et de D(κ), ce qui permet de mieux distribuer l’énergie cinétique k sur un nombre de 

modes de Fourier plus grand (Fig. A.2).

Annexe A. Étude des spectres de Passot-Pouquet et de Von-Kármán Pao 199 

(a) 

(b) 

Figure A.2 – Influence du paramètre κ e sur le spectre PP 

A.2 Spectre de Von-Kármán Pao 

A.2.1 

Étude analytique 

Le spectre VKP, proposé par Helland [21], est issu de la combinaison du spectre de Von- 

Kármán [25] avec celui de Pao [42]. Il se distingue par la fait qu’il couvre une région très large 

de nombres d’onde. En d’autres termes, il permet de simuler des écoulements avec des zones 

inertielles plus étendues que le spectre de Passot-Pouquet. L’expression du spectre énergétique 

VKP retenue ainsi que celle relative au spectre dissipatif D(κ) = 2νκ 2 E(κ) sont les suivantes : 

E(κ) = 3 u ′5 

2 ε 

( κ 

K e 

) 4 

[ ( ) ] 17 2 6 

1 + κ 

K e 

exp 

( 

− 9 4 

( ) 4 

) 

κ 3 

K d 

(A.3) 

D(κ) = 3νκ 2 u′5 

ε 

( κ 

K e 

) 4 

[ ( ) ] 17 2 6 

1 + κ 

K e 

exp 

( 

− 9 4 

( ) 4 ) 

K 3 

K d 

(A.4) 

Particularité du spectre VKP 

Le spectre énergétique de Von-Kármán avec correction de Pao est défini par le quadruplet 

E(κ, u ′ , ε, K e , K d ). Il est important de noter que les nombres d’onde K e et K d ne sont pas égaux 

à κ e et κ d et ne correspondent donc pas aux maximums des spectres E(κ) et D(κ) (c’est le cas 

pour le spectre de Passot-Pouquet). En effet, les valeurs des nombres d’onde κ e et κ d s’expriment 

en fonction de K e et et K d grâce au système : 

17 

3 

17 

3 

[ 

κe 

[ 

1 + 

[ 

1 + 

K e 

] 2 

[ 

κe 

K e 

] 2 

] + 3 

1 

[ ] ] 

κd 

2 

− 3 

K e 

[ ] 4 

κe 3 

− 4 = 0 (A.5) 

K d 

[ κd 

K d 

] 4 

3 

+ 

1 

3 = 0 (A.6)


Expressions des paramètres de l’écoulement en fonction de K d /K e 

On définit l’intégrale I p qui ne dépend que du rapport K d /K e : 

∫ +∞ 

X p [ 

I p = 

exp − 9 ( ) 4 ] 

Ke 3 

X dX 

0 [1 + X 2 ] 17 6 4 K d 

(A.7) 

Les intégrales I n n’admettent pas de solution analytique, l’intégration numérique sur la gamme 

K d /K e ∈ [1, 30] donne les trois courbes suivantes : L’application des formules (1.19) et (1.20) 

(a) p = 3 (b) p = 4 (c) p = 6 

Figure A.3 – Représentation des fonctions I p pour p = 3, 4, 6 

reliant le spectre d’énergie aux quantités u et ε permet d’écrire en les relations (A.8) et (A.9) 

en trois dimensions. 

u ′ = 3K eνI 6 

I 2 4 

ε = 27ν3 K 4 e I 3 6 

I 5 4 

On regroupe les expressions des paramètres turbulents dans le tableau A.2. 

(A.8) 

(A.9) 

Paramètres turbulents : 

k = 27K2 e ν 2 I 2 6 

2I 4 4 

Échelles de longueur caractéristique : 

[ 

I 5 4 

] 1 

4 

η = 

27Ke 4 I6 

3 

Nombres de Reynolds 

√ 

: 

45I6 

Re λ = 

I 3 4 

λ = 

ε = 27ν3 K 4 e I 3 6 

I 5 4 

√ 

5I4 

K 2 e I 6 

l t = 1 

K e I 4 

Re Lii = 9πI 3I 6 

4I 3 4 

Re T = 27I 6 

4I 3 4 

Table A.2 – Expressions des paramètres initialisées avec un spectre VKP 

A.2.2 

Étude paramétrique 

Une étude paramétrique de ce spectre est effectuée pour différents rapports K d /K e . Les 

figures A.4 et A.5 représentent ainsi les spectres d’énergie et de dissipation pour des rapports


(a) Spectre E(κ) 

(b) Spectre D(κ) 

Figure A.4 – Spectres E(κ) et D(κ) en fonction du rapport K d /K e 

(a) Spectre E(κ) 

(b) Spectre D(κ) 

Figure A.5 – Représentation logarithmique des spectres d’énergie et de dissipation 

K d /K e variant de 1 à 30. Afin de mener une interprétation cohérente, les spectres E(κ) et 

D(κ) sont respectivement adimensionnés par à E(K e ) et D(K d ). Ainsi, une forme symétrique 

est observée pour des rapports K d /K e inférieurs à 2 (Fig A.4). En effet, comme pour le spectre 

de Passot-Pouquet, la zone inertielle est absente (Fig A.5). Lorsque ce rapport augmente, les 

spectres E(κ) et D(κ) deviennent asymétriques et l’énergie distribuée aux grands nombres d’onde 

devient alors non négligeable. 

Pour les faibles dynamiques, les gammes des nombres d’onde où sont concentrées l’énergie 

se confondent avec les régions de nombres d’onde liés à la dissipation. Pour des dynamiques 

plus fortes, E(κ) et D(κ) sont mieux découplés. La plus petite échelle de longueur à prendre en 

compte dans les simulations est imposée par D(κ) alors que la plus grande est fixée par E(κ). La 

zone inertielle est présente dans le spectre VKP mais elle devient significative seulement pour 

K d /K e ≥ 50. 

A.2.3 

Initialisation d’une turbulence VKP 

L’initialisation du domaine de calcul à partir d’un spectre VKP impose un domaine cubique 

afin d’effectuer la transformée de Fourier inverse. On considère alors un domaine de longueur


L dom = 2π. La détermination des valeurs de u ′ , ε, K e et K d impose de fixer les valeurs de l e , taille 

des tourbillons porteurs d’énergies, de η, échelle de Kolmogorov et de l d , taille des tourbillons 

dissipatifs. Ainsi, nous considérons que : 

– le domaine d’étude peut contenir au moins quatre tourbillons porteurs d’énergie soit : 

L dom /l e = 4 ; 

– le domaine d’étude correspond à 80 fois l’échelle de Kolmogorov soit : L dom /η = 80 ; 

– l’échelle des tourbillons dissipatifs est de l’ordre de cinq fois l’échelle de Kolmogorov soit : 

l d /η = 6. 

Dès lors, les valeurs de κ e et κ d , maximums des spectres E(κ) et D(κ) sont connues avec : 

κ e = 2π 

l e 

et κ d = 2π 

l d 

(A.10) 

On rappelle que la différence est faite entre le couple (κ e , κ d ), maximums des spectres E(κ) et 

D(κ) et le couple (K e , K d ) les nombres d’onde du spectre VKP (A.5) et (A.6). 

Grâce à la méthode de Newton-Raphson, on détermine, à partir de la connaissance de κ e et 

κ d , les valeurs de K e et K d à introduire dans l’expression du spectre VKP. Dès lors, on utilise 

les équations (1.19) et (1.20) pour déterminer les valeurs de u ′ et de ε. Le spectre VKP est ainsi 

défini. 

A.3 Comparaison des deux spectres 

Les profils d’énergie et de dissipation des spectres PP et VKP sont comparés en fixant les 

valeurs de l’énergie k, de la viscosité ν et du nombre d’onde κ e . Afin d’estimer l’influence de la 

largeur de la zone inertielle, nous comparons les configurations définies dans le tableau A.3 : 

Configuration 1 

Spectre u ′ ε ν κ e κ d K e K d 

PP 0.049 7.500 10 −5 5.00 10 −4 4.00 4.89 4.00 4.89 

VKP 0.049 1.970 10 −3 5.00 10 −4 4.00 10.0 2.83 28.2 

Configuration 2 

Spectre u ′ ε ν κ e κ d K e K d 

PP 0.182 7.500 10 −5 5.00 10 −4 4.00 4.89 4.00 4.89 

VKP 0.182 1.621 10 −4 5.00 10 −4 4.00 6.00 4.12 7.69 

Table A.3 – Paramètres des spectres PP et VKP étudiés 

Pour des spectres VKP dont le rapport K d /K e est proche de la valeur 

√ 3 

2 

, les spectres PP et 

VKP possèdent a peu près le même profil (Fig. A.6). Cependant, dès que la dynamique s’accroît, 

le niveau maximum d’énergie dans le spectre PP est plus élevé que celui du spectre VKP. Cela 

prouve que le spectre VKP distribue l’énergie de manière plus efficace. Aussi, l’utilisation de 

ce spectre nécessitera un maillage plus dense que dans le cas d’un spectre PP dans la mesure 

où les petites structures se verront attribuer plus d’énergie, et seront donc plus fines. La figure 

A.7 indique qu’à la différence du spectre VKP, il n’y pas de limite inférieure pour le nombre de 

Reynolds Re t pour le spectre PP. Cette limite étant fixée à 192 pour le spectre VKP, seul le


(a) Configuration 1 : E(κ) 

(b) Configuration 1 : D(κ) 

(c) Configuration 2 : E(κ) 

(d) Configuration 2 : D(κ) 

Figure A.6 – Comparaison des spectres PP et VKP - Configuration 1 



Figure A.7 – Évolution du nombre de Reynolds 

spectre PP peut être utilisé pour simuler des cas où Re t < 192. Re t étant monotone dans le cas 

du spectre PP, le couple seul {ν, u ′ , κ e } permet d’obtenir le Re t choisi, alors que deux triplets 

{ν, κ e , κ d } sont possibles dans le cas VKP. 

Finalement, le spectre VKP donne une représentation plus satisfaisante de l’écoulement


turbulent que le spectre PP car : 

– il représente mieux les petites échelles qui ont un rôle dissipatif, 

– la forme du spectre est une fonction de Re t et fait apparaître une zone inertielle. 

Cependant, le spectre VKP ne permet pas de simuler des écoulements à faible nombre de 

Reynolds. Son utilisation est limitée à des écoulements suffisamment turbulents tandis que l’utilisation 

du spectre PP est plus souple et n’impose aucune contrainte sur le choix de Re t . 

Dans le cadre de simulations numériques directes tridimensionnelles, les contraintes liées au 

coût informatique (temps, CPU, espace mémoire) ne permettent pas de résoudre des grandes 

dynamiques et les bénéfices de l’utilisation du spectre VKP se retrouvent fortement amoindries.

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Simulation numérique directe de la turbulence en présence 

d’une paroi ablatable 

Résumé 

Lorsqu’une sonde rentre dans l’atmosphère à une vitesse hypersonique, le bouclier thermique 

reçoit plusieurs centaines de MW.m −2 . Ce flux est absorbé par la paroi (composite C/C) grâce à 

des réactions physico-chimiques (oxydation, sublimation, etc.). Les expériences de jet de plasma 

révèlent que cette perte de matière s’accompagne de l’apparition de rugosités spécifiques lorsque 

le régime de l’écoulement est turbulent. Dans ce contexte, cette thèse a pour objectif de caractériser, 

à la plus petite échelle de la turbulence (échelle de Kolmogorov), l’interaction entre l’écoulement 

turbulent et une paroi ablatable afin de mieux évaluer la formation de ces rugosités. 

La première phase de ce travail a ainsi consisté en la validation physique des phénomènes turbulents 

simulés, d’abord en configuration périodique puis en présence de surfaces de blocage 

pariétal. Pour cela, nous avons développé et adapté à une configuration de présence de paroi, 

une méthode de forçage spectral de la turbulence dont nous validons l’implémentation. Pour 

cela, un traitement statistique des résultats a été élaboré pour prendre en compte le caractère 

aléatoire de la turbulence. L’étude de l’évolution structurelle du matériau ablaté, couplé à un 

champ de vitesse turbulent, démontre alors l’influence du nombre de Reynolds de turbulence et 

de la taille des structures porteuses d’énergie, sur la vitesse de récession de la paroi et les motifs 

rugueux observés. 

Mots clés : Ablation, DNS, Forçage, Turbulence 

Abstract 

Direct numerical simulation of turbulence near 

an ablatable wall 

During the atmospheric re-entry the heatshield of the probe suffers a significant overheating. 

The composite material undergoes an ablative process that consumes the heat flux by physicochemical 

reactions (sublimation, oxidation, etc.) and induces the wall disappearance. In the case 

of polycrystalline graphite, plasma jet experiments reveal a structural surface roughness like a 

scalloped pattern when the flow is turbulent. The main idea of this study is to characterize the 

interaction between a turbulent flow and an ablatable material at the Kolmogorov scale (the 

smallest turbulent scale) in order to analyze roughness appearance. First, we have validated the 

turbulence simulation for an infinite domain (periodic boundaries) and for the case of a solid 

wall. To this extent, we have developed a new way to force turbulence in the spectral space which 

is adapted to the solid wall configuration. To this extent, we have elaborated a statistic treatment 

of results as turbulence is an unpredictable phenomena. Then, the evolution of the ablatable 

surface in interaction with a turbulent flow proves that Reynolds number, wavenumber κ e and 

flow temperature have a strong influence on wall recession velocity and roughness appearance. 

Keywords : Ablation, DNS, Forcing, Turbulence

Simulation numérique directe de la turbulence 

en présence d’une paroi ablatable 

Lorsqu’une sonde rentre dans l’atmosphère à une vitesse hypersonique, le bouclier thermique 

reçoit plusieurs centaines de MW.m−2. Ce flux est absorbé par la paroi (composite C/C) grâce 

à des réactions physico-chimiques (oxydation, sublimation, etc.). Les expériences de jet de 

plasma révèlent que cette perte de matière s’accompagne de l’apparition de rugosités 

spécifiques lorsque le régime de l’écoulement est turbulent. Dans ce contexte, cette thèse a 

pour objectif de caractériser, à la plus petite échelle de la turbulence (échelle de Kolmogorov), 

l’interaction entre l’écoulement turbulent et une paroi ablatable afin de mieux évaluer la 

formation de ces rugosités. 

La première phase de ce travail a ainsi consisté en la validation physique des phénomènes 

turbulents simulés, d’abord en configuration périodique puis en présence de surfaces de 

blocage pariétal. Pour cela, nous avons développé et adapté à une configuration de présence 

de paroi, une méthode de forçage spectral de la turbulence dont nous validons 

l’implémentation. Pour cela, un traitement statistique des résultats a été élaboré pour prendre 

en compte la caractère aléatoire de la turbulence. L’étude de l’évolution structurelle du 

matériau ablaté, couplé à un champ de vitesse turbulent, démontre alors l’influence du nombre 

de Reynolds de turbulence et de la taille des structures porteuses d’énergie, sur la vitesse de 

récession de la paroi et les motifs rugueux observés. 

Mots clés : Ablation, DNS, Forçage, Turbulence 

Direct numerical simulation 

of turbulence near an ablatable wall 

During the atmospheric re-entry the heatshield of the probe suffers a significant overheating. 

The composite material undergoes an ablative process that consumes the heat flux by 

physicochemical reactions (sublimation, oxidation, etc.) and induces the wall disappearance. In 

the case of polycrystalline graphite, plasma jet experiments reveal a structural surface 

roughness like a scalloped pattern when the flow is turbulent. The main idea of this study is to 

characterize the interaction between a turbulent flow and an ablatable material at the 

Kolmogorov scale (the smallest turbulent scale) in order to analyze roughness appearance. 

First, we have validated the turbulence simulation for an infinite domain (periodic boundaries) 

and for the case of a solid wall. To this extent, we have developed a new way to force 

turbulence in the spectral space which is adapted to the solid wall configuration. To this extent, 

we have elaborated a statistic treatment of results as turbulence is an unpredictable 

phenomena. Then, the evolution of the ablatable surface in interaction with a turbulent flow 

proves that Reynolds number, wavenumber and flow temperature have a strong influence on 

wall recession velocity and roughness appearance. 

Keywords : Ablation, DNS, Forcing, Turbulence

Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

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