Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 2. Les équations du problème physique 45
2.1 Les équations du code EVEREST
Le point de départ de l’analyse d’un écoulement turbulent réactif procède des équations
du mouvement d’un fluide ainsi que de celles relatives à la cinétique chimique des espèces en
présence. L’ensemble de ces équations faisait partie de la version précédente du code EVEREST,
néanmoins il est nécessaire de les rappeler ici afin de bien définir le type d’écoulement que nous
allons simuler.
2.1.1 Les équations de conservation de Navier-Stokes
Nous commencerons d’abord par rappeler les équations relatives à la description du régime
turbulent de l’écoulement : les équations de Navier-Stokes. Vieilles de plus d’un siècle et demi,
ces équations sont toujours utilisées de nos jours pour décrire l’évolution spatio-temporelle de
la turbulence à l’échelle du milieu continu. Ainsi, la fraction massique, la vitesse et l’énergie
vérifient les équations de conservation décrites dans cette section.
2.1.1.1 Équation de conservation de la masse
La conservation de la masse est une loi fondamentale de la chimie et de la physique. Elle
indique non seulement qu’au cours de toute expérience, y compris lorsqu’elle implique une transformation
chimique, la masse se conserve, mais aussi que le nombre d’éléments de chaque espèce
chimique se conserve. L’équation d’ensemble de la conservation de la masse s’écrit :
∂ρ
+ ∇. (ρu) = 0 (2.1)
∂t
où ρ désigne la masse volumique du fluide. Dès lors, deux cas particuliers sont à considérer :
– pour un fluide à masse volumique constante on a ∇.u = 0, l’écoulement est alors qualifié
d’isovolume,
– pour un écoulement stationnaire, on ∂ t ρ = 0 et ∇. (ρu) = 0 ce qui implique que ρ∇.u +
u.∇ρ = 0.
2.1.1.2 Équation de conservation de quantité de mouvement
La conservation de la quantité de mouvement s’exprime par l’équation :
∂ (ρu)
+ ∇. (ρu ⊗ u) = −∇P + ∇.τ + F (2.2)
∂t
où τ désigne le tenseur des contraintes visqueuses qui est, sous l’hypothèse de Newton-Stokes,
proportionnel au tenseur des taux de déformation S qui s’écrit selon la convention d’Einstein
pour la sommation :
(
∂ui
τ ij = µ + ∂u j
− 2 )
∂u l
δ ij = 2µS ij − 2 ∂x j ∂x i 3 ∂x l 3 µSδ ij (2.3)
En utilisant les indices discrets, l’équation (2.3) devient :
∂(ρu i )
+ ∂(ρu ju i )
= ρF i − ∂P +
∂
( (
∂ui
µ + ∂u j
− 2 ))
∂u l
δ ij
∂t ∂x j
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i 3 ∂x l
où F i=1,2,3 représente les forces extérieures de volume et µ la viscosité du fluide. Par exemple,
la force volumique F intervenant dans l’équation (2.4) peut être la pesanteur avec : F = ρg.
(2.4)