Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 2. Les équations du problème physique 59
P ij = −
(
)
∂U j ∂U i
u i u k + u j u k
∂x k ∂x k
est le terme de production par le mouvement moyen ;
Dij u = − ∂u iu j u k
est la corrélation triple des vitesse (diffusion) ;
∂x k
D p ij = − 1 (
∂pui
+ ∂pu )
j
est la diffusion par fluctuation de pression ;
ρ ∂x j ∂x i
Dij ν = ν ∂2 u i u j
∂x k ∂x k
est la diffusion moléculaire ;
Π ij = p (
∂ui
+ ∂u )
j
ρ ∂x j ∂x i
est le terme de corrélation pression-déformation ;
ε ij =
( )
∂ui ∂u j
2ν
∂x j ∂x i
est la pseudo-dissipation.
Ces équations mettent en jeu des termes de transport (advection et diffusion) qui disparaissent
dans le cadre d’une THI. En revanche, dans le cadre d’écoulements confinés, ces termes
deviennent un ensemble de sources et de puits locaux qui provoquent, soit une variation de
l’énergie cinétique turbulente, soient des transferts intercomposantes. Lors des simulations d’écoulements
de proche paroi, il s’agira alors de modéliser les termes de production, de corrélation
pression-déformation et de dissipation afin de valider la simulation de la turbulence.
En abandonnant l’hypothèse de viscosité de turbulence, les modèles RSTE permettent de
s’affranchir d’une relation locale entre les tensions de Reynolds et l’écoulement moyen. Ils permettent
donc de mieux prendre en compte les effets d’histoire ou encore d’anisotropie de la
turbulence. Des modèles d’ordre supérieur, basés sur la fermeture d’équations de transport d’ordre
égal ou supérieur à trois, sont difficilement envisageables, d’une part par le manque de
données expérimentales sur ce type de corrélations d’ordre élevé, et d’autre part par la lourdeur
de la démarche engagée. Les modèles RSTE constituent donc un bon intermédiaire entre les
modèles à viscosité de turbulence et les méthodes de simulation numérique directe.
2.2.4 Analyse corrélatoire
C’est Taylor [60] qui étudia le premier les corrélations statistiques des fluctuations de vitesse
en deux points distincts d’un champ turbulent. Leur emploi est un prolongement naturel de
l’analyse corrélatoire en un point, dont on a vu l’importance, notamment avec le tenseur des
contraintes de Reynolds −ρu i u j .
Bien que l’utilisation de ces corrélations doubles ne soit pas aisée dans le cas général, leur
étude en situation de turbulence homogène et isotrope prend tout son sens. En effet, des propriétés
remarquables sont alors identifiables et nous permettent de nous doter d’éléments de
validation supplémentaires.
2.2.4.1 Définition des outils mathématiques
Soient deux points P 1 ( ⃗x 1 , t) et P 2 ( ⃗x 2 , t) du domaine spatial muni d’un repère orthonormé
(⃗i,⃗j, ⃗ k). La corrélation double spatio-temporelle de vitesse, s’exprime par :
Q i,j (P 1 , P 2 , t 1 , t 2 ) = u i (P 1 , t 1 )u j (P 2 , t 2 ) (2.68)