Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

36 Chapitre 1. Contexte scientifique
de l’énergie sous forme de chaleur. Cette zone contient le pic de dissipation correspondant
au nombre d’onde κ d , maximum du spectre de dissipation.
Ce scénario de cascade énergétique a été proposé à l’origine par Richardson. Ce dernier
soulignait que dans ce processus de cascade des grandes échelles vers les petites échelles, les
interactions non linéaires étaient essentiellement locales, c’est-à-dire que la cascade se fait par des
petits sauts d’une échelle à une autre, voisine, mais plus petite. Autrement dit, le flux d’énergie
à une échelle donnée ne fait qu’intervenir principalement des échelles de taille comparable.
Ce scénario est illustré artistiquement sur la figure 1.19 ci-dessous. Même si en théorie, cette
image s’avère être une image mentale, elle permet de s’affranchir de la complexité relative des
écoulements turbulents.
Figure 1.19 – Scénario de la cascade énergétique imaginé par Richardson
1.2.2.3 Lien entre l’espace physique et l’espace de Fourier
Afin de maintenir une cohérence entre les espaces réel et spectral, le spectre énergétique de
la turbulence est défini de telle sorte que son aire dans l’espace spectral corresponde à l’énergie
cinétique turbulente k.
k =
∫ ∞
0
E(κ)dκ (1.19)
Dans un contexte de turbulence homogène isotrope (qui sera l’objet du chapitre 4), la dissipation
turbulente ε peut de la même manière être reliée aux expressions des spectres E(κ) et D(κ) avec :
ɛ =
∫ ∞
0
2νκ 2 E(κ)dκ =
∫ ∞
0
D(κ)dκ (1.20)
La dissipation croissante aux petites échelles est due au terme κ 2 provenant de la dérivée des
fluctuations de vitesse dans l’espace spectral.
Divers auteurs ont donné des expressions pour E(κ, t), pour différentes plages spectrales
et/ou modèles d’interactions. Pour la plupart, ces expressions sont obtenues en résolvant, pour
un domaine particulier de nombres d’onde, l’équation de Lin d’évolution de la densité spectrale
d’énergie, qui s’écrit en THI :
∂
∂t E(κ, t) = T (κ, t) − 2νκ2 E(κ, t) (1.21)