Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

60 Chapitre 2. Les équations du problème physique
et représente en fait la moyenne spatiale du produit entre u i (P 1 , t 1 ), composante sur −→ i du vecteur
d’agitation au point P 1 à l’instant t 1 , et u j (P 2 , t 2 ), composante sur −→ j du vecteur d’agitation au
point P 2 à l’instant t 2 .
La moyenne d’ensemble de la variable x, notée x étant définie dans le paragraphe 2.2.2. Pour
obtenir des quantités variant entre −1 et +1, on norme les corrélations par le produit des valeurs
efficaces :
u i (P 1 , t 1 )u j (P 2 , t 2 )
R i,j (P 1 , P 2 , t 1 , t 2 ) =
(2.69)
√u i (P 1 , t 1 )
√u 2 j (P 2 , t 2 ) 2
Cette définition des corrélations doubles de vitesse en deux points fait apparaître une dépendance
à huit coordonnées spatio-temporelles. Nous verrons dans le paragraphe 2.2.4.2 que sous certaines
conditions sur l’écoulement, ce nombre peut être ramené à deux. Dans un premier temps, nous
considérerons les composantes de vecteur vitesse d’agitation au même instant t afin de simplifier
les écritures.
Les études de Batchelor [4] et Hinze [22] nous incitent à distinguer les corrélations particulières
suivantes :
– Corrélation longitudinale :
Q 1,1 (P 1 , P 2 , t) = u(P 1 , t) × u(P 2 , t) (2.70)
– Corrélation transversale :
Q 2,2 (P 1 , P 2 , t) = v(P 1 , t) × v(P 2 , t) (2.71)
Parallèlement à l’étude des corrélations doubles de vitesse, il est intéressant de définir les
corrélations mixtes pression vitesse en deux points. En raison du caractère scalaire de la
pression, l’ordre du tenseur des ces corrélations est inférieur d’une unité au rang de la corrélation.
Elles sont caractérisées par le vecteur suivant :
P u ,i(P 1 , P 2 , t) = p(P 1 , t)u i (P 2 , t) (2.72)
La notation utilisée ici mérite certaines précisions quant au positionnement de la virgule devant
ou derrière l’indice de composante spatiale i. Ainsi, la virgule servira toujours à séparer, dans
la liste des indices, ceux relatifs à des propriétés affectées au point P 1 (avant la virgule) et au
point P 2 (après la virgule), de sorte que :
2.2.4.2 Corrélations doubles en THI
P u i,(P 1 , P 2 , t) = p(P 2 , t)u i (P 1 , t) (2.73)
Compte-tenu des propriétés d’invariance géométrique par translation, rotation et symétrie
de la turbulence homogène isotrope, Robertson [53] montre que les tenseurs de corrélations
se mettent sous la forme des équations (2.75). En notant r le module du vecteur −−−→
√
P 1 , P 2 avec
r = x 2 −−−→
i les composantes du vecteur P 1 , P 2 x i (i = 1, 2, 3), ces corrélations sont de la forme :
P u ,i(P 1 , P 2 , t) ≡ p(P 1 , t)u i (P 2 , t) = l(r, t) × x i (2.74)
Q i,j (P 1 , P 2 , t) ≡ u i (P 1 , t)u j (P 2 , t) = q (1) (r, t) × x i x j + q (2) (r, t) × δ ij (2.75)