Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

56 Chapitre 2. Les équations du problème physique
Soient α et β deux constantes et B une autre fonction aléatoire quelconque, l’ensemble des
moyennes mentionnées plus haut (on prend l’exemple de la moyenne spatiale) vérifient les propriétés
suivantes :
αA + βB = αA + βB (2.51)
A.B = A.B + a.b (2.52)
∂A
= ∂A
∂t ∂t
(2.53)
∂A
= ∂A
∂x j ∂x j
(2.54)
Ces moyennes s’avèrent être des opérateurs linéaires qui sont en outre supposés commuter avec
l’opérateur différentiel.
2.2.3 Modèles utilisés pour la validation de la turbulence simulée
Pour valider la turbulence simulée par le code EVEREST, nous utiliserons des équations
issues des modèles de fermeture classiques de la turbulence. Nous présentons, ici, les équations
de Reynolds moyennées ainsi que les deux modèles pour la validation : le modèle k − ε et les
modèles RSTE.
2.2.3.1 Mise en place des équations de statistique en un point
On introduit maintenant la décomposition de Reynolds (cf. 2.2.2.3) en grandeur moyenne et
grandeur fluctuante pour la vitesse, la pression et le tenseur visqueux avec :
u i = U i +u ′ i (2.55)
p = P +p ′ (2.56)
τ ij = τ ij +τ ′ ij (2.57)
Les lettres capitales désigneront conventionnellement les grandeurs moyennées en plus du trait
de l’opérateur moyenne. En considérant l’écoulement comme incompressible (en fait, masse
volumique constante), il vient par la condition de continuité :
∂ ( )
U i + u ′ i = 0 (2.58)
∂x i
et par application de l’opérateur moyenne à l’équation (2.58), on a :
∂U i
∂x i
= 0 et
∂u′ i
∂x i
= 0 (2.59)
Ainsi le champ de turbulence de vitesse est isovolume. La moyenne des équations de conservation
classiques de la masse et de Navier-Stokes (mono-espèce) des paramètres décomposés selon
Reynolds donne :
)
∂
(ρU i
∂t
∂ ( )
ρU j
∂x j
+ ∂ (
ρU i U j
)
= 0 (2.60)
∂x j
= − ∂P
∂x i
+ ∂ (
)
τ ij − ρu ′ i u′ j
(2.61)
∂x j