Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

202 Annexe A. Étude des spectres de Passot-Pouquet et de Von-Kármán Pao
L dom = 2π. La détermination des valeurs de u ′ , ε, K e et K d impose de fixer les valeurs de l e , taille
des tourbillons porteurs d’énergies, de η, échelle de Kolmogorov et de l d , taille des tourbillons
dissipatifs. Ainsi, nous considérons que :
– le domaine d’étude peut contenir au moins quatre tourbillons porteurs d’énergie soit :
L dom /l e = 4 ;
– le domaine d’étude correspond à 80 fois l’échelle de Kolmogorov soit : L dom /η = 80 ;
– l’échelle des tourbillons dissipatifs est de l’ordre de cinq fois l’échelle de Kolmogorov soit :
l d /η = 6.
Dès lors, les valeurs de κ e et κ d , maximums des spectres E(κ) et D(κ) sont connues avec :
κ e = 2π
l e
et κ d = 2π
l d
(A.10)
On rappelle que la différence est faite entre le couple (κ e , κ d ), maximums des spectres E(κ) et
D(κ) et le couple (K e , K d ) les nombres d’onde du spectre VKP (A.5) et (A.6).
Grâce à la méthode de Newton-Raphson, on détermine, à partir de la connaissance de κ e et
κ d , les valeurs de K e et K d à introduire dans l’expression du spectre VKP. Dès lors, on utilise
les équations (1.19) et (1.20) pour déterminer les valeurs de u ′ et de ε. Le spectre VKP est ainsi
défini.
A.3 Comparaison des deux spectres
Les profils d’énergie et de dissipation des spectres PP et VKP sont comparés en fixant les
valeurs de l’énergie k, de la viscosité ν et du nombre d’onde κ e . Afin d’estimer l’influence de la
largeur de la zone inertielle, nous comparons les configurations définies dans le tableau A.3 :
Configuration 1
Spectre u ′ ε ν κ e κ d K e K d
PP 0.049 7.500 10 −5 5.00 10 −4 4.00 4.89 4.00 4.89
VKP 0.049 1.970 10 −3 5.00 10 −4 4.00 10.0 2.83 28.2
Configuration 2
Spectre u ′ ε ν κ e κ d K e K d
PP 0.182 7.500 10 −5 5.00 10 −4 4.00 4.89 4.00 4.89
VKP 0.182 1.621 10 −4 5.00 10 −4 4.00 6.00 4.12 7.69
Table A.3 – Paramètres des spectres PP et VKP étudiés
Pour des spectres VKP dont le rapport K d /K e est proche de la valeur
√ 3
2
, les spectres PP et
VKP possèdent a peu près le même profil (Fig. A.6). Cependant, dès que la dynamique s’accroît,
le niveau maximum d’énergie dans le spectre PP est plus élevé que celui du spectre VKP. Cela
prouve que le spectre VKP distribue l’énergie de manière plus efficace. Aussi, l’utilisation de
ce spectre nécessitera un maillage plus dense que dans le cas d’un spectre PP dans la mesure
où les petites structures se verront attribuer plus d’énergie, et seront donc plus fines. La figure
A.7 indique qu’à la différence du spectre VKP, il n’y pas de limite inférieure pour le nombre de
Reynolds Re t pour le spectre PP. Cette limite étant fixée à 192 pour le spectre VKP, seul le