Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

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44 Chapitre 2. Les équations du problème physique 2.2.4.1 Définition des outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.4.2 Corrélations doubles en THI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.4.3 Corrélations et incompressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.4.4 Définition des échelles corrélatoires de Taylor . . . . . . . . . 62 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Dédié à la présentation des aspects mathématiques de ce travail, ce chapitre évoque les différentes équations résolues par le code numérique EVEREST. Il s’agit ici de dresser à la fois un descriptif des équations initialement présentes dans le code, mais aussi de présenter les nouvelles procédures de calcul et traitements implémentés durant ce travail de thèse. La première catégorie comprend les équations de la mécanique des fluides de Navier-Stokes ainsi que les équations de la cinétique chimique. En ce qui concerne la seconde catégorie, nous analyserons d’abord les outils statistiques de post-traitement nécessaires pour exploiter l’importante quantité de résultats. Dans une autre partie, nous aborderons la mise en place des différents modèles et les équations que nous utiliserons pour valider les résultats issus de ce code de simulation numérique directe.
Chapitre 2. Les équations du problème physique 45 2.1 Les équations du code EVEREST Le point de départ de l’analyse d’un écoulement turbulent réactif procède des équations du mouvement d’un fluide ainsi que de celles relatives à la cinétique chimique des espèces en présence. L’ensemble de ces équations faisait partie de la version précédente du code EVEREST, néanmoins il est nécessaire de les rappeler ici afin de bien définir le type d’écoulement que nous allons simuler. 2.1.1 Les équations de conservation de Navier-Stokes Nous commencerons d’abord par rappeler les équations relatives à la description du régime turbulent de l’écoulement : les équations de Navier-Stokes. Vieilles de plus d’un siècle et demi, ces équations sont toujours utilisées de nos jours pour décrire l’évolution spatio-temporelle de la turbulence à l’échelle du milieu continu. Ainsi, la fraction massique, la vitesse et l’énergie vérifient les équations de conservation décrites dans cette section. 2.1.1.1 Équation de conservation de la masse La conservation de la masse est une loi fondamentale de la chimie et de la physique. Elle indique non seulement qu’au cours de toute expérience, y compris lorsqu’elle implique une transformation chimique, la masse se conserve, mais aussi que le nombre d’éléments de chaque espèce chimique se conserve. L’équation d’ensemble de la conservation de la masse s’écrit : ∂ρ + ∇. (ρu) = 0 (2.1) ∂t où ρ désigne la masse volumique du fluide. Dès lors, deux cas particuliers sont à considérer : – pour un fluide à masse volumique constante on a ∇.u = 0, l’écoulement est alors qualifié d’isovolume, – pour un écoulement stationnaire, on ∂ t ρ = 0 et ∇. (ρu) = 0 ce qui implique que ρ∇.u + u.∇ρ = 0. 2.1.1.2 Équation de conservation de quantité de mouvement La conservation de la quantité de mouvement s’exprime par l’équation : ∂ (ρu) + ∇. (ρu ⊗ u) = −∇P + ∇.τ + F (2.2) ∂t où τ désigne le tenseur des contraintes visqueuses qui est, sous l’hypothèse de Newton-Stokes, proportionnel au tenseur des taux de déformation S qui s’écrit selon la convention d’Einstein pour la sommation : ( ∂ui τ ij = µ + ∂u j − 2 ) ∂u l δ ij = 2µS ij − 2 ∂x j ∂x i 3 ∂x l 3 µSδ ij (2.3) En utilisant les indices discrets, l’équation (2.3) devient : ∂(ρu i ) + ∂(ρu ju i ) = ρF i − ∂P + ∂ ( ( ∂ui µ + ∂u j − 2 )) ∂u l δ ij ∂t ∂x j ∂x i ∂x j ∂x j ∂x i 3 ∂x l où F i=1,2,3 représente les forces extérieures de volume et µ la viscosité du fluide. Par exemple, la force volumique F intervenant dans l’équation (2.4) peut être la pesanteur avec : F = ρg. (2.4)
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