Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

82 Chapitre 3. Présentation du code EVEREST
η/2
η/2
Δx
Δx
(a) Mauvaise résolution
(b) Bonne résolution
3.3.1 Considérations spectrales
Figure 3.7 – Critère de résolution spatiale
3.3.1.1 Spectre énergétique des fluctuations spatiales
L’espace spectral S a le même nombre de dimensions que l’espace physique P (i.e. 3). Le
passage d’un espace à l’autre s’effectue grâce à une transformée de Fourier, les données de P
étant réelles, celles de S complexes. L dom est la taille du domaine physique dans les 3 directions,
il est découpé, dans la direction i, suivant N i mailles séparées par une distance constante notée
∆x i telle que ∆x i = L dom /N i . Dans S, la distance élémentaire ∆κ i=1,2,3 est définie pour toutes
les directions par ∆κ i = 2π/L dom = 1.
En turbulence homogène isotrope il est possible d’introduire simplement le tenseur spectral
φ ij = ũ i ũ j , où ũ i est la transformée de Fourier de u i . Il correspond dans l’espace des fréquences
au tenseur des corrélations spatiales des fluctuations de vitesse (u i ) :.
Si le problème est considéré de manière continue, E(κ) représente l’énergie des fluctuations
contenue dans la couronne sphérique Θ κ de rayon κ, d’épaisseur élémentaire dκ située dans S
(3.8). Ainsi, en notant dΘ κ = 4πκ 2 dκ le volume élémentaire d’intégration, on a :
E(κ) = 1 ∫
φ ij dΘ κ (3.26)
2 Θ κ
Comme le schématise la figure 3.8, l’énergie contenue dans la couronne Θ κ , Θ κ +dΘ κ correspond
au niveau d’énergie κ de la courbe spectrale E(κ) sur une plage élémentaire dκ.
3.3.1.2 Maintien de la cohérence entre espace continu et espace discrétisé
La génération précise du champ turbulent à partir du spectre énergétique continu implique
aussi la connaissance de la répartition et de l’intensité des fluctuations de vitesse sur toutes les
sphères considérées. Or seule l’intégrale de l’énergie sur la sphère peut être déduite du spectre
énergétique. Le problème est alors simplifié en considérant les hypothèses suivantes :
– le module des vitesses spectrales est constant sur une même sphère,
– la génération d’une turbulence homogène isotrope signifie une équi-répartition des corrélations
de vitesse sur les sphères énergétiques qui est obtenue par un tirage aléatoire de la
phase.