Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 2. Les équations du problème physique 53
• Approximation de la conductivité thermique λ
Afin d’estimer la conductivité thermique d’un gaz supposé parfait, la première approximation
utilisée est l’hypothèse du nombre de Prandtl constant avec :
P r = µC p
λ
En ce qui concerne les gaz multi-espèces, nous appliquerons, là encore, la loi de Wilke avec :
λ =
n e ∑
α=1
(2.42)
X α λ α
∑ ne
β=1 X (2.43)
βψ λ,αβ
où λ α est la conductivité thermique du gaz α et ψ λ,αβ correspond à l’interaction de conductivité
thermique entre les espèces α et β par :
ψ λ,αβ =
( ( ) 1 ( ) 1
) 2
1 + λα 2 M β 4
λβ M α
[ ( )] 1
8 1 + Mα 2
M β
(2.44)
Maintenant que nous avons rappelé l’ensemble des équations utilisées pour simuler les écoulements
turbulents composés d’espèces réactives, nous allons présenter les outils, mis en place
durant cette thèse, nécessaires à la validation de la simulation de la turbulence.
2.2 L’approche statistique de la turbulence
La mise en place d’une théorie statistique de la turbulence s’explique par le caractère aléatoire
de la turbulence (cf. 1.2.1.1). Le fait de considérer un ensemble de réalisations, plutôt que chaque
réalisation prise individuellement, va nous permettre d’identifier les propriétés et les phénomènes
reproductibles de la turbulence. Nous définissons ici les outils statistiques adéquats destinés à
valider le phénomène de turbulence modélisé par les équations du paragraphe 2.1.
2.2.1 Motivations
Que ce soit à l’époque des premières observations de Léonard de Vinci ou des tentatives de
caractérisation d’Osborne Reynolds, il n’était pas possible d’accéder, par le calcul, à tous les
détails des fluctuations de l’agitation turbulente. La situation a changé au début des années
1970 avec les premiers travaux d’Orszag [41] qui a introduit la résolution numérique directe
des équations de Navier-Stokes. Ces calculs, ambitieux, nécessitent encore des temps de calcul
très longs et pour la plupart des problèmes intéressant l’ingénieur, la résolution d’équations
moyennées suffit. Dans les deux cas, l’approche statistique est considérée car la détermination de
données statistiques en turbulence peut s’envisager selon deux types de démarches : la statistique
avant et après résolution.
2.2.1.1 Statistique avant résolution
Il s’agit de l’approche probabiliste standard où la vitesse, la pression, la température, entre
autres, sont considérées comme des fonctions aléatoires, décomposables en une somme d’une
partie moyenne et d’une partie fluctuante (cf. 2.2.2.3). Sur le plan théorique, l’évolution d’une
mesure de probabilité des équations du mouvement n’a pas été résolue dans le cas général.