Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

50 Chapitre 2. Les équations du problème physique
2.1.3.2 Équations adimensionnalisées
L’introduction de ces variables (2.25) dans les équations (2.15), (2.4) et (2.9) mène aux
équations adimensionnées suivantes :
∂ρ + C + α
∂t +
∂ρ + u + i
∂t +
+ ∂ρ+ u + j C+ α
∂x + j
+
∂ρ+ u + j u+ i
∂x + j
∂ρ + E +
∂t + + ∂ρ+ u + j E+
∂x + j
=
1
ReSc
∂
∂x + j
(
ρ + D + α
= − 1 ∂p +
Ma 2 + 1 ∂x i Re
= − ∂p+ u + i
∂x + i
+
1
ReSc
∂
∂x + i
+ Ma2
Re
∂C α
+ )
∂x + j
(
∂
∂x + j
∂
∂x + j
+ ˙ω + α
µ + (
∂u
+
i
∂x + j
( ∑ne
ρ + D α + h + ∂C α
+
α
α=1
∂x + i
+ ∂u+ j
∂x + i
( )
τ ij + u+ i + 1
ReP r
)
+ F + j u+ j
− 2 ∂u + ))
l
3 ∂x + δ ij + ¯F i
+
l
(
∂
∂x + λ + ∂T + )
i ∂x + i
Pour alléger l’écriture des équations, nous omettrons désormais les +, pour obtenir le système
d’équations final résolu :
∂ρC α
∂t
∂ρu i
∂t
∂ρE
∂t
+ ∂ρu jC α
∂x j
=
(
1 ∂
ReSc ∂x j
+ ∂ρu ju i
∂x j
= − 1
Ma 2 ∂p
)
∂C α
ρD α + ˙ω α (2.26)
∂x j
( (
∂ ∂ui
µ + ∂u j
− 2 ))
∂u l
δ ij +
∂x j ∂x j ∂x i 3 ∂x ¯F i (2.27)
l
∂x i
+ 1 Re
+ ∂ρu jE
= − ∂pu i
+ Ma2
∂x j ∂x i Re
+
1
ReSc
∂
(τ ij u i ) + 1 (
∂
λ ∂T )
∂x j ReP r ∂x i ∂x i
(
∂ ne
)
∑ ∂C α
ρD α h α + F j u j (2.28)
∂x i ∂x
α=1 i
2.1.4 Coefficients de transport
Nous complétons ici la présentation des équations par les choix de modélisation des différents
coefficients de transport. De manière générale, le coefficient de diffusion binaire, la conductivité
thermique et la viscosité sont solutions de systèmes linéaires issus du calcul faisant intervenir les
intégrales de collision entre molécules. Pour chacun de ces coefficients nous mentionnerons leurs
valeurs théoriques exactes ainsi que les schémas approximatifs retenus pour les implémenter.
À noter aussi que la description des coefficients de transport peut aussi être complétée en
considérant l’impact du flux de chaleur sur les gradients de concentration (effet Soret) ou bien
encore l’effet (inverse) des gradients de concentration sur les gradients de température (effet
Dufour). Dans ce travail, nous négligerons l’occurrence de ces effets. Le lecteur intéressé pourra
se référer aux travaux menés par Mortimer et Eyring [39] pour plus de détails.
2.1.4.1 Coefficients de diffusion multicomposants
• Calcul exact du coefficient de diffusion D ij
Parmi les solutions des intégrales de collision entre molécules dont il est question, on peut citer
le potentiel d’interaction de Lennard-Jones très utilisé pour des interactions peu énergétiques et