Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

34 Chapitre 1. Contexte scientifique
1.2.2 Représentation spectrale de la turbulence
L’approche naturelle consiste à étudier l’écoulement turbulent dans l’espace réel et ce dans
le cadre le plus général. Pourtant l’analyse des phénomènes dans l’espace de Fourier (aussi
appelé espace spectral) s’avère souvent plus efficace pour étudier les phénomènes qui nous intéressent.
Cela permet, par exemple, de caractériser naturellement les mécanismes d’interactions
et d’échanges entre nombre d’onde, ou d’exploiter les méthodes numériques spectrales ou pseudospectrales
pour simuler numériquement les écoulements turbulents.
1.2.2.1 Spectres énergétiques et dissipatifs de la turbulence
Un tourbillon se caractérise dans l’espace spectral par sa fréquence de rotation et par son
énergie cinétique. Un nombre d’onde κ est associé à chaque échelle de longueur caractéristique
l tel que κ = 2π l
. Il s’agit là d’un « raccourci conceptuel », l’association à tout nombre d’onde
d’un tourbillon en tant que structure physique identifiée dans l’espace physique étant, en toute
rigueur, abusive. Le spectre d’énergie qui est alors une fonction de κ et du temps t est classiquement
noté E(κ, t). Ce spectre est essentiel dans les simulations numériques directes : il
est une caractéristique de l’écoulement considéré. Le spectre de dissipation D(κ, t) de l’énergie
est dans le cas d’une THI, donné par la relation D(κ, t) = 2νκ 2 E(κ, t). Ces deux spectres sont
schématisés sur la figure (Fig. 1.17).
Figure 1.17 – Représentation des spectres énergétiques et dissipatifs de la turbulence
Pour un nombre de Reynolds de turbulence suffisant (i.e. une zone inertielle significative),
le spectre d’énergie E(κ, t) peut être principalement caractérisé par deux nombres d’onde :
– κ e lié aux échelles les plus énergétiques (l e = 2π
κ e
), dépendant des conditions de production
de la turbulence,
– κ d lié aux échelles dissipatives (l d = 2π
κ d
) fonction de la viscosité du fluide et du taux de
dissipation.
Le rapport κ d /κ e permet de caractériser la dynamique de l’écoulement dans le sens où il
détermine la taille de cette zone inertielle. Dans cette zone, la forme du spectre d’énergie est
bien connue, elle est donnée par la loi spectrale de Kolmogorov :
E(κ) = Aε 2/3 κ −5/3 (1.18)