Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

200 Annexe A. Étude des spectres de Passot-Pouquet et de Von-Kármán Pao
Expressions des paramètres de l’écoulement en fonction de K d /K e
On définit l’intégrale I p qui ne dépend que du rapport K d /K e :
∫ +∞
X p [
I p =
exp − 9 ( ) 4 ]
Ke 3
X dX
0 [1 + X 2 ] 17 6 4 K d
(A.7)
Les intégrales I n n’admettent pas de solution analytique, l’intégration numérique sur la gamme
K d /K e ∈ [1, 30] donne les trois courbes suivantes : L’application des formules (1.19) et (1.20)
(a) p = 3 (b) p = 4 (c) p = 6
Figure A.3 – Représentation des fonctions I p pour p = 3, 4, 6
reliant le spectre d’énergie aux quantités u et ε permet d’écrire en les relations (A.8) et (A.9)
en trois dimensions.
u ′ = 3K eνI 6
I 2 4
ε = 27ν3 K 4 e I 3 6
I 5 4
On regroupe les expressions des paramètres turbulents dans le tableau A.2.
(A.8)
(A.9)
Paramètres turbulents :
k = 27K2 e ν 2 I 2 6
2I 4 4
Échelles de longueur caractéristique :
[
I 5 4
] 1
4
η =
27Ke 4 I6
3
Nombres de Reynolds
√
:
45I6
Re λ =
I 3 4
λ =
ε = 27ν3 K 4 e I 3 6
I 5 4
√
5I4
K 2 e I 6
l t = 1
K e I 4
Re Lii = 9πI 3I 6
4I 3 4
Re T = 27I 6
4I 3 4
Table A.2 – Expressions des paramètres initialisées avec un spectre VKP
A.2.2
Étude paramétrique
Une étude paramétrique de ce spectre est effectuée pour différents rapports K d /K e . Les
figures A.4 et A.5 représentent ainsi les spectres d’énergie et de dissipation pour des rapports