Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

76 Chapitre 3. Présentation du code EVEREST
génèrent aucune erreur de dissipation numérique. Ils sont cependant moins robustes et souvent
couplés à une procédure de filtrage pour stabiliser les simulations et réduire les erreurs de
repliement. Les seconds, quant à eux, engendrent une dissipation numérique apte à contrôler
ces erreurs d’aliasing. À ce propos, Park [45] montre par une analyse dynamique de l’erreur de
discrétisation, que l’erreur d’aliasing diminue avec la dissipation numérique. Il montre également
l’existence d’un taux de dissipation optimal qui minimise l’erreur de discrétisation lors de l’utilisation
d’un schéma décentré. La forme du schéma aux bords est souvent dictée par le type de
condition à la limite. Pour résumer, un schéma centré sera utilisé dans le cas périodique et un
schéma décentré aux bords en présence d’une paroi.
3.2.2.2 Définition des dérivées premières et secondes
• Dérivée première
Les schémas compacts sont basés sur une approximation de la dérivée d’une fonction f par une
combinaison linéaire de ses valeurs f i et celles de ses dérivées f i ′ sur les nœuds i de la grille.
βf ′ i−2 + αf ′ i−1 + f ′ i + αf ′ i+1 + βf ′ i+2 = c f i+3 − f i−3
6h
+ b f i+2 − f i−2
4h
+ a f i+1 − f i−1
2h
Des relations entres les coefficients a, b, c, α et β peuvent être établies par comparaison avec les
coefficients d’un développement de la dérivée en série de Taylor. En fonction de l’ordre formel de
l’erreur de troncature, on obtient des relations à vérifier pour les paramètres a, b, c, α et β. Dans
son article, Lele propose une discussion approfondie des familles formées par ces paramètres. La
relation (3.7) conduit à un système d’équations linéaires à résoudre selon l’ordre de précision :
(3.7)
a + b + c = 1 + 2α + 2β ordre 2 (3.8)
a + 2 2 b + 3 2 c = 2 3! ( )
α + 2 2 β
2!
ordre 4 (3.9)
a + 2 4 b + 3 4 c = 2 5!
4!
( )
α + 2 4 β
ordre 6 (3.10)
Le nombre de paramètres libres dépend de l’ordre du schéma utilisé : on aura ainsi quatre
paramètres libres à l’ordre 2, trois à l’ordre 4, et deux à l’ordre 6. Le choix de ces paramètres
libres est arbitraire. À l’ordre 6, on exprime les coefficients a, b et c en fonction des valeurs
choisies pour α et β grâce aux équations suivantes :
a = 1 (9 + α − 20β)
6
b = 1 (−9 + 32α + 62β)
15
c = 1 (1 − 3α + 12β)
10
Pour un nombre fini de nœuds, seules les conditions aux limites périodiques permettent d’établir
un système complet avec des schémas centrés de la forme ci-dessus. Dans le cas général, i.e. avec
des conditions aux limites arbitraires, des relations supplémentaires sont nécessaires pour la
discrétisation des dérivées au voisinage du bord. Ce sont les schémas décentrés décrits par Lele :
f ′ 1 + αf ′ 2 = 1 h (af 1 + bf 2 + cf 3 + df 4 ) (3.11)
Dans ce cas non homogène, le système est résolu grâce à un algorithme de Thomas pour un coût
en O(N). En configuration périodique, le système devient cyclique.