Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 3. Présentation du code EVEREST 87
(a) Spectre PP
(b) Spectre VKP
Figure 3.11 – Champs initiaux des vorticités pour les spectres PP et VKP
de dérivation continue s’écrivent :
df
dx (x i) =
d 2 f
dx 2 (x i) =
N/2−1
∑
κ=−N/2
N/2−1
∑
κ=−N/2
jk ˆf κ exp(jx i κ) (3.33)
−κ 2 ˆfκ exp(jx i κ) (3.34)
Le schéma de dérivation donne une valeur approchée des dérivées de f. Ainsi, les dérivées
premières et secondes s’écrivent :
df
dx (x i) ≈ f ′ i =
d 2 f
dx 2 (x i) ≈ f ′′
i =
N/2−1
∑
κ=−N/2
N/2−1
∑
κ=−N/2
jκ ′ (ω κ ) ˆf κ exp(jx i κ) (3.35)
−κ ′′ (ω κ ) ˆf κ exp(jx i κ) (3.36)
où ω κ = κ∆x est la pulsation associée au nombre d’onde κ. Ces expressions font apparaître
les nombres d’onde modifiés κ ′ et κ ′′ . Le pouvoir de résolution est défini grâce aux pulsations
modifiées :
ω ′ (ω κ ) = ∆xk ′ (ω κ ) ; ω ′′ (ω κ ) = (∆x) 2 k ′′ (ω κ )
D’après Lele [15], pour le schéma compact de dérivation première, la pulsation modifiée s’écrit :
ω ′ (ω κ ) = a sin(ω κ) + (b/2) sin(2ω κ ) + (c/3) sin(3ω κ )
1 + 2α cos(ω κ ) + 2β cos(2ω κ )
(3.37)
Le nombre d’onde maximal résolu correspond à l’extrémité de la zone dans laquelle κ ′ = κ + ɛ
(ou ω ′ (ω κ ) = ω κ + ɛ) avec ɛ le niveau d’écart toléré vérifiant la relation :
ω ′ − ω
∣ ω ∣ ≤ ɛ (3.38)