Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

62 Chapitre 2. Les équations du problème physique
2.2.4.4 Définition des échelles corrélatoires de Taylor
La mise en place des échelles caractéristiques de la turbulence, abordée au paragraphe 1.2.1.3,
est complétée par une approche basée sur l’analyse corrélatoire en deux points, dans le but
d’établir des échelles supplémentaires, à la fois représentatives des petites et des grandes structures.
Ainsi, on présente ainsi les deux échelles de Taylor issues du traitement statistique.
• Micro-échelle de Taylor
En multipliant le développement en série de Taylor de la fluctuation longitudinale de vitesse
u(x+r, t) membre à membre avec u(x), et sous les conditions d’homogénéité et d’isotropie, Chassaing
[13] rappelle que les fonctions de corrélations f(r, t) et g(r, t) possèdent des comportements
à l’origine de la forme :
f(r, t) ≃ 1 + r2 2
avec : (
∂ 2 )
f(r, t)
∂r 2
r=0
(
∂ 2 )
f(r, t)
∂r 2
r=0
= − 1 ( ∂u(r, t)
u 2 (t) ∂r
(
+ O r 4) (2.83)
) 2
r=0
g(r, t) possédant une expression sensiblement analogue à celle de f(r, t).
(2.84)
On définit alors la micro-échelle longitudinale, plus communément appelée micro-échelle de
Taylor) λ T (t) à partir de la relation (2.84) en posant :
(
1 ∂ 2 )
λ 2 T (t) = − f(r, t)
∂r 2
r=0
≡ 1 ( ∂u(r)
u ′ 2 (t) ∂r
) 2
r=0
(2.85)
Les expressions (2.83) et (2.84) montrent que lorsque r tend vers 0, f(r, t) admet une courbe
osculatrice 1 qui s’avère être une parabole d’équation :
y = 1 − r2
λ 2 T
(2.86)
La micro-échelle de Taylor λ T représente donc la distance du point d’intersection de cette
parabole avec l’axe des abscisses (Fig. 2.2). Le fait que la courbure à l’origine de la fonction
f(r, t) soit sous la dépendance des petits tourbillons, explique le qualificatif de “micro”de cette
échelle.
De la même manière, la fonction g(r, t) est utilisée pour définir la micro-échelle transversale
de Taylor λ g (t) :
(
1 ∂ 2 )
λ 2 g(t) = − g(r, t)
∂r 2 (2.87)
On déduit de la relation de Von-Kármán et Howarth (2.82) que ces deux échelles vérifient la
relation :
λ T (t) = √ 2λ g (t) (2.88)
1. En géométrie différentielle, la notion de contact approfondit l’étude de la tangence, en déterminant des cas
particuliers pour lesquels deux courbes s’épousent plus fortement au voisinage du point de contact. La tangence
est un contact d’ordre au moins 1 ; quand le contact est d’ordre au moins 2, on parle de courbes osculatrices, puis
sur-osculatrices pour un contact d’ordre supérieur à 2.
r=0