Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

78 Chapitre 3. Présentation du code EVEREST
α β a b c
1 14 1
Dérivée première
3
0
9 9
0
2 12 3
Dérivée seconde
11
0
11 11
0
Table 3.3 – Valeurs des coefficients du schéma compact choisi
Dérivée première
(
Noeuds intérieurs 3f i−1 ′ + 9f i ′ + 3f i+1 ′ = 1 1
h 4 f i+2 + 7f i+1 − 7f i−1 − 1 4 i−2)
f
Noeuds proches bords f i−1 ′ + 4f i ′ + f i+1 ′ = 3 h (f i+1 − f i−1 )
Noeuds sur les bords 2f 1 ′ + 4f 2 ′ = 1 h (5f 1 + 4f 2 + cf 3 + f 4 )
Dérivée seconde
( )
Noeuds intérieurs 2f i−1 ′′ + 11f
′′
i + 2f i+1 ′′ = 1 3
h 2 4 f i+2 + 12f i+1 − 51 2 f i + 12f i−1 + 3 4 f i−2
Noeuds proches bords f i−1 ′′ + 10f
′′
i + f i+1 ′′ = 12 (f
h 2 i+1 − 2f i + f i−1 )
Noeuds sur les bords f 1 ′′ + 11f
′′
2 = 1 (13f
h 2 1 − 27f 2 + 15f 3 − f 4 )
Table 3.4 – Schémas compacts retenus pour la dérivée première et la dérivée seconde
3.2.2.3 Caractérisation des conditions aux limites
Même si les schémas numériques fournissent une précision élevée et une faible dissipation
numérique, la qualité des résultats dépend fortement de la nature des conditions aux limites.
Lorsque des conditions périodiques sont utilisées, aucune condition supplémentaire n’est nécessaire.
Cependant, la considération de conditions d’entrée, de sortie ou bien encore de parois
ablatables dans notre cas sous-entendent le besoin d’une alternative. Cette alternative est proposée
par Poinsot et Lele qui ont développé des conditions appelées Navier-Stokes Characteristic
Boundary Conditions (NSCBC). Elles consistent à traiter explicitement les ondes acoustiques
dans les équations de Navier-Stokes. En utilisant l’analyse de caractéristiques [62], les termes
hyperboliques des équations de Navier-Stokes correspondant à des ondes dans la direction x sont
modifiés. Les équations de transport des différentes variables conservatives s’écrivent alors :
∂ρC α
∂t
+ C α d 1 + d α + ∂ρC αv
+ ∂ρC αw
∂y ∂z
∂ρu
∂t + ud 1 + ρd 3 + ∂ρuv
∂y
∂ρv
∂t + vd 1 + ρd 4 + ∂ρvv
∂y
∂ρw
+ wd 1 + ρd 5 + ∂ρwv
∂t
∂y
∂ρE
∂t
= ∂
( )
µ ∂C α
+ ˙ω α
∂x j ReSc ∂x j
+ ∂ρuw
∂z
+ ∂ρvw
∂z
+ ∂ρww
∂z
= ∂τ 1j
∂x j
+ ∂p
∂y = ∂τ 2j
∂x j
+ ∂p
∂z = ∂τ 3j
∂x j
+ 1 2 (u ku k )d 1 + d 2
γ − 1 + ρud 3 + ρvd 4 + ρwd 5 + . . .
. . . ∂ ∂y [(ρE + p)v] + ∂ ∂z [(ρE + p)w] = ∂u jτ ij
∂x i
(3.17)
− ∂q i
∂x i