L'analyse factorielle confirmatoire.

L’analyse factorielle confirmatoire.
Objectifs de la section
Au terme de cette section vous serez en mesure :
De faire la distinction entre une analyse factorielle exploratoire et une analyse
factorielle confirmatoire
De faire la distinction entre variables observées ou manifestes et variables
latentes (exogènes et endogènes)
De spécifier un modèle de mesure et d’en faire une représentation visuelle
D’effectuer une analyse factorielle confirmatoire sur LISREL
De vous appuyer sur des indices reconnus pour juger de la valeur du modèle
théorique mis à l’épreuve
Introduction
L’analyse factorielle confirmatoire (AFC) est une technique statistique qui se situe
évidemment dans le prolongement de l’analyse factorielle exploratoire dont nous avons
traitée dans une section précédente. En ce sens, les deux techniques partagent
certaines ressemblances : elles s’intéressent toutes deux à la structure latente d’un
ensemble de données complexes et permettent d’expliquer les corrélations observées
entre des variables à l’aide d’un nombre réduit de variables latentes, communément
appelées « facteurs ». Dans les deux cas on peut ajouter que la mise en évidence des
facteurs latents constitue aussi une forme de réduction des données. Cependant,
comme son nom le laisse clairement sous-entendre, l’analyse confirmatoire se situe à
une étape beaucoup plus avancée dans la démarche de recherche que l’analyse
exploratoire.
L’analyse factorielle confirmatoire permet de mettre à l’épreuve des hypothèses
spécifiques concernant l’influence des variables latentes sur les données recueillies;
elle permet donc de tester un modèle théorique. En comparaison, l’analyse factorielle
exploratoire est plutôt une procédure servant à faire émerger une théorie sans qu’il soit
vraiment possible de la mettre à l’épreuve de façon convaincante. Un chercheur qui
utiliserait l’analyse exploratoire pourrait facilement découvrir des dimensions
insoupçonnées dans ses données et réussir à les interpréter a posteriori dans un
contexte théorique défendable. Le fait que les facteurs obtenus soient
« interprétables après coup » recèle une valeur théorique indéniable, mais cela ne
constitue pas pour autant un test formel d’une quelconque théorie.
Par opposition, en analyse factorielle confirmatoire tout doit s’élaborer à partir d’une
théorie explicite. Le chercheur doit formuler a priori un ensemble d’hypothèses
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 1 9 janvier, 2006

concernant les données qu’il s’apprête à analyser ou à recueillir. Il doit identifier à
l’avance les variables latentes (les facteurs) faisant partie du modèle théorique qu’il veut
mettre à l’épreuve et il doit sélectionner en conséquence les variables observées qu’il
utilisera comme reflets de l’influence des variables latentes. Nous verrons plus loin,
que lorsqu’une analyse confirmatoire ne concorde pas parfaitement avec la théorie
mise à l’épreuve, tout n’est pas perdu. Le chercheur pourra s’appuyer sur les résultats
obtenus pour modifier sa propre position théorique, mais on conviendra qu’avec ce
changement de perspective, il est maintenant passé en phase d’exploration et il ne peut
plus prétendre à la confirmation son modèle.
La puissance de l’analyse factorielle confirmatoire vient à un prix. En effet cette
technique n’est pas directement disponible dans la version SPSS 12.0 pour Windows
que nous utilisons dans le cadre de ce cours, bien que par ailleurs la compagnie SPSS
mette en marché le logiciel AMOS 5.0 consacré à ce type d’analyse. Il vous faudra
donc vous familiariser avec LISREL, un autre logiciel spécialisé dans l’analyse des
structures de covariance dont fait partie l’analyse confirmatoire.
LISREL est le produit vedette commercialisé par Scientific Software International.
Une section de leur site web (http://www.ssicentral.com/) est d'ailleurs consacrée à la
dernière version de ce produit, soit LISREL 8.7. Ce logiciel est passablement
dispendieux, mais ceux qui aimeraient se familiariser avec le produit peuvent le faire en
téléchargeant une version étudiante gratuite à l’adresse suivante :
http://www.ssicentral.com/lisrel/student.html. Une fois installée cette version allégée
vous permettra d'explorer toutes les facettes de LISREL, mais ne fonctionnera qu'avec
des modèles relativement simples ne comportant pas plus de 20 variables observées.
Je vous encourage fortement à télécharger ce produit et à l’utiliser pour les prochains
exercices. C’est la même version limitée qui devrait être accessible sur les postes de
travail des salles publiques.
La popularité des modèles LISREL est remarquable. Si vous avez l'habitude de
fouiller régulièrement la documentation scientifique dans l'un ou l'autre des champs de
la psychologie, vous avez sûrement noté l'apparition de ces attrayants schémas
composés de cercles et rectangles reliés les uns aux autres par des flèches uni- ou
bidirectionnelles. Il y a de fortes chances que ces analyses aient été produites à l'aide
de LISREL ou d'un autre programme du même type. Curieusement, il semble que ces
techniques soient réservées à quelques initiés plus hardis qui n'ont pas trop peur des
statistiques avancées. Un grand nombre de chercheurs dont la formation remonte à
plus d’une dizaine d’années n'ont pas encore fait le saut et se demandent quand et
comment ils pourront bien se mettre à la page. D'ailleurs, dans une enquête menée
pour le compte de l'American Psychological Association (APA), il a été démontré que la
très grande majorité des programmes de doctorat en psychologie n'avaient pas encore
introduit ces techniques dans leur curriculum au début des années 90 (Aiken et al.,
1990).
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 2 9 janvier, 2006

Quelques exemples réels d’application
Dans le but de bien saisir le contexte d’application de l’analyse factorielle
confirmatoire nous examinerons brièvement trois exemples réels de recherches qui ont
utilisé ce type d’analyse.
Le premier exemple concerne le construit théorique de l’épuisement professionnel
(« burnout »). Depuis bientôt deux décennies l’Inventaire d’épuisement professionnel
de Maslach (Maslach & Jackson, 1986) s’est imposé comme étant l’instrument de
mesure le plus populaire de ce construit. L’inventaire développé par Maslach reflète
une conception tridimensionnelle de l’épuisement où interagissent l’épuisement
émotionnel, la dépersonnalisation et l’affaiblissement du sentiment d’accomplissement
personnel. Au cours des dernières années, plusieurs désaccords se sont manifestés à
propos des relations existant entre ces trois dimensions de l’épuisement. Yadama et
Drake (1995) se sont donné comme objectif de démontrer la validité de la théorie de
Maslach par le biais d’une analyse confirmatoire. Ils ont procédé à l’analyse des
réponses de 176 travailleurs sociaux à l’Inventaire d’épuisement professionnel de
Maslach constitué de 22 items. Leur hypothèse était à l’effet que l’inventaire mesure
trois dimensions inter reliées : la première, l’épuisement émotionnel, serait mesurée par
les items1, 2, 3, 6, 8, 13, 14, 16 et 20; la dépersonnalisation quant à elle serait mesurée
par les items 5, 10, 11, 15 et 22; enfin, le sentiment d’accomplissement personnel serait
évalué par les items 4, 7, 9, 12, 17, 18, 19 et 21. Les résultats de l’analyse
confirmatoire n’ont pas permis d’appuyer le modèle théorique proposé; en effet, autant
le χ 2 de 507.84, p

peut devenir extrêmement périlleuse et même impraticable lorsque le nombre d’items
est trop considérable. Bagozzi et Heatherton (1994) vont même jusqu’à suggérer de ne
pas procéder à l’analyse confirmatoire au niveau des items individuels d’un
questionnaire, mais plutôt de créer deux ou trois scores composites en faisant la
sommation de groupuscules d’items pour chaque construit participant à l’analyse. Dans
l’exemple qui suit, nous verrons que l’analyse confirmatoire peut aussi servir à
démontrer la validité convergente de deux instruments d’un même construit théorique.
Hertzog, Hultsch et Dixon (1989) se sont intéressés au phénomène de la
métamémoire, c’est-à-dire cet ensemble de croyances et de connaissances que nous
entretenons tous à propos du fonctionnement de notre mémoire. Ces auteurs
soulignent le nombre impressionnant de questionnaires mis au point pour évaluer ce
construit théorique. En particulier deux instruments semblent avoir la faveur des
chercheurs : le « Metamemory in Adulthood Questionnaire (MIA) » et le « Memory
Functioning Questionnaire (MFQ).» Hertzog et al. (1989) ont voulu examiner la validité
convergente de ces deux instruments, c’est-à-dire de démontrer que les échelles des
deux instruments mesurent bien les mêmes dimensions définissant le construit de la
métamémoire. Leur étude est fort complexe puisqu’elle s’est déroulée en plusieurs
étapes, auprès de deux échantillons distincts, l’un canadien (N = 624), l’autre américain
(N = 415). Il est impossible de présenter ici dans le détail tous leurs résultats. À titre
d’illustration, on peut mentionner qu’ils ont d’abord utilisé les données de l’échantillon
américain pour développer un modèle cohérent de la métamémoire; bien que le χ 2 de
91.44 était significatif (p

l’unité et la diversité des fonctions exécutives impliquées dans des tâches complexes
mobilisant le lobe frontal. Une controverse assez importante existe actuellement à
propos de l’unicité des mécanismes responsables du bon fonctionnement dans ce type
de tâche. Alors que les théories initiales semblaient attribuer une « saveur d’unicité » à
ce mécanisme de gestion centrale responsable des fonctions exécutives, on retrouve
maintenant plusieurs mises en doute de ce principe. Miyake et al. (2000) ont donc
décidé d’étudier trois fonctions exécutives spécifiques. La première correspond à
l’alternance (« shifting ») requise pour passer d’une tâche à une autre ou d’un état
mental à un autre; la deuxième fonction correspond à la mise à jour (« updating ») des
représentations en mémoire de travail; enfin, la troisième fonction correspond au
mécanisme responsable de l’inhibition des réponses dominantes. Miyake et al. (2000)
ont considéré ces fonctions (shifing, updating et inhibition) comme étant trois variables
latentes. Pour chacune de ces variables latentes ils ont sélectionné trois tâches
simples représentant de façon pure la fonction concernée. Ainsi, le « shifting » a été
mesuré de trois façons, à l’aide de trois variables manifestes : d’abord par la tâche
« addition / soustraction » où il fallait effectuer une série de calculs mentaux en
alternant continuellement entre +3 et -3. La deuxième mesure du shifting correspondait
à la tâche « chiffre / lettre » où une paire « chiffre / lettre » apparaissait à l’écran dans
l’un ou l’autre de quatre quadrants. Lorsque le stimulus apparaissait dans les quadrants
supérieurs, le participant devait indiquer si le chiffre était pair ou impair; par contre,
lorsque le stimulus était présenté dans l’un ou l’autre des deux quadrants inférieurs, le
participant devait dire si la lettre était une voyelle ou une consonne. Enfin, la troisième
tâche était la tâche dite « locale / globale » au cours de laquelle on présentait des
formes géométriques globales sur un écran (cercles, X, triangles, carré, etc.) Les
contours de ces formes géométriques étaient eux-mêmes constitués de minuscules
formes géométriques – cercles, X, triangles, carrés, etc. Selon que les stimuli étaient
bleus ou noirs, les participants devaient dire le plus vite possible combien de lignes
formaient la figure géométrique locale (lorsque bleue) ou globale (lorsque noire).
Similairement, six autres tâches ont été utilisées comme variables manifestes : trois
pour évaluer la fonction « updating » et trois autres pour la fonction « inhibition. »
L’analyse a été faite sur les résultats de 137 participants et a consisté à mettre en
comparaison deux modèles explicatifs de la performance dans les 9 tâches manifestes :
un modèle à trois variables latentes et un modèle à variable latente unique. Sur la base
des différents indices calculés par LISREL, les auteurs ont clairement démontré que le
modèle à trois variables latentes (χ 2 = 20.29, p >.65) était mieux capable de rendre
compte de la covariance observée entre les 9 mesures que le modèle à variable latente
unique (χ 2 = 36.17, p >.10), la différence entre les deux modèles étant significative (χ 2 =
15.88, p

latentes. Par exemple, 84.6 % de la variance du test de Stroop (.92 2 ) correspond à de
la variance non associée à l’effet du facteur inhibition.
Figure 3.1 Solution finale retenue par Miyake et al. (2000) (reproduit de la figure 2,
page 70 de leur article).
Ce troisième exemple d’analyse factorielle confirmatoire se distingue nettement des
deux exemples précédents, en ce sens qu’il va au-delà de la simple validation d’un
questionnaire ou d’une combinaison de questionnaires évaluant un même construit
théorique. Dans leur étude, Miyake et al. (2000) se sont appuyés sur un riche contexte
théorique développé conjointement par la psychologie cognitive et la neuropsychologie
clinique; ce contexte théorique leur a permis d’élaborer a priori un modèle comportant
trois variables latentes. Enfin, ils ont choisi ce qui leur semblait être les meilleurs
indicateurs (variables manifestes) de ces variables latentes pour être en mesure de
procéder à un test formel de leur modèle. Nous sommes bien loin d’une simple
analyse factorielle exploratoire où le chercheur aurait laissé les données lui indiquer la
présence de facteurs qu’il aurait tenté d’interpréter a posteriori. Nous reviendrons
éventuellement sur l’étude de Miyake et al. (2000) lorsque nous traiterons des analyses
d’équations structurales.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 6 9 janvier, 2006

Matrices de variance-covariance et matrices de corrélation
Les données d'entrées sur lesquelles portent les analyses factorielles confirmatoires
et les autres analyses de type LISREL sont la plupart du temps des matrices de
variance-covariance ou, dans certains cas, des matrices de corrélation. (Notez
cependant que le logiciel LISREL s'accompagne d'un module PRELIS qui permet de
travailler à partir de données brutes individuelles si on le désire et de générer les
différentes matrices de covariance ou de corrélation que l'on peut ensuite soumettre à
LISREL.) En psychologie, les chercheurs ont développé l’habitude de travailler surtout
avec des matrices de corrélation. Ce faisant, ils mettent complètement de côté la
métrique des différentes mesures qu’ils recueillent, puisqu’ils utilisent alors des
variables standardisées (M = 0.0, écart-type = 1.0). Cette pratique ne prête pas
tellement à conséquence parce que, le plus souvent, les variables qui intéressent les
psychologues ont de toute façon des métriques arbitrairement définies. Pour vous en
convaincre, essayez d’identifier l’unité de mesure appropriée pour mesurer la
perception de contrôle, la créativité, l’estime de soi, etc. Aussi, il est important de
constater que la corrélation que l’on observe entre deux variables dont les échelles de
mesures ont été standardisées se manifeste également si l’on s’en tient aux échelles
brutes (non standardisées) des mêmes variables : on parle alors du concept de
covariance entre deux variables. La covariance est aux échelles brutes (préservant la
métrique originale) ce que la corrélation est aux échelles standardisées.
Supposons les trois variables suivantes, X, Y et Z:
X Y Z
Moyenne (M): 5.85 13.70 16.45
Écart-type (S): 2.04 4.18 6.37
Variance (S 2 ): 4.14 17.46 40.56
La matrice de variance-covariance pour ces données correspond à une matrice
rectangulaire où l'on retrouve les variances de chaque variable dans la diagonale et les
covariances entre les paires de variables dans les autres cellules.
X Y Z
X 4.14 5.37 12.05
Y 5.37 17.46 21.52
Z 12.05 21.52 40.56
Puisque la covariance entre X et Y est équivalente à la covariance entre Y et X, il y
a redondance dans cette matrice rectangulaire et il est courant de présenter
uniquement la portion triangulaire inférieure de la matrice de covariance; nous l'avons
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 7 9 janvier, 2006

eproduite à nouveau en présentant à sa droite la matrice de corrélation
correspondante:
Variance-covariance
4.14
5.37 17.46
12.05 21.52 40.56
Corrélation
1.0
.63 1.0
.93 .81 1.0
Il existe évidemment une relation directe entre la matrice de variance-covariance et
la matrice de corrélation puisqu'elles représentent toutes deux les covariations entre les
mêmes variables X, Y et Z. En fait, si les variables initiales sont standardisées (c.-à-d.,
avec une moyenne de zéro et un écart-type de 1, comme les scores z) la covariance
entre ces variables correspond alors au coefficient de corrélation avec lequel vous
êtes probablement plus familier.
La formule suivante illustre clairement que la covariance entre deux variables (S xy 2 )
est constituée à la fois de la corrélation entre les deux mesures et du produit de leurs
écarts-types.
COV xy = r xy X écart-type x X écart-type y
en effet,
S 2 S 2 S 2
xy = r xy x × y
5.37 = .63 4.14 x 17.46
S 2
2 S 2
xy = r xy S
x y
= .63 4.14 17.46
ou
ou
S xy
2 = r xy S
x
S
y
= .63 × 2.04 × 4. 18
Réciproquement, il va de soi que la corrélation reflète à son tour la covariance entre
deux variables tout en prenant en compte les variances de chacune des deux mesures.
La décomposition de la formule suivante vous permet de bien saisir que vous pouvez
déterminer le coefficient de corrélation entre X et Y si vous connaissez la variance de X,
la variance de Y et la covariance entre X et Y.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 8 9 janvier, 2006

xy =
COV xy
VAR x × VAR y
r xy
=
S 2 xy
S 2 S 2 x × y
en effet,
. 63 =
5.37
4.14 x 17.46
ou
r xy =
r xy
S
x
=
S 2 xy
2
S
x
S 2 xy
×
S 2 y
S
y
ou
ou
=
=
5.37
4.14 17.46
5.37
2.04 × 4.18
Je vous invite à confirmer votre compréhension des rapports entre corrélation et
covariance en vérifiant la proximité de ces mesures à l’aide du logiciel SPSS. J’ai placé
deux fichiers de démonstration (srp6020_xyz.sav et srp6020_xyz.sps) sur le serveur
ftp du cours. Ce sont des données inventées (n = 300) que j’ai utilisées dans les
exemples précédents.
Examen d'une matrice de corrélation
Considérons la matrice de corrélation présentée au tableau 3.1 (données
reproduites de Pedhazur, Pedhazur et Schmelkin (1991), page 593). Il s'agit des
coefficients de corrélation entre six variables (Y1, Y2, Y3, X1, X2 et X3) mesurant
différents aspects du concept de soi: les variables Y correspondent à des indices du soi
académique, alors que les variables X sont des mesures du soi social.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 9 9 janvier, 2006

Soi
académique
Soi
social
Tableau 3.1
Exemple d'une matrice de corrélation entre six indicateurs
du concept de soi. N = 200.
Y1
Y2
Y3
X1
X2
X3
Soi
académique
Soi
social
Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3
1.000 .502 .622
.502 1.000 .551
.622 .551 1.000
.008 .072 .028
.027 .030 -.049
-.029 -.059 .018
.008 .027 -.029
.072 .030 -.059
.028 -.049 .018
1.000 .442 .537
.442 1.000 .413
.537 .413 1.000
Des zones ombragées ont été ajoutées au tableau 3.1 pour permettre de mieux
observer les patrons de corrélation à l'intérieur de cette matrice rectangulaire. On
observe que les quadrants I et IV renferment des coefficients de corrélation positifs et
de taille modérée, alors que dans les quadrants II et III les corrélations sont
pratiquement inexistantes. Une façon de parler de ces patrons de corrélation serait de
dire qu'à l'intérieur des quadrants I et IV, les indices observés mesurent --- jusqu'à un
certain point --- la même chose: le soi académique pour les mesures Y1, Y2 et Y3 du
quadrant I et le soi social pour les indicateurs X1, X2 et X3 du quadrant IV.
Nous venons essentiellement de faire « à l'œil » une analyse factorielle
exploratoire sur cette matrice de corrélation; cette analyse bien rapide nous indique la
présence de deux dimensions — soi social et soi académique — expliquant les patrons
de corrélation dans la matrice. De plus, contrairement à ce que nous aurions pu croire,
il ne semble pas y avoir de relation entre ces deux dimensions; elles sont
indépendantes l'une de l'autre. Cette dernière affirmation découle évidemment du fait
que les quadrants II et III ne comportent aucune corrélation importante.
Les facteurs « soi académique » et « soi social » peuvent être considérés comme
étant des construits théoriques qui expliquent la variance commune entre X1, X2 et
X3 d'une part et Y1, Y2 et Y3 d'autre part. On peut même affirmer qu'il ne devrait plus
exister de corrélation entre les trois variables X1, X2 et X3 si on réussissait à éliminer
de ces variables la variance explicable par le facteur commun du soi social.
Similairement, le patron de corrélation entre les variables Y1, Y2 et Y3 devrait
disparaître si l'on pouvait retirer de ces trois variables observées toute la variance
explicable par le facteur commun du soi académique. Nous reviendrons plus loin sur
cette idée que la structure de nos construits théoriques — notre modèle — implique
nécessairement certains patrons de corrélation entre les variables influencées par ces
mêmes construits.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 10 9 janvier, 2006

L'analyse factorielle exploratoire comme point de départ
Nous pourrions analyser la matrice de corrélation du tableau 3.1 en la soumettant à
une analyse factorielle exploratoire à l’aide de la procédure FACTOR du programme
SPSS. Il faudrait préciser que nous voulons extraire deux facteurs communs à l'aide de
la méthode d'extraction PAF (« Principal Axis Factoring »), suivie d'une rotation
Varimax. Cette analyse factorielle traiterait les six variables observées comme étant des
variables dépendantes et permettrait de mettre en évidence la présence de deux
facteurs sous-jacents à ces mesures.
Tableau 3.2
Exemple d'analyse factorielle ("PAF") dans SPSS
appliquée à la matrice de corrélation du tableau 3.1
MATRIX DATA
VARIABLES= Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3
/ CONTENT = CORR
/N = 200.
BEGIN DATA.
1.000
.502 1.00
.622 .551 1.00
.008 .072 .028 1.00
.027 .030 -.049 .442 1.00
-.029 -.059 .018 .537 .413 1.00
END DATA.
FACTOR MATRIX=IN(CORR=*)
/ PRINT = CORRELATION KMO AIC DET INITIAL EXTRACTION ROTATION
/ EXTRACTION = PAF
/ ROTATION = VARIMAX
/ PLOT = EIGEN.
Vous pouvez obtenir une copie de ce programme afe.sps à l’adresse suivante sur le serveur
ftp institutionnel: ftp://ftp.uqtr.ca/pub/dpsy/baillarg/srp6020/afe.sps
• Cet exemple illustre comment il est possible de lire une matrice de corrélation directement
dans SPSS et de l’utiliser comme point de départ d’une analyse statistique sans même
avoir accès aux données brutes individuelles. Notez que dans ce cas il est obligatoire de
recourir au mode syntaxique.
• L’exemple que j’utilise ici utilise le point comme séparateur des valeurs décimales. Il se
peut que vous ayez à modifier ce fichier syntaxe en remplaçant les points décimaux par
des virgules, si jamais les paramètres régionaux de votre installation Windows utilisent
plutôt la virgule décimale.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 11 9 janvier, 2006

L'objectif visé par l'analyse factorielle est d'expliquer les relations (p. ex., les
corrélations) entre des variables observées en faisant appel à des facteurs
communs ayant supposément une influence sur ces variables. La sortie SPSS
confirme que les variables observées partagent une certaine proportion de variance
commune (voir tableau 3.3). Aussi, comme le critère de Kaiser a été appliqué par
défaut, l’analyse factorielle a extrait deux facteurs communs expliquant respectivement
28.3% et 23.6% de variance commune (voir tableau 3.4).
Tableau 3.3
Indices de communalité de chaque variable avant et après extraction.
Communalities
Initial Extraction
Y1
.428 .567
Y2
.362 .451
Y3
.476 .675
X1
.356 .578
X2
.253 .340
X3
.344 .502
Extraction Method: Principal Axis Factoring.
Tableau 3.4
Pourcentage de variance expliquée après extraction de deux facteurs communs.
Factor
1
2
3
4
5
6
Total Variance Explained
Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums of Squared Loadings
Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative %
2.122 35.374 35.374 1.696 28.272 28.272 1.695 28.256 28.256
1.929 32.152 67.526 1.417 23.620 51.892 1.418 23.635 51.892
.633 10.548 78.074
.543 9.047 87.121
.426 7.092 94.213
.347 5.787 100.000
Extraction Method: Principal Axis Factoring.
SPSS rapporte également les pondérations correspondant à l'effet de chacun des
deux facteurs sur les six variables observées. Ces coefficients sont présentés dans les
matrices factorielles avant et après rotation, sous les noms de « factor matrix » et de
« rotated factor matrix » (voir tableau 3.5).
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 12 9 janvier, 2006

Tableau 3.5
Matrices factorielles avant et après rotation.
Y1
Y2
Y3
X1
X2
X3
Factor Matrix a
Factor
1 2
.751 -.048
.671 -.022
.820 -.050
.087 .756
.032 .582
.011 .709
Extraction Method: Principal Axis Factoring.
a. 2 factors extracted. 11 iterations required.
Y1
Y2
Y3
X1
X2
X3
Rotated Factor Matrix a
Factor
1 2
.753 -.005
.671 .016
.822 -.003
.044 .759
-.001 .583
-.029 .708
Extraction Method: Principal Axis Factoring.
Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.
a. Rotation converged in 3 iterations.
Les multiples relations qui existent entre les facteurs et les variables observées
correspondent à un modèle théorique qui peut être représenté par un ensemble
d'équations où chaque variable observée est expliquée par les poids combinés des
différents facteurs. Ainsi, le score d'un individu sur la variable Y1 peut être conçu
comme étant la résultante de l'influence des facteurs 1 et 2 de la manière suivante:
Y1 = .75124 (Facteur 1) - .04834 (Facteur 2)
Les poids factoriels correspondent bien à l'idée que Y1 est une mesure de soi social
et en conséquence le facteur 1 aura un poids important (.751124), alors que l'influence
du facteur 2 sera minime (-.04834) puisque le facteur 2 correspond à une autre
dimension psychologique indépendante de la première, à savoir le soi académique. Le
modèle théorique sous-jacent à l'analyse factorielle exploratoire peut également être
représenté par un graphique qui a l'avantage d'illustrer de façon unifiée l'ensemble des
relations entre les facteurs et les variables. La section suivante examine quelques
particularités intéressantes de l'analyse factorielle exploratoire qui apparaissent plus
clairement dans une représentation graphique du modèle.
Représentation graphique d'un modèle à deux facteurs indépendants
Notez d'abord comment les poids factoriels tirés de la section « Factor matrix » sont
transposés dans le graphique de la figure 3.2 apparaissant à la page suivante.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 13 9 janvier, 2006

Figure 3.2. Représentation graphique du modèle d'analyse
factorielle exploratoire.
À titre d'exemple, l'équation de tout à l'heure
Y1 = .75124 (Facteur 1) - .04834 (Facteur 2)
est maintenant symbolisée par la présence de deux flèches unidirectionnelles pointant
vers la variable Y1, l'une correspondant à l'influence importante (.75124) du Facteur 1
et l'autre à l'influence négligeable (-.04834) du Facteur 2; et ainsi de suite pour
chacune des six variables observées.
La représentation graphique du modèle ajoute toutefois des éléments importants.
Ainsi, on voit que chacune des variables soumises à l'analyse (Y1, Y2, Y3, X1, X2 et
X3) reçoit, en plus de l'influence des Facteurs 1 et 2, une source additionnelle
d'influence que l'on considère être une source de variance unique et propre à chaque
variable mesurée. Ces sources de variances sont symbolisées par les flèches
unidirectionnelles partant d'une source u et pointant vers une variable observée
spécifique. On a l'habitude d'assimiler cette variance unique à de la variance d'erreur,
mais il faut comprendre que u correspond ici à tous les facteurs inconnus et non
considérés dans notre modèle qui ont néanmoins une influence sur la variance de la
variable visée. Pour tenir compte de cette réalité, l'équation expliquant la variance de
Y1 aurait donc avantage à être réécrite de la façon suivante:
Y1 = .75124 (Facteur 1) - .04834 (Facteur 2) + u
Notez également que les variables observées (que l'on appelle aussi variables
indicatrices ou manifestes) sont ici symbolisées par des rectangles, alors que les
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 14 9 janvier, 2006

facteurs F1 et F2 considérés comme étant des variables latentes (non mesurées
directement) sont symbolisés par des ellipses. Cette distinction entre variables
mesurées et variables latentes est fondamentale et nous reviendrons fréquemment sur
cet aspect. Une autre observation peut être faite de la figure 3.2 : observez qu'aucune
flèche ne pointe vers les variables latentes F1 et F2. L'absence de flèche ici n'est pas
accidentelle; cela indique que le modèle représenté à la figure 3.2 ne cherche pas à
expliquer la variance du Facteur 1 ou du Facteur 2. On dit alors que ces deux variables
latentes sont des variables exogènes. Finalement, la représentation graphique du
modèle indique que non seulement nous ne cherchons pas à expliquer la variance des
facteurs F1 et F2, mais qu'en plus nous supposons que ces deux facteurs sont
indépendants l'un de l'autre, qu'ils ne sont pas corrélés. Ce dernier aspect est indiqué
par une absence de flèche bidirectionnelle entre F1 et F2. Nous voyons donc que
l'utilisation d'une représentation graphique de notre modèle nous force à bien identifier
les relations (ou leur absence) entre les différentes variables modélisées.
Un modèle implique toujours certaines corrélations
Une propriété mathématique intéressante de l'analyse factorielle est qu'il est
possible d'utiliser les poids factoriels représentant l'effet des facteurs sur les variables
observées de manière à reproduire les patrons de corrélation entre ces variables.
L'idée est simple, si deux variables observées Y1 et Y2 subissent toutes deux l'effet
d'une variable latente commune (F1), il en découle nécessairement que Y1 et Y2
doivent être corrélées l'une avec l'autre dans une certaine mesure; cette corrélation est
impliquée par le modèle. Nous avons donc là une façon de vérifier la valeur de la
solution factorielle obtenue: en effet, nous pouvons mesurer la taille des erreurs qui se
manifestent lorsque nous tentons de reproduire la matrice de corrélation initiale en
partant des poids factoriels qui, selon notre modèle théorique, sont supposés
"expliquer" les patrons de corrélation.
Par exemple, la corrélation entre les variables observées Y1 et Y2 peut s'estimer en
multipliant l'effet du Facteur 1 sur Y1 et l'effet du même facteur sur Y2; de plus, il faut
ajouter les effets respectifs du Facteur 2, même si notre modèle théorique prédit que
ces effets seront plutôt négligeables. Ainsi,
r Y1Y2 = (.75124) (.67114) + (-.04834) (-.02246)
= (.50419) + (.00109)
= .50528
Si nous comparons la valeur réelle du coefficient de corrélation à cette valeur
reproduite en tenant compte des contraintes de notre modèle théorique, nous
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 15 9 janvier, 2006

constatons que nous avons réussi à reproduire le coefficient de corrélation apparaissant
au tableau 3.1 avec une remarquable justesse:
corrélation observée - corrélation reproduite = valeur résiduelle
.502 - .50528 = .00328
Il est possible de reproduire ainsi chacun des éléments de la matrice de corrélation
initiale. Evidemment, dans les cas où deux variables observées ne dépendent pas des
mêmes facteurs, le modèle prédit que nous devrions obtenir des corrélations
pratiquement nulles. Par exemple, dans le cas de la corrélation entre les variables Y1 et
X1:
r Y1X1 = (.75124) (.08708) + (-.04834) (.75555)
= (.06542) + (-.03652)
= .0289
Quant à l'adéquation entre la valeur observée et la valeur impliquée par notre
modèle, nous obtenons:
corrélation observée - corrélation reproduite = valeur résiduelle
.008 - .0289 = -.0209
Dans ce deuxième exemple nous constatons une erreur relativement plus grande
dans la reproduction du coefficient de corrélation, bien que la valeur résiduelle soit
encore très petite. Qu'en est-il maintenant de la valeur globale de notre modèle On
dira que le modèle permet une bonne approximation des données lorsque la majorité
des valeurs résiduelles seront plus petites que .05. Dans l'exemple actuel, un seul
résiduel (-.05059) dépasse légèrement ce critère parmi les quinze coefficients qui ont
été reproduits. En fonction de ces observations il serait légitime d'affirmer que notre
modèle théorique est plausible, puisqu’il est capable de rendre compte adéquatement
des patrons de corrélation observés dans les données recueillies.
Distinctions importantes entre l'analyse factorielle exploratoire et l'analyse
factorielle confirmatoire
Nous venons de voir que l'analyse factorielle exploratoire permet de rendre compte
de la covariation entre plusieurs variables observées en ayant recours à un nombre
restreint de variables latentes communément appelée « facteurs communs ». Cette
définition de l'analyse factorielle demeure tout à fait valable lorsque nous adoptons une
perspective confirmatoire. Cependant, malgré cette ressemblance au niveau des
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 16 9 janvier, 2006

définitions générales, les modèles théoriques sous-jacents aux analyses exploratoire et
confirmatoire peuvent différer grandement à certains égards.
Figure 3.2. Illustration d'un modèle comportant trois facteurs intercorrélés.
La figure 3.2 représente un modèle théorique assez semblable à celui que nous
avons utilisé précédemment et comporte encore six variables observées (X1 à X6).
Cependant, le nouveau modèle postule que les intercorrélations entre ces variables
dépendent maintenant de trois facteurs communs, les variables latentes Xsi1 à Xsi3.
On note également que la figure 3.2 ajoute des liens bidirectionnels entre les trois
variables latentes, c'est à dire que ce modèle assume que les facteurs communs sont
intercorrélés. Parmi les caractéristiques s'appliquant à l'approche exploratoire, on peut
noter les points suivants:
1. Les seules contraintes que le chercheur peut imposer à son modèle concernent
le nombre de facteurs qui seront extraits (ici 3) ainsi que le nombre de variables
observées.
2. Le chercheur ne pose pas de conditions a priori concernant la structure et
l'ampleur des covariations entre les variables du modèle.
3. S'il utilise une rotation orthogonale (p. ex., Varimax), toutes les variables latentes
(les facteurs communs) seront indépendantes les unes des autres, c'est à dire
non corrélées.
4. Si au contraire le chercheur choisit d'effectuer une rotation oblique, alors toutes
les variables latentes devront être intercorrélées.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 17 9 janvier, 2006

5. Il n'est donc pas possible d'accommoder dans le même modèle des situations
où certaines variables latentes seraient indépendantes alors que d'autres
seraient intercorrélées.
6. Toutes les variables observées sont directement et nécessairement influencées
par toutes les variables latentes; en d'autres termes, toutes les variables ont des
poids factoriels (« factor loadings ») sur tous les facteurs.
7. Les facteurs uniques delta ( 1 à 6 ) correspondant ici aux erreurs de mesure
associées à chaque variable observée, sont toujours indépendants les uns des
autres, c'est à dire qu'ils ne sont pas corrélés entre eux.
8. Pour chacune des variables observées il existe nécessairement un facteur
unique ou une source de variation correspondant à l'erreur de mesure ( 1 à 6 ).
9. Finalement, les facteurs communs Ksi ( 1 à 3 ) et les facteurs uniques ( 1 à 6 )
sont toujours indépendants les uns des autres, c'est à dire qu'il ne peut pas y
avoir de corrélation entre ces deux types de facteurs.
Toutes les caractéristiques qui viennent d'être énumérées doivent être acceptées en
bloc dans une analyse factorielle exploratoire, quelles que soient les considérations
théoriques que le chercheur aimerait privilégier dans son explication des variables en
cause et quel que soit l'état des connaissances à l'égard du problème étudié.
La figure 3.3 illustre comment l'analyse factorielle confirmatoire est beaucoup moins
restrictive ou contraignante pour le chercheur. On peut y voir qu'il est possible de
déroger à plusieurs des règles précédentes.
Figure 3.3. Illustration de quelques particularités de l'analyse confirmatoire.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 18 9 janvier, 2006

En particulier, la figure 3.3 permet d'attirer l'attention sur les caractéristiques
suivantes, propres à l'analyse confirmatoire:
1. Le chercheur doit déterminer à l'avance quels facteurs communs seront corrélés
les uns avec les autres et quels sont ceux que l’on prédit être indépendants. Par
exemple, le modèle de la figure 3.3 postule qu'il n'y aura pas de corrélation entre
les variables latentes Ksi1 et Ksi3, mais qu'il y en aura entre les deux autres
paires de variables latentes.
2. Le chercheur doit également déterminer à l’avance quelles variables observées
seront influencées par quels facteurs communs. Par exemple, X1 n'est
maintenant influencée que par Ksi1, alors que X4 est influencée par Ksi2 et Ksi3.
3. Le modèle doit aussi spécifier quelles variables observées seront influencées par
des facteurs uniques, incluant les erreurs de mesure. Dans l'exemple de la figure
3.3, il est convenu que la variable X5 est une mesure parfaite, ne comportant
aucune erreur de mesure. Cette condition de « mesure parfaite » peut sembler
excessive, mais il est important de savoir que l'analyse confirmatoire permet de
tester des modèles comportant de tels postulats, s’ils sont jugés appropriés.
4. Finalement, le chercheur doit déterminer à l'avance s'il y aura des corrélations
entre certains facteurs uniques et si oui, entre lesquels de ces facteurs. Ici, le
modèle postule que les erreurs de mesure 2 et 3 seront corrélées. Puisque notre
modèle ne permet pas d'expliquer cette corrélation, il est très important de
pouvoir fournir une justification théorique de cette situation. Nous verrons
plus loin qu'il est extrêmement tentant de permettre de telles corrélations entre
les erreurs de mesure dans le seul but d'arriver à un modèle qui corresponde
plus et mieux à nos données; c'est d’ailleurs l'une des nombreuses tentations à
laquelle il faut tenter de résister dans l'utilisation de LISREL.
La logique de l'analyse factorielle confirmatoire
Nous pouvons maintenant faire le lien avec ce qui a été mentionné précédemment
concernant les propriétés mathématiques des structures de covariance: il est possible
de reproduire les éléments de la matrice de corrélation initiale (ou matrice de variance /
covariance) en utilisant les poids associés aux différents paramètres de notre modèle
théorique. Chaque lien que nous postulons dans notre modèle pose certaines
contraintes qui détermineront notre capacité à reproduire adéquatement les patrons de
corrélation entre les données observées.
L'analyse sera confirmatoire dans la mesure où, tout en tenant compte des
contraintes imposées a priori à notre modèle, il sera possible de reproduire
adéquatement la matrice de variance-covariance initiale. Si notre modèle théorique
est mal spécifié (p. ex., qu'il postule des liens qui ne sont pas effectifs ou encore qu'il
ignore des liens importants), la matrice de variance-covariance reproduite s’éloignera
substantiellement du patron de variance/covariance observé entre les variables.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 19 9 janvier, 2006

Évidemment, le nombre de coefficients à reproduire peut être assez élevé puisque qu'il
est fonction du nombre de variables observées, selon la règle suivante, où k correspond
au nombre de variables observées:
k(k + 1) / 2
Ainsi, un modèle comportant six variables observées donnera lieu à une matrice de
corrélation — ou de variance/covariance — comportant 21 éléments à reproduire, alors
qu'un modèle à 24 variables observées entraînera la reproduction d'une matrice de 300
éléments. On peut imaginer facilement que certains éléments de la matrice initiale
seront moins bien reproduits que d'autres et que la comparaison des termes
correspondants entre la matrice initiale et la matrice reproduite entraînera des
"résiduels" plus ou moins élevés. Au delà d'une simple inspection de la taille de ces
résiduels, l'avantage d'utiliser un programme comme LISREL tient au fait qu'il fournit un
ensemble de tests statistiques permettant de décider si le modèle postulé rend compte
adéquatement ou non des données.
Mise en garde importante : Il est assez facile d'imaginer qu'un modèle qui ne
réussit pas à reproduire adéquatement les données observées doive être rejeté.
C'est d'ailleurs la plus grande force de LISREL: pouvoir démontrer qu'un modèle
théorique est incompatible avec les données que nous avons recueillies. À
l'inverse, le fait qu'un modèle réussisse à rendre compte des covariations à
l'intérieur des données observées ne garantit en rien que ce modèle soit
adéquat. Il est possible qu'un ou plusieurs autres modèles alternatifs produisent
une solution de qualité identique ou même supérieure à notre propre solution.
Tout au plus LISREL peut-il nous aider à démontrer que notre modèle est
plausible, comme d'autres modèles alternatifs pourraient l'être également. C'est
au chercheur qu'incombe la responsabilité d'évaluer la pertinence et la plausibilité
de son modèle en le recadrant à l'intérieur d'un contexte théorique riche et articulé.
L'environnement LISREL
LISREL est un acronyme de « Linear structural relations ». C'est à la fois un
modèle mathématique et un logiciel permettant d'expliquer un patron de relations
linéaires entre plusieurs variables. Contrairement à beaucoup d'autres techniques
d'analyse, LISREL peut être utilisé même si le chercheur n'a pas accès aux données
brutes ou aux scores individuels du projet qui l'intéresse. Minimalement, vous devrez
avoir en votre possession la matrice de corrélation ou, de préférence, la matrice de
variance/covariance à analyser. Si de plus vous connaissez les moyennes de
l’échantillon pour chacune des variables présentes dans la matrice, vous serez en
mesure d’effectuer des analyses encore plus complexes. Par exemple, nous verrons
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 20 9 janvier, 2006

plus loin comment il est possible de comparer et de mettre à l’épreuve un même
modèle auprès de différents groupes de participants. Cette « perspective multi
groupes » n’est possible que si les moyennes des variables sont disponibles en plus
des variances et des covariances.
Distinction entre Lisrel et Prelis
Pour bien exploiter l'environnement du logiciel LISREL il faut savoir que la version
8.7 pour Windows intègre maintenant dans une même interface le module PRELIS et le
module LISREL proprement dit. Le module PRELIS est un utilitaire qui permet de
travailler un ensemble de données brutes et de sauvegarder les matrices de corrélation
ou de variance/covariance qui pourront être ensuite utilisées comme données soumises
au module LISREL. PRELIS est capable de lire des données individuelles sous
plusieurs formats et peut même importer des fichiers produits par d'autres logiciels,
comme SPSS par exemple. Nous n'utiliserons pas ce module PRELIS dans le cadre du
cours. La totalité des exemples vus en classe utiliseront des matrices déjà disponibles
et analysables directement par LISREL. On accède à l’un ou l’autre des deux modules
à travers une interface unique représentée dans l’écran suivant. Vous reconnaîtrez les
deux boutons qui permettent de lancer l'un ou l'autre de ces deux modules; ces
boutons se distinguent uniquement par la lettre L ou P superposée sur le « p'tit
coureur » qui s'empressera d'exécuter vos instructions.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 21 9 janvier, 2006

Les langages Lisrel et Simplis
Une autre particularité de l'environnement LISREL concerne les deux langages que
l'on peut utiliser pour nos programmes. Alors que le langage LISREL original
nécessitait de parler grec pour pouvoir identifier chacun des paramètres de nos
modèles, il est maintenant possible de spécifier ces paramètres en se limitant à
quelques phrases anglaises constituant l'essentiel du langage SIMPLIS. Ceux et celles
qui ont fait l'apprentissage « à la dure » du langage LISREL apprécieront probablement
pouvoir encore faire exécuter leurs programmes, dans leur forme originale. Voici un
exemple de la syntaxe plutôt hermétique du langage Lisrel :
TI Nine Psychological Variables - A Confirmatory Factor Analysis
DA NI=9 NO=145 MA=CM
SY='C:\Program Files\lisrel87s\SPLEX\EX5A.DSF'
MO NX=9 NK=3 TD=SY
LK
Visual Verbal Speed
FR LX(1,1) LX(2,1) LX(3,1) LX(4,2) LX(5,2) LX(6,2) LX(7,3) LX(8,3) LX(9,3)
PD
OU RS
Figure 3.4. Exemple d’un programme en langage LISREL. Notez les références des variables utilisant
des vecteurs et des matrices; par exemple LX(1,1) … LX(9,3).
À l'inverse, on comprendra que la majorité des nouveaux utilisateurs de LISREL
préféreront de beaucoup s'en tenir au langage SIMPLIS. Voici le même programme
que précédemment transcrit cette fois selon la syntaxe SIMPLIS. :
Nine Psychological Variables - A Confirmatory Factor Analysis
Observed Variables
'VIS PERC' CUBES LOZENGES 'PAR COMP' 'SEN COMP' WORDMEAN
ADDITION COUNTDOT 'S-C CAPS'
Correlation Matrix From File EX5.COR
Sample Size 145
Latent Variables: Visual Verbal Speed
Relationships:
'VIS PERC' - LOZENGES = Visual
'PAR COMP' - WORDMEAN = Verbal
ADDITION - 'S-C CAPS' = Speed
Number of Decimals = 3
Wide Print
Print Residuals
Path Diagram
End of Problem
Figure 3.5. Exemple d’un programme en langage SIMPLIS. Notez entre autres avantages que les
variables portent maintenant des noms beaucoup plus faciles à identifier.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 22 9 janvier, 2006

Les différents types de fichiers du système Lisrel
L’environnement Lisrel est particulièrement intimidant en raison du nombre et de la
diversité des fichiers que vous allez rencontrer. On peut d’abord distinguer les fichiers
qui comportent des commandes spécifiques à l’un ou l’autre des différents modules de
Lisrel. Dans ce cours nous utiliserons essentiellement les fichiers portant l’extension
.spl et se référant à la syntaxe Simplis.
Extension
*.pr2
*.ls8
*.spl
Type de contenus
Fichier de commandes PRELIS
Fichier de commandes LISREL
Fichier de commandes SIMPLIS
D’autres fichiers sont créés par Lisrel pour conserver soit les données brutes, soit
les données systèmes qui sont elles-mêmes produites en mode « projets interactifs ».
Vous n’aurez pas à utiliser ces fichiers dans le cadre du cours puisque tous les
exemples que nous examinerons porteront sur des matrices de corrélation ou de
variance/covariance. À titre d’information, voici quand même les extensions spécifiques
de ces fichiers :
Extension
*.psf
*.dsf
*.spj
*.lpj
Type de contenus
Fichier de données brutes lisibles
par PRELIS
Fichier de données système (Data
System File) lisible par LISREL ou
SIMPLIS
Fichier de projet SIMPLIS créé en
mode interactif
Fichier de projet Lisrel créé en
mode interactif
Finalement, l’exécution d’un programme SIMPLIS (ou LISREL) entraînera la
production d’un fichier de résultats que vous voudrez généralement examiner et
imprimer au besoin. À titre optionnel, vous voudrez aussi obtenir une représentation
visuelle, c'est-à-dire un diagramme des chemins critiques correspondant au modèle mis
à l’épreuve. Sachez qu’il est même possible d’amorcer l’analyse d’un modèle en créant
d’abord sa représentation graphique, pour ensuite demander au système de générer
pour vous le code syntaxique Lisrel ou Simplis.
Extension
*.out
*.pth
Type de contenus
Fichier de résultats
Graphique des chemins critiques
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 23 9 janvier, 2006

En plus des types de fichiers qui viennent d’être énumérés et qui sont propres à
l’application Lisrel, vous pouvez aussi utiliser des fichiers en format texte conventionnel
qui contiendront les matrices de corrélation ou de variance/covariance à analyser. Par
exemple, si vous examinez le contenu du programme SIMPLIS présenté à la figure 3.5,
vous remarquerez la présence de la ligne suivante : Correlation Matrix From File
EX5.COR. Cette instruction informe LISREL que les données à analyser devront être
lues directement à partir du fichier EX5.COR qui comporte la portion triangulaire
inférieure de la matrice de corrélation.
1
.318 1
.436 .419 1
.335 .234 .323 1
.304 .157 .283 .722 1
.326 .195 .35 .714 .685 1
.116 .057 .056 .203 .246 .17 1
.314 .145 .229 .095 .181 .113 .585 1
.489 .239 .361 .309 .345 .28 .403 .512 1
Figure 3.6. Exemple du format de lecture d’une matrice de corrélation. Ce fichier doit être créé à l’aide
d’un éditeur de texte comme le Bloc-notes de Windows.
En plus des extensions spécifiques à Lisrel, on peut donc ajouter deux derniers
types de fichiers pour lesquels vous auriez avantage à respecter les conventions
suivantes :
Extension
*.cor
*.cov
Type de contenus
Fichier de données contenant une
matrice de corrélation
Fichier de données contenant une
matrice de variance/covariance
Les commandes les plus utiles du langage SIMPLIS
L’utilisation du logiciel Lisrel est devenue beaucoup plus facile depuis l’ajout du langage
SIMPLIS qui permet une approche un peu plus conviviale. Les commandes sont quand
même nombreuses et leur utilisation est encore plutôt capricieuse. Le tableau suivant
survole une portion des commandes les plus utiles. Vous pouvez obtenir des
précisions et de l’aide additionnelle sur toutes les autres commandes à partir du menu
déroulant de Lisrel en suivant la séquence suivante : Help ¬ Contents ¬ Syntax Files
¬ SIMPLIS ¬ Contents…
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 24 9 janvier, 2006

Tableau 3.6
Synthèse des commandes SIMPLIS les plus utiles..
Commandes Statut Remarques
[Title]
Optionnel - Un programme SIMPLIS peut commencer par une ou plusieurs lignes de titre.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- Le mot «TITLE» lui-même n'est pas obligatoire.
- La fin du titre est indiquée par une nouvelle ligne qui commence par Observed
Variables
Observed Variables [from File filename]
Obligatoire
- Cette commande précise le nombre et l'ordre des variables observées.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- Chaque variable doit avoir un nom unique dont les huit premiers caractères seront
conservés et imprimés par le programme.
- Une convention suggérée est d'utiliser des lettres majuscules pour les variables
observées. Exemples: BECK, 'QI VERBAL', BEM1, ANXIETY1
- Il est possible de lire les noms des variables à partir d'un fichier.
Covariance Matrix [from File filename]
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ou
Correlation Matrix [from File filename]
Obligatoire
- A moins de situations exceptionnelles les données soumises à LISREL sont des
matrices de variance/covariance ou des matrices de corrélation.
- Ces matrices sont presque toujours préparées à l'avance dans des fichiers externes
à l’aide d’un éditeur de texte comme le Bloc-notes de Windows.
- On donne seulement le triangle inférieur de la matrice (incluant la diagonale).
Attention! Assurez-vous d’utiliser des points ou des virgules comme séparateurs des
valeurs décimales en conformité avec les attributs régionaux de votre environnement
Windows. Par exemple:
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 25 9 janvier, 2006

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
covariance corrélation
38.60 ou 1.0
13.63 16.96 .899 1.0
24.62 8.00 27.22 .654 .758 1.0
5.60 4.81 6.27 6.16 .725 .839 .439 1.0
- Certaines analyses exigent que l'on ait en plus les moyennes et les écarts-types de
toutes les variables observées.
Sample Size = Obligatoire - Il faut indiquer la taille de l'échantillon qui a servi à calculer la matrice de corrélation
ou de covariance et ce, même si vous n’utilisez pas les données individuelles.
Exemple: Sample Size = 305
Latent Variables: Obligatoire - Chaque variable latente doit avoir un nom unique dont seuls les huit premiers
caractères seront conservés.
- Une convention suggérée est de mettre seulement la première lettre en majuscule.
Exemples: Desir, Perception, Motivation, Succes
- Une variable latente ne peut pas porter le même nom qu'une variable observée.
Toutefois, il faut se rappeler que MEMOIRE et Memoire sont deux noms différents et
qu’ils peuvent donc coexister dans le même programme.
- Il est possible d'utiliser LISREL pour faire des analyses acheminatoires ne
comportant aucune variable latente; dans ce cas particulier la commande «Latent
Variables» est inutile et doit être éliminée.
Relationships: Obligatoire - Cette commande précise quelle(s) variable(s) dépend(ent) de quelle(s) variable(s).
- Une variable nommée à gauche du signe = correspond à une variable dépendante
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 26 9 janvier, 2006

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
qui sera affectée par la ou les variables nommées à droite du signe =.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- Exemples où deux variables latentes influencent des sous-ensembles différents de
six variables observées:
TEST1 TEST2 TEST3 TEST7 = Qiverbal
TEST4 TEST5 TEST6 TEST7 = Qinonverbal
- Exemple où une variable latente influence deux autres variables latentes:
Qiverbal Qinonverbal = Intelligence
Let the Errors between VarA and VarB
Correlate
Optionnel
- Par défaut, les modèles LISREL assument que tous les termes d'erreurs sont
indépendants les uns des autres (non corrélés).
- Il est possible de libérer certains de ces paramètres et de les faire estimer par
LISREL. Une telle procédure doit s'appuyer sur des justifications théoriques solides
et ne doit pas être utilisée simplement pour augmenter l'adéquation entre le modèle
et les données analysées.
Set the Covariance of Ksi1 - Ksi3 to 0.0
or
Set the Correlation of Ksi1 - Ksi3 to 0.0
Optionnel
- Par défaut, les variables latentes exogènes (Ksi) sont intercorrélées.
- Si notre modèle postule que la corrélation (ou la covariance) entre certaines
variables Ksi est inexistante, il est possible de fixer ce(s) paramètre(s) à 0.0
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 27 9 janvier, 2006

[Number of Decimals = 3] Optionnel - Le nombre de décimales est 2 par défaut.
- Il est possible d'exiger plus de précision.
[Path Diagram] Optionnel Cette commande permet d'obtenir un diagramme du modèle. Lorsque le diagramme
est à l'écran il est possible d'ajouter (ou d'éliminer) des liens entre les variables et de
réestimer le modèle. Un diagramme peut également être sauvegardé (*.pth) et
réutilisé plus tard pour démarrer une analyse. Il est aussi possible, à partir d'un
diagramme de modèle de faire générer le code LISREL ou le code SIMPLIS
correspondant.
[Print Residuals] Optionnel - LISREL présente les valeurs résiduelles de façon succincte.
- Cette commande provoquera l'impression de toutes les valeurs résiduelles; la sortie
imprimée devient TRÈS volumineuse, mais permet d'examiner avec minutie les
sections du modèle qui ne sont pas adéquates.
[Lisrel output] Optionnel - Cette commande permet de produire l'output selon le format LISREL plutôt que le
format SIMPLIS. Dans certaines circonstances on choisira ce format car quelques
statistiques (comme les estimés des effets directs et indirects) ne sont pas
disponibles dans le format SIMPLIS par défaut.
[End of Problem] Optionnel - Bien que cette dernière commande soit optionnelle, son usage est fortement
recommandé.
- La commande devient obligatoire si nous désirons placer plusieurs programmes
SIMPLIS, les uns à la suite des autres, dans un même fichier. Ce sera le cas dans
les analyses multi-groupes.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 28 9 janvier, 2006

Les estimés des paramètres en format SIMPLIS
Par défaut LISREL utilise la méthode du « Maximum Likelihood » (ML) pour
estimer les différents paramètres d'un modèle. Bien qu'il existe six autres méthodes
d'estimation disponibles, la méthode ML est de loin la plus populaire et la plus
fréquemment utilisée. Il s'agit d'une procédure itérative qui permet d'estimer
simultanément tous les paramètres d'un modèle en tenant compte de l'ensemble des
équations définissant le modèle. Sommairement, on peut décrire la procédure comme
suit: Une méthode d'estimation rapide « Two-Stage Least Squares » (TSLS) est
d'abord utilisée pour déterminer des valeurs de départ pour chacun des paramètres à
estimer et la matrice des valeurs résiduelles est alors calculée en comparant la matrice
de variance/covariance impliquée et la matrice de données initiales. Le programme
calcule alors un nouvel ensemble amélioré de valeurs pour chacun des paramètres et
évalue à nouveau la matrice résiduelle... Ce processus se poursuit de façon itérative
jusqu'à ce qu'il y ait convergence vers la solution optimale. Au terme de ce processus,
on est assuré qu'aucun ajustement des paramètres ne pourrait donner une meilleure
approximation de la matrice de variance/covariance initiale.
La sortie de résultats en format SIMPLIS donne sous forme d'équations
l'ensemble des paramètres du modèle de mesure. Ainsi, pour chaque variable
indicatrice (ou observée) une équation donne les pondérations associées aux variables
latentes ayant une influence sur cette variable observée. En fait, la sortie imprimée
fournit trois informations particulières: a) l'estimé non-standardisé du paramètre, b)
l'erreur de mesure du paramètre et c) la valeur t permettant de vérifier la signification
du paramètre, à savoir s'il est différent de zéro.
Ainsi, l'encadré suivant présente un extrait de la sortie de résultats pour le
programme Nine Psychological Variables (ex5A.spl). On peut voir que la variable
manifeste « VIS PERC » est influencée selon une pondération de .672 fois la variable
latente « Visual. » Ce coefficient s'interprète de la façon habituelle; il correspond au
changement dans la variable dépendante (ici VIS PERC) produit par un changement
d'une unité dans la variable latente Visual lorsque toutes les autres variables de
l'équation sont contrôlées. En divisant le paramètre .672 par son erreur de mesure
0.0910, on obtient la valeur t permettant de tester l'hypothèse que le paramètre est
différent de zéro; les valeurs t plus grande que 1.96 sont significatives à p

Faites l'exercice d'examiner la deuxième équation dans l'encadré. Que pouvezvous
dire de l'influence des variables latentes Visual, Verbal et Speed sur la mesure
observée des CUBES Quel est le pourcentage de variance expliquée pour la variable
CUBES
LISREL Estimates (Maximum Likelihood)
LISREL Estimates (Maximum Likelihood)
Measurement Equations
VIS PERC = 0.672*Visual, Errorvar.= 0.548 , R² = 0.452
(0.0910) (0.0971)
7.388 5.645
CUBES = 0.513*Visual, Errorvar.= 0.737 , R² = 0.263
(0.0924) (0.101)
5.551 7.300
LOZENGES = 0.684*Visual, Errorvar.= 0.532 , R² = 0.468
(0.0910) (0.0974)
7.516 5.461
PAR COMP = 0.867*Verbal, Errorvar.= 0.248 , R² = 0.752
(0.0702) (0.0515)
12.348 4.819
SEN COMP = 0.830*Verbal, Errorvar.= 0.311 , R² = 0.689
(0.0715) (0.0537)
11.608 5.787
WORDMEAN = 0.826*Verbal, Errorvar.= 0.318 , R² = 0.682
(0.0716) (0.0541)
11.525 5.882
ADDITION = 0.660*Speed, Errorvar.= 0.564 , R² = 0.436
(0.0853) (0.0874)
7.742 6.458
COUNTDOT = 0.801*Speed, Errorvar.= 0.359 , R² = 0.641
(0.0846) (0.0896)
9.464 4.006
S-C CAPS = 0.677*Speed, Errorvar.= 0.542 , R² = 0.458
(0.0851) (0.0869)
7.949 6.235
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 30 9 janvier, 2006

Remarquez maintenant comment les différents paramètres reproduits dans
l’encadré ci-haut se retrouvent également dans le graphique représentant le modèle mis
à l’épreuve. On y voit clairement a) les variances d’erreur de chaque variable
manifeste, c'est-à-dire la proportion de variance qui n’est pas expliquée par l’influence
des facteurs communs, b) les coefficients de régression représentant l’influence des
variables latentes sur leurs variables manifestes respectives et c) la variance de
chacune des trois variables latentes puisqu’il s’agit ici de variables standardisées
possédant chacune une unité de variance.
Les indices d'ajustement dans les sorties de résultats en format SIMPLIS
LISREL fournit un nombre impressionnant d'indices permettant d'évaluer le niveau
d'ajustement d'un modèle. D'ailleurs il est reconnu que la qualité d'un modèle ne peut
pas se décider sur la base d'un indice unique. En situation de recherche « réelle » il n'est
pas rare d'être confronté à des indices contradictoires, les uns tendant à invalider le
modèle, les autres suggérant au contraire que le modèle est acceptable. Dans un tel cas,
il est d'autant plus important d'appuyer notre conclusion sur plusieurs indices
convergents. Voici quelques commentaires sur les indices d’ajustement, dans l’ordre où
ils sont produits dans une analyse typique :
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 31 9 janvier, 2006

Goodness of Fit Statistics
Degrees of Freedom = 24
Minimum Fit Function Chi-Square = 52.626 (P = 0.000648)
d l = ½ k(k + 1) - t
où k = nombre de variables observées et
t = nombre de paramètres estimés
Indice le plus connu testant l'hypothèse nulle voulant que le modèle
rende compte parfaitement des données. Un χ 2 significatif indique
qu’il y a des écarts significatifs entre les prédictions du modèle et les
données observées.
Un problème avec ce premier indice, c'est que la taille des
échantillons est telle que souvent des différences significatives
seront détectées par le χ 2 , alors que ces différences ne sont pas
« théoriquement » de grande importance. Il est donc possible de
conserver un modèle même en présence d'un χ 2 significatif.
Normal Theory Weighted Least Squares
Chi-Square = 49.966 (P = 0.00143)
Estimated Non-centrality Parameter (NCP) = 25.966
90 Percent Confidence Interval for NCP = (9.461 ;
50.223)
Population Discrepancy Function Value (F 0 ) = 0.180
Même interprétation que le χ 2 précédent.
Correspond au χ 2 précédent moins (-) le nombre de degrés de
liberté. Plus cette valeur est grande, plus il y a divergence entre le
modèle et les données.
Intervalle de confiance à 90% de l'indice NCP.
Contrairement au χ 2 , cet indice ne pose pas comme postulat que le
modèle tienne parfaitement dans la population. Aussi, puisque F 0
décroît généralement à mesure que des paramètres sont ajoutés au
modèle, il est recommandé de tenir compte du nombre de dl.
90 Percent Confidence Interval for F 0 = (0.0657 ; 0.349) Intervalle de confiance à 90% de l'indice F 0 .
Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) = 0.0867 S'obtient en prenant la racine carrée de F 0 / dl. Cet indice évalue
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 32 9 janvier, 2006

lui aussi l'adéquation entre la matrice reproduite et la matrice
observée tout en tenant compte la complexité du modèle (en
divisant par le nombre de degrés de liberté).
< 0.05 l'ajustement est bon; entre 0.05 et 0.08 il est raisonnable;
entre 0.08 et 0.10 il est médiocre; et > 0.10 il est inacceptable.
90 Percent Confidence Interval for RMSEA = (0.0523 ;
0.121)
P-Value for Test of Close Fit (RMSEA S 0.05) = 0.0409
Intervalle de confiance à 90% de l'indice RMSEA.
Teste l'hypothèse nulle que RMSEA est

sensible aux écarts à la normalité et n'est pas très stable si n < 200.
Model AIC = 91.966
Saturated AIC = 90.000
Independence CAIC = 711.249
Model CAIC = 175.477
Saturated CAIC = 268.953
AIC dans le modèle mis à l'épreuve.
AIC dans le modèle saturé.
Consistent version of AIC. Le CAIC tient compte de la taille de
l'échantillon, mais il s'interprète de la même façon que le AIC.
Une plus petite valeur sur ce critère correspond à un meilleur
modèle.
CAIC dans le modèle mis à l'épreuve.
CAIC dans le modèle saturé.
Normed Fit Index (NFI) = 0.920 Voir plus loin le BBI (« Bentler & Bonett normed fit index »)
Non-Normed Fit Index (NNFI) = 0.931
Le NNFI appartient à la famille des indices relatifs d'ajustement qui
permettent de vérifier si un modèle produit un meilleur ajustement
qu'un modèle de comparaison (généralement le modèle nul).
Exceptionnellement le NNFI peut prendre une valeur > 1.
Parsimony Normed Fit Index (PNFI) = 0.613
Comparative Fit Index (CFI) = 0.954
Incremental Fit Index (IFI) = 0.955
Relative Fit Index (RFI) = 0.880
Root Mean Square Residual (RMR) = 0.0755
Le PNFI produit généralement des valeurs plus faibles que le NNFI.
Diamantopoulos et Siguaw mentionnent que le CFI et le NNFI
devraient être privilégiés comme indices relatifs d'ajustement.
Correspond à la moyenne des résiduels entre les covariances observées et
les covariances impliquées par le modèle. Dans le cas des matrices de
corrélation l'indice RMR devrait être < 0.05. Pour les matrices de
covariance, il faut adapter cette règle en l’appliquant au RMR
standardisé car la taille du RMR brut est alors influencée par la métrique
des mesures.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 34 9 janvier, 2006

Standardized RMR = 0.0755
Goodness of Fit Index (GFI) = 0.928
Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI) = 0.866
Parsimony Goodness of Fit Index (PGFI) = 0.495
Correspond à la moyenne des résiduels standardisés. Un score
résiduel individuel dépassant 2.58 en valeur absolue est considéré
important. Une valeur moyenne se situant en bas de 0.05 indique un
ajustement acceptable.
Le GFI est un indice absolu d'ajustement qui ne requiert pas de
comparaison entre plusieurs modèles. Le GFI indique la proportion de
variance/covariance reproduite par le modèle. Cet indice doit être >
0.90 pour qu'un modèle soit jugé acceptable.
Le AGFI correspond au GFI, mais avec un ajustement pour le nombre
de degrés de liberté du modèle.
Quant au PGFI , il propose un autre type d'ajustement tenant en
compte la complexité du modèle. Cet indice est souvent beaucoup
plus faible que le GFI. Certains modèles sont même acceptés avec des
PGFI dans l'ordre de 0.5.
Devant cette liste impressionnante d'indices disponibles, Diamantopoulos et Siguaw
(2000) suggèrent qu'une décision éclairée devrait pouvoir être prise concernant la qualité
d'ajustement d'un modèle en s'appuyant sur le χ 2 de même que sur les indices suivants:
RMSEA, ECVI, RMR standardisés, GFI et CFI. Plus récemment, Kline (2005) va exactement
dans le même sens et recommande les quatre indices suivants : a) le χ 2 du modèle
« minimum fit function chi-square », b) le RMSEA, en incluant son intervalle de confiance à
90%, c) le CFI et d) le RMR standardisé.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 35 9 janvier, 2006

Évaluation de la qualité des modèles
En plus de tenir compte des indices dont il vient d’être fait mention, le chercheur averti
devrait être à l’affût de toutes indications susceptibles de révéler l’inadéquacité d’un
modèle. Voici quelques points importants à considérer :
• L'ordre de grandeur des paramètres estimés
Il est clair que si l'un ou l'autre des paramètres estimés par LISREL se situe
en en dehors des valeurs raisonnables, ceci est déjà une indication formelle
que le modèle n'est pas adéquat.
Les cas les plus évidents sont:
- des variances négatives
- des corrélations > 1.00
- des matrices de corrélation ou de covariance singulières « non positive
definite »
D'autres problèmes moins évidents peuvent être décelés par les points
suivants:
- taille excessive ( > 5.00) des erreurs standards des paramètres estimés
- fortes corrélations entre paramètres estimés
• Adéquation du modèle de mesure
La qualité du modèle de mesure peut être évaluée en tenant compte de sa
capacité à rendre compte de la variation au niveau des mesures observées:
- Vérifier les R 2 pour chaque variable observée. Ces valeurs sont des
indices de fidélité de chaque variable observée en tant que mesure de sa
variable latente. Ces valeurs doivent être positives et tendre vers 1.0.
• Indices subjectifs d'ajustement du modèle global.
En tenant compte des problèmes soulevés précédemment avec
l'interprétation des χ 2 , plusieurs auteurs ont proposé de nouveaux indices
plus subjectifs:
- « rapport Χ 2 / dl » : Ce rapport ne devrait pas excéder 2.00 (bien que
certains auteurs acceptent jusqu'à 5.00)
- BBI (« Bentler & Bonett normed fit index ») : Cet indice compare
l'ajustement obtenu à l'aide d'un modèle théorique donné en l'opposant à
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 36 9 janvier, 2006

l'ajustement obtenu par un modèle dit « de comparaison » (connu souvent
sous l'appellation « modèle nul »). Un indice supérieur à .90 est acceptable.
Le Χ 2 du modèle nul apparaît sous le nom « Chi-square for independence
model».
Le calcul du BBI n'était pas directement disponible dans les versions
précédentes de LISREL. Il fallait le calculer à la main en comparant les Χ 2
obtenus dans le modèle nul (F 0 ) et le modèle qui nous intéressait (F 1 ):
BBI = (F 0 - F 1 ) / F 0
Cet indice est maintenant disponible directement dans les résultats produits
par LISREL, sous le nom de « Normed fit index NFI »
• Indices d'ajustement des paramètres individuels.
Pour chacun des paramètres évalués par LISREL (ceux dits "libres"), il est
possible d'obtenir une valeur t indiquant si le paramètre est
significativement différent de zéro. En général les valeurs > 2.00 sont
considérées significatives. Cependant une grande controverse existe sur
l'utilisation de ces statistiques lorsque des matrices de corrélation sont
analysées. Les valeurs t risquent de ne pas être exactes lorsque l’analyse
porte sur des matrices de corrélation.
• Indices de modification.
Enfin, pour chacun des paramètres "fixes" LISREL fournit un indice de
modification (MI) correspondant à la "baisse attendue du 02 si ce paramètre
spécifique était libéré". Ces indices de modification peuvent donc être utiles
pour localiser des paramètres possiblement mal spécifiés dans notre
modèle...
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 37 9 janvier, 2006

Références
Aiken, L. S., West, S. G., Sechrest, L., & Reno, R. (1990). Graduate training in
statistics, methodology, and measurement in psychology: A survey of Ph.D.
programs in North America. American Psychologist, 45, 721-734.
Bagozzi, R.P., & Heatherton, T.F. (1994). A general approach to representing
multifaceted personality constructs : Application to state self-esteem. Structural
Equation Modeling, 1(1), 35
Diamantopoulos, A., & Siguaw, J. A. (2000). Introducing LISREL. Thousand Oaks, CA :
Sage.
Hertzog, C., Hultsch, D. F., & Dixon, R. A. (1989). Evidence for the convergent validity
of two self-report metamemory questionnaires. Developmental Psychology, 25,
687-700.
Kline, R. B. (2005). Principles and practice of structural equation modeling (2 e éd). New
York: Guilford Press.
Maslach, C., & Jackson, S. (1986). Maslach Burnout Inventory manual (2 e éd.). Palo
Alto, CA: Consulting Psychologists Press.
Miyake, A., Friedman, N. P., Emerson, M. J., Witzki, A. H., & Howerter, A. (2000). The
unity and diversity of executive functions and their contributions to complex “frontal
lobe” tasks: A latent variable analysis. Cognitive Psychology, 41, 49-100.
Pedhazur, E. J., & Pedhazur Schmelkin, L. (1991). Measurement, design, and analysis:
an integrated approach. Hillsdale, NJ : LEA.
Yadama, G. N., & Drake, B. (1995). Confirmatory factor analysis of the Maslach
burnout inventory. Social Work Research, 19, 184-192.
_____________________________________________________________________________
© Tous droits réservés, Jacques Baillargeon Page 38 9 janvier, 2006