PSI 2013 - Decitre

54 E3A Physique et Chimie PSI 2013 — Corrigé
Finalement, l’équation de Navier-Stokes se simplifie en
−→ 0 = −
−−→ grad P+ρ
−→ g +η
d 2 −→ v
dz 2
A.4 L’accélération de la pesanteur −→ g se projette sous la forme
−→ g = g sinα
−→ ex −g cosα −→ e z
On peut s’assurer que les signes et les fonctions trigonométriques sont les
bons en regardant les cas limites α = 0 et α = π/2.
La forme du champ des vitesses trouvée à la question A.2 et l’équation obtenue à la
question A.3 permettent d’exprimer les composantes de −−→ grad P comme
⎧
∂P
∂x = ρgsinα+η d2 v
dz
⎪⎨
2
∂P
∂y = 0
⎪⎩ ∂P
∂z = −ρgcosα
A.5 La pression dépend a priori des trois variables d’espace : P = P(x,y,z). Néanmoins,
la nullité de sa dérivée partielle par rapport à y indique que le champ de
pression n’en dépend pas. Par ailleurs, la continuité de la pression en z = h impose
que pour tout x, P(x,h) = P atm . Par ailleurs,
donc
∂P
∂z = −ρgcosα
P(x,z) = −ρgcosαz +P 1 (x)
où P 1 (x) est une fonction à déterminer. Or à l’interface avec l’air la pression dans le
fluide est égale à la pression atmosphérique P atm pour toute valeur de x. Ainsi,
On en déduit
P(x,h) = P atm = −ρg cosαh+P 1 (x)
P 1 (x) = P atm +ρg cosαh
Ainsi le champ de pression dans l’écoulement ne dépend que de z, et
P(z) = P atm +ρgcosα(h−z)
Remarquons que ce résultat n’est autre que la loi de l’hydrostatique formulée
dans le repère tourné de l’angle α. Trois caractéristiques de l’écoulement se
combinent pour donner ce résultat:
• il est stationnaire ;
• aucune différence de pression n’est imposée ;
• sa géométrie impose la nullité du terme d’accélération convective, qui
pourrait ajouter une composante dynamique à la pression.