PSI 2013 - Decitre

Mines Physique 1 PSI 2013 — Corrigé 225
Projetons la relation précédente selon −→ e z , en simplifiant par Sdz, on arrive à
∂ 2 ξ
ρ 0
∂t2(z,t) = −∂P
∂z (z,t)
3 Travaillons sur le terme ∂P/∂z en faisant apparaître le coefficient de compressibilité
isentropique du milieu χ s .
χ s = 1 )
∂ρ
= 1 ∂ρ ∂z
ρ∂P
S
ρ∂z
∂P
Utilisons l’expression de ρ trouvée à la question 1 :
(
1+ ∂ξ )
χ s = ∂z ∂ρ ∂z
ρ 0 ∂z ∂P
(
∂P 1+ ∂ξ ) ⎛ ⎞
donc
∂z = ∂z ∂ ⎜
⎝ ρ 0 ⎟
χ s ρ 0 ∂z
1+ ∂ξ ⎠ = − 1 χ s
∂z
(
∂ 2 ξ
∂z 2
1+ ∂ξ )
∂z
En réinjectant dans l’expression obtenue dans la question précédente, on trouve bien
∂ 2 ξ
∂t 2 = 1
χ s ρ 0
∂ 2 ξ
∂z 2
(
1+ ∂ξ
∂z
)
La relation obtenue indique, par son caractère non linéaire, une propagation
dispersive des ondes acoustiques.
4 Négligeons le terme en ∂ξ/∂z devant 1 et dérivons par rapport à t cette équation :
Comme v = ∂ξ/∂t, il vient bien
∂ 3 ξ
∂t 3 = 1 ∂ 3 ξ
χ s ρ 0 ∂t∂z 2
1 ∂ 2 v
c
2 0 ∂t 2 − ∂2 v
∂z 2 = 0 avec c 0 = √ 1
χs ρ 0
La forme générale de la vitesse d’une onde acoustique, pour une propagation
dans le sens des z croissants avec un vecteur d’onde −→ K = K −→ e z , de pulsation Ω et
d’amplitude v 0 , est
v(z,t) = v 0 sin(Ωt−Kz +ϕ)
en notant ϕ la phase à l’origine. Si l’on réinjecte cette expression dans l’équation de
propagation précédente, on trouve, après simplification par v 0 ,
Ω 2
c 0
2 = K2
soit |K| = Ω √ χ s ρ 0