PSI 2013 - Decitre

162 Centrale Physique PSI 2013 — Corrigé
I.A.2.a Pour t < −δt, le solide n’a pas encore été chauffé. Il reste donc dans son
état d’équilibre initial où T(z,t) vaut T 0 pour tout z, soit
δθ(z,t) = 0
I.A.2.b Vérifions que la fonction proposée satisfait effectivement l’équation établie
à la question I.A.1. Le calcul des dérivées partielles de δθ(z,t) conduit à
∂δθ
= − Bδt ( ) ( )
∂t 2t √ t exp − z2
+ Bz2 δt
4Dt 4Dt 2√ t exp − z2
4Dt
∂δθ
∂z = − Bzδt ( )
2Dt √ t exp − z2
4Dt
et
∂ 2 δθ
∂z 2 = − Bδt
2Dt √ t exp (
− z2
4Dt
Étant donné que D = λ/(ρc), δθ vérifie bien l’équation
ρc ∂δθ
∂t
)
+ Bz2 δt
4D 2 t 2√ t exp (
− z2
4Dt
= λ ∂2 δθ
∂z 2
I.A.2.c Entre t 1 et t 2 , le solide reçoit la densité de flux thermique j 0 pendant δt.
Le transfert thermique qu’il reçoit est donc Q = j 0 sδt, et l’application du 1 er principe
conduit à
∆U = Q = j 0 sδt
Il est par ailleurs possible de calculer directement la variation d’énergie interne à
partir du profil de température T(z,t):
∆U = U(t 2 )−U(t 1 )
= sρc
= sρc
∫ ∞
0
∫ ∞
0
= sρc Bδt ∫ ∞
√
t2
(T(z,t 2 )−T(z,t 1 ))dz
δθ(z,t 2 )dz
0
)
exp
(− z2
dz
4Dt 2
= sρc Bδt √ 2 √ ∫ ∞
Dt 2 exp ( −u 2) z
du avec u =
t2 2 √ Dt 2
∆U = sρcBδt √ Dπ
0
)
d’après le formulaire de l’énoncé
Bien que l’expression de δθ(z,t 2 ) dépende de t 2 , l’expression finale de ∆U
n’en dépend pas. On pouvait s’attendre à cela puisque le système ne reçoit
plus d’énergie après t = 0, ce qui implique que son énergie interne reste
constante pour tout t 2 0.
En imposant que les deux expressions obtenues pour ∆U soient égales, on obtient
B =
j 0
ρc √ Dπ