PSI 2013 - Decitre

Centrale Physique et Chimie PSI 2013 — Corrigé 189
I. Vibrations d’une corde de piano
fixée à ses deux extrémités
I.A
Mise en équation du mouvement transversal
d’une corde de piano sans raideur
I.A.1 Une corde sans raideur signifie qu’elle n’offre aucune résistance à la courbure,
la tension de la corde est donc toujours tangente à la corde. Dans ce cadre,
on étudie le mouvement dans le cas de petits mouvements, c’est-à-dire que l’angle
que fait la corde avec l’axe horizontal est très petit devant l’unité.
I.A.2 On s’intéresse à une perturbation y(x,t) qui se propage. Ainsi, par définition
de cette dernière, ∂y/∂x ≪ 1. La longueur ds de l’élément de corde compris entre les
abscisses x et x+dx vaut donc
ds = √ √
( ) 2 ∂y
dx 2 + dy 2 = dx 1+
∂x
Comme ∂y/∂x ≪ 1, en se limitant à l’ordre 1 en ∂y/∂x, on obtient ds ≃ dx. En notantµla
masse linéique de la corde, la massedm de la portion de câble de longueurds
s’écrit
dm = µds ≃ µdx
Le poids étant négligé, l’élément de corde, de longueur ds ≃ dx, de masse dm ≃ µdx,
est soumis à :
• la tension de la portion de fil située à droite du point B, soit −→ T(x+dx,t);
• la tension de la portion de fil située à gauche du point A, soit − −→ T(x,t).
La portion de câble est schématisée comme suit:
B
α(x+dx,t)
−→ T(x+dx,t)
dy
− −→ T(x,t)
A α(x,t)
y(x,t)
x
x+dx
y(x+dx,t)
Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy, le principe fondamental de la dynamique
appliqué à cet élément de corde s’écrit
dm ∂2 y −→ ey
∂t 2 = −→ T(x+dx,t)− −→ T(x,t)
Projetons cette équation sur les axes (Ox) et (Oy):
⎧
⎨ 0 = T x (x+ dx,t)−T x (x,t)
⎩dm ∂2 y
∂t 2 = T y(x+ dx,t)−T y (x,t)