PSI 2013 - Decitre

Formulaire d’analyse vectorielle 285
2 La divergence
Coordonnées
cartésiennes
cylindriques
sphériques
∂F x
∂x
1∂(rF r )
r ∂r
1 ∂(r 2 F r )
r 2 ∂r
+
+
div −→ F
∂F y
∂y
1∂F θ
r ∂θ
+ 1 ∂(F θ sinθ)
rsinθ ∂θ
+
+
∂F z
∂z
∂F z
∂z
+ 1 ∂F ϕ
rsinθ ∂ϕ
3 Le rotationnel
Coordonnées
cartésiennes
cylindriques
sphériques
−→
rot −→ F
( ∂Fz
∂y − ∂F ) (
y −→ex ∂Fx
+
∂z ∂z − ∂F ) (
z −→ey ∂Fy
+
∂x ∂x − ∂F )
x −→ez
∂y
(
1 ∂Fz
r ∂θ − ∂(rF ) (
θ) −→er ∂Fr
+
∂z ∂z − ∂F )
z −→eθ
+ 1 ( ∂(rFθ )
− ∂F )
r −→ez
∂r r ∂r ∂θ
(
1 ∂(Fϕ rsinθ)
r 2 − ∂(rF )
θ) −→er
sinθ ∂θ ∂ϕ
+ 1
rsinθ
( ∂Fr
∂ϕ − ∂(F )
ϕrsinθ) −→eθ
∂r
+ 1 ( ∂(rFθ )
− ∂F )
r −→eϕ
r ∂r ∂θ
4 Le laplacien
Coordonnées
cartésiennes
cylindriques
sphériques
∂ 2 f
∂x 2 +
(
1 ∂
r ∂f )
+
r ∂r ∂r
1
r
∂ 2
∂r 2(rf) + 1
r 2 sinθ
∆f
∂ 2 f
∂y 2 +
1 ∂ 2 f
r 2 ∂θ 2 +
(
sinθ × ∂f )
+
∂θ
∂
∂θ
∂ 2 f
∂z 2
∂ 2 f
∂z 2
1 ∂ 2 f
r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
5 Le laplacien vectoriel
Le laplacien vectoriel est défini par la relation :
∆ −→ F = −−→ grad(div −→ F)− −→ rot( −→ rot −→ F)
Il ne s’exprime simplement qu’en coordonnées cartésiennes :
∆ −→ F(x,y,z,t) = ∆F x
−→ ex +∆F y
−→ ey +∆F z
−→ ez