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uneintersectionnonvideaveclafamilledescodesdenses. 116 sejustieparlefaitque,contrairementauxautressous-familles,toutcodebixe bixedansuncodebixedensemaximal.Lechoixdelafamilledescodesbixes Lebutdelapremieresectionestdemontrercommentonpeutinclureuncode CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX codebixecoupantnonmaximal,deconstruireuncodebixedensemaximaldans lasous-familleestequivalentaêtremaximaldansFcode.Cen'estpluslecasdansla coupantnepeutêtreinclusdansuncodebixecoupantmaximal[BP99]. lafamilledescodesbixesmaisnonmaximaldanslafamilledescodes. connus.Lamethodedecompletionquenousproposonspermet,etantdonneun familledescodesbixesdenses.Cependanttrespeud'exemplesetaientjusqu'alors Deplus,nousavonsvuque,pourlescodescoupantsetudies,êtremaximaldans n'yapasd'equivalenceentrelesdeuxnotionsdemaximalite.Encequiconcerne lescodescirculaires,laquestionrestaitouverte.Nousdonnonsdansladeuxieme developpeepourlesfamillesdescodesprexesetdescodessuxes. sectionunexempledecodecirculairemaximaldansFcircetnonmaximaldans Lorsquelasous-familleconsidereeestcelledescodesbixesdenses,onsaitqu'il Nousmontronsegalementqu'unemethodedecompletionsimilairepeutêtre Fcode,repondantencelaaunequestiondeA.RestivoetA.DeLuca[dLR80]. 7.1Codesprexes,suxesetbixesmaximaux Lemme7.1.1SoitXAetsoituunmotquin'estpasS-comparable(resp. simplierlesdemonstrations: aconsidererdesmotsPouS-comparables.Lelemmesuivantnouspermettrade P-comparable)aveclesmotsdeX.Alors,pourtoutv,v:u(resp.u:v)n'estpas Cettesectiontraitedecodesprexes,suxesetbixes.Nousseronsdoncamenes nonP-comparableaveclesmotsdeX. Preuve.Nousraisonnonspasl'absurde:soitx2Xetsupposonsquev:uestScomparableax.OnaAvu\Ax6=;,d'ouAu\Ax6=;,cequicontreditlefait S-comparable(resp.P-comparable)aveclesmotsdeX. queun'estpascomparableax.Lemêmeraisonnementpermetdeconclurepouru
7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX 7.1.1Codesbixesmaximauxdenses FbifetnonmaximauxdansFcode: En[BP85,p.145],ilestmontrequ'ilexistedescodesbixes,maximauxdans 117 Exemple4.3.1(suite)SoientA=fa;bget estuncodebixe,maximaldansFbif,maisnonmaximaldansFsu(etdoncnon L'ensembleXestsuxemaispasprexe.DeplusXestuncodedensemaximal. maximaldansFcode). X=wabjwjjw2A U=XnXA+ : dansFbif,nonmaximaldansFprefetnonmaximaldansFsu.Ilexistealorsu;v2 dansFbif.Maintenant,supposons,parl'absurde,queXestuncodebixemaximal Remarque7.1.1PourtoutcodebixeX,lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes: AnXtelsqueX[fugsoitprexeetX[fvgsoitsuxe.Ainsi,uv=2XetX[fuvg estprexeetsuxe.Cequicontreditl'hypotheseXestuncodebixemaximaldans (ii)XestmaximaldansFsuoumaximaldansFpref. (i)XestmaximaldansFbif. Enfait,siXestmaximaldansFsu(oudansFpref),ilestclairqu'ilestmaximal l'ensembleobtenuestdoncdense). codemaximaldansFbifmaisnonmaximaldansFcode(enregarddutheoreme4.4.1, tiondel'exempleprecedentand'incluretoutensemblebixe,nonmaximaldansun Nousallonsmontrerletheoremesuivant: Lebutdecettesectionestdemontrerqu'ilestpossibledegeneraliserlaconstruc- Fcode. completionquipermetd'obteniruncodemaximaldansFbifetnonmaximaldans Theoreme7.1.2ToutcodebixenonmaximalpeutêtreinclusdansuncodemaximaldansFbif,nonmaximaldansFcode. Nousallonsdemontrerletheoreme7.1.2endonnantexplicitementlamethodede
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U.F.R.DESSCIENCESETDESTECHNIQUES UN
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40x1g(0)=1g(1)=2 CHAPITRE2.CODESADE
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