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mauxnishormisA,c'estenparticulierlecasdeFcirc[BP85,p.328]: nepeuventêtreinclusdansunelementmaximaldeFddb\Fni. 72Demêmeilexistecertainesfamillesdecodesn'admettantpasd'elementsmaxi- CeresultatsigniequelescodesnisdeFddbquisontdedelaisuperieura0, CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX verronsdanslasectionsuivantequec'estlecaspourlescodescirculairescoupants. del'equivalenceentrelamaximalitedansFcodeetlamaximalitedansFcirc.Nous Propriete1LeseulelementmaximalnideFcircestA. n>1telquean2X[BP85,p.67].Pourpouvoirconclure,ilsutdes'assurer Lemêmeargumentpermetd'etablirlaproprietesuivante: Celatientaufaitque,pourtoutcodemaximalniXettoutelettrea,ilexiste Propriete2LeseulelementmaximalnideFusestA. 4.4Equivalenceentrelesdeuxnotionsdemaximalite parenoncerdeuxremarquesd'ordregeneral. Danscettesection,nousnousinteressonsalaquestionQ2.Nouscommencons Puisqu'uncodecoupantnepeutconteniruncodedense,ilvient: maximaldansFssiXestmaximaldansF\Fdense Propriete3SoientFunefamilledecodesetXuncodedensedeF.LecodeXest Propriete4SoientFunefamilledecodesetXuncodecoupant(resp.rationnel, (resp.F\Frationnel,F\Fni). ni)deF.LecodeXestmaximaldansFssiXestmaximaldansF\Fcoupant Unresultatsimilaireestobtenupourlescodescoupants,rationnelsounis:
4.4.EQUIVALENCEENTRELESDEUXNOTIONSDEMAXIMALITE73 contreditsadenition. deX.Maisalorsonayw=2F(X[fyg).LecodeX[fygestdonccoupant,cequi F.CommeXestuncodecoupant,ilexisteunmotwquin'estpasfacteurdemots dansF.Ilexistealorsy2AtelqueX[fygestuncode(dense)appartenanta F\Fcoupant.SupposonsmaintenantXmaximaldansF\Fcoupantetnonmaximal LemêmeraisonnementpeutêtreappliqueauxcasXmaximaldansF\Frationnel Eneet,ilestclairquesiXestmaximaldansFalorsilestmaximaldans ouF\Fni. reponsesarmativesalaquestionQ2[dLR80,Sch61,BP85,Bru98]: Theoreme4.4.1SoitXuncodecoupantdansFcirc(resp.Fpref,Fsu,Fbif, Fddb,Fus).Lesproprietessuivantessontequivalentes: (i)XestmaximaldansFcode. Danslecasoulecodeestcoupant,letheoremesuivantregroupedierentes puisquetoutcodeuniformementsynchronisantestcoupant[Bru98]. (ii)XestmaximaldansFcirc(resp.Fpref,Fsu,Fbif,Fddb,Fus). IlestanoterquedanslecasdeFus,l'hypothese((Xcoupant))estimplicite suivantessontalorsequivalentes: Theoreme4.4.2SoitXuncodecoupantdansFddbdedelaid.Lesdeuxproprietes theoremepeutêtreformulee[Bru91a]: (i)XestmaximaldansFcode. Danslecasdescodesadelaidedechirageborne,uneversionplusfortedece demêmedelai.Commetoutcodeuniformementsynchronisantadmetunelement Remarque4.4.1Danslecasdudelaidesynchronisation,iln'existepasdeversion decodeniuniformementsynchronisantquin'estinclusdansaucuncodemaximal correspondantedutheoreme4.4.2.Eneetdans[Bru98],ilestdonneunexemple (ii)XestmaximaldansF(d) ddb. motquin'estpasfacteurdesmotsducode[NS01b].Cespreuvesnesegeneralisent Fcode. maximaldanslafamilledescodesdemêmedelai,cederniern'estpasmaximaldans Lesdemonstrationsdesresultatsprecedentsdependenttoutesdel'existenced'un
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U.F.R.DESSCIENCESETDESTECHNIQUES UN
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iv CODESETINTERPRETATIONS
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18y1 CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPR
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maximalitedeUdansFcirc. 138 Lemme7.
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