gd3111 hitung perataan ii

GD3111 HITUNG PERATAAN II
METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil)
Dari sekumpulan pengamatan y diperoleh:
v
=
y
−
i
y i
Dalam bentuk notasi matrik
v
=
y
−
y
Untuk perataan diterapkan syarat
φ
= v t Wv
⇒
minimum
Bentuk umum persamaan syarat
( l + v) + Bx d
A =
pengamatan
Parameter anu
Av + Bx = d − Al =
f
B. SETYADJI - November 2006 1

GD3111 HITUNG PERATAAN II
KASUS-KASUS KHUSUS DARI PERATAAN DENGAN KONDISI SAJA
Perataan Pengamatannya Saja
Parameter tidak dilibatkan, u = 0.
c = r saja.
Matriks B menjadi matriks nol.
Sering digunakan untuk masalah geometri yang sederhana.
Hasil hitungan (langsung) proses kuadrat terkecil adalah multiplikator
Lagrange, k, dan residu, v.
B. SETYADJI - November 2006 2

GD3111 HITUNG PERATAAN II
KASUS-KASUS KHUSUS DARI PERATAAN DENGAN KONDISI SAJA
Perataan Pengamatan Tak-langsung
Mirip dengan bentuk umumnya.
Persamaan kondisi diupayakan hanya mengandung satu pengamatan.
Parameter-parameter dilibatkan, c = n, dan u = n 0 .
Matriks A menjadi matriks identitas.
Persamaan kondisi pengamatan merupakan fungsi dari parameter-parameter.
Hasil hitungan (langsung) proses kuadrat terkecil adalah nilai parameter dan
matriks kofaktornya.
B. SETYADJI - November 2006 3

GD3111 HITUNG PERATAAN II
−
Wv
+
Ak
Bk
METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil)
=
=
0
0
v
=
W
l e
= Al
−1
t
A k
=
QA
t
k
t
AQA k + Bx =
Av + Bx =
f
f
Q =
e
AQA
t
k
=
Q
−1
e
Q k
e
+ Bx = f
( − Bx + f ) = W ( − Bx + f )
e
(
t
) (
t
B W B x = B W f )
e
atau
[ ( ) ]
t t
t
B AQA B x = B (
t
AQA )
[ ] f
−1 −1
e
B. SETYADJI - November 2006 4

Karena tidak ada unsur parameter,
bentuk persamaan syarat linier
menjadi:
⎡− W
⎢
⎢
A
⎢
⎣
0
A
0
B
t
t
⎡− W
⎢
⎣ A
GD3111 HITUNG PERATAAN II
0⎤⎡v⎤
⎡0⎤
⎥
B
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎥
k f
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0⎥
⎦⎢⎣
x⎥⎦
⎢⎣
0⎥⎦
PERATAAN BERSYARAT
(Perataan Pengamatannya Saja)
B = 0
Syarat minimum kuadrat residu
A
0
t
⎤⎡v⎤
⎥⎢
⎥
⎦⎣k⎦
=
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣f
⎦
→
atau
v
k
=
=
Q
= −W
A
Av
−1
e
f
( l + v)
=
=
d
W f
(
t
AQA )
−1
f
−1
t
A k
=
d
− Al
e
=
t
= QA W f
e
f
B. SETYADJI - November 2006 5

GD3111 HITUNG PERATAAN II
MATRIKS KOFAKTOR PERATAAN BERSYARAT
Q
Q
Q
Q
ff
kk
vv
ll ˆˆ
=
=
=
=
=
=
AQA
W Q W
e e e
t
QA WeAQ
t
(
t
I − QA W A)
Q −
Q −
t
QA WeAQ
Q
vv
=
Q
=
e
e
W
e
2
Q
B. SETYADJI - November 2006 6

GD3111 HITUNG PERATAAN II
PERATAAN PARAMETER
(Perataan Pengamatan Tak-langsung)
Satu persamaan hanya
mengandung satu pengamatan:
t
φ = v Wv
=
=
t
( f − Bx) W( f − Bx)
t t t
( f − x B )( Wf − WBx)
t t
t
t
= x B WBx − 2f
WBx + f Wf
v
kuadrat residu
syarat minimum
= l ˆ − l
A = I
∂φ
∂x
=
→
2x
t
atau
t
B WB
(
t
)
t
B WB x = B Wf
lˆ
= l
l
v
+
+
+
v
− 2fWB
+
Bx
=
Bx
=
0
t
( f − Bx)
d
=
−
d
l
=
f
B. SETYADJI - November 2006 7

GD3111 HITUNG PERATAAN II
MATRIKS KOFAKTOR PERATAAN PARAMETER
Q
xx
=
N
Q
ff
−1
t
B WQ
ff
vv
Q
ll
Q
=
Q
ll
Q
= Q
=
−
= Q −
Q
WBN
BN
Q
−1
vv
B
t
=
N
−1
B. SETYADJI - November 2006 8

Av + Bx = d − Al =
GD3111 HITUNG PERATAAN II
f
BENTUK UMUM (KOMBINASI)
vs
PERATAAN BERSYARAT
vs
PERATAAN PARAMETER
B = 0
A = I
Tergantung pada
(kerumitan/kesederhanaan) model
matematis permasalahan yang ingin
diselesaikan,
Ketersediaan alat hitung;
Ukuran (matriks) permasalahan;
Kemampuan memformulasikan
masalah.
B. SETYADJI - November 2006 9