Bahan-GG-2

Bagian KeduaGD2211 IHG 2GEOMETRIELLIPSOIDDosen :Kosasih PrijatnaWedyanto KuntjoroVersi 2006

ELLIPS dan ELLIPSOIDzbbaayxxa22+bz22= 1x2+a2y2+zb22= 1

Menggambar ellips secara grafislingkaranberjari-jari a(sb. panjang)ellipslingkaranberjari-jari b(sb. pendek)

E L L I P S O I DKutub UtaraRotational BiaxialEllipsoidabaekuatorParameter-parameter bentuk dan dimensi ellipsoid :Sumbu pendek : bSumbu panjang : aPegepengan : f = (a-b)/aKosasih Prijatna, 2005

ELLIPS dan ELLIPSOIDF dan F’ masing-masing adalah titik fokus ellips.meridianmeridianQEksentrisitas pertama :e2=a2− ba22Eksentrisitas kedua :e'2=a2− bb22FQ+ F′Q= konstanEllips adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jumlahjarak yang tetap ke kedua titik fokusnya.

Hubungan antar parameter ellipsoidpegepengan eksentrisitas pertama eksentrisitas keduaf=a− bae2=a2− ba22e'2=a2− bb22(1 − ee22)(1 + e′2) = 1e′22e=1−e2e′2= = 2 f − f22f = 1−1−e1+e′22( 1−e ) = 1−2 f + f2

Beberapa Ellipsoid ReferensiThn. Nama a (m) b (m) 1/f1830 Airy 6377563 6356257 299.3251830 Everest 6377276 6356075 300.8021841 Bessel 6377397 6356079 299.1531866 Clarke 6378206 6356584 294.9781907 Helmert 6379200 6356818 298.3001909 Hayford 6378388 6356912 297.0001927 NAD-27 6378206.4 6356912 294.97869821948 Krassovsky 6378245 6356863 298.3001960 WGS-60 6378165.0 6356783.3 298.31966 WGS-66 6378145 6356760 298.251967 GRS-67 6378160.0 6356774.5 298.2471674271972 WGS-72 6378135.0 6356751 298.261980 GRS-80 6378137.0 6356752 298.2572221011984 WGS-84 6378137.0 6356752 298.257223563Kosasih Prijatna, 2005

BENTUK dan UKURAN BUMIPENAMPANG EKUATORIALdari bumi (geoid global).Pada gambar ini, perbedaandengan ellipsoid diperbesarsekitar 10000 kali;a adalah sumbu panjangellipsoid referensi,Sekitar 6378 km.Ref. Vanicek & Krakiwsky, 1986Hasanuddin Z. Abidin, 2001

BENTUK dan UKURAN BUMIPENAMPANG MERIDIAN NOLdari bumi (geoid global).Pada gambar ini, perbedaandengan ellipsoid diperbesarsekitar 10000 kali;a adalah sumbu panjangellipsoid referensi,Sekitar 6357 km.Ref. Vanicek & Krakiwsky, 1986Hasanuddin Z. Abidin, 2001

PusatellipsoidXSISTEM KOORDINAT GEODETIKgreenwichellipsoidZKutubY Qλ Qϕ Qh QQZ QX QParameter sistem koordinat :• Lokasi titik nol sistem koordinat• Orientasi sumbu-sumbu koordinat• Besaran yang digunakan untukmendefinisikan posisi titik padasistem koordinat tersebutYKoordinat kartesian :( XQ,YQ,ZQ)Koordinat geodetik :( ϕ Q , λ Q ,hQ)XQ= (N + hQ)cosϕQcosλQYQ= (N + hQ)cosϕQsinλQ2ZQ= [N( 1−e ) + hQ] sinϕQϕ = lintang geodetikλ = bujur geodetikh = tinggi geodetikN = radius lengkung vertikal utamaHasanuddin Z. Abidin, 1997

meridianLINTANG GEODETIKzx QϕQnormalz Q90 o +ϕϕ = lintang geodetikxx=a cos ϕ12− sin2eϕz=a(1− e1−e22)sin ϕ2sin ϕdzdxo= tan(90 + ϕ)= −cotϕ

LINTANG REDUKSIzQ 1θ = lintang reduksiaQaellipsoidQQ 2 =Q Q12baOθϕQ 2xbx= OQ 2 = acosθz= Q Q = sin θ1 2 abola

LINTANG GEOSENTRIKzQψ = lintang geosentrikraOψxellipsoidbxz= r cosψ= r sinψ2r = x +z2

Hubungan antar LintangBerdasarkan hubungan sebagai berikut :dapat diturunkan :ztan ψ =xtan ψ=1−e2tan θ =(2) 1−e tan ϕtan θ =tan ϕ =1−2e1+e'2tan ϕtan θϕ : lintang geodetikψ : lintang reduksiθ : lintang geosentrik

RADIUS KELENGKUNGANDari kalkulus, kelengkungan sebuah kurva y = f (x) :κ =y′′3[2( ) ] 1+y′2y ′ =dydxy ′′ =d2dxy2• kurva dengan kelengkungan tinggi κ besar• kurva dengan kelengkungan kecil κ kecilRadius kurva di satu titik :R = 1κSoal :Perlihatkan bahwa lingkaran yang berjari-jari Rmempunyai kelengkungan κ = 1/R !

Irisan Normal pada EllipsoidBidang normal adalah sebuah bidang yang berimpit dengan garisnormal ellipsoid di satu titik dan memotong permukaan ellipsoid.ellipsoidirisannormalPgaris normalIrisan normal adalah kurva yangdibentuk oleh perpotongan antarabidang normal dengan permukaanellipsoid.Umumnya, radius kelengkunganirisan normal di satu titik padapermukaan ellipsoid tidak sama,tergantung orientasi dari bidangnormalnya.Radius kelengkungan irisan normal di setiap titik pada permukaanbola adalah sama, tak tergantung dari orientasi bidang normalnya.

Irisan Normal pada EllipsoidUntuk mengetahui kelengkungan kurva irisan normal berdasarkan formulakalkulus, perlu diketahui terlebih dahulu model fungsi kurva tersebut.Fungsi kurva di setiap titik di permukaan ellipsoid dan di setiap orientasiadalah berbeda-beda.Untuk menentukan kelengkungan kurva di setiap titik dan pada berbagaiorientasi dengan menggunakan formula kalkulus, terlebih dahulu fungsikurva irisan normalnya harus diketahui tidak praktis !Pada setiap titik ada nilai kelengkungan kurva minimum dan maksimum.Kelengkungan maksimum pada meridianRadius kelengkungan minimumKelengkungan minimum pada bidang normal yang tegak lurusterhadap meridian (vertikal utama)Radius kelengkungan maksimum

Irisan Normal pada EllipsoidRadius lengkung meridian (M) : Minimum di ekuatorMaksimum di kutubRadius lengkung vertikal utama (N) : Minimum di ekuatorMaksimum di kutubRadius kelengkungan kurva irisan normal yang orientasinya diantara arah meridian dan irisan vertikal utama dapat ditentukanmelalui formula Euler sebagai berikut :R=2MNM sin α + N cos2αα = asimut

Radius Lengkung Meridianϕ−= cotdxdz12222sin1sin1−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ϕϕ=ϕϕ=ddxdxddxzd( ))(1sinsin123232222eaedxzd−ϕϕ−−=ellipsoid222321dxzddxdzM⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=( )( ) 23222sin11ϕ−−=eeaM

ellipsoidellipsoidRadius Lengkung Vertikal UtamaxMenurut teorema Meusnier :(o) 90 − ϕ = ϕx = N sin N cosN=a1( 1−2 sin2 ϕ ) e2

Perbandingan antara M dengan NxPada umumnya :N > MellipsoidKecuali di kutub :N = M

Perbandingan antara M dengan NDi ekuator (ϕ = 0 o ) :(2) −M0 = a 1 eN = a 0Di kutub (ϕ = 90 o atau ϕ = -90 o ) :MN90 =90 =2ab2abM 90 > M 0 dan N 90 > N0Soal :Hitung besaran-besaran di atas dengan menggunakanellipsoid Bessel, GRS67, dan WGS84 !

Radius−radius lainnyaRadius rata-rata Gauss :2π1R G = ∫ R dα=2π0NMR : radius Euler α : asimutRadius rata-rata sumbu ellipsoid :a + a + bR m =3Radius bola (luas bola = luas ellipsoid) :⎛ 2L e 17 4 67 6⎞ luas bola : 4πR ⎜⎟LR L = = a 1−− e − e −........4π⎝6 360 3024⎠ L : luas ellipsoidRadius bola (volume bola = volume ellipsoid) :3 a2 b3RV = Volume bola : πR V Volume ellipsoid :434 π3a 2b2

Panjang Busur MeridianKUϕ +dϕdS ϕϕpanjang busur dS ϕ :dSϕ= M dϕmeridianOMdϕMpanjang busur S ϕ :ϕSϕ=dengan∫ϕ2M dϕ = a1−ϕ2 )( 1 e ∫Wϕ21dϕBentuk integral eliptik !33 2 2= ⎛ 1−e sin ϕ⎞⎟ ⎠W⎜⎝3Integral di atas tidak dapat langsung diintegrasikan secara elementer.Salah satu solusinya adalah dengan terlebih dahulu menguraikan W -3dengan menggunakan deret MacLaurin.

Panjang Busur MeridianDeret Taylor :f ( x)23))= f ( x ) + ( − ) ′() +o ′′() +oo x xof xof xof ′′′ ( xo( x − x2!( x − x3!) + .........Deret MacLaurin adalah bentuk khusus dari Deret Taylor, yaituuntuk x o = 0 :2x xf ( x)= f (0) + x f ′(0)+ f ′′(0)+ f ′′′ (0) + .........2! 3!3Contoh :Uraian deret MacLaurin untuk f(x) = sin(x)sin( x )=x−3x3!+5x5!−7x7!+9x9!− ..........(x dalam radian)Soal : Uraikan W -3 dengan menggunakan deret MacLaurin !

Panjang Busur MeridianMultiple angle formulas :1 1sin 2 x = − cos 2x2 23 1sin 3 x = sin x − sin 3x4 43 1 1sin 4 x = − cos 2x+ cos 4x8 2 85 5 1sin 5 x = sin x − sin 3x+ sin 5x8 16 165 15 3 1sin 6 x = − cos 2x+ cos 4x− cos 6x16 32 16 32Soal : Tentukan pula7sinx8sinx9sin x ……. !

Panjang Busur MeridianApabila W -3 diuraikan dengan deret MacLaurin, diperoleh :W3 2 2 15 4 4 35 6 6 315= 1+e sin ϕ + e sin ϕ + e sin ϕ + e28 16 1281 8 8sin3ϕ + ...........Untuk mempermudah integrasi, gunakan multiple angle formulas :1W3= A − B cos 2ϕ + C cos 4ϕ − D cos 6ϕ + E cos8ϕ − Fcos10ϕ + .............Sehingga panjang busur meridian antara ϕ 1 dan ϕ 2 adalah :Sϕ = ( 1−2 Ba e ( ϕ − ϕ ) − ( sin 2ϕ− sin 2ϕ) +C2 12 1 (sin 4ϕ2− sin 4ϕ1)D−6⎡)⎢A⎣2E8( sin 6ϕ− sin 6ϕ) + ( sin 8ϕ− sin 8ϕ) − ( sin10ϕ− sin10ϕ) ] ......2 12 12 1 +4F10

Panjang Busur MeridianA3 2 45 4 175 6 11025 8 43659= 1+e + e + e + e + e4 64 256 16384 6553610+ ..........B2 15 4 525 6 2205 8 72765= e + e + e + e + e4 16 512 2048 655363 10+ ...........CD4 105 6 2205 8 10395= e + e + e + e64 256 2048 1638415 106 315 8 31185= e + e + e512 2048 13107235 10+ ............+ ............E315 8 3465= e + e1016384 65536+ ............F693 = e10 +131072............

meridianparalelPanjang Busur Paralellingkaran paralelKUλ 2λ 1ppSλϕONKUλ 2 −λ 1pRadius lingkaran paralel :p= N cosϕPanjang busur paralel :Sλ=( λ − λ ) p = ( λ − λ ) cosϕ2 1 2 1 N(λ 2 −λ 1 ) dalam radian

Luas elemen permukaanparalelM dϕdLN cosϕ dλϕ∫ϕ21Luas Permukaan EllipsoidmeridianMN cosϕdϕ =L =2b2λ∫∫λ21ϕϕ21⎡ sin ϕ⎢ 2⎣1− e sinLuas setengah permukaan ellipsoid (L0oo−90= πb2⎡ 1⎢ ⎣ 1−e2dL = MN cosϕdϕdλϕ22 MN cosϕdϕ( λ − λ )∫MN cosϕdϕdλ = 121 1++ lnϕ 2e1−1 1+e⎤+ ln2e1−e⎥⎦λ − λ = 2πesinϕ⎤⎥esinϕ⎦2 1 1 = 0Luas seluruh permukaan ellipsoid : L ellipsoidϕϕ21ϕ 2 = π 2= 2 L1ϕ ) :0o−90oϕ

∆ ′zIRISAN NORMALUmumnya, irisan normal dari arah P 1 ke P 2tidak berimpit dengan irisan normal dariarah kebalikannya (P 2 ke P 1 ).Bidang normal di P 1 : P 1 –n 1 –P 2Bidang normal di P 2 : P 2 –n 2 –P 1zn=ae2sin ϕp(2 2)1/ 21−e sin ϕpBila kedua titik tidak terletak pada bujur dan lintang yang sama, maka :z ϕ1 p 2

IRISAN NORMALSudut perbedaan antara dua bidang normal (direct & inverse) dapatdihitung melalui persamaan sebagai berikut :∆ ′=⎛ρ ′⎜ e⎝ 41 2 2 2σcosϕmsin 2αp1p2⎞⎟⎠ϕm=ϕ+ ϕp 1 p 22σ =2×jarakN p + N p12Contoh :oKondisi maksimum ( ϕm = 0 dan α p = 45 )1p, jarak 200 km :2Co∆ ′=0 .36′Arah pengukuran sudut-sudut segitiga maupunasimut di permukaan ellipsoid dari dua arahyang berbeda akan tidak konsisten ! Kenapa ?ABPada praktisnya (poligon dsb), keadaan tersebutdapat diabaikan.

Geodesik atau Garis GeodetikGeodesik adalah garis hubung terpendekantara dua titik di permukaan ellipsoid.Di setiap titik sepanjang geodesik, arahvektor radius berimpit dengan arahnormal ellipsoid.Perbedaan antara jarak sepanjangirisan normal dengan jarak sepanjanggeodesik (∆s) dapat dihitung melalui :∆s=4aesin36022α12cos4ϕmσ5Untuk jarak = 600 km, ∆s adalah sekitar 9x10 -6 meter.(dalam praktis dapat diabaikan !)