Teori Distribusi Sampling

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Teori Distribusi SamplingDari suatu populasi X, dapat dilakukan sejumlah sampling yangmenghasilkan himpunan sampel dengan ukuran yang berbeda. Setiaphimpunan sampel tersebut akan menghasilkan estimasi nilai menengahsampel ¯x dan variansi sampel S 2 yang berbeda.Estimator adalah fungsi-fungsi yang digunakan untuk menghitung nilaiestimasi-estimasi tersebut. Contohnya:P ni=1x i¯x =n(= nilai menengah sampel) adalah estimator untukmengestimasi nilai menengah populasi, danP ni=1(¯x−x i ) 2S 2 =n−1(= variansi sampel) adalah estimator untukmengestimasi nilai variansi populasi.– Typeset by FoilTEX – 1

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Keandalan (reliability) estimasi nilai menengah dan variansi diuji denganmemanfaatkan tiga macam distribusi untuk menyatakan seberapa baik hasilestimasi tersebut yang dinyatakan dalam tingkat kepercayaan (level ofconfidence). Selang/interval/range yang dikenal sebagai selang kepercayaandapat ditentukan untuk “menduga” kemungkinan lokasi nilai menengah danvariansi akan muncul untuk tingkat probabilitas tertentu.– Typeset by FoilTEX – 2

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Distribusi yang Digunakan dalam Teori Sampling1. Distribusi χ 2 , membandingkan hubungan antara variansi populasi (σ 2 )dengan variansi sampel (S 2 ), berdasar pada banyaknya ukuran lebih (u).χ 2 = u S2σ 2Contoh mencari nilai χ 2 pada tabel, misalnya untuk nilai χ 2 yangberhubungan dengan 1% (α = 0.010) dari area di bawah kurva yangmemiliki derajat kebebasan (u) 10 maka potongkanlah baris u = 10dengan kolom α = 0.010 dan diperoleh nilai chi 2 = 23.21Distribusi χ 2 ini digunakan untuk menentukan selang/range dimanavariansi populasi diharapkan (expected) muncul berdasar pada(a) probabilitas prosentase tertentu,– Typeset by FoilTEX – 3

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007(b) variansi sampel, dan(c) derajat kebebasan sampel.Aplikasi: Selang kepercayaan dan uji hipotesa untuk variansi populasi2. Distribusi t (student).Distribusi ini digunakan untuk membandingkan nilai menengah populasi(µ) dengan nilai menengah sampel (¯x) berdasarkan ukuran lebih sampel(u). Terutama digunakan untuk ukuran sampel yang < 30 buah.Estimator:t =z√χ2 /uAplikasi: Selang kepercayaan untuk nilai menengah dan uji hipotesamengenai nilai menengah populasi.– Typeset by FoilTEX – 4

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 20073. Distribusi F .Digunakan untuk membandingkan dan menghitung variansi dari duahimpunan sampel.Estimator:F = χ2 1/u 1χ 2 2 /u 2Aplikasi: Menghitung interval dan uji hipotesa untuk rasio dua variansipopulasi.– Typeset by FoilTEX – 5

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Selang Kepercayaan untuk Nilai Menengah (Mean):Statistik tEstimator:t =z√χ2 /u = ¯x − µS/ √ nPernyataan probabilitas:P (|z| < t) = 1 − αP(∣ ) ∣∣∣ ȳ − µS/ √ n∣ < t = 1 − α– Typeset by FoilTEX – 6

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007P(ȳ − t α/2 ·S√ n< µ < ȳ + t α/2 ·S√ n)= 1 − αSehingga selang/interval kemungkinan kesalahan (probable error)sebesar (1 − α) untuk nilai menengah dihitung denganȳ − t α/2 ·S√ n< µ < ȳ + t α/2 ·S√ nContoh: Diukur ke satu jurusan tertentu sebanyak 16 kali yangmenghasilkan nilai menengah sampel ¯x = 25.4 ′′ dengan simpangan bakuS = ±1.3 ′′ . Tentukan selang kepercayaan 95% untuk nilai menengahpopulasi (µ).Penyelesaian:– Typeset by FoilTEX – 7

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007• Tingkat kepercayaan (1 − α) = .95 maka α = 0.05.• u = 15, cari nilai t α/2 pada tabel distribusi t.• Hitung selang kepercayaan 95%ȳ − t 0.025 ·S√ n< µ < ȳ + t 0.025 ·S√ n25.4 − 2.131 ·1.3√16< µ < ¯25.4 + 2.131 ·1.3√1624.7 < µ < 26.1– Typeset by FoilTEX – 8

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007• Jadi probabilitas 95% untuk nilai µ ada dalam selang/range¯x ± t 0.025S √n atau25.4 ± 2.131 1.3 √16= 25.4 ± 0.7– Typeset by FoilTEX – 9

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Selang Kepercayaan untuk Variansi Populasi, σ 2Distribusi yang digunakan adalah distribusi χ 2 .Tabel untuk ekor bagian atas (upper tail) menggambarkan kondisiP(χ 2 > χ 2 α) = αuntuk ukuran lebih u.Karena distribusi tidak simetris, untuk mendapatkan nilai ekor bagianbawah (lower tail) digunakanP(χ 2 > χ 2 1−α) = 1 − α– Typeset by FoilTEX – 10

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007yang selanjutnya akan dipakai untuk membentuk pernyataan/statementP(χ 2 1−α/2 < χ2 < χ 2 α/2 ) = 1 − αSubstitusi estimator χ 2 ke persamaan tersebut menghasilkanP)(χ 2 1−α/2 < uS2σ 2 < χ2 α/2= P( )χ21−α/2uS 2 < 1 σ 2 < χ2 α/2uS 2(uS 2Pχ 2 1−α/2)< σ 2 < uS2χ 2 α/2= 1 − α– Typeset by FoilTEX – 11

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Jadi, selang kepercayaan (1 − α)100% untuk variansi populasi adalahuS 2χ 2 1−α/2< σ 2 < uS2χ 2 α/2Contoh: Suatu hasil pengamatan sudut dengan theodolite 1” di-estimasidengan 20 buah pengamatan. Diperoleh standar deviasi sampel S 2 = ±1.8 ′′ .Berapakah selang kepercayaan 95% untuk σ 2 .Penyelesaian:• 1 − α = 0.95 → α = 0.05 → α/2 = 0.025• Cari nilai χ 2 0.025 dan χ 2 0.975 dengan u = 20 − 1 = 19.• Diperoleh nilai 8.91 dan 32.85.– Typeset by FoilTEX – 12

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007• Selang kepercayaan(20 − 1)1.8 232.85< σ 2

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Selang Kepercayaan untuk Perbandingan Dua VariansiPopulasiEstimator:F = χ2 1/u 1χ 2 2 /u 2Substitusikan estimator χ 2 menghasilkanF = S2 1S 2 2× σ2 2σ 2 1Pernyataan probabilitas:– Typeset by FoilTEX – 14

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007P(F 1−α/2,u1 ,u 2< F < F α/2,u1 ,u 2) = 1 − αP(F l < F < F u ) = P(F l < S2 1S 2 2× σ2 2σ 2 1< F u)( 1= P × S2 1F lS 2 2< σ2 1σ 2 2< S2 1S 2 2× 1 F u)= 1 − αSelang kepercayaan:S 2 1S 2 2×1F α/2,u1 ,u 2< σ2 1σ 2 2< S2 1S 2 2× F α/2,u2 ,u 1dengan F l = F 1−α/2,u1 ,u 2=1F α,u2 ,u 1– Typeset by FoilTEX – 15

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Uji Hipotesa untuk Nilai Menengah Populasi, µBisa dilakukan uji satu ekor (one-tailed test) maupun uji dua ekor(two-tailed test)one-tailed testtwo-tailed testHipotesa nol H 0 : µ = ¯x H 0 : µ = ¯xH alternatif H a : µ > ¯x(µ < ¯x) H a : µ ≠ ¯xUji statistikt = ¯x−µS/ √ nDaerah penolakan t > t α (atau t < t α ) |t| > t α/2Contoh: Suatu garis basis (baseline) yang dikalibrasi berjarak 400.008 m(= µ) diukur berulang dengan EDM. Dari 20 kali pengukuran diperoleh nilai– Typeset by FoilTEX – 16

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007rata-rata 400.012 m (= ¯x) dengan standar deviasi S = ±0.002. Apakahjarak hasil ukuran berbeda secara signifikan dari “jarak yang benar” padatingkat kepercayaan 0.05?Penyelesaian:• Digunakan uji dua-ekor (two-tailed test).• Hipotesa nol H 0 : µ = 400.008• Hipotesa alternatif H a : µ ≠ 400.008• Uji statistiknyat = ¯x − µS/ √ n=400.012 − 400.0080.002/ √ 20= 8.944– Typeset by FoilTEX – 17

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007• Hipotesa nol akan ditolak bila t > t α/2,u• t = 8.994 dan t 0.025,19 = 2.093• karena t > t α/2,u maka H 0 memang ditolak.• artinya, hasil pengukuran berbeda signifikan dengan “jarak sebenarnya”pada tingkat kepercayaan 5%.Jika disusun selang kepercayaan 95% diperoleh400.012 − 2.093 × 0.002 √20≤ µ ≤ 400.012 + 2.093 × 0.002 √20400.011 ≤ µ ≤ 400.013– Typeset by FoilTEX – 18

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007selang ini tidak mencakup nilai “sebenarnya”. Maka perlu diperiksamengenai peralatannya.– Typeset by FoilTEX – 19

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Uji Hipotesa untuk Variansi Populasi, σ 2Contoh: Diinginkan kemampuan membaca suatu alat ukur dengansimpangan baku (σ = ±1.5 ′′ ). Hasil uji coba 30 kali pengamatanmenghasilkan S r = ±0.9 ′′ . Apakah hasil ujicoba tersebut memenuhi batas5 ′′ pada tingkat kepercayaan 5%?Penyelesaian:• Hipotesa nol H 0 : S 2 = σ 2• Hipotesa alternatif H a : S 2 > σ 2– Typeset by FoilTEX – 20

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007• Uji statistiknya:χ 2 = uS2 (30 − 1)(0.9)2=σ2 1.5 2 = 10.44• Hipotesa nol akan ditolak apabila χ 2 > χ 2 α,u.• χ 2 α,u = χ 2 0.05,29 = 42.56...• karena ternyata χ 2 < χ 2 0.05,29 maka hipotesa nol tidak dapat ditolak.• artinya, hasil uji coba dapat diterima...– Typeset by FoilTEX – 21

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Uji Hipotesa untuk Perbandingan Dua Variansi PopulasiBisa dilakukan uji satu ekor (one-tailed test) maupun uji dua ekor(two-tailed test)one-tailed testtwo-tailed testHipotesa nol H 0 : S 1S 2= 1 H 0 : S 1S 2= 1H alternatif H 0 : S 1S 2> 1 H 0 : S 1S 2≠ 1H alternatif H 0 : S 1S 2< 1Uji statistik F = S 1S 2atau F = S2S1F = variansisampelbesarvariansisampelkecilDaerah penolakan F > F α F > F α/2– Typeset by FoilTEX – 22

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007Contoh: Asumsikan ada hasil hitung perataan minimal konstrain jaringtrilaterasi dengan derajat kebebasan (u 2 = 24) memiliki variansi referensi(S 2 2 = 0.49) serta ada hasil hitung perataan full constrained dengan derajatkebebasan (u 1 = 30) dan variansi referensi (S 2 1 = 2.25). Pada tingkatkepercayaan 0.05 apakah hipotesa nol akan ditolak?Penyelesaian:• Hipotesa nol H 0 : S2 1S 2 2= 1• Hipotesa alternatif H a : S2 1S 2 2• Uji statistiknya:≠ 1F = 2.250.49 = 4.59– Typeset by FoilTEX – 23

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, Mei 2007• Hipotesa nol akan ditolak apabila F > F α/2, u 1 , u 2• F α/2,u1 ,u 2= χ 2 0.025,24,30 = 2.21...• karena ternyata F > F 0.025,24,30 maka hipotesa nol dapat ditolak.• artinya, variansi sampel kedua tidak sama dengan variansi sampel keduapada tingkat signifikan 0.05.– Typeset by FoilTEX – 24