Sifat-sifat kesalahan dari pengamatan

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Sifat-sifat kesalahan dari pengamatan1. Kesalahan acak (random errors)2. Presisi, akurasi, kofaktor, dan pembobotan3. Kekeliruan (blunders)4. Kesalahan sistematis (Systematics errors)– Typeset by FoilTEX – 1

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Kesalahan acakDari sudut pandang statistik: pengamatan (observation) berkaitandengan sampel dari distribusi probabilitas variabel-variabel acak. Istilah“kesalahan pengamatan” (observational errors) muncul dari definisi klasiktentang variabilitas.Istilah “kesalahan pengamatan” atau “kesalahan acak” seringkaliterbatas pada distribusi probabilitas normal, karena biasanya pengamatanberulang memperlihatkan pola distribusi frekuensi normal.Sifat-sifat kesalahan sebuah pengamatan sama dengan sifat-sifat statistiksampling. Pengertian “sampling independen” berarti bahwa pengamatanharus dilakukan sedemikian rupa sehingga hasil dari suatu pengamatantidak mempengaruhi hasil pengamatan berikutnya. Harus dibedakan– Typeset by FoilTEX – 2

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005secara jelas antara pengertian “sampling independen” dengan kemungkinanadanya korelasi antar parameter yang lebih berhubungan dengan model fisispengamatan-parameter.Dua parameter dasar dari sebuah distribusi variabel acak adalahµ x dan σ x (atau σ 2 x )Jika hanya ada satu pengamatan saja, maka ¯x = x dapat dikatakansebagai sebuah estimasi untuk µ x . Simpangan baku σ x dari variabel acak ˜xseringkali dianggap diketahui dari pengamatan sebelumnya yang dilakukandengan peralatan, metoda dan kondisi yang sama. Jika terdapat cukupbanyak pengamatan, maka estimasi variansi σx2 dapat diperoleh denganmenghitung simpangan baku sampel s 2 xKasus umum:Diasumsikan ada sejumlah variabel acak ˜x 1 , ˜x 2 , · · · , ˜x mdengan satu– Typeset by FoilTEX – 3

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005probabilitas bersama. Maka parameter-parameter yang menjadi perhatianadalah:µ 1 , µ 2 , · · · , µ m m buah ekspektasi atau nilaimenengah untuk m buah variabelacak ˜x iσ 2 1, σ 2 2, · · · , σ 2 m nilai-nilai variansi distribusimarginal untuk ˜x 1 , ˜x 2 , · · · , ˜x mσ 12 , σ 13 , · · · , σ 1m , σ 23 , · · · , σ m−1.m nilai-nilai kovariansi antara ˜x idan ˜x j dalam seluruh kombinasi– Typeset by FoilTEX – 4

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Pengamatan untuk kasus umum multi-dimensi:n∑x 11 , x 12 , · · · , x 1n → ¯x 1 = 1 nx 1i → s 2 1 = 1i=1n−1i=1n∑(x 1i − ¯x 1 ) 2x 21 , x 22 , · · · , x 2n → ¯x 2 = 1 nn∑i=1x 2i → s 2 2 = 1n−1i=1n∑(x 2i − ¯x 2 ) 2· · · · · · · · ·x m1 , x m2 , · · · , x mn → ¯x m = 1 ndan kovariansin∑i=1x mi → s 2 m = 1n−1i=1n∑(x mi − ¯x m ) 2– Typeset by FoilTEX – 5

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005s 12 =1n−1.s kj =1n−1.s m−1,m =1n−1n∑(x 1i − ¯x 1 )(x 2i − ¯x 2 )i=1n∑(x ki − ¯x k )(x ji − ¯x j )i=1n∑(x m−1,i − ¯x m−1 )(x mi − ¯x m )i=1Tujuan pengamatan berulang adalah memperoleh estimasi terbaiknilai-nilai variabel acak. Berarti, kesalahan pengamatan (observationalerrors) atau kesalahan acak pengamatan (random errors of observations)mengacu pada sifat-sifat dasar bahwa estimasi sebuah variabel acak ˜x tidaksesuai dengan nilai ekspektasinya. Sehingga kesalahan pengamatan dapat– Typeset by FoilTEX – 6

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005didefinisikan sebagaiε ji = µ j − x ji → distribusi ε di sekitar nilai nol identik dengan distribusi˜x di sekitar nilai ekspektasi µ x , yaitu E(ε) = 0Dan pemahaman ini dapat diperluas ke masalah nilai menengah sampelε j = µ j − ˆx j– Typeset by FoilTEX – 7

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Presisi, Akurasi, Kofaktor, dan PembobotanAkurasi atau ketepatan berkaitan dengan tingkat kedekatan sebuah hasilestimasi ke nilai parameter yang “benar”. → Kedekatan statistik lokasi.Presisi atau ketelitian menggambarkan tingkat kedekatan pengamatanpengamatanke nilai menengahnya. → Penyebaran sebuah distribusi.Dalam kasus distribusi multidimensi (vektor acak): Presisi adalahhimpunan momen-momen pusat kedua. → Matriks kovariansi Σ = {σ ij }.Dan nilai presisi rata-rata dapat dihitung dari trace matriks kovariansipresisi rata-rata =√trΣn = 1 √ n√σ21 + σ 2 2 + · · · + σ2 n– Typeset by FoilTEX – 8

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Dalam aplikasi praktis hitung perataan, variansi dan kovariansi seringkalidiganti dengan “variansi dan kovariansi relatif”. → digunakan konsep“koefisien bobot” (weight coefficient) atau “kofaktor” (cofactors), q untuksatu elemen dan Q untuk sebuah matriks.q ij = σ ijσ 2 0atau σ ij = q ij σ 2 0 (juga q i = σ2 iσ 2 0atau σ 2 i = q iσ 2 0)σ0 2 : konstanta pembantu (arbitrary constant) dengan dimensi bantu,Variansi acuan (reference variance).Faktor variansi (variance factor).Acuan variansi yang berkaitan dengan satuan berat.Variansi a priori.σ 0 : Standar deviasi acuan (reference standard deviation).Untuk maktriks kovariansi: Q = {q ij } = 1 {σσ02 ij } = 1 → matriksσ0Σ. 2kofaktor.– Typeset by FoilTEX – 9

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Inversi dari matriks kofaktor Q (bila Q bujursangkar dan tidak singular)disebut sebagai matriks berat/bobot (weight matrix) W,W = {w ij } = Q −1Dalam statistik klasik, W ←→ inversi presisi, walaupun ini hanya berlakuuntuk kasus tidak ada korelasi (uncorrelated) antar variabel acak. Berarti,semua elemen di luar diagonal matriks Q sama dengan nol, sehinggaw ii = 1q iiatau w ii = σ2 0σ 2 ii= cσ 2 iiSecara umum, elemen diagonal w ii tidak hanya kebalikan dari kofaktor,berartiw ii ≠ 1q iiDalam kasus terdapat korelasi mendekati sempurna, ρ = ±1, masih– Typeset by FoilTEX – 10

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005dapat dibuat matriks kovariansi dan kofaktor. Tetapi tidak mungkin dibuatmatriks berat.– Typeset by FoilTEX – 11

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Kekeliruan besar (Blunders)Dari sudut pandang statistik: Pengamatan-pengamatan yang tidak dapatdianggap sebagai anggota sampel dari distribusi yang dipelajari. Sehinggatidak boleh diikut sertakan dalam proses selanjutnya.Perlu dibuat suatu rancangan perencanaan dan prosedur pengukuranyang mampu mendeteksi kemunculan blunder ini.– Typeset by FoilTEX – 12

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005Kesalahan sistematikKesalahan sistematik mempengaruhi pengukuran berulang dengan carayang sama.Dapat diatasi dengan:1. Merumuskan dan menghitung koreksi secara aktual dan diterapkan kedata mentah.2. Kalibrasi dan penyetelan peralatan serta menggunakannya dalam kondisiyang sesuai dengan rekomendasi.3. Mengikuti prosedur-prosedur pengukuran yang mampu mengeliminasikesalahan sistematis.– Typeset by FoilTEX – 13

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 20054. Menggunakan model-model fungsional yang mengikutsertakan pengaruhpengaruhkesalahan sistematis.– Typeset by FoilTEX – 14