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5.3. TORRICELLI E LA CURVA LOGARITMICA 169
do l’equivalenza. Esaminiamo il testo corrispondente al primo argomento di
Torricelli.
Sia data una semiperbole il cui solo asintoto (Fig. 5.12) sia AD, l’ordinata
più grande AC e CL sia tangente e si consideri una ordinata ulteriore qualsiasi,
come DE, e si tracci la parallela EF all’asintoto che interseca la tangente
in L. Dopo di che si tracci la retta verticale HLM passante per L. Dico che il
quadrilatero misto CADE compreso tra l’iperbole, l’asintoto e le due rette verticali
è equivalente al rettangolo CAHM. Se infatti così non fosse, il rettangolo
CAHM avrebbe area o minore o maggiore del quadrilatero misto summenzionato.
Iniziamo a supporre, se possibile, che sia minore e si consideri il rettangolo
MHPN minore della differenza tra il rettangolo ed il quadrilatero misto, così che
l’intero rettangolo CAPN sarà minore del quadrilatero misto CADE. Si consideri
la congiungente CO, che intersecherà la semiperbole dal momento che CL
è l’ultima delle rette tracciate da C che non intersecano (la semiperbole) e sia
Z il punto di intersezione da cui si tracci ZY parallela all’asintoto; Si bisechi
allora AD e si proceda con bisezioni successive fino a che non determiniamo una
sezione AQ che sia minore di ZY; fatto questo, si divida l’intero AD in parti
uguali allo stesso AQ e si assumano queste singole parti come lati di altrettanti
rettangoli circoscritti al quadrilatero misto CADE; sia CAQB il primo di questi
rettangoli il cui lato QB tagli l’iperbole in I. Si tracci CI che certamente giace
tra i segmenti di retta CL e CZ e che interseca LO nel punto V da cui si traccia
la retta verticale RVT. Ora, la figura rettilinea circoscritta al quadrilatero misto
CADE, che è formata da rettangoli di uguale altezza il primo dei quali è CAQB,
è equivalente al rettangolo CART; pertanto è minore del rettangolo CAPN che
a sua volte era minore del quadrilatero misto CADE, da cui segue che la figura
circoscritta deve essere a maggior ragione più piccola del suo quadrilatero
misto a cui è circostritta; dunque l’intero è minore di una sua parte, che è
assurdo. 29 (Torricelli, De hemihyperbole logarithmica, pp. 84-85 di [10], pp.
342-343 di [11].)
29 Esto hyperbola monoasymptota (Fig. 5.12) cuius asymptotos AD, maxima applicata AC,
tangens vero CL, et sumatur quaelibet alia applicata, puta DE, ducaturque EF parallela
asymptoto, et occurrent tangenti in L. His peractis applicatur per L recta HLM. Dico quadrilineum
mixtum CADE contentum sub hyperbola, asymptoto, duabus applicatis, aequale esse
rectangulo CAHM. Nisi enim ita sit erit rectangulum CAHM vel minus vel majus praedicto
quadrilineo mixto. Sit primum, si possibile est, minus, et ponatur rectangulum MHPN minus
defectu quo rectangulum deficit a quadrilineo mixto, et erit totum rectangulum CAPN adhuc
minus praedicto quadrilineo mixto CADE. Jungatur recta CO, quae omnino secans erit,
cum CL sit ultima inclinatarum ex puncto C, et non secantium secet ergo in Z, et agatur
ZY parallela asymptoto; tum secetur AD bifariam, eiusque partes iterum bifariam, atque hoc
fiat semper donec veniamus ad aliquam sectionem puta AQ minorem quam sit ZY; quo facto
secetur tota AD in partes aequales ipsi AQ, statuanturque singulae partes pro lateribus
totidem rectangulorum circa quadrilaterum mixtum CADE descriptorum; et sit ex huiusmodi
rectangulis primum CAQB cuius latus QB secet hyperbolam in I. Ducatur CI quae omnino
cadet intra rectas CL, CZ, occurratque ipsi LO in puncto V et applicetur RVT. Iam figura
rectilinea circumscripta circa quadrilaterum mixtum CADE, quae constat ex rectangulis
aeque altis quorum primum est CAGB (Si legga CAQB), aequalis est rectangulo CART; ergo
minor est rectangulo CAPN rectangulorum vero CAPN minus erat quadrilineo mixto CADE,
ergo multo magis figura circumscripta minor erit suo quadrilineo cui circumscribitur; nempe
totum sua parte minus erit. Quod est absurdum.