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10.2. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA DI LAMBERT 365
introdotta da William Oughtred e che venne usata per molto tempo da tutti
gli autori. Il motivo di questa notazione è la natura sui generis di una proporzione
che indica una somiglianza (analogia, appunto) tra rapporti più che
un’uguaglianza dei loro valori numerici. Le origini di questo status particolare
delle proporzioni possono presumibilmente ascriversi al ruolo che i rapporti avevano,
già in Euclide ma anche in epoca moderna, con la musica [4]. Infine, la
dissimmetria rispetto alle formule di somma e sottrazione in utilizzo oggi deriva
dall’averpresoil seno totale parigenericamentead r, anzichéunitario. Ottenute
formule trigonometriche per settori come nφ o φ
n , Riccati ritorna al problema
da cui era partito e può costruire geometricamente le radici di alcune famiglie
di equazioni algebriche.
10.2 La trigonometria iperbolica di Lambert
Per ottenere una completa simmetria con le formule di addizione per funzioni
circolari, Riccati moltiplica al bisogno alcune di queste funzioni per √ −1.
Come già osservato, si trattava di un artificio formale già utilizzato da Leibniz
e Newton e, in epoca contemporanea a quella di cui ci stiamo occupando,
da un allievo di Lagrange, Daviet Francois de Foncenex (1734-1799) in un
lavoro molto discusso apparso sul Vol. I delle Miscellanea Societatis Taurinensis.
de Foncenex aveva però anche osservato che alla base dell’analogia tra
circonferenza ed iperbole equilatera vi era la condivisione di centro e diametro.
Questa osservazione spinse Lambert a cercare di approfondire l’analogia su
basi puramente geometriche, evitando il ricorso a quantità immaginarie. Tale
obiettivo fu perseguito in [6] dove ottenne una ricca tabella di confronto tra le
due coniche.
Testo 10.1 (Lambert) [1], pp. 309-310. Originale 10.1.
Occorre però mostrare qui fino a che punto una tale analogia possa esser
spinta indipendentemente dalle quantità immaginarie. Sia dunque (Fig. 10.3)
C il centro, CH l’asse, CA il semidiametro dell’iperbole equilatera AMG e
del cerchio AND, CF l’asintoto, AB la perpendicolare all’asse ed allo stesso
tempo la tangente comune al cerchio ed all’iperbole. A partire dal centro C
si traccino le rette CM, Cm infinitamente vicine l’una all’altra e dai punti
di intersezione M, m, N, n si abbassino sull’asse le ordinate MP, mp, NQ,
nq. Infine il raggio AC sia uguale ad 1. Diciamo l’angolo MCA = ϕ e sia