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370 CAPITOLO 10. LA TRIGONOMETRIA IPERBOLICA
Maisiciils’agitdevoirjusqu’oùcetteaffinitépeutêtrepousséeindépendamment
desquantitesimaginaires. SoitdoncC lecentre, CH l’axe, CAledemi-diametre
de l’hyperbole équilaterale AMG & du cercle AND, CF l’asymptote, AB perpendiculaire
à l’axe, & en même tems la tangente commune au cercle & à l’hyperbole.
Soient tirées du centre C les deux droites CM, Cm, infiniment proches
l’une de l’autre, & des points d’intersection M, m, N, n, soient abaissées sur
l’axe les ordonnées MP, mp, NQ, nq. Enfin soit le rayon AC=1. Faisons l’angle
MCA = ϕ, & soit
pour l’hyperbole pour le cercle
l’abscisse CP = ξ CQ = x
l’ordonnée PM = η QN = y
le segment AMCA = u : 2 ANCA = v : 2
& il sera
tangϕ = η
ξ
tangϕ = y
x ,
1+ηη = ξξ = ηηcotϕ 2 1−yy = xx = yycotϕ 2
ξξ −1 = ηη = ξξtangϕ 2 1−xx = yy = xxtangϕ 2
CM 2 = ξ 2 +η 2 = ξ 2 (1+tangϕ 2 ) CN 2 = x 2 +y 2 = x 2 (1+tϕ 2 )
= 1+tϕ2
1−tϕ2 �Donc � 2
1+tϕ
+du = dϕ
1−tϕ 2
+dξ = tϕdtϕ
(1−tϕ2 ) 3/2
dtϕ
(1−tϕ2 ) 3/2
= ddtϕ
1−tϕ 2
= 1+tϕ2
1+tϕ 2 = 1
+dv = dϕ = ddtϕ
1+tϕ 2
−dx = tϕdtϕ
(1+tϕ 2 ) 3/2
+dη =
dy = tϕdtϕ
(1+tϕ2 ) 3/2
1 ξ = √
(1−tϕ2 )
η = √
tϕ
(1−tϕ2 )
Donc
1 x = √
(1+tϕ2 )
tϕ
y = √
(1+tϕ2 )
+dξ : du = η −dx : dv = y
+dη : du = η dy : dv = x
+dξ = dηtangϕ −dξ : dy = tangϕ