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3.6. METODI DI INTERPOLAZIONE 77
cerchiamo. Infatti, anche se i numeri assoluti crescono in modo uniforme, i
logaritmi hanno incrementi minori laddove hanno valori maggiori: se occorre
aumentare il logaritmo di un numero di poco inferiore al posto di un numero
assoluto con l’ausilio della parte proporzionale, la parte ottenuta con l’aggiunta
della differenza sarà sempre minore del dovuto. Al contrario, se si ricerca il
numero assoluto corrispondente ad un assegnato logaritmo, con l’aggiunta della
parte proporzionale lo si troverà sempre di poco maggiore. Lo stesso problema si
riscontra per Seni, Tangenti e Secanti; e lo stesso in tutte le tavole numeriche,
dove le differenze sono da una parte uguali, diverse dall’altra. 37 (AL Cap. XI,
p.11-8 di [1])
È dunque chiaro che il problema non si pone per i logaritmi soltanto ma
che è comune alle funzioni trigonometriche, alla cui tabulazione Briggs dedicò
molto lavoro. In questa sezione esaminiamo tre metodi proposti da Briggs per
ovviare all’inconveniente, in ordine crescente di raffinamento. Il Capitolo XI
ha come titolo programmatico Numerum in Chiliadibus repertum, per partem
proportionalem emendare: si tratta dunque, noto il logaritmo di un numero,
di approssimarne l’antilogaritmo. L’osservazione basilare per comprendere la
strategia di Briggs è che l’interpolazione lineare è buona nelle ultime migliaia
tabulate. Sfruttando le proprietà elementari della funzione logaritmo, Briggs
riduce il margine di errore nel calcolo dell’antilogaritmo di x calcolando l’antilogaritmo
di un altro numero, legato ad x, che cade molto vicino a 100000
dove l’interpolazione lineare è suscettibile di piccoli errori. Seguiamo l’esempio
discusso da Briggs ed illustrato da Bruce [1]. Si vuole trovare il valore numerico
di √ 1200 = a, ricorrendo alle sole tavole. Anzitutto si nota che bl(1200)
è noto e che dunque lo è anche bl( √ 1200) = 1bl(1200).
Per prima cosa Briggs
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toglie la caratteristica ad a, riducendolo ad un numero compreso tra 1 e 10: nel
caso specifico, egli considera a/10. Di questo numero egli definisce il complemento
aritmetico come quel numero b il cui logaritmo è il complemento ad 1 di
bl(a/10). Dalle proprietà elementari dei logaritmi è pertanto ab/10 = 10. Si
cerca nella tabella un numero c il cui logaritmo, privato della caratteristica, sia
leggermente inferiore a bl(b): nell’esempio riportato, c = 2866. In questo modo,
il numero ac/104 è di poco inferiore a 10 per cui ac è prossimo a 105 e si possono
determinare dalla tabella due numeri consecutivi h ed h + 1 (qui h = 99973)
tali che
bl(h) < bl(ac) < bl(h+1).
Se il comportamento del logaritmo in questa regione è circa lineare, allora si
37 Ista autem pars proportionalis, quae per has acquiritur differentias, non est absolute
perfecta; sed semper aliquantulum recedit ab ea quam quaerimus accurata veritate. Cum
enim numeri absoluti crescant aequaliter, Logarithmi autem quo sunt maiores eo minora
habent incrementa: si pro numero absoluto, Logarithmus numeri proxime minoris, sit per
partem proportionalem augendus, pars illa per differentiam interjectam quaesita, erit semper
minor quam oportuit. Contra autem, si pro Logarithmo dato quaeratur numerus absolutus,
is per partem proportionalem auctus erit iusto maior. Idem accidit incommodi in Sinubus,
Tangentibus, Secantibus; omninoque in omnibus tabulis numerorum, ubi differentiae ex altera
parte aequales, ex reliqua inequales.