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192 CAPITOLO 5. I LOGARITMI E LA GEOMETRIA
di quello del cilindro KB. Iterando la procedura, si conclude che il volume del
solidoinfinito ottenuto per rotazionedi ACXEFA attornoaBE è un terzo quello
ottenuto per rotazione attorno allo stesso asse dalla regione ACEXBA e dunque
il cono residuo generato da AFB ha volume pari ai 2/3 di quello generato da
ACEXBA.
Si mostrerà qui che il solido illimitato attorno all’asse BE è equivalente ai 3/2
del cono ottenuto per rotazione del triangolo AFB attorno a BF.
Infatti, dal momento che il solido generato dal triangolo FLM è minore di 1
3
del cilindro generato dal rettangolo AH ma maggiore di 1
3 del cilindro generato
da KB, e via di seguito, si mostra facilmente che il solido generato da ACEF è
equivalente ad 1
3 del solido ottenuto dalla regione ACDB, qualunque sia la scelta
dell’estremo CD. Pertanto il solido generato dalla regione infinita ACXEFA sarà
equivalente ad 1 del solido generato dalla regione infinita ACXEBA e dunque
3
il cono generato dal triangolo AFB restante sarà equivalente a 2
3
del solido
generato dalla stessa regione ACXEBA. 44 (p. 467 di [12])
Entriamo ora nell’ultima parte della memoria di Huygens che tratta della
localizzazione del centro di massa di una lamina piana omogenea limitata da
un arco, eventualmente illimitato, di curva logaritmica, dal suo asintoto e da
due rette ortogonali a quest’ultimo. Per comprendere le dimostrazioni, è utile
ricordare il teorema di Pappo-Guldino che afferma come, data una lamina
piana omogenea L ed una retta r del piano che non la tagli in più parti, la
distanza d del centro di massa di L da r sia legata all’area A(L) della lamina
ed al volume V(B) del solido ottenuto per rotazione completa di L attorno ad
r dalla formula
2πdA(L) = V(B).
Da questo risultato si evince che due lamine equivalenti che generano solidi di
rotazione attorno ad r di ugual volume hanno centri di massa posti alla stessa
distanza da r. Grazie a questa osservazione, Huygens trova facilmente (Fig.
5.24) la distanza del centro di massa della regione infinita ABEXA che, per
quanto mostrato prima, è equivalente al rettangolo di area BO · BD avente
base BO=AB/2 ed altezza BD doppia del latus rectum e che per rotazione
attorno a BE genera un cilindro di volume πBO 2 ·BD pari a quello del solido
generato da ABEXA. Applicando il teorema di Pappo-Guldino si ricava che
d = BO/2 = AB/4.
Simostra quiche la distanza del centrodi gravità della regione illimitata ABEXA
è pari ad un quarto del segmento AB.
Presi infatti [Fig. 9] BD = 2BF e BO = 1
2AB, il rettangolo BOCD è
equivalente al doppio del triangolo ABF e per questo equivalente alla regione
44 Hinc de solido spatij infiniti circa axem BE demonstrabitur, esse sesquialterum coni ex
conversione trianguli AFB circa BF.
Nempe cum solidum a triang.o FLM sit minus quam 1
3 cylindri a �lo AH, majus vero
quam 1
3 cylindri a �lo KB, atque ita de ceteris; facile ostendetur solidum a spatio ACEF, esse
1
solidi a spatio ACDB idque ubicunque terminus CD statuatur. Unde solidum ab infinito
3
spatio ACXEFA erit 1
solidi ab infinito spatio ACXEBA, ac proinde conus a reliquo triangulo
3
AFB aequabitur 2
solidi ab eodem spatio ACXEBA.
3