File - Dipartimento di Matematica

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2 INDICE 5.5 Testi Originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6 Gli sviluppi in serie 207 6.1 I logaritmi visti da Pietro Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2 La Logarithmotechnia di Nicolaus Mercator . . . . . . . . . . . 210 6.3 La serie di Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.4 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5 La restaurazione di Halley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.6 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7 Logaritmi dei numeri negativi 255 7.1 Il carteggio Leibniz-J. Bernoulli I (1712-1713) . . . . . . . . . 255 7.2 Il carteggio tra Johann Bernoulli I ed Eulero (1727-1729) . . 274 7.3 Eulero legge il carteggio Leibniz-Bernoulli . . . . . . . . . . 281 7.4 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 8 I logaritmi dei numeri complessi in Eulero 303 8.1 Quanti logaritmi ha un numero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 8.2 La relazione i i = e −π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 8.3 I logaritmi nei manuali di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.4 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9 L’irrazionalità di e da Eulero a Hermite 337 9.1 Eulero e l’irrazionalità di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.2 Lambert e l’irrazionalità di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 9.3 Liouville e l’irrazionalità di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9.4 Hermite e l’irrazionalità di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.5 Testi Originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 10 La trigonometria iperbolica 359 10.1 La trigonometria iperbolica di Vincenzo Riccati . . . . . . . . . 359 10.2 La trigonometria iperbolica di Lambert . . . . . . . . . . . . . . 365 10.3 Testi originali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Capitolo 1 Precursori 1.1 La legge degli esponenti L’osservazione del legame esistente tra progressioni aritmetiche e geometriche si può prendere come segnale precursore della scoperta dei logaritmi. Infatti, se am = a0q m ed an = a0q n sono due termini di una progressione geometrica, il loro prodotto occupa la posizione m+n nella progressione: al prodotto tra an ed am corrisponde la somma degli esponenti—ad una progressione geometrica ne corrisponde una aritmetica—e proprio la riduzione di prodotti in somme è la proprietàche hadecretatoil grandesuccessodei logaritmi. Il primo adosservare la legge degli esponenti fu Archimede di Siracusa (287(?)-212 a.C.) che ne fa menzione in un’opera interessante per molti aspetti, l’Arenario (ΨAMMITHΣ). L’opera è importante per la storia della matematica e per quella dell’astronomia. L’aspetto matematico saliente è l’indagine sulla possibilità di esprimere numeri interi qualsiasi utilizzando il sistema non posizionale in uso presso i greci. Quest’ultima precisazione è doverosa perché agli occhi dei moderni il problema appare futile, dal momento che aggiungendo un numero qualsivoglia di zero a destra di un gruppo di cifre significative, ovveroricorrendo a notazione esponenziale, èpossibileesprimereun numerograndeapiacere. Il sistemadi numerazioneinusoall’epocadiArchimedeeraalfabetico epoggiavasulleseguenti corrispondenze: 3
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Bibliografia [1] J.H. Lambert: Mém
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