Serie Storiche e Processi Stocastici

Esempio
e
Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
Siano e due v.c. Normali, indipendenti, di media zero e varianze, rispettivamente,
2
. Definiamo il processo stocastico
X costsin t,
t 1,2,...
t
In cui 0 2
è un numero reale fissato. Trattandosi di una combinazione lineare di due v.c.
Normali e indipendenti, il processo X t è ben definito e si potrebbe calcolarne la generale
funzione di densità multivariata. Calcoliamone però i primi momenti che, dalla definizione del
processo, risulteranno funzione dei momenti di e .
Ricordiamo che, per ipotesi, vale
E( ) E(
) 0 ;
Cov( , ) E(
, ) 0
Avremo quindi per il processo che
Var( )
2
;
2
Var( )
E( X ) cos tE( ) sin tE(
) 0 t
t
2 2 2 2
Var( X t ) cos t sin t t
Cov( X , X ) E[( cos t sin t)( cos ( t h) sin (
t h))]
t th 2 2
cost cos ( t h) E( ) sint sin (
t h) E(
)
cos t cos ( t h) sin t sin ( t h)
2 2
Come si vede il valor medio è nullo e quindi costante ma varianza e autocovarianza variano
al variare di t, pertanto, in generale, il processo X t è non stazionario.
2
Se tuttavia supponessimo che Var( ) Var( ) allora le espressioni precedenti
diventerebbero
2 2 2 2
Var( X t ) (cos t sin t) t
Cov X X t t h t t h
2
( t, th ) [cos cos ( ) sin sin (
)]
2 2
cos[ ( )] cos
t k t h t
In definitiva, se Var( ) Var( ) il nostro processo risulta essere stazionario, dal momento
che valgono la condizione 1. di costanza della media, la 2. di costanza e finitezza della varianza
quale che sia t ed infine la 3., ovvero l‟autocovarianza tra t e t h dipende solamente dal lag e
non dall‟istante temporale t.
Sempre sotto le ipotesi suddette la funzione di autocorrelazione del processo risulterà essere
definita da
2