Serie Storiche e Processi Stocastici

Processi Stocastici
Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
Rifacendoci alla definizione presentata nell‟introduzione di processo stocastico, andiamo a
fornirne ora una sorta di classificazione, sulla base delle v.c. componenti un processo e dei loro
legami.
Una prima distinzione può essere fatta con riguardo all‟indipendenza o meno delle v.c.
componenti il processo. Tale stato difficilmente si riscontra nella realtà, l‟unico processo a
componenti incorrelate che tratteremo sarà il processo definito White Noise (rumore bianco) di
valor medio nullo e varianza costante (cioè non dipendente da t). In seguito verrà indicato con
A t e siglato con
2
t (0, A)
2
A
A WN . Un processo stocastico WN è quindi caratterizzato come segue:
EA ( ) 0
t
E( A ) Var( A )
2 2
t t A
0
t s
Cov( At , As ) E( At , As
) 2
A t s
Non vengono fatte a priori ipotesi sulla distribuzione di A1, A 2,...
, ma qualora si supponga
che, per ogni t, A t sia anche una v.c. Normale, allora si parla di Processo White Noise Gaussiano.
Poiché l‟incorrelazione di v.c. Normali implica l‟indipendenza, un processo WN Gaussiano è a
componenti indipendenti.
Una seconda distinzione riguarda la legge di probabilità delle v.c. componenti. Possiamo
infatti ipotizzare una prefissata funzione di densità (nel caso continuo) per tali variabili e definire di
conseguenza il processo risultante (un risultato teorico noto come Teorema di Kolmogorov ci
garantisce che, per ogni n intero, note che siano le densità di probabilità n-variate
f ( x , x ,..., x ; t , t ,..., t ) , il processo stocastico è completamente caratterizzato). L‟ipotesi più
1 2 n 1 2 n
comune è quella di suppore che le v.c. ( Xt , X ,..., )
1 t X 2 t costituiscano una variabile aleatoria
k
Multinormale per ogni ( t1, t2,..., t k ) e per ogni k 1.
In tal caso il processo stocastico X t si
definisce processo Gaussiano e possiede funzione di densità multivariata
f ( x , x ,..., x ) (2 ) exp ( x ) ( x )
1 2
k
2
N 1 1
2
2 1
x t t t t t
dove ( EX ( )) è il vettore dei valori medi e [ Cov( X , X )] la matrice delle varianze e
t ti
ti tj
covarianze del processo.
E‟ interessante soffermarsi sul fatto che un processo Gaussiano è caratterizzato solo da t e
e quindi, per esempio, un processo Gaussiano di valore medio 0 per ogni t è caratterizzato
esclusivamente dalla matrice delle varianze e covarianze delle v.c. X , X componenti il
ti tj
processo. Questa osservazione è di particolare rilievo perché ci dice che in una classe particolare e
limitata di processi stocastici (quella Gaussiana ad esempio) la conoscenza del processo stocastico
(e quindi di tutte le funzioni del processo) può essere ricondotta alla conoscenza di una particolare
categoria di funzioni (quali possono essere i momenti misti ad esempio), a loro volta stimabili dalle
realizzazioni finite (e quindi dalle serie storiche).
Altre distinzioni possono essere fatte con riguardo al comportamento della successione di
v.c. rispetto al parametro t. Si tratta dunque di andare a vedere se le variabili risultino o meno in un