Serie Storiche e Processi Stocastici

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1 1 0 2 2 0 3 3 0 Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis ˆ ˆ ˆ 0.21 1.2 0.18 ˆ ˆ ˆ 0.5 1.2 0.42 ˆ ˆ ˆ 0.48 1.2 0.40 Procedendo con i calcoli e sfruttando i risultati presentati in precedenza otteniamo le stime dell‟autocorrelazione parziale: ˆ 1 ˆ ˆ 1 1 0.18 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0.42 ( 0.18) 0.468 2 2 1 2 2 1 2 1 ˆ 1 2 1 ˆ 1 2 1 ( 0.18) ˆ 1 1 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 2 3 1 ˆ 1 ˆ 2 2 ˆ 1 ˆ 2 2 ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 ( 0.18) 1 ( 0.42) 2( 0.18) 0.40 1 ( 0.18) 0.18 ( 0.18) ( 0.42) 2( 0.42) 0.398 Come si può notare le stime delle due funzioni sono praticamente coincidenti, a meno di approssimazioni minime. Nel grafico che segue è riportato il correlogramma parziale del processo sulla base della serie storica data.
Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis Anche in questo caso sono presenti i limiti approssimati della regione di confidenza al 95% H X WN . La costruzione è analoga a quella relativa alla funzione di per l‟ipotesi 0 : t autocorrelazione, le bande di confidenza sono poste a 2 N 2 10 0.6325 intorno allo zero; chiaramente nel nostro caso tale specificazione è superflua, dal momento che la serie storica che è stata impiegata per l‟esercizio è artificiale. La Classe dei Modelli ARMA Come si è già visto in precedenza lo scopo dell‟analisi delle serie storiche è quella di risalire ai processi stocastici che si suppone le abbiano generate; operativamente questo si traduce nell‟identificazione e nella stima di modelli statistici che garantiscano un accettabile grado di approssimazione della realtà in esame. Dunque dai dati non si perviene al processo bensì se ne costruisce una descrizione valida sino a prova contraria: una sintesi cioè ottimale solo fino a che nuovi dati non porteranno a costruire modelli più convincenti. In generale la conoscenza di un processo a partire dai dati è proibitiva, dunque si ripiega su di un particolare modello: il processo stocastico genera la serie storica quale sua realizzazione finita, il modello statistico si adegua alla serie storica secondo criteri di ottimalità e genera dati che sono simulazioni ottenute dal modello. Nel seguito presenteremo una classe di modelli statistici che trova il suo impiego nella descrizione dei processi stocastici, i modelli ARMA. Il passo seguente all‟identificazione è chiaramente costituito dalla validazione del modello scelto tramite opportune verifiche di ipotesi; una volta assicurata la bontà del modello si può infine passare alla previsione. Il Processo a Media Mobile Sia A t un processo white noise come già definito in precedenza e si consideri il seguente processo stocastico Yt At At dove , . Questa serie storica è definita processo a media mobile del primo ordine, e si indica con MA (1) . Il termine “media mobile” deriva dal fatto che Y t è costruito da una somma pesata, simile ad una media, dei due più recenti valori di A . Il valore atteso di Y t è dato da E Y E A A E A E A t t t1 t t1 dal momento che abbiamo definito A t come un white noise, e quindi a media nulla per ogni t. La varianza di Y t , che coincide chiaramente con la funzione autocovarianza calcolata per un lag nullo, vale 2 2 2 2 2 t t t1 t 2 t t1 t1 E Y E A A E A A A A 2 2 2 0 1 2 2 0 1
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