Serie Storiche e Processi Stocastici

Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
Cosa significa tutto questo? Significa che un processo stocastico è una successione di
variabili aleatorie ordinate secondo un parametro t T , solitamente identificato con il tempo. La
conoscenza di un processo stocastico equivale alla conoscenza della distribuzione di probabilità
multipla (multivariata) per qualsiasi sottoinsieme di T e per qualsiasi valore delle variabili casuali.
Occorre caratterizzare però ulteriormente questa nozione di processo stocastico; per fare
questo introduciamo delle distinzioni. Parleremo di processo stocastico continuo qualora le variabili
casuali che lo compongono siano di natura continua, di processo stocastico discreto in caso
contrario; distingueremo inoltre fra processi stocastici a tempo continuo e a tempo discreto, nei casi,
rispettivamente, che il parametro t T abbia supporto continuo o discreto.
Esempio: sia X t un processo stocastico che descrive le rilevazioni negli istanti temporali
tT {1,2,3,...} di una qualche grandezza fisica e le cui realizzazioni siano
caratterizzate da leggi di distribuzione gaussiane. Allora il processo in esame sarà da
definirsi come processo stocastico continuo a tempo discreto.
Un tale processo è quindi la famiglia di variabili casuali { X1, X 2,...}
, per la cui conoscenza
occorre specificare le funzioni di densità congiunte di ciascuna combinazione di esse. Formalmente
un processo t X è noto se è nota la funzione di densità ( Xt , X ,..., )
1 t X 2 t per ogni k e per ogni k-pla
k
di valori ( t1, t2,..., t k ) di variabili casuali (d‟ora in poi v.c.). Da questo si può già intuire l‟estrema
complicazione dello studio di un processo stocastico nella sua generalità, e in particolare la pratica
impossibilità di inferire direttamente su di esso.
Volendo descrivere meglio la struttura probabilistica di X t possiamo osservare che, per
esempio, fissando t 3,
si ottiene la v.c. X 3 , che possiede una sua propria funzione di densità di
probabilità (nel caso continuo, di massa di probabilità nel caso discreto) che sarà correlata oppure
no alle altre, e così via. Su X 3 possiamo effettuare un esperimento e rilevare dei valori appartenenti
al suo campo di variazione.
Estendendo a tutto il processo, se fissiamo una prova da effettuare su X t (ovvero
osserviamo la successione dei risultati campionari x1, x 2,...
) otterremo una successione di valori,
funzione della variabile t, chiamata realizzazione o traiettoria del processo. Risulta evidente che,
dato un processo X t , esistono infinite possibili realizzazioni che sono precisamente tutte quelle
osservabili ripetendo indefinitamente l‟esperimento. Segue un esempio grafico di due realizzazioni
campionarie dal medesimo processo.