Serie Storiche e Processi Stocastici

Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
Passiamo ora a parlare di un altro importantissimo strumento dell‟analisi dei processi
stazionari, ovvero la funzione di autocorrelazione parziale, il cui ruolo fondamentale risulterà
più chiaro nel seguito, quando tratteremo dei cosiddetti modelli autoregressivi.
Definiamo quindi la funzione di autocorrelazione parziale h al lag h, per h 0, 1, 2,... ,
come la correlazione esistente fra t X e X t h al netto della correlazione esistente fra le v.c.
“intermedie” tra t X e X t h.
Se la definizione può risultare di non semplicissima comprensione, la forma analitica della
funzione è estremamente semplice: la funzione di autocorrelazione parziale è data dal rapporto
fra due determinanti
Con
P
( h)
P
*
( h)
*
P(
h)
h , h 0,1,2,...
P
( h)
1 1 2 ... h1
1 ...
1 1 h2
2 1 1 ... h3
;
. . . ... .
. . . ... .
... 1
h1 h2 h3
1 1 2 ... 1
1 ...
1 1 2
2 1 1 ... 3
. . . ... .
. . . ... .
...
h1 h2 h3 h
Dove P ( h)
è la matrice di Toeplitz di ordine h, mentre
P è la stessa matrice alla cui ultima
colonna è stato sostituito il vettore composto dai valori della funzione di autocorrelazione fino al
lag h. Dalla proprietà di simmetria di h discende anche quella di h , difatti vale h h,
quindi anche in questo caso i calcoli verranno effettuati esclusivamente per valori positivi di h.
E‟ ovviamente vero che 0 1 , mentre applicando la definizione per h 1,2,3 otteniamo:
1
1 1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2 1
2
1
1
1
1
*
( h)