Serie Storiche e Processi Stocastici

Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
temporali esso richiede un numero di parametri inferiore a quelli necessari per un modello
autoregressivo puro.
ARMA p, q sia stazionario è legata alle radici
La condizione affinché un processo
dell‟equazione caratteristica della parte autoregressiva del modello, che si ottiene uguagliando a
B . Si tratta esattamente delle stesse condizioni imposte per il modello
zero l‟operatore
AR p e già discusse in precedenza, e rileggendole alla luce della nuova formulazione
richiedono che le radici B , j 1,..., p dell‟operatore siano tutte in modulo superiori ad 1 (nel
j
caso AR 2 questa condizione si riflette sui parametri in modo da costringerli all‟interno del
triangolo di cui in precedenza). In questo caso per il processo esiste anche una rappresentazione
del tipo MA .
Analogamente la condizione per l‟invertibilità coincide con quella già presentata relativa al
modello MAq , ovvero è legata alle radici dell‟equazione caratteristica della parte a media
mobile, che si ottiene uguagliando a zero l‟operatore B . Le radici B , j 1,..., q dovranno
essere tutte in modulo superiori ad 1. In questo caso per il processo esiste anche una
rappresentazione del tipo AR .
In sostanza: se il processo ARMA p, q è stazionario ed invertibile lo si può approssimare,
trascurando un certo numero di termini, in un processo AR p o in un MAq .
Risulta inoltre chiaramente che i processi autoregressivo di ordine p e a media mobile di
ARMA p, q , infatti:
ordine q sono casi particolari del più generale
p 0 ARMA p, q MAq
q 0 ARMA p, q AR p
Il valore atteso del processo risulta essere:
t 1 t1ptp E Y c E Y ... E Y 0 0 ... 0
c
EY t
1 ...
1 2
La funzione di autocovarianza è fornita dalle seguenti due relazioni:
dove
h 1 h1 ... p h p h 1 h1 ... q hq hq
h 1 h1 2 h2 ... p h p
hq
h E Yt E Yt At E At
è la covarianza incrociata tra le variabili t Y e A t .
La varianza ha quindi, per le note proprietà di simmetria della covarianza, la seguente
espressione:
... ...
2
0 1 1 p p 1 1
q p
p
j