Serie Storiche e Processi Stocastici

Serie Storiche e Processi Stocastici – Federico Andreis
La verifica dell‟ipotesi di stazionarietà in senso stretto è nella maggior parte dei casi reali
quasi impossibile, ci si limita dunque spesso a controllare che siano verificate delle condizioni
meno forti e riguardanti solo i momenti fino al secondo ordine (media, varianza, covarianza). Un
processo che rispetti tali proprietà è definito processo stocastico stazionario in senso lato o debole.
Generalmente si considera solo quest‟ultimo tipo di stazionarietà nelle applicazioni, riconducendo
la verifica alle proprietà di media, varianza e autocovarianza. In particolare diremo che un processo
è stazionario in senso lato se verifica le seguenti condizioni:
1. EX ( t ) , per ogni t
2. EX (
2
) 2
, per ogni t
t
3. E[( Xt )( X s )] st , per ogni coppia ( ts , )
La prima condizione richiede che il valor medio del processo sia costante e pari a al
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finita e costante al variare di t;
variare di t; la seconda impone che il processo abbia varianza
l‟ultima condizione infine implica che per ogni t e s esista la funzione di autocovarianza fra le
variabili t X e X s . Tutto questo implica l‟esistenza dei momenti fino al secondo ordine, ma non
viene imposta alcuna condizione necessaria sulle funzioni di densità multivariate che caratterizzano
il processo X t . Da questo discende che mentre la stazionarietà in senso stretto implica, quando
esistano i momenti fino al secondo ordine, quella in senso lato, non vale il contrario.
Per quale motivo nella pratica risultano solitamente sufficienti le condizioni deboli di
stazionarietà del processo? Questo è giustificato dal ruolo fondamentale giocato dalla distribuzione
Normale nello studio di molti fenomeni fisici e naturali, per i quali è valido il Teorema del Limite
Centrale: dal momento che, sotto ipotesi di gaussianità, le condizioni di stazionarietà debole sono
sufficienti per avere anche la stazionarietà in senso forte, questo garantisce di potere evitare la
complicata (quando non impossibile) verifica in molteplici situazioni.
Un‟altra proprietà che, come le precedenti, un processo può possedere o meno, è
l‟invertibilità. Si tratta della possibilità di esprimere un processo X t tramite le v.c. precedenti
secondo l‟ordine logico imposto dal parametro t (e quindi ad esempio precedenti temporalmente);
formalmente significa che esistono una funzione lineare h () ed un processo WN A t tali che, per
ogni t, sia possibile scrivere
X h( X , X ,...) A
t t1 t2 t
Quindi la funzione h () collega X t con le variabili X s ( s t)
, e a tale relazione si aggiunge il
processo A t per rendere la stocasticità il processo (in assenza si tratterebbe né più né meno che di
una funzione deterministica di t). L‟invertibilità diventa particolarmente rilevante nello studio di
alcuni modelli che presenteremo in seguito, ma già da qui si può intuire come possa risultare
importante in un‟ottica di previsione, in effetti si tratta della possibilità di regredire il nostro
processo stocastico sui suoi valori passati.
Esiste anche un‟altra classificazione che distingue i cosiddetti processi periodici.
Formalmente diremo che X t è un processo periodico se esiste un valore s tale che, per ogni t
Pr{ Xt Xts}
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