Calcolo Numerico

Esempio 5. Consideriamo il caso di una variabile di tipo int.Nel linguaggio
java questa variabile occupa 16 bit. Il suo intervallo di rappresentazione è
[−32768, 32767]. È interessante notare che i numeri positivi hanno il bit α0 = 0;
di contro i numeri negativi hanno il bit α0 = 1.
2.3.2 Numeri reali
Un numero reale viene memorizzato, nel calcolatore, mediante una stringa di
m + 1 + s cifre nel seguente modo:
dove b ∈ N è la base del numero e
α0α1 · · · αmβ1 · · · βs
(2.9)
α0 ∈ {+, −}, αi, βj ∈ {0, 1, · · · , b − 1} i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , s e α1 = 0
Definiamo rispettivamente la mantissa e l’esponente
ρ =
m
i=1
αib 1−i = α1b 0 + α2b −1 + · · · + αnb 1−m
α1,α2,··· ,αm
(2.10)
η = e − ν (2.11)
La stringa 2.9 andrà a denotare il numero reale r definito di seguito:
r = ± m
i=1
αib 1−i b e−ν , dove e =
s
βjb s−j
j=1
(2.12)
Il numero ν ∈ N è fissato a priori, in modo tale da dividere circa a metà l’intervallo
dei numeri che si possono formare con e bit. Questo viene fatto per evitare
di sprecare un bit per il segno. Infatti il numero ν rappresenta uno shift. Allora
il numero 2.11 risulterà sempre positivo.
Teorema 1. ρ un numero tale che 1 ≤ ρ < b
Vediamo che ρmin ≥ 1; Il minimo valore che può assumere ρ, sia esso ρmin, si
ha quando αi = 0, i = 2, · · · , m e α1 = 1. Quindi
ρmin = α1b 0 + α2b −1 + · · · + αmb 1−m
= α1b
0
0 ≥ 1.
Invece il massimo valore che può assumere ρ, sia esso ρmax, si ha quando αi =
b − 1, i = 1, · · · , m. Quindi
m
ρmax = (b−1)·b 1−i m
= (b−1)·b b −i 1 − b−m
= (b−1)·b·
b − 1 = b·(1−b−m ) ≤ b
i=1
i=1
Teorema 2. e è un numero tale che −ν ≤ e ≤ b s − 1 − ν.
La dimostrazione di questo teorema è del tutto analoga a quella del teorema 1.
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