Calcolo Numerico

2.3.6 Condizionamento del problema
Dato un problema espresso tramite relazioni tra valori numerici, il condizionamento
è un valore che quantifica di quanto viene amplificato l’errore in ogni computazione
tra gli errori sui dati in ingresso e quelli sui dati in uscita. Possiamo
formalizzare il problema come una funzione:
dove
x rappresenta i parametri di input
f rappresenta la descrizione del problema
y rappresenta i dati di output
y = f(x) (2.21)
Senza perdita di generalità possiamo assumere che x, y ∈ R e f : R → R con
f ∈ C 2 Quindi possiamo formalizzare il problema matematico come
dove
˜x = ˜ f(˜x) (2.22)
˜x rappresenta i dati di input perturbati, sia da errori di rappresentazione
che da errori di misurazioni.
˜f rappresenta il metodo numerico utilizzato per risolvere il problema, che
può presentare errori di discretizzazione o convergenza oppure entrambi.
˜y rappresenta i dati di output perturbati in quanto sia i dati di input che
la funzione risultano perturbati.
Risulta interessante quindi studiare come le perturbazioni sui dati in input
affliggono i risultati, supponendo di usare un metodo numerico esatto.
˜y = f(˜x) (2.23)
Ovvero vogliamo valutare la differenza ˜y − y in funzione della differenza ˜x − x.
Se consideriamo gli errori relativi possiamo riscrivere le due differenze in questo
modo:
˜x = x(1 + ǫx), ˜y = y(1 + ǫy) (2.24)
Sviluppando il secondo membro in x delle 2.24, otteniamo
y + yǫy = f(x) + f ′ (x)xǫx + O(ǫ 2 x ) (2.25)
Tenendo conto della 2.21 possiamo sostituire ottenendo
yǫy = f ′ (x)xǫx + O(ǫ 2 x )
Se poi consideriamo uno studio al primo ordine si ottiene che:
|ǫy| ≈
f ′ (x) x
y ∗ |ǫx| ≡ k |ǫx| (2.26)
K il fattore di amplificazione, che misura quanto gli errori sui dati in ingresso
influiscano sui dati in uscita. Ci sono due casi interessanti:
15