Calcolo Numerico

suddetto metodo converge, dobbiamo considerare la funzione di iterazione Φ,
che è caratteristica del metodo numerico:
Φ(xi) = xi − f(xi)
f ′ (xi)
(3.9)
Questa funzione deve godere di una proprietà fondamentale affinché il metodo
iterativo converga:
Enunciamo e dimostriamo il seguente teorema:
x ∗ = Φ(x ∗ ) (3.10)
Teorema 7 (del punto fisso). Sia Φ(x), la funzione di iterazione. Se esistono
δ > 0 e 0 ≤ L < 1, tali che per ogni x, y ∈ (x ∗ − δ, x ∗ + δ) ≡ I e tali che
|Φ(x) − Φ(y)| ≤ L · |x − y|
allora:
1 x ∗ è l’unico punto fisso di Φ in I.
2 se x0 ∈ I allora xi ∈ I ∀i ≥ 0
3 limi→∞xi = x ∗
Dim:
1 (per assurdo): Supponiamo che esista un altro punto fisso ¯x = Φ(¯x) ∈ I.
Otteniamo che
ovvero
|x ∗ − ¯x| = |Φ(x ∗ ) − Φ(¯x)| ≤ L · |x ∗ − ¯x| < |x ∗ − ¯x|
|x ∗ − ¯x| < |x ∗ − ¯x|
che è impossibile.
2 (per induzione): Dalle ipotesi sappiamo che x0 ∈ I. Questo implica che
|x ∗ − x0| < δ Ricordando che 0 ≤ L < 1, abbiamo che:
|x ∗ − x1| = Φ(x ∗ ) − Φ(x0) ≤ L · |x ∗ − x0| < L · δ < δ
3: xi → x ∗ per i → ∞. Abbiamo che
|xi − x ∗ | = |Φ(xi−1) − Φ(x ∗ )| ≤ L · |xi−1 − x ∗ |
= L · |Φ(xi−2 − Φ(x ∗ )| ≤ L 2 · |xi−1 − x ∗ |
= . . .L i · |x0 − x ∗ |
se i → ∞ allora L i → 0. La tesi segue banalmente.
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