Calcolo Numerico

Vediamo l’errore relativo sui dati in ingresso:
ǫx1 = fl(x1) − x1
x1
ǫx2 = fl(x2) − x2
x2
≈ 3.5 ∗ 10 −4
≈ 1.0 ∗ 10 −4
Il risultato afflitto da errori di rappresentazione :
˜y = fl(fl(x1) − fl(x2)) = fl(0.001 ∗ 10 −1 ) = fl(1.0 ∗ 10 −4 ) = 1.000 ∗ 10 −4
Calcoliamo adesso l’errore relativo sul risultato
ǫy =
˜y − y
y = 1.000 ∗ 10−4 − 4.444 ∗ 10−5 4.444 ∗ 10−5 = 1.25
Vediamo adesso la costante k del condizionamento del problema, con i
valori ottenuti
k = |x1| + |x2|
|x1 − x2| = 1.2345678 ∗ 10−1 + 1.2341234 ∗ 10−1 4.444 ∗ 10−5 ≈ 5.5 ∗ 10 3
Abbiamo visto in questo esempio come gli errori relativi sui dati in ingresso
fossero nella norma, ma l’errore relativo sui dati in uscita era abbastanza
alto. Tutto questo in accordo con la costante di condizionamento k che
in questo caso aveva un valore molto elevato 5500. Tenendo conto della
definizione 2.26 abbiamo che
k ∗ min {ǫx1, ǫx2} < ǫy < k ∗ max {ǫx1, ǫx2}
e sostituendo i valori otteniamo
5.5 ∗ 10 3 ∗ 1.0 ∗ 10 −4 < 1.25 < 5.5 ∗ 10 3 ∗ 3.5 ∗ 10 −4 ⇒ 0.55 < 1.25 < 1.925
Moltiplicazione
Studiamo il condizionamento della moltiplicazione di due variabili x1, x2 ∈ R
tali che x1x2 = 0:
y = x1 ∗ x2
(2.30)
Considerando gli errori relativi, otteniammo la seguente espressione:
y(1 + ǫy) = x1(1 + ǫ1)x2(1 + ǫ2) = x1x2(1 + ǫ1 + ǫ2 + ǫ1ǫ2) (2.31)
Trascurando il membro quadratico ǫ1ǫ2, e considerando la 2.30, otteniamo,
|ǫy| ≈ |ǫ1 + ǫ2| ≤ 2ǫx, doveǫx = max {|ǫ1|,|ǫ2|} (2.32)
Perciò il numero di condizionamento k = 2. La moltiplicazione in ogni caso
è un operazione sempre ben condizionata, perché l’errore sui dati in ingresso
amplifica di un fattore 2 l’errore sui dati in uscita.
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