Calcolo Numerico

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Informatica
Calcolo
Numerico
Roberto Balducci
Professore Luigi Brugnano
ANNO ACCADEMICO 2006-2007

Indice
1 Introduzione 3
2 Errori ed aritmetica finita 4
2.1 Errori di discretizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Errori di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Errori di round-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Overflow e underflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 Lo standard IEEE 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.5 Aritmetica finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.6 Condizionamento del problema . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Radici di un equazione 19
3.1 Il metodo di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Criterio d’arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Convergenza locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Criterio d’arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.3 Ancora sul criterio d’arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.4 Radici multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Metodi quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Sistemi lineari 46
4.1 Casi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Matrici diagonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.2 Matrici triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.3 Matrici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Metodi di fattorizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Fattorizzazione LU di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1 Costo computazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Matrici a diagonale dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Matrici sdp: fattorizzazione LDL T . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Fattorizzazione LU con pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Condizionamento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Sistemi lineari sovradimensionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9 Esistenza della fattorizzazione QR . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1

5 Approssimazione di funzioni 79
5.1 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Forma di Lagrange e forma di Newton . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Interpolazione di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Errore nell’interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Condizionamento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6 Ascisse di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7 Interpolazione mediante funzioni spline . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.8 Spline cubiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.9 Calcolo spline cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.10 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati . . . . . . . . . 102
6 Formule di quadratura 104
6.1 Metodo di Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2 Errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Formule composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4 Formule adattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2

Capitolo 1
Introduzione
Il calcolo numerico è una disciplina che rientra nel campo della matematica
applicata.L’obiettivo di questa scienza è dare una soluzione, il più possibile accurata
ed efficiente, a tutti quei problemi di natura matematica. Nel calcolo
numerico, a differenza del calcolo simbolico, importa andare a calcolare la soluzione
con dei vincoli di tempo e precisione. Facciamo l’esempio della centralina
dell’ABS che comanda il servofreno di un automobile. Quando la leva del freno
viene premuta, la centralina deve elaborare i dati in ingresso in tempo e con
una precisione appropriata, altrimenti rischieremmo il bloccaggio delle ruote
con il rischio di provocare un incidente. Come si può facilmente intuire, sono
innumerevoli gli esempi nei quali il calcolo numerico ricopre una fondamentale
importanza. Questa scienza quindi presterà particolare attenzione agli errori che
vengono commessi nelle varie fasi dello sviluppo degli algoritmi atti a ottenere
la soluzione numerica del problema.
3

Capitolo 2
Errori ed aritmetica finita
L’utilizzo di tecnologie digitali, indispensabili nell’analisi numerica, porta inevitabilmente
a rappresentare un valore, sia esso x ∈ R, nell’ambito dell’aritmetica
finita. Con questi valori digitalizzati, poi si svolgono operazioni che potrebero
portare ad un valore nel campo dei reali. Ancora una volta dobbiamo rappresentare
questo risultato con un’aritmetica finita. Vediamo allora come si può
misurare l’errore.
Chiamiamo errore assoluto, e la indichiamo con ∆x, la differenza tra ˜x, il dato
approssimato, e x, il dato esatto.
∆x ≡ ˜x − x (2.1)
Esempio 1. Se x = Π e ˜x = 3.14 l’errore assoluto che commettiamo è pari a
∆x ≈ −1.6 · 10 −3 .
Notiamo subito che l’errore assoluto non fornisce un informazione di per sè
attendibile. Infatti un errore di −1.6 · 10 −3 , risulterebbe essere macroscopico
nel campo delle nanotecnologie, oppure assolutamente trascurabile se parliamo
di distanze intergalattiche. Si ha la necessità quindi di definire l’errore relativo:
ǫx ≡ ∆x
x
= ˜x − x
x
Dalla 2.2 con qualche passaggio algebrico arriviamo alla forma
(2.2)
˜x = x(1 + ǫx) ⇒ ˜x
= 1 + ǫx
x
Pertanto l’errore relativo dobbiamo confrontarlo con l’unità.Un errore relativo ≈
1, ci dice che l’errore commesso è troppo grande. Mentre un errore relativo
dell’ordine di 10−6 , ci dice che abbiamo sbagliato di una parte su un milione,
il che è trascurabile.
Esempio 2. Consideriamo ˜π = 3.14 e π ≈ 3.1415926535.
∆x = ˜π − π ≈ 1.5926535 · 10 −3 ǫx = ∆x
π
≈ 0, 506957354 · 10−3
La cosa si fa interessante se consideriamo l’intero più piccolo del logaritmo in
base 10 dell’errore relativo. Infatti − log 10 |ǫx| ≈ 3, 295028 ⇒ ⌊− log 10 |ǫx|⌋ = 3,
che guarda caso sono il numero di cifre decimali uguali tra il valore approssimato
e quello esatto.
4

2.1 Errori di discretizzazione
Nei problemi matematici molto spesso abbiamo a che fare con funzioni che
operano nel continuo, e che devono essere discretizzate. Facciamo un esempio:
data la funzione f(x) e ¯x ∈ R si chiede di calcolare f ′ (¯x), ma invece di calcolare
la derivata, non sempre evidente, si cercano sue approssimazioni.
Per il nostro scopo usiamo la definizione di rapporto incrementale:
f ′ f(¯x + h) − f(¯x)
(¯x) = limh→0
h
≈ f(¯x + ¯ h) − f(¯x)
¯h
¯h è piccolo e opportunamente scelto, percui l’approssimazione è una quantità
discreta visto che ¯ h non può tendere a 0.
Deduciamo dunque che l’errore corrispondente è appunto l’errore di discretizzazione,
ma vediamo a quanto ammonta: Sviluppiamo quindi con taylor la
funzione f(x)con punto iniziale ¯x con resto al secondo ordine
f(¯x + h) = f(¯x) + h · f ′ (¯x) + h2
2 · f ′′ (ξ) ξ ∈ (¯x, ¯x + h)
f(¯x + h) − f(¯x)
h
h
Possiamo scrivere in modo del tutto equivalente
= f(¯x) + h · f ′ (¯x) + h2
2 · f(2) (ξ) − f(¯x)
= f ′ (¯x)+ h
2 f(2) (ξ)
f ′ f(¯x + h) − f(¯x)
(¯x) = −
h
h
2 f(2) (ξ)
Questo significa che usando il rapporto incrementale per calcolare la derivata
della funzione f(x) nel punto ¯x, si commette un errore pari a h
2f(2) (ξ), che per
h → 0 è un o(h)
Per calcolare la derivata di una funzione, possiamo usare un altro metodo che
risulta più accurato. Consideriamo ad esempio la seguente espressione
f(¯x + h) − f(¯x − h)
2h
Sviluppiamo ancora i due addendi del numeratore
f(¯x + h) = f(¯x) + h · f ′ (¯x) + h2
2 · f(2) (¯x) + h(3)
· f
3!
(3) (ψ)
Dove ψ, ζ ∈ (¯x, ¯x + h)
f(¯x − h) = f(¯x) − h · f ′ (¯x) + h2
2 · f(2) (¯x) − h(3)
· f
3!
(3) (ζ)
f(¯x + h) − f(¯x − h)
2h
= f ′ (¯x) + h2
3! · (f(3) (ψ) + f (3) (ζ))
Con qualche semplificazione arriviamo al seguente risultato:
f ′ (¯x) =
f(¯x + h) − f(¯x − h)
2h
− h2
3! · (f(3) (ψ) + f (3) (ζ))
(2.3)
Per h → 0 l’addendo h2
3! ·(f(3) (ψ)+f (3) (ζ)) si comporta come un o(h 2 ). Questo
sta a significare che approssimando la derivata f ′ (¯x) con la 2.3 si ha un errore
che si comporta come h 2 . In questo modo trasformiamo dunque un problema
continuo in uno discreto, introducendo un errore.
5

2.2 Errori di convergenza
Nell’universo dei metodi matematici, esistono degli algoritmi che forniscono un
risultato tanto più approssimato quante più volte si reitera l’algoritmo stesso.
Sia x ∗ il risultato esatto del problema. Definiamo quindi la funzione di iterazione
come segue:
xn+1 = Φ(xn), n = 0, 1, 2, · · · (2.4)
Cerchiamo di capire come funziona generalmente una funzione di iterazione,
e quali sono le condizioni per le quali questa funzione è consistente.
Il valore iniziale di ingresso della funzione è x0, un approssimazione (a volte
anche molto lasca) di x ∗ . Il metodo si dice convergente se:
lim
n→∞ xn = x ∗
(2.5)
La funzione 2.4 rispetta il teorema del punto fisso; sostanzialmente Φ(x ∗ ) = x ∗ .
La soluzione del problema si ricava solamente iterando infinite volte la funzione
2.4. Quindi affinchè si possa utilizzare la soluzione fornita da un metodo siffatto,
dovremmo definire un opportuno criterio d’arresto. Se arrestiamo l’esecuzione
a n = N − 1, calcoleremo xN. Definiamo quindi l’errore di convergenza come:
xN − x ∗
(2.6)
Vediamo due metodi per calcolare √ 2 = 1, 4142135623730950488016887242097
Esempio 3 (Calcolo di √ 2-prima versione).
Consideriamo la funzione di iterazione seguente
xn+1 = 1
2 (xn + 2
xn
), n = 0, 1, 2, · · · x0 = 2
È interessante notare come l’algoritmo sopra descritto rispetti il teorema del
punto fisso. Infatti
1
2 ·
√
√2 2 2 1
+ √2 = + √ =
2 2 2
√ =
2 √ 2
Vediamo come in Matlab può essere implementata e quali risultati possiamo
ottenere.
risultato=[];
x=2;
y=0;
for i=1:10
y=1/2*(x+2/x);
risultato(i,:)=[i,y];
x=y;
end
Il risultato dell’esecuzione di questo listato è di seguito, mostra sulla colonna
di sinistra l’iterazione i-esima e sulla colonna di destra il valore di xi.Come si
può vedere il metodo converge molto velocemente al valore √ 2
6

1.00000000000000 1.50000000000000
2.00000000000000 1.41666666666667
3.00000000000000 1.41421568627451
4.00000000000000 1.41421356237469
5.00000000000000 1.41421356237309
6.00000000000000 1.41421356237309
7.00000000000000 1.41421356237309
8.00000000000000 1.41421356237309
9.00000000000000 1.41421356237309
10.00000000000000 1.41421356237309
Esempio 4 (Calcolo di √ 2-seconda versione).
Questa è la seconda funzione per il calcolo di √ 2
xn+1 = xn · xn−1 + 2
xn + xn+1
x0 = 2 , x1 = 1.5
Anche questo algoritmo rispetta il teorema del punto fisso. Infatti ipotizzando
che alla n + 1-esima iterazione siamo arrivati a calcolare √ 2 abbiamo che:
√ 2 √ 2 + 2
√ 2 + √ 2 =
2 + 2
2 · √ 2
= 2
√ 2 = √ 2
risultato (1,:)=[0,2];
risultato (2,:)=[1,1.5];
y=0;
for i=3:10
y=(risultato(i-1,2)*risultato(i-2,2)+2)/(risultato(i-1,2)+risultato(i-2,2));
risultato(i,:)=[i-1,y];
end
Come si può notare, a parità di iterazione, la prima verione dell’algoritmo è
molto più efficiente della seconda.
0 2.00000000000000
1.00000000000000 1.50000000000000
2.00000000000000 1.42857142857143
3.00000000000000 1.41463414634146
4.00000000000000 1.41421568627451
5.00000000000000 1.41421356268887
6.00000000000000 1.41421356237310
7.00000000000000 1.41421356237310
8.00000000000000 1.41421356237309
9.00000000000000 1.41421356237310
10.00000000000000 1.41421356237310
11.00000000000000 1.41421356237309
7

2.3 Errori di round-off
Nell’ambito dell’analisi numerica una delle problematiche maggiori è l’analisi
degli errori. In ogni fase di risoluzione di un problema reale si commettono
degli errori. Nella scelta del modello matematico s’introducono gli errori dovuti
all’aggiunta di ipotesi semplificative, ad una incompleta o inesatta deduzione
del modello stesso; tali errori saranno tanto più piccoli quanto più le ipotesi saranno
soddisfatte. Nella fase di discretizzazione del modello s’introduce l’errore
di troncamento analitico, dovuto, ad esempio, alla sostituzione di insiemi continui
con insiemi discreti o all’approssimazione di operazioni basate sul concetto
di infinito con operazioni razionali in numero finito. Nell’ultima fase, infine,
intervengono gli errori di round-off dovuti all’approssimazione di numeri reali
con numeri macchina.
Un calcolatore numerico, infatti, è in grado di rappresentare soltanto un
numero finito di cifre; ne consegue la possibilità che un numero reale introdotto
nel calcolatore sia approssimato. Inoltre le operazioni elementari eseguite su tali
numeri possono e loro volta, produrre risultati non rappresentabili esattamente
nel calcolatore. Pertanto, quando un algoritmo, costituito da una successione
di operazioni elementari, è eseguito su un calcolatore, si ha in generale una
creazione e successiva propagazione di errori. Tali errori sono appunto gli errori
di arrotondamento o round-off.
L’errore di troncamento è una discrepanza introdotta dal fatto che i metodi
numerici utilizzano delle approssimazioni per eseguire calcoli matematici e
rappresentare quantità esatte.
Il risultato prodotto dall’algoritmo differisce, quindi in generale dal risultato
esatto, cioè da quel risultato ideale che si otterrebbe operando con tutte le cifre
richieste. Il risultato dipenderà da come le perturbazioni, cioè la successione
di errori, si amplificheranno. Lo studio del comportamento degli errori nonché
la progettazione di tecniche per contenerne la propagazione, stanno alla base
di qualsiasi algoritmo per il calcolo numerico, in quanto, l’amplificazione di un
errore anche piccolo può addirittura invalidare il risultato dell’algoritmo. In
questo capitolo ci occuperemo di studiare come vengono rappresentati i numeri
nel calcolatore; vedremo anche gli errori che vengono introdotti da questa
operazione. Non andremo a considerare gli errori di propagazione, in quanto
richiederebbe un analisi molto più approfondita.
2.3.1 Numeri interi
Un numero intero viene memorizzato, nel calcolatore, come una stringa di N +1
cifre nel seguente modo:
α0α1 · · · αN
(2.7)
dove b ∈ N è la base del numero e
α0 ∈ {+, −}, αi ∈ {0, 1, · · · , b − 1} i = 1, · · · , N
Con la stringa 2.7 si può rappresentare il numero
N
n = i=1 αibN−i , se α0 = +
N i=1 αibN−i − bN , se α0 = −
8
(2.8)

Esempio 5. Consideriamo il caso di una variabile di tipo int.Nel linguaggio
java questa variabile occupa 16 bit. Il suo intervallo di rappresentazione è
[−32768, 32767]. È interessante notare che i numeri positivi hanno il bit α0 = 0;
di contro i numeri negativi hanno il bit α0 = 1.
2.3.2 Numeri reali
Un numero reale viene memorizzato, nel calcolatore, mediante una stringa di
m + 1 + s cifre nel seguente modo:
dove b ∈ N è la base del numero e
α0α1 · · · αmβ1 · · · βs
(2.9)
α0 ∈ {+, −}, αi, βj ∈ {0, 1, · · · , b − 1} i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , s e α1 = 0
Definiamo rispettivamente la mantissa e l’esponente
ρ =
m
i=1
αib 1−i = α1b 0 + α2b −1 + · · · + αnb 1−m
α1,α2,··· ,αm
(2.10)
η = e − ν (2.11)
La stringa 2.9 andrà a denotare il numero reale r definito di seguito:
r = ± m
i=1
αib 1−i b e−ν , dove e =
s
βjb s−j
j=1
(2.12)
Il numero ν ∈ N è fissato a priori, in modo tale da dividere circa a metà l’intervallo
dei numeri che si possono formare con e bit. Questo viene fatto per evitare
di sprecare un bit per il segno. Infatti il numero ν rappresenta uno shift. Allora
il numero 2.11 risulterà sempre positivo.
Teorema 1. ρ un numero tale che 1 ≤ ρ < b
Vediamo che ρmin ≥ 1; Il minimo valore che può assumere ρ, sia esso ρmin, si
ha quando αi = 0, i = 2, · · · , m e α1 = 1. Quindi
ρmin = α1b 0 + α2b −1 + · · · + αmb 1−m
= α1b
0
0 ≥ 1.
Invece il massimo valore che può assumere ρ, sia esso ρmax, si ha quando αi =
b − 1, i = 1, · · · , m. Quindi
m
ρmax = (b−1)·b 1−i m
= (b−1)·b b −i 1 − b−m
= (b−1)·b·
b − 1 = b·(1−b−m ) ≤ b
i=1
i=1
Teorema 2. e è un numero tale che −ν ≤ e ≤ b s − 1 − ν.
La dimostrazione di questo teorema è del tutto analoga a quella del teorema 1.
9

Teorema 3. Il più piccolo ed il più grande, in valore assoluto, tra i numeri di
macchina diversi da zero, sono rispettivamente:
r1 = ρmin · b −ν
(2.13)
r2 = ρmax · b emax (2.14)
Definizione 1. Si definisce l’insieme dei numeri di macchina come:
⎧
⎨
M =
⎩ x ∈ R : x = ±ρbe m
, ρ = αib 1−i s
, e = βjb s−j
⎫
⎬
∪ {∅} (2.15)
⎭
i=1
Definizione 2. Definiamo allora l’insieme
j=1
I = [−r2, −r1] ∪ {0} ∪ [r1, r2] (2.16)
Dobbiamo sottolineare che M ⊆ I, in quanto I un insieme definito nel
continuo, mentre M è definito nel discreto.
Si rende necessario quindi definire una funzione:
fl : I → M (2.17)
che prende in input un numero reale x ∈ R e restituisce in output fl(x) ∈ M.
In generale nell’applicazione della funzione fl si genera un errore di rappresentazione
dovuto al fatto che quasi sempre fl(x) = x. Dato un generico elemento
positivo di I
x = (α1α2 · · ·αmαm+1 · · · )b e−ν
Elenchiamo di seguito le due possibili rappresentazioni:
• Rappresentazione per troncamento
fl(x) = (α1α2 · · · αm)b e−ν
(2.18)
Questo vuol dire che abbiamo troncato la mantissa di x alla sua m-esima
cifa significativa.
• Rappresentazione per arrotondamento
con
fl(x) = (α1α2 · · · αm−1˜αm)b e−ν
˜αm =
αm, se αm+1 < b/2
αm + 1, se αm+1 ≥ b/2
(2.19)
(2.20)
Nel caso in cui ˜αm ≥ b ci sarà evidentemente un riporto sulle cifre precedenti
la m-esima.
Definiamo quindi due casi particolari per la funzione fl(x):
• fl(0) = 0
• fl(x) = −fl(−x), se x ∈ I, x < 0
Definizione 3. Il numero u viene definito precisione di macchina
1−m b , in caso di troncamento
u =
1/2 · b1−m , in caso di arrotondamento
Teorema 4. Se x ∈ I e x = 0 allora:
fl(x) = x · (1 + ǫx)
10

2.3.3 Overflow e underflow
Quando si vuole rappresentare numeri non contenuti in I (vedi 2.16), si può
incorrere in condizioni d’errore. Due casi particolari si hanno quando:
• |x| > r2. In questo caso si verifica una condizione di overflow.
• 0 < |x| < r1. In questo caso invece si verifica una condizione di underflow.
Nella prossima sezione verranno illustrati i metodi di recovery secondo lo standard
IEEE 754 delle situazioni sopracitate.
2.3.4 Lo standard IEEE 754
Circa 40 anni fa l’anarchia minacciava l’aritmetica in virgola mobile.Oltre una
dozzina di aritmetiche proprietarie, vantavano diverse wordsize 1 , precisioni,
procedure di arrotondamento, e diversi comportamenti in caso di owerflow e
underflow. Sviluppare codice portabile divenne molto presto economicamente
costoso, visto la diversità di aritmetica mobile nelle svariate architetture. Circa
30 anni fa, quando lo standard divenne ufficiale, la maggior parte dei produttori
di microprocessori adottò questa architettura, malgrado la sfida lanciata dagli
implementatori.Con un altruismo inaspettato, gli hardware designers uscirono
dalla competizione per la progettazione della miglior aritmetica, con la speranza
di incoraggiare e facilitare un più massiccio sviluppo di software numerico.
Appunto fu creato lo standard ANSI/IEEE Std 754-1985. Questo standard
fu definito per fare in modo che lo stesso software, potesse essere eseguito su
più piattaforme, solamente ricompilando il codice sorgente, e con il requisito
di dare lo stesso risultato se eseguito su piattaforme differenti. Lo standard in
questione definisce tre tipi di formati per i numeri in virgola mobile: single,
double, double extended. Affinché una macchina possa vantare di rispettare lo
standard, deve implementare correttamente i numeri in virgola mobile in singola
e doppia precisione. La doppia precisione estesa, infatti, opzionale, e non tutte
le piattaforme e linguaggi la implementano. La mantissa memorizzata in forma
binaira (base 2):
. 1.f se il numero normalizzato ovvero se la prima cifra 1.
. 0.f se il numero denormalizzato.
Siccome la cifra della parte intera è sempre nota a priori, è possibile ometterla,
risparmiando così 1 bit per la sua memorizzazione esplicita.
Di seguito vengono mostrate più in dettaglio le due forme per i numeri in
virgola mobile.
• Singola precisione
1 8 23 lunghezza in bit
+-+--------+-----------------------+
|s| e | f |
+-+--------+-----------------------+
32 31 23 0 indice dei bit
1 lunghezza di un istruzione
11

Come si può vedere dalla rappresentazione ascii, la singola precisione memorizza
un numero in virgola mobile usando 32 bit, dei quali uno usato
per il segno (e), otto per l’esponente (s) e i restanti ventitre per la mantissa
(f ). Con riferimento alla notazione usata in (2.9)-(2.12) sono da
considerare i seguenti casi:
. se 0 < e < 255, la mantissa è normalizzata e ν = 127;
. se e = 0 e f = 0, la mantissa è denormalizzata e ν = 126;
. se e = f = 0, si ha zero (negativo o positivo);
. se e = 255, α0 = 0, f = 0, si ha +inf;
. se e = 255, α0 = 1, f = 0, si ha -inf;
. se e = 255, f = 0, si ha un Nan (Not a Number);
IEEE 754 definisce che le seguenti operazioni diano come risultato Nan:
– √ numero negativo, radice di un numero negativo;
– 0 ∗ ∞ zero moltiplicato infinito;
– 0.0/0.0 zero diviso zero;
– ∞/∞ infinito diviso infinito;
– numero%0.0 resto della divisione di un numero per zero (operazione
modulo);
– ∞%numero resto della divisione di infinito per un numero;
– ∞ − ∞ infinito meno infinito (n.b. ∞ + ∞ = ∞);
• Doppia precisione
1 11 52 lunghezza in bit
+-+-----------+----------------------------------------------------+
|s| e | f |
+-+-----------+----------------------------------------------------+
64 63 52 0 indice dei bit
. se 0 < e < 2047, la mantissa normalizzata e ν = 1023;
. se e = 0 e f = 0, la mantissa denormalizzata e ν = 1022;
. se e = f = 0, si ha zero (negativo o positivo);
. se e = 2047, α0 = 0, f = 0, si ha +inf;
. se e = 2047, α0 = 1, f = 0, si ha -inf;
. se e = 2047, f = 0, si ha un Nan (Not a Number);
Esempio 6. Calcoliamo con l’aiuto di matlab i seguenti numeri in doppia
precisione:
. il più grande numero di macchina
12

help realmax
REALMAX Largest positive floating point number.
x = realmax is the largest double precision floating point number
representable on this computer. Anything larger overflows.
>> REALMAX(’double’)
ans = 1.797693134862316e+308
. il più piccolo numero di macchina normalizzato positivo
>> help realmin
REALMIN Smallest positive floating point number.
x = realmin is the smallest positive normalized double precision floating
point number on this computer. Anything smaller underflows or is an IEEE
"denormal".
>> REALMIN(’double’)
ans = 2.225073858507201e-308
. il più piccolo numero di macchina denormalizzato positivo.
Per calcolare questo numero non vi è una funzione precisa. Però dalla definizione
di numero denormalizzato (2.12), possiamo ricavarlo facilemte.
Infatti il più piccolo numero denormalizzato è quello con mantissa composta
da tutti zeri tranne il primo bit settato a 1, esponente settato a zero, e
ν settato a 1022. Quindi basta calcolare la formula 2 1−53 2 − 1022, ottenuta
dalla 2.12 sostituendo i valori di m, i, e ν. Ecco il risultato ottenuto:
>> (2^-52)*(2^-1022)
ans = 4.9407e-324
. la precisione di macchina
>> help eps
eps returns the distance from 1.0 to the next largest double-precision number,
that is eps = 2^(-52).
>> eps
ans = 2.220446049250313e-016
2.3.5 Aritmetica finita
Quando effettuiamo delle operazioni matematiche, sappiamo che valgono determinate
proprietà. In particolare se condideriamo la somma, sappiamo che gode
delle proprietà commutativa e associativa. Essa viene preservata nel caso di
numeri interi. Ciò non accade con i numeri in virgola mobile. Infatti quando
13

sommiamo due nuemri, x e y, in aritmetica finita, x ⊕ y, devono prima essere
convertiti in numeri di macchina, dopodiché si esegue la somma e si rappresenta
il risultato come numero di macchina; Con riferimento alla funzione 2.17,
possiamo scrivere:
x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y)), x, y ∈ R
Mostriamo un semplice esempio tratto da [4]:
Esempio 7. In aritmetica esatta, il valore di e è banale:
a = 4/3
b = a − 1
c = b + b + b
e = 1 − c
Infatti esso è zero. Se in matlab eseguiamo queste righe di codice,
a=4/3;
b=a-1;
c=b+b+b;
e=1-c
il risultato sarà:
e =2.220446049250313e-016
Ancora un altro esercizio sulla rappresentazione dei numeri in virgola mobile
in aritmetica finita:
Esempio 8. x=0;
delta=0.1;
while x ~= 1
x = x+delta;
end
Il risultato è che il ciclo è infinito, perché la condizione non è mai vera.
Cosideriamo questa istruzione t = 0.1. Il valore di t non è esattamente 0.1,
perché la frazione 1
10 ,per essere espressa in aritmetica finita , richiede una serie
infinita. Infatti:
1 1 1 0 0 1 1 0 0 1
= + + + + + + + + + · · ·
10 24 25 26 27 28 29 210 211 212 Dopo il primo termine, la sequenza di coefficienti 1,0,0,1, si ripete all’infinito.
Il numero reale 0.1, ottenuto dal’arrotondamento della suddetta serie al 53◦ termine, incluso l’arrotondamento degli ultimi quattro coefficienti, in binario
1010. Se raggruppiamo i termini della serie descritta a gruppi di 4, possiamo
riscriverla in base 16, ovvero esadecimale, ne seguente modo:
t = (1 + 9 9 9 9 9
+ + + · · · + + ) ∗ 2−4
16 162 163 1612 1613 Il comando Matlab, format hex, ci può far vedere il contenuto di t in fomra
esadecimale che è 3fb999999999999a. I primi tre caratteri 3fb si riferiscono
all’esponente polarizzato e + 1023, dove e = −4. Gli altri tredici caratteri sono
la rappresentazione della frazione f. Concludendo, il valore memorizzato in t,
si avvicina molto a 0.1, ma non è esattamente 0.1.
14

2.3.6 Condizionamento del problema
Dato un problema espresso tramite relazioni tra valori numerici, il condizionamento
è un valore che quantifica di quanto viene amplificato l’errore in ogni computazione
tra gli errori sui dati in ingresso e quelli sui dati in uscita. Possiamo
formalizzare il problema come una funzione:
dove
x rappresenta i parametri di input
f rappresenta la descrizione del problema
y rappresenta i dati di output
y = f(x) (2.21)
Senza perdita di generalità possiamo assumere che x, y ∈ R e f : R → R con
f ∈ C 2 Quindi possiamo formalizzare il problema matematico come
dove
˜x = ˜ f(˜x) (2.22)
˜x rappresenta i dati di input perturbati, sia da errori di rappresentazione
che da errori di misurazioni.
˜f rappresenta il metodo numerico utilizzato per risolvere il problema, che
può presentare errori di discretizzazione o convergenza oppure entrambi.
˜y rappresenta i dati di output perturbati in quanto sia i dati di input che
la funzione risultano perturbati.
Risulta interessante quindi studiare come le perturbazioni sui dati in input
affliggono i risultati, supponendo di usare un metodo numerico esatto.
˜y = f(˜x) (2.23)
Ovvero vogliamo valutare la differenza ˜y − y in funzione della differenza ˜x − x.
Se consideriamo gli errori relativi possiamo riscrivere le due differenze in questo
modo:
˜x = x(1 + ǫx), ˜y = y(1 + ǫy) (2.24)
Sviluppando il secondo membro in x delle 2.24, otteniamo
y + yǫy = f(x) + f ′ (x)xǫx + O(ǫ 2 x ) (2.25)
Tenendo conto della 2.21 possiamo sostituire ottenendo
yǫy = f ′ (x)xǫx + O(ǫ 2 x )
Se poi consideriamo uno studio al primo ordine si ottiene che:
|ǫy| ≈
f ′ (x) x
y ∗ |ǫx| ≡ k |ǫx| (2.26)
K il fattore di amplificazione, che misura quanto gli errori sui dati in ingresso
influiscano sui dati in uscita. Ci sono due casi interessanti:
15

. K ≈ 1 gli errori sui dati in ingresso influiscono pochissimo sui dati in
uscita. In questo caso il problema è ‘ben condizionato’
. K >> 1 gli errori sui dati in uscita sono molto più grandi che sui dati in
ingresso. Quindi anche un piccolissimo errore sui dati di input, dovuto sia
all’imprecisione nella misurazione, che nella rappresentazione in aritmetica
finita, causa un grande errore sui dati di output. In questo caso il problema
si dice ‘mal condizionato’.
Osserviamo il condizionamento delle operazioni aritmetiche fondamentali
Somma
Studiamo il condizionamento della somma di due variabili x1, x2 ∈ R tali che
x1 + x2 = 0:
y = x1 + x2
(2.27)
Considerando gli errori relativi per ognuna delle variabili in gioco, otteniamo:
˜x1 = x1 ∗ (1 + ǫ1)
˜x2 = x2 ∗ (1 + ǫ2)
˜y = y ∗ (1 + ǫy)
Combinando le tre equazioni otteniamo:
y(1 + ǫy) = x1(1 + ǫ1) + x2(1 + ǫ2) = x1 + x2 + x1ǫ1 + x2ǫ2
Considerando la 2.27, riusciamo a trovare la stima che stavamo cercando:
(2.28)
|ǫy| ≤ |x1| + |x2|
|x1 + x2| ǫx ≡ kǫx, ǫx = max {|ǫ1| , |ǫ2|} (2.29)
Ci sono anche in questo caso due casi interessanti:
• x1x2 > 0:se le due variabili hanno segno concorde la somma è ben condizionata,
infatti k = 1.
• x1 ≈ −x2: in questo caso il numero di condizionamento può assumere valori
arbitrariamente grandi. Infatti nella 2.29 il numeratore diventa ‘grande’,
mentre il denominatore diventa ‘piccolo’. Questa situazione porta
fenomeno della cancellazione numerica.
Esempio 9. Vediamo adesso un esempio di cancellazione numerica, ipotizzando
di utilizzare una rappresentazione decimale con arrotondamento
alla quarta cifra significativa.
y =
0.12345678
− 0.12341234
= 0.00004444 = 4.4 ∗ 10 −5
x1
x2
Calcoliamo adesso la rappresentazione in aritmetica finita con arrotondamento
alla quarta cifra decimale:
fl(x1) = 1.235 ∗ 10 −1
fl(x2) = 1.234 ∗ 10 −1
16

Vediamo l’errore relativo sui dati in ingresso:
ǫx1 = fl(x1) − x1
x1
ǫx2 = fl(x2) − x2
x2
≈ 3.5 ∗ 10 −4
≈ 1.0 ∗ 10 −4
Il risultato afflitto da errori di rappresentazione :
˜y = fl(fl(x1) − fl(x2)) = fl(0.001 ∗ 10 −1 ) = fl(1.0 ∗ 10 −4 ) = 1.000 ∗ 10 −4
Calcoliamo adesso l’errore relativo sul risultato
ǫy =
˜y − y
y = 1.000 ∗ 10−4 − 4.444 ∗ 10−5 4.444 ∗ 10−5 = 1.25
Vediamo adesso la costante k del condizionamento del problema, con i
valori ottenuti
k = |x1| + |x2|
|x1 − x2| = 1.2345678 ∗ 10−1 + 1.2341234 ∗ 10−1 4.444 ∗ 10−5 ≈ 5.5 ∗ 10 3
Abbiamo visto in questo esempio come gli errori relativi sui dati in ingresso
fossero nella norma, ma l’errore relativo sui dati in uscita era abbastanza
alto. Tutto questo in accordo con la costante di condizionamento k che
in questo caso aveva un valore molto elevato 5500. Tenendo conto della
definizione 2.26 abbiamo che
k ∗ min {ǫx1, ǫx2} < ǫy < k ∗ max {ǫx1, ǫx2}
e sostituendo i valori otteniamo
5.5 ∗ 10 3 ∗ 1.0 ∗ 10 −4 < 1.25 < 5.5 ∗ 10 3 ∗ 3.5 ∗ 10 −4 ⇒ 0.55 < 1.25 < 1.925
Moltiplicazione
Studiamo il condizionamento della moltiplicazione di due variabili x1, x2 ∈ R
tali che x1x2 = 0:
y = x1 ∗ x2
(2.30)
Considerando gli errori relativi, otteniammo la seguente espressione:
y(1 + ǫy) = x1(1 + ǫ1)x2(1 + ǫ2) = x1x2(1 + ǫ1 + ǫ2 + ǫ1ǫ2) (2.31)
Trascurando il membro quadratico ǫ1ǫ2, e considerando la 2.30, otteniamo,
|ǫy| ≈ |ǫ1 + ǫ2| ≤ 2ǫx, doveǫx = max {|ǫ1|,|ǫ2|} (2.32)
Perciò il numero di condizionamento k = 2. La moltiplicazione in ogni caso
è un operazione sempre ben condizionata, perché l’errore sui dati in ingresso
amplifica di un fattore 2 l’errore sui dati in uscita.
17

Divisione
Studiamo il condizionamento della divisione di due variabili x1, x2 ∈ R tali che
x1x2 = 0:
y = x1
x2
(2.33)
Analogamente a come abbiamo fatto per lo studio del condizionamento della
moltiplicazione, otteniamo,
y(1 + ǫy) = x1(1 + ǫ1)
x2(1 + ǫ2)
≈ x1
x2
(1 + ǫ1)(1 − ǫ2) = x1
(1 + ǫ1 − ǫ2 − ǫ1ǫ2) (2.34)
Trascurando quindi il termine quadratico ǫ1ǫ2 e tenendo conto della 2.33, otteniamo,
|ǫy| ≈ |ǫ1 − ǫ2| ≤ 2ǫx, dove ǫx = max {|ǫ1| , |ǫ2|} (2.35)
Come per la moltiplicazione, il numero di condizionamento della divisione k = 2.
Esempio 10. Dimostriamo che il numero di condizionamento del problema del
calcolo di y = √ x è k = 1/2.
In questo caso la nostra funzione y = √ x = x 1
2 = f(x). Applicando la
definizione del numero di condizionamento 2.26
1 1
2x− 2x
1
k = =
2
1
x− 2
dove la derivata di f(x) è f ′ (x) = 1 1
2x− 2. Come possiamo vedere l’operazione di
radice ammette un buon numero di condizionamento.
18
x2

Capitolo 3
Radici di un equazione
In questo capitolo ci occuperemo di trovare uno zero della funzione f(x). Sia
data la funzione f(x) : [a, b] ∈ R → R, si cerca di trovare un valore di x ∈ R
tale che f(x) = 0. Generalmente la funzione può ammettere:
• un numero finito di soluzioni, per esempio f(x) = (x − 1)(x − 2) 2 ;
• non ammettere alcuna soluzione, per esempio f(x) = x 2 + 5x + 1;
• ammettere un numero infinito di soluzioni, per esempio f(x) = cos(x);
Tuttavia per il nostro problema, prenderemo in considerazione solo il caso
in cui f(x) ammetta almeno una radice reale. Consideriamo quindi nelle nostre
ipotesi che f(a) · f(b) < 0. Essendo la funzione continua in tutto l’intervallo
[a, b], avrà sicuramente uno zero in un punto sia esso x ∗ . Andiamo quindi a
presentare nelle seguenti sezioni due metodi con diversi criteri di convergenza.
3.1 Il metodo di bisezione
Prima di mostrare questo metodo, dobbiamo fare alcune assunzioni sulle funzioni
che andiamo a considerare per il nostro problema. In particolare la funzione
f(x) deve soddisfare le seguenti ipotesi.
• f(x) : [a, b] ∈ R → R
• f continua ∀x ∈ [a, b]
• f(a) · f(b) < 0
Definizione 4. [a, b] si definisce un intervallo di confidenza della funzione f(x)
per la radice se ∃x ∈ [a, b] tale che f(x) = 0.
Di seguito descriviamo i passi che devono essere eseguiti per la corretta
applicazione del metodo di bisezione:
Calcoliamo una prima approssimazione della radice
x ∗ ≈ x1 =
19
a + b
2

• se f(x1) = 0 ⇒ x ∗ = x1
• se f(a) · f(x1) < 0 ⇒ [a, x1]
• se f(b) · f(x1) < 0 ⇒ [x1, b]
Questo è il primo passo. Poi si riapplica il procedimento al nuovo intervallo di
confidenza individuato. Il metodo converge alla soluzione. Si vede chiaramente
infatti che ad ogni iterazione, l’intervallo di confidenza si dimezza, e che l’n −
esimo intervallo di confidenza ha dimensione b−a
2n . Per n → ∞ questo intervallo
tende ad avere dimensione zero, e siccome è un intervallo di confidenza, esso
sarà la radice della funzione. Vediamo una prima implementazione in Matlab
dell’algoritmo di bisezione:
Algoritmo 3.1 (Metodo di bisezione, implementazione basilare).
fa=feval(f,a);
fb=feval(f,b);
x=(a+b)/2;
fx=feval(f,x);
while fx~=0
if fa*fx

|x ∗ b − a
− x1| ≤
2
Quindi il nostro errore nell’approssimare x ∗ con x1 è maggiorato da b−a
2 ,
ovvero la metà dell’intervallo di confidenza iniziale. Sia [ai, bi] l’intervallo di
confidenza dell’i-esima iterazione dell’algoritmo di bisezione. Abbiamo allora
che
|x ∗ − xi| < bi − ai
2
= bi−1 − ai−1
2 2
Il nostro criterio d’arresto sarà
= bi−2 − ai−2
2 3
= . . . = b1 − a1
2 i
b − a
≤ tolx
2i dove tolx rappresenta la tolleranza desiderata. Con qualche semplice passaggio
abbiamo quindi che
b − a
≤ 2i
tolx
Quindi i sarà il numero massimo di iterazioni, per ottenere la tolleranza
richiesta
imax = ⌈log 2(b − a) − log 2(tolx)⌉
Una volta introdotto il concetto di tolleranza, possiamo modificare l’algoritmo
3.5 per ricavarne uno con un criterio d’arresto più efficace. Prima però
dobbiamo risolvere il problema della condizione f(xi) = 0, che difficilmente si
verifica in aritmetica finita. Siccome per ipotesi la funzione è continua nell’intervallo
[a, b], abbiamo che in un intorno di x, sia esso [x − tolx, x + tolx], si
verifica la condizione che |f(xi) − f(x ∗ )| ≤ tolf. Per definizione f(x ∗ ) = 0,
quindi il nuovo criterio d’arresto diventa |f(xi)| ≤ tolf , ovvero
abs(fx)

• f ′ (x ∗ ) ≈ 0 in questo caso, la situazione è favorevole, perché fissato tolf il
criterio d’arresto sarà molto lasco.
• |f ′ (x ∗ )| ≫ 1 in quest’altro caso invece fissato tolx, tolf risulterà molto
più grande.
Per arrivare all’algoritmo finale del il metodo di bisezione, ci serve uno strumento
per calcolare la derivata di un punto. Ebbene ci serviamo della seguente
formula:
f ′ (x ∗ ) ≈ f(bi) − f(ai)
bi − ai
(3.2)
Questa, evidentemente è solo un approssimazione, ma è molto facile da calcolare,
ed è tanto più precisa, quanto più la funzione è regolare e l’intervallo di
confidenza è piccolo. In più, questa formula, ha il vantaggio di costare poco, dal
punto di vista computazionale, perché f(bi)e f(ai) li abbiamo già calcolati.
22

Algoritmo 3.2 (Metodo di bisezione, implementazione definitva).
function[x,i]=bisezione(f,a,b,tolx)
%BISEZIONE implementa il metodo per la ricerca
%della radice di una funzione
%INPUT
% f funzione che contiene uno zero
% a,b estremi dell’intervallo di confidenza
% tolx tolleranza sul valore x tale che
% f(x)=0
%OUTPUT
% x ascissa per la quale si verifica f(x)=0
% i numero di iterazioni dell’algoritmo
if tolx

Dalla 3.1, ricaviamo facilmente il fattore di amplificazione per il metodo di
bisezione. Infatti f(x) può essere inteso come la perturbazione sui dati in ingresso
(tenendo conto che il dato esatto in ingresso è f(x ∗ ) = 0), e |x − x ∗ | come
la perturbazione sui dati in uscita. Di conseguenza il fattore di amplificazione
per la radice di una funzione è:
k =
1
|f ′ (x ∗ )|
Definizione 5. (Molteplicità di una radice)
x ∗ è una radice di molteplicità esatta m (m ∈ R) se
f (0) (x ∗ ) = f (1) (x ∗ ) = . . . = f (m−1) (x ∗ ) = 0 e f (m) (x ∗ ) = 0
La radice viene chiamata semplice se m = 1, multipla se m > 1.
Teorema 5. Se x ∗ è una radice di molteplicità esatta m per f(x), allora
si può scrivere così:
f(x) = (x − x ∗ ) m · g(x)
(3.3)
f(x) = f(x ∗ )+f ′ (x ∗ )(x−x ∗ )+. . .+ f(m−1)
(m − 1)! (x∗ )(x−x∗) m−1 + f(m)
m! (ζx)(x−x ∗ ) m
se la radice ha molteplicità m allora tutte le derivate fino alla m−esima si
annullano.
Quando viene usato un metodo iterativo, risulta interessante e addirittura
necessario sapere se, man mano che iteriamo l’algoritmo, l’approssimazione
converge alla soluzione, e con quale velocità converge. Per questo definiamo l’
errore dell’i-esima iterazione come:
ei = xi − x ∗
Diremo perciò che il metodo numerico converge se
(3.4)
lim
i→∞ ei = 0 (3.5)
Definizione 6. (Ordine di convergenza)
Un metodo iterativo ha ordine di convergenza p con costante asintotica c, se si
verifica che
Quando i ≫ 1 abbiamo che
|ei+1|
lim
i→∞ |ei| p = c < ∞
|ei+1| ≈ c · |ei|
|ei+2| ≈ c · |ei+1| ≈ c 2 · |ei|
|ei+k| ≈ c k · |ei|
dove c k · |ei| → 0 per k → ∞ se e solo se 0 ≤ c < 1
24

Esempio 11 (Bisezione - radice di funzione lineare). Consideriamo in questo
esempio una funzione lineare nell’intervallo [−5, 5]. Nello specifico la funzione
è
f(x) = x + 1
Il grafico risultante è la figura 3.1 Sono stati eseguiti dei test per valutare la
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
X: −1.004
Y: −0.003636
−4
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Figura 3.1: Grafico della funzione lineare y=x+1.
Il valore nel riquadro solamente un indicazione della radice
radice di questa funzione. In particolare è stato interessante vedere il numero
di iterazioni, che l’algoritmo impiegava per trovare la radice, al variare della
tolleranza richiesta
tolx iterazioni f(xi)
10 −1 5 −0.93750000000000
10 −5 19 −1.00000381469727
10 −10 35 −1.00000000005821
Esempio 12 (Bisezione - radice di polinomio di terzo grado). Un altro esempio
dell’applicazione del metodo di bisezione sulla seguente funzione
f(x) = 1
10 x3 + 3x 2 − 100
considerata nell’intervallo [−30, 15]. Il grafico risultante è la figura 3.2 Come
nell’esempio precedente sono stati effettuati dei test con diverse tolleranze. Di
seguito vi è la tabella con i risultati ottenuti
tolx iterazioni f(xi)
10 −1 8 28.76953125000000
10 −5 21 −28.79384279251099
10 −10 21 −28.79384279251099
25

1000
800
600
400
200
0
X: −28.79
Y: 0.06525
−200
−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15
Figura 3.2: Grafico della funzione cubica y = 1
10 x3 + 3x 2 − 100.
Il valore nel riquadro è solamente un indicazione della radice
È interessante notare come il valore f(xi) non cambi portando la tolleranza da
10 −5 a 10 −10 . In accordo con l’analisi sul condizionamento della radice, si nota
come la derivata del polinomio di terzo grado nella sua radice, sia relativamente
alta. Questo fa in modo che il vincolo sulla tolleranza sia meno stringente.
Esempio 13 (Bisezione - radice della funzione trigonometrica coseno). L’ultimo
esempio che viene proposto riguarda la funzione
f(x) = cos(x)
considerata nell’intervallo [0, 6]. Il grafico risultante è la figura 3.3
Come nell’esempio precedente sono stati effettuati dei test con diverse tolleranze.
Di seguito vi è la tabella con i risultati ottenuti
tolx iterazioni f(xi)
10 −1 6 1.59375000000000
10 −5 18 1.57079315185547
10 −10 34 1.57079632685054
26

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
X: 1.57
Y: 0.0006128
−1
0 1 2 3 4 5 6
Figura 3.3: Grafico della funzione cubica y = cos(x).
Il valore nel riquadro è solamente un indicazione della radice
3.2 Metodo di Newton
Il metodo di Newton-Raphson, anche conosciuto come metodo delle tangenti,
si occupa di trovare la radice della funzione data. Per il suo scopo utilizza, appunto,
delle tangenti a partire da un’approssimazione iniziale, x0. Per calcolare
la successiva approssimazione, si eseguono i seguenti passi:
• prendiamo l’intersezione della funzione f(x) con la retta x = x0
• individuiamo un nuovo punto, sia esso P, sulla curva della funzione f(x),
con coordinate (x0, f(x0))
• tracciamo la retta tangente alla funzione f(x) nel punto P appena individuato
• l’intersezione della retta tangente con l’asse delle ascisse sarà la nuova
approssimazione della radice della funzione.
Consideriamo l’equazione di una retta passante per un punto specificato:
y − f(x0) = m · (x − x0) (3.6)
Il coefficiente angolare nel nostro caso sarà il valore della derivata della
funzione nel punto x0. Sostituendolo al posto del parametro m, otteniamo
y − f(x0) = f ′ (x0) · (x − x0)
A questo punto è facile trovare la nuova approssimazione della radice, perché
basterà porre y = 0 nella precedente equazione per ottenere, con un pò di
passaggi algebrici la formula
27

x = x0 − f(x0)
f ′ (x0)
Iterando il procedimento troviamo la formula generale
xi+1 = xi − f(xi)
f ′ (xi)
(3.7)
Il metodo di newton però richiede che il punto di innesco, x0 sia vicino
alla radice x ∗ . Più precisamente si richiede che la derivata della funzione f(x)
non cambi il segno nell’intervallo [x0, x ∗ ], se x0 ≤ x ∗ , [x ∗ , x0] altrimenti. A
differenza del metodo di bisezione, il metodo delle tangenti, richiede il calcolo
sia della funzione, che della sua derivata. Quindi la funzione in esame deve essere
non solo continua nell’intervallo che stiamo considerando, ma anche derivabile.
Teorema 6. Se f(x) è regolare, il metodo di Newton converge quadraticamente
verso radici semplici.
Dim.: Sia x ∗ la radice verso la quale il metodo converge. Per ipotesi la
funzione f(x) ∈ C 2 , quindi esiste ξi compreso tra x ∗ e xi per il quale vale:
0 = f(x ∗ ) = f(xi) + f ′ (xi)(x ∗ − xi) + 1
2 f ′′ (ξi)(x ∗ − xi) 2
= f ′ (xi)
f(xi)
f ′ (xi) − xi + x ∗
+ 1
2 f ′′ (ξi)(x ∗ − xi) 2
Considerando la 3.7 e che xi − x ∗ = ei, otteniamo
ei+1
e 2 i
= f ′′ (ξi)
2f ′ (xi)
(3.8)
Sono semplici passaggi algebrici ma risultano più chiari se visti nel seguente
modo
f ′ (xi)( f(xi)
f ′ − xi +x
(xi)
∗
) + 1
−xi+1
−ei+1
2 f ′′ (ξi)(x ∗ − xi) 2
(−ei) 2
La 3.8 è ben definita, perché per ipotesi f ′ (x) = 0 Quindi nel caso in cui il
metodo è convergente risulta che
e1+1
lim
i→∞ e2 =
i
f ′′ (x∗ )
2f ′ (x∗ )
Dalla definizione 6 risulta evidente che l’ordine di convergenza è p = 2.
3.2.1 Convergenza locale
Abbiamo visto che il metodo di bisezione, converge globalmente sotto alcune
ipotesi. Al contrario, per il metodo di Newton, la convergenza è garantita solo
localmente ad determinato intorno. Al fine di provare sotto quale ipotesi, il
28

suddetto metodo converge, dobbiamo considerare la funzione di iterazione Φ,
che è caratteristica del metodo numerico:
Φ(xi) = xi − f(xi)
f ′ (xi)
(3.9)
Questa funzione deve godere di una proprietà fondamentale affinché il metodo
iterativo converga:
Enunciamo e dimostriamo il seguente teorema:
x ∗ = Φ(x ∗ ) (3.10)
Teorema 7 (del punto fisso). Sia Φ(x), la funzione di iterazione. Se esistono
δ > 0 e 0 ≤ L < 1, tali che per ogni x, y ∈ (x ∗ − δ, x ∗ + δ) ≡ I e tali che
|Φ(x) − Φ(y)| ≤ L · |x − y|
allora:
1 x ∗ è l’unico punto fisso di Φ in I.
2 se x0 ∈ I allora xi ∈ I ∀i ≥ 0
3 limi→∞xi = x ∗
Dim:
1 (per assurdo): Supponiamo che esista un altro punto fisso ¯x = Φ(¯x) ∈ I.
Otteniamo che
ovvero
|x ∗ − ¯x| = |Φ(x ∗ ) − Φ(¯x)| ≤ L · |x ∗ − ¯x| < |x ∗ − ¯x|
|x ∗ − ¯x| < |x ∗ − ¯x|
che è impossibile.
2 (per induzione): Dalle ipotesi sappiamo che x0 ∈ I. Questo implica che
|x ∗ − x0| < δ Ricordando che 0 ≤ L < 1, abbiamo che:
|x ∗ − x1| = Φ(x ∗ ) − Φ(x0) ≤ L · |x ∗ − x0| < L · δ < δ
3: xi → x ∗ per i → ∞. Abbiamo che
|xi − x ∗ | = |Φ(xi−1) − Φ(x ∗ )| ≤ L · |xi−1 − x ∗ |
= L · |Φ(xi−2 − Φ(x ∗ )| ≤ L 2 · |xi−1 − x ∗ |
= . . .L i · |x0 − x ∗ |
se i → ∞ allora L i → 0. La tesi segue banalmente.
29

3.2.2 Criterio d’arresto
Come per il metodo di bisezione, è necessario definire un criterio d’arresto. Per
questo condiseriamo la seguente espressione:
|xi+1 − xi| = xi+1
− x
∗
+x
∗
− xi
= |ei − ei+1|
−ei+1
Quando il metodo di Newton converge quadraticamente, nelle vicinanze della
radice, l’addendo ei+1, risulta essere poco significativo, quindi ha senso compiere
questa approssimazione
ei
|ei − ei+1| ≈ |ei| ≤ tolx
Quindi il controllo |ei| ≤ tolx lo implementeremo con |xi+1 − xi| ≤ tolx.
Dall’espressione 3.7, ricaviamo che
Allora il nuovo controllo diviene:
|xi+1 − xi| = |f(xi)|
|f ′ (xi)|
|f(xi)| ≤ tolx · |f ′ (xi)| (3.11)
Vediamo allora la prima implementazione dell’algoritmo del metodo di Newton
30

Algoritmo 3.3 (Metodo di Newton).
%NEWTON implementa il metodo delle tangenti
%per la ricerca della radice di una funzione
%INPUT
% f funzione che contiene uno zero
% df derivata della funzione f
% x0 punto di partenza dell’algoritmo
% toll tolleranza sul valore x tale che
% f(x)=0
%
%OUTPUT
% zero ascissa per la quale f(zero)=0
% niter numero di iterazioni
function [zero, niter]=newton(f,df,x0,toll,nmax)
x = x0;
fx = feval(f, x);
fpx = feval(df, x);
niter = 0;
dif = toll+1;
while dif > toll & niter

function f=dcubica2(x)
f = (3/100).*x.^2;
Ricordiamoci infatti che per applicare il metodo di newton serve anche specificare
la derivata della funzione. Il grafico delle funzione cubica e della sua derivata
è mostrato in figura 3.4
Risulta interessante vedere come risponde il metodo di newton al variare del
15
10
5
0
f(x)=x 3 /100 + 5
D(f (x))=x 2 /100
−5
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 3.4: Grafico della funzione cubica e della sua derivata.
punto di innesco e della tolleranza Ecco una tabella riassuntiva:
radice iterazioni
newton(’cubica2’,’dcubica2’,5,0.00001,100) -7.93700525984119 8
newton(’cubica2’,’dcubica2’,-2,0.00001,100) -7.93700525984100 10
newton(’cubica2’,’dcubica2’,-50,0.00001,100) -7.93700525984100 9
newton(’cubica2’,’dcubica2’,-50,eps,100000) -7.93700525984100 100001
newton(’cubica2’,’dcubica2’,-50,eps*10,100) -7.93700525984100 10
È interessante notare come a parità di tolleranza (10 − 5) , ma con differente
punto di innesco, le iterazioni varino di poco. Le ultime due righe della tabella
invece, fanno notare come la radice −7.93700525984100 rientri sostanzialmente
nella tolleranza della precisione di macchina.
Esempio 15. Abbiamo visto che il metodo di newton converge alla radice della
funzione solo sotto alcune ipotesi, una delle quali è che la derivata prima della
funzione che ammette radice, non cambi di segno. Se la derivata prima cambia
di segno infatti, si può avere un ciclo infinito. Questo comportamento viene
evidenziato bene in figura 3.5
Si vede benissimo infatti che l’intersezione delll’asse delle ascisse con la tangente
alla funzione coseno nel punto x0, produce una nuova approssimazione
x1. Ancora una volta vediamo che l’intersezione delll’asse delle ascisse con
32

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
x 0
( x 0 , f ( x 0 ) )
( x 1 , f ( x 1 ) )
3.5 4 4.5 5 5.5 6
Figura 3.5: Grafico dell’applicazione del metodo di newton
alla funzione coseno.
la tangente alla funzione coseno nel punto x1, produce l’ approssimazione x0.
Quindi in questo caso il metodo di newton non converge. Questo esempio è stato
generato in matlab con il seguente listato dell’algoritmo 3.4.
33
x 1

Algoritmo 3.4.
function[a]=esempio(tol,passo)
%Esempio di come il metodo di newton non converga
%in presenza di un cambio di segno della derivata
%in due punti x0 e x1.
format long e;
ok=0;
x0max=3.5468277953;
for x0=3.546827795175:passo:x0max
fx0=cos(x0);
x1=x0-(fx0/-sin(x0));
fx1=cos(x1);
x01=x1-(fx1/-sin(x1));
if abs(x0-x01)

y=[0:0.01:cos(x1)];
plot(x1,y,’r--’);
y=[0:-0.01:cos(x0)];
plot(x0,y,’r--’);
L’output invece è il seguente
>> esempio(eps*10,eps)
x0 3.5468277951774785000e+000
x1 5.8779501655919013000e+000
fx0 -9.1900972156043170000e-001
fx1 9.1900972156043181000e-001
f1x0 3.9423486867274654000e-001
f1x1 3.9423486867274649000e-001
ans =
>>
3.546827795177479e+000
3.2.3 Ancora sul criterio d’arresto
Il criterio d’arresto 3.11, è un controllo sull’errore assoluto. Quando la radice
della funzione ha un valore molto grande, risulta poco efficiente un controllo del
genere. Per questo motivo vorremmo un controllo sull’errore assoluto quando la
radice è vicino a zero, mentre vorremmo un controllo sull’errore relativo quando
la radice è un numero molto grande
∗ tolx, se x ≈ 0
|xi+1 − xi| ≤
rtolx · |xi+1| , se x∗ ≫ 1
Quindi si preferisce utilizzare il seguente controllo:
|ei|
tolx + rtolx · |x∗ ≤ 1 (3.12)
|
Quando siamo molto vicini alla radice della funzione, ha senso approssimare
x ∗ con xi+1 e |ei| con |xi+1 − xi|. Inoltre viene anche considerata l’uguaglianza
rtolx = tolx. Per cui, sostituendo le varie approssimazioni e facendo qualche
passaggio algebrico, otteniamo il nuovo criterio d’arresto:
|xi+1 − xi|
1 + |xi+1|
≤ tolx (3.13)
In questo modo quando x ∗ ≈ 0 si ha un controllo simile a |xi| ≤ tolx, mentre
quando x ∗ ≫ 1, viene effettuato un controllo relativo.
35

3.2.4 Radici multiple
Se la funzione ammette più di una radice, il metodo di newton risulta malcondizionato,
e il fattore p , detto ordine di convergenza (definizione 6), assume
valore 1. È però possibile, attraverso alcune modifiche riportare la convergenza
quadratica.
• Molteplicità della radice nota Supponiamo, per semplicità, di avere
una funzione siffatta:
f(x) = (x − x ∗ ) m
Se applichiamo il metodo di newton, abbiamo che
x1 = x0 −
(x0 − x ∗ ) m
m · (x0 − x ∗ ) m−1 = x0 − 1
m · (x0 − x ∗ )
f(x 0 )
f ′ (x 0 )
Quindi, conoscendo la molteplicità esatta, é possibile ottenere la soluzione
moltiplicando per il fattore m.
xi+1 = xi − m · f(xi)
f ′ , i = 0, 1, 2 . . .
(xi)
Con questa modifica si ripristina la convergenza quadratica verso una delle
radici.
• Molteplicità della radice non nota Siccome in questo caso, il metodo
converge solo linearmente, abbiamo che ei ≈ c · ei−1 e ei+1 ≈ c · ei.
dividendo membro a membro otteniamo che:
e1
ei+1
≈ ei−1
ei
considerando l’equazione 3.4, con i seguenti passaggi arriviamo al risultato
voluto:
(xi−1 − x ∗ )(xi+1 − x ∗ ) ≈ (xi − x ∗ ) 2
xi+1xi−1 − x ∗ (xi+1 + xi−1) + (x ∗ ) 2 ≈ x 2 i − 2xix ∗ + (x ∗ ) 2
xi+1xi−1 − x 2 i ≈ x ∗ · (xi+1 + xi−1) − 2xix ∗
xi+1xi−1 − x 2 i ≈ x∗ · (xi+1 + xi−1 − 2xi)
x ∗ ≈ x ∗ i ≈
xi+1xi−1 − x 2 i
xi+1 + xi−1 − 2xi
(3.14)
A partire da un punto iniziale x0, si calcolano due approssimazioni, siano esse
x (0)
1 e x (0)
2 . Con quest’ultime due approssimazioni, e x0, si può calcolare x (1)
0 .
È possibile reiterare il procedimento semplicemente ponendo x0 = x (1)
0 .
36

Algoritmo 3.5 (Metodo di Newton: accelerazione di Aitken).
%AITKEN
%function [x,passi]=Aitken(f,df,x0,epsilon,upper)
%
% Trova la radice della funzione f
%INPUT
% f funzione che contiene uno zero
% df derivata della funzione f
% x0 punto di partenza dell’algoritmo
% toll tolleranza sul valore x tale che
% f(x)==0
% imax numero massimo di iterazioni
%
%OUTPUT
% zero ascissa per la quale f(zero)=0
% iterazioni numero di iterazioni
function [x,iterazioni]=Aitken(f,df,x0,toll,imax)
f0=feval(f,x0);
d=feval(df,x0);
x1=x0-(f0/d);
f1=feval(f,x1);
d=feval(df,x1);
x2=x1-(f1/d);
f2=feval(f,x2);
i=0;
while (iabs(toll*d)
i=i+1;
x0=(x1*x1-x0*x2)/(2*x1-x2-x0);
f0=feval(f,x0);
d=feval(df,x0);
x1=x0-(f0/d);
f1=feval(f,x1);
d=feval(df,x1);
x2=x1-(f1/d);
f2=feval(f,x2);
end
x=x2;
iterazioni=i+2;
return
Il metodo di accelerazione di aitken in sostanza ripristina la convergenza
quadratica nel caso in cui la funzioni presenti radici multiple con molteplicità
37

sconosciuta. Osserviamo che possiamo utilizzare lo stesso criterio d’arresto del
metodo di newton 3.3 in quanto la convergenza non è più lineare ma quadratica
Esempio 16. In questo esempio confrontiamo il metodo di Newton base, con
quello dell’accelerazione di Aitken. La funzione in esame è la seguente:
y = (x − 5) 5
(3.15)
I file pol5.m e dpol5.m, infatti rappresentano la precedente funzione e la sua
derivata. Eccone il contenuto:
function f = pol5(x)
f=(x -5).^5;
function f = dpol5(x)
f=5.*(x-5).^4;
Mostriamo il grafico delle due funzioni sopracitate: La cosa sorprendente è la
5
4
3
2
1
0
−1
4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
Figura 3.6: Grafico della funzione 3.15 e della sua derivata.
differenza nel numero di iterazioni che i metodi, di Newton e Aitken, impiegano
per trovare la radice con tolleranza 10 −14 . Di seguito mostriamo l’output delle
prove effettuate:
>> [radice,iterazioni]=newton(’pol5’,’dpol5’,6,10^-14,10000);
>> radice
radice =
5.0000
>> iterazioni
38
X: 5
Y: 0
(x−5) 5
5⋅(x−5) 4

iterazioni =
139
>> [radice,iterazioni]=Aitken(’pol5’,’dpol5’,6,10^-14,10000);
>> radice
radice =
5.0000
>> iterazioni
iterazioni =
3
3.3 Metodi quasi-Newton
Ci sono alcune varianti del metodo di Newton, che risultano computazionalmente
meno dispendiose, ma anche meno performanti. In generale lo schema
da seguire è il seguente:
xi+1 = xi − f(xi)
, i = 0, 1, 2, . . ., ϕi ≈ f ′ (xi) (3.16)
φi
Con questa generalizzazione affrontiamo due metodi:
• Metodo delle corde L’idea di base è quella di calcolare solo una volta
la derivata della funzione. Infatti, localmente alla radice, la derivata
prima della funzione, varierà di poco. Per questo la derivata convergerà
alla radice della funzione con la stessa inclinazione. Si procede con
l’approssimazione f ′ (xi) ≈ f ′ (x0) per definire il seguente metodo:
xi+1 = xi − f(xi)
f ′ , i = 0, 1, 2, . . . (3.17)
(x0)
Questo metodo valuta solo una volta la derivata prima e per questo richiede
poche risorse. Ma se da un lato richiede poche risorse, dall’altro lato
non offre grandi prestazioni. Infatti il metodo delle corde converge solo
linearmente
• Metodo delle secanti L’idea che è alla base di questo metodo, è di ottenere
la successiva approssimazione della radice, a partire da una secante
la curva. Praticamente i passi da seguire sono i seguenti:
. Al primo passo si individuano due punti, x0 e x1.
. Si valuta la secante della curva nei punti (f(x1), x1) e (f(x0), x0).
39

. La prossima approssimazione è calcolata come l’intersezione della
secante con l’asse delle ascisse.
La funzione ϕ definita nello schema generale dei metodi quasi-newton
nell’equazione 3.16, in questo caso risulta essere così fatta:
f ′ (xi) ≈ f(xi) − f(xi−1)
xi − xi−1
Pertanto l’iterazione dell’algoritmo diviene
≡ ϕi. (3.18)
xi+1 = f(xi) · xi−1 − f(xi−1) · xi
, i = 1, 2, . . . (3.19)
f(xi) − f(xi−1)
Come vedremo nell’algoritmo 3.7, per determinare il punto x1, viene usato
un passo dell’algoritmo di Newton.
40

Algoritmo 3.6 (Metodo delle corde).
%CORDE
%[x,passi]=corde(f,df,x0,toll,imax)
% Trova la radice della funzione f
%INPUT
% f funzione che contiene uno zero
% df derivata della funzione f
% x0 punto di partenza dell’algoritmo
% toll tolleranza sul valore x tale che
% f(x)==0
% imax numero massimo di iterazioni
%
%OUTPUT
% zero ascissa per la quale f(zero)=0
% iterazioni numero di iterazioni
function [radice,iterazioni]=corde(f,df,x0,toll,imax)
i=0;
d=feval(df,x0);
while(itoll)
i=i+1;
x0=x0-(feval(f,x0)/d);
end
radice=x0;
iterazioni=i;
return
41

Algoritmo 3.7 (Metodo delle Secanti).
%SECANTI
%[x,passi]=secanti(f,df,x0,toll,imax)
% Trova la radice della funzione f
%INPUT
% f funzione che contiene uno zero
% df derivata della funzione f
% x0 punto di partenza dell’algoritmo
% toll tolleranza sul valore x tale che
% f(x)==0
% imax numero massimo di iterazioni
%
%OUTPUT
% zero ascissa per la quale f(zero)=0
% iterazioni numero di iterazioni
function [radice,iterazioni]=secantiEsempio(f,df,x0,toll,imax)
i=0;
%
while(itoll)
i=i+1;
x2=((fx1*x0)-(fx0*x1))/(fx1-fx0);
fx2=feval(f,x2);
fx1=feval(f,x1);
x0=x1;
fx0=fx1;
x1=x2;
fx1=fx2;
end
radice=x1;
iterazioni=i;
return
Esempio 17 (Corde vs Secanti: due metodi quasi-Newton a confronto). Come
si evince dal titolo, in questo esempio verranno messi a confronto il metodo delle
secanti e quello delle corde. Il confronto sarà effettuato sulla medesima funzione
e con lo stesso punto di innesco. la funione è la seguente:
function f = iperbole(x)
f=10./x -2;
42

Di seguito mostriamo le chiamate dei due metodi, e il loro output
>> [x,iterazioni]=cordeEsempio(’iperbole’,’diperbole’,1,10^-4,1000)
x =
4.9998
iterazioni =
>>
217
>> [x,iterazioni]=secantiEsempio(’iperbole’,’diperbole’,1,10^-4,1000)
x =
5.0000
iterazioni =
>>
7
Con un altro codice sono stati generati i rispettivi grafici, che ci fanno capire
meglio come lavorano i due metodi.
Dai due grafici 3.7 e 3.8, possiamo subito notare il modo in cui viene usata
la retta per l’approssimazione della nuova radice. Infatti nel metodo delle corde,
l’inclinazione della retta rimane la solita fino alla radice, mentre nel metodo
delle secanti è adattiva. Dal punto di vista computazionale, osserviamo che il
metodo delle corde impiega 217 iterazioni contro le 7 del metodo delle secanti.
In realtà il confronto in questo caso è impari. Infatti se scegliessimo un punto
d’innesco più vicino alla radice, potremmo vedere la differenza, tra i due metodi,
assottigliarsi. Concludiamo facendo un analisi sulle operazioni impiegate:
Corde: Vediamo nell’algoritmo 3.6, che c’è subito una valutazione di funzione,
e poi per ogni iterazioni, l’algoritmo effettua due confronti, una moltiplicazione,
due valutazioni di funzione, e due somme. Se utiliziamo la
seguente legenda, C = confronti, M = moltiplicazione o divisione,
V = valutazione i funzione, S = somma o sottrazione, possiamo esprimere
il costo dell’algoritmo in forma parametrica. Alla luce di questa
analisi l’algoritmo delle corde ha un costo di:
Costo(i, C, M, V, S) = V + i · (2C + M + 2V + 2S) (3.20)
Secanti: A differenza del metodo delle corde, ci sono più costi fissi, ovvero più
operazioni che non dipendono dal numero di iterazioni. Abbiamo inoltre
43

8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 3.7: Grafico della funzione 18 e dell’applicazione del metodo delle corde.
due moltiplicazioni e/o divisioni e una somma e/o sottrazione in più del
metodo delle corde.
Costo(i, C, M, V, S) = 3V + M + S + i · (2C + 3M + 2V + 3S) (3.21)
Nel nostro caso, se sostituiamo i valori di i che sono le iterazioni compiute,
troviamo quante operazioni sono state fatte.
C M V S
corde 534 217 535 534
secanti 14 22 17 21
Il vero vantaggio, nell’usare il metodo delle corde piuttosto che quello delle secanti,
risiede nel fatto che il punto di innesco deve essere molto vicino alla radice.
Tanto più il valore della derivata è costante nell’intervallo [x0, x ∗ ], tanto più
risulterà conveniente il metodo delle corde.
44

8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 3.8: Grafico della funzione 18 e dell’applicazione del metodo delle secanti.
45

Capitolo 4
Sistemi lineari
Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un insieme di relazioni
algebriche nella forma
n
aijxj = bi, i = 1, . . .,m (4.1)
j=1
dove xj sono le incognite, aij i coefficienti del sistema e bi i termini noti. D’ora
in poi faremo riferimento al sistema 4.1 con la seguente notazione in forma
matriciale:
Ax = b (4.2)
dove A = (aij) ∈ R mxn la matrice dei coefficienti, b = (bi) ∈ R m il vettore dei
termini noti, e con x = (xi) ∈ R n il vettore incognito. La soluzione del sistema
4.2 è una qualsiasi n-pla di valori che soddisfa l’equazione 4.1.
Prenderemo in considerazione i casi in cui m ≥ n e che la matrice abbia
rango massimo, ovvero rank(A) = n. Una soluzione del sistema può essere
ottenuta tramite la regola di Cramer
xj = ∆j
, j = 1, . . .,n (4.3)
det(A)
dove ∆j è il determinante della matrice ottenuta sostituendo la j-esima colonna
di A con il termine noto b. Tuttavia questo metodo risulta essere assai inefficiente,
ed è per questo che andremo a considerare metodi alternativi alla regola
di Cramer.
4.1 Casi elementari
A seconda delle proprietà che alcuni tipi particolari di matrici posseggono, possiamo
definire metodi numerici studiati ad hoc per la loro risoluzione. Studieremo
il caso di matrici diagonali, triangolari e ortogonali.
4.1.1 Matrici diagonali
Una matrice diagonale presenta la caratteristica di avere gli elementi
46

aij se i = j
aij =
0 altrimenti
Possiamo rappresentarle con un sistema grafico nel seguente modo:
⎛ ⎞
A =
⎜
⎝
a11
. ..
ann
⎟
⎠
Di conseguenza il sistema lineare equivale alla forma
aiixi = bi, per i = 1, . . .,n
la soluzione di suddetto sistema si otterrà calcolando
xi = bi
aii
per i = 1, . . .,n (4.4)
Essendo la matrice A non singolare, il rapporto dell’equazione 4.4 è sempre ben
definito. Il costo computazionale e in termini di occupazione di memoria, è
lineare rispetto alla dimensione della matrice.
47

Algoritmo 4.1 (Matrici diagonali).
%function x=diagonale(A,B)
%
%Se A quadrata e B ha lo stesso numero
%di righe delle colonne di B
%allora questo algoritmo calcola la soluzione
%dell’equazione Ax=B;
%INPUT
% A Matrice dei coefficienti
% B Matrice dei termini noti
%OUTPUT
% x Matrice delle incognite
function x=diagonale(A,B)
[righeA,colonneA]=size(A);
[righeB,colonneB]=size(B);
if righeA==colonneA
if colonneA==righeB
for j = 1:n
if A(i,i)==0
error(’la matrice è singolare’)
else
x(i)=b(i)./A(i,i)
end
end
else
error(’Il numero di colonne della matrice A’)
error(’non è uguale al numero di righe della matrice B’)
end
else
error(’La matrice A non è quadrata’)
end
4.1.2 Matrici triangolari
Con il termine triangolare si distinguono quelle matrici che godono di una delle
seguenti proprietà:
• Superiore: gli elementi aij con i > j sono tutti uguali a zero.
⎛ ⎞
a11 . . . a1n
⎜
A = ⎝
. ..
. ⎟
. ⎠
48
ann

• Inferiore: gli elementi aij con i < j sono tutti uguali a zero
A =
⎛
⎜
⎝
a11
.
. ..
an1 . . . ann
Analiziamo soltanto il caso in cui la matrice A risulti diagonale inferiore, in
quanto l’altro caso è analogo. Otteniamo un sistema di equazioni nella seguente
forma:
a11x1 = b1
⎞
⎟
⎠
a21x1 +a22x2 = b2
a31x3 +a32x3 +a33x3 = b3
.
. ..
an1xn +an2xn + . . . +annxn = bn
Questo sistema può essere risolto con sostituzioni successive nel seguente modo:
x1 = b1
a11
x2 = (b2 − a21x1)
a22
x3 = b3 − a31x1 − a32x2)
.
xn =
a33
bn − n−1 j=1 anjxj
ann
.
.
(4.5)
Come per il metodo per la risoluzione delle matrici diagonali, essendo la matrice
A non singolare, necessariamente aii sarà diverso da zero per ogni i = 1, . . .,n,
quindi le divisioni nelle equazioni 4.5 sono ben definite.
49

Algoritmo 4.2 (Matrici triangolari inferiori).
% slts acronimo di Solve Lower Triangolar System
%INPUT
% A matrice dei coefficienti (triangolare superiore)
% B vettore dei termini noti
% flag se settato a uno controlla la struttura della matrice A
%OUTPUT
% x vettore delle incognite
function [x]=slts(A,b)
[m,n]=size(A);
if(m~=n)
error(’L matrice A non quadrata’);
end
for i=1:n
for j=(i+1):n
if A(i,j) ~=0
error(’A non triangolare inferiore’);
end
end
end
if length(b) ~= n
error(’B non e’’ compatibile’);
end
for i=1:n
for j=1:i-1
b(i)=b(i)-A(i,j)*x(j);
end
if A(i,i)==0
error(’Il sistema triangolare inferiore presenta infinite soluzioni’);
else
x(i)=b(i)/A(i,i);
end
end
50

Algoritmo 4.3 (Matrici triangolari superiori).
%suts acronimo di Solve Upper Triangolar System
%A una matrice triangolare superiore
%x il vettore dei termini noti
%i parametri di ritorno sono:
% x il vettore delle inconite
% t il tempo che l’algoritmo impiega per effettuare tale operazione
function [x]=suts(A,b)
[m,n]=size(A);
if(m~=n)
error(’L matrice A non quadrata’);
end
for i=1:n
for j=1:i-1
if A(i,j) ~=0
error(’A non e’’ triangolare sup’);
end
end
end
if length(b) ~= n
error(’B non e’’ compatibile’);
end
for i=n:-1:1
for j=i+1:n
b(i)=b(i)-A(i,j)*x(j);
end
if (A(i,i)==0)
if(x(i)~=0)
error(’Il sistema presenta infinite soluzioni’);
else
x(i)=0;
end
else
x(i)=b(i)/A(i,i);
end
end
4.1.3 Matrici ortogonali
Una matrice A si dice ortogonale, se A −1 = A T , ovvero se A · A T = IA. Quindi
nel caso che A sia una matrice ortogonale, l’equazione x = A −1 · b, diventa
x = A T · b, e la soluzione viene trovata semplicemente effettuando una moltiplicazione
tra la matrice dei coefficienti A trasposta e il vettore dei termini noti.
51

Il costo computazionale per effettuare un prodotto matrice-vettore è dell’ordine
di 2n 2 flop, mentre la memoria viene occupata per n 2 posizioni.
4.2 Metodi di fattorizzazione
Abbiamo visto fin qui, come trattare la fattorizzazione di matrici semplici, ovvero
con determinate caratteristiche, in quanto risulta molto semplice ed efficiente,
trovare la soluzione dell’equazione 4.2. Vorremmo trovare dei metodi che
riescano a fattorizzare qualunque tipo (o quasi) di matrice nel seguente modo:
A = F1F2 . . . Fk, (4.6)
dove le Fi, sono matrici semplici (triangolari superiori o inferiori oppure ortogonali,
non singolari). La soluzione dell’equazione 4.6, può essere calcolata
risolvendo i seguenti sistemi lineari:
F1x1 = b
F2x2 = x1
.
Fkxk = xk−1
x ≡ xk
Come detto in precedenza, questi sistemi lineari sono efficientemente risolvibili,
in più l’occupazione di memoria non ne risente, in quanto una volta calcolato il
vettore xi, non abbiamo più bisogno dei precedenti.
4.3 Fattorizzazione LU di una matrice
La fattorizzazione LU, consite nella trasformazione della matrice A nel prodotto
di due fattori, L e U, dove L è una matrice triangolare inferiore con diagonale
unitaria, e U è una matrice triangolare superiore (L ed U stanno per lower e
upper).
Teorema 8. La somma e il prodotto di matrici triangolari inferiori (superiori)
è una matrice triangolare inferiore (superiore).
Dim. Essendo triangolari inferiori si ha che:
L1 = (aij) e L2 = (bij) =⇒ aij, bij = 0 per j > i
Somma : è banale verificare che L2 + L1 = (aij + bij) e aij + bij = 0 per j > i
Prodotto : dobbiamo dimostrare che se L1 · L2 = (cij) allora cij = 0 quando j > i.
se j > i allora
⎛ ⎞
cij : e T i (L1·L2)e i = (e T i ·L1)·(L2·e i ) = (ai1, ai2, . . .,aii, 0, . . .,0
52
b1j
⎜b2j⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ . ⎟
)· ⎜
⎜bjj
⎟ = 0
⎜
n−i ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ j − i
0

Praticamente vuol dire che non c’è alcun intersezione tra gli elementi nulli
bij e aij.
Teorema 9. La somma e il prodotto di matrici triangolari inferiori (superiori)
a diagonale unitaria, è una matrice triangolare inferiore (superiore) a diagonale
unitaria. La dimostrazione analoga alla precedente.
Teorema 10. Se L è non singolare triangolare inferiore (superiore), allora L −1
è triangolare inferiore (superiore). Consegue che L ·L −1 = I. Essendo L = (aij
e L −1 = (bij), allora bii · aii = 1 =⇒ bii = 1/aii
Teorema 11 (Unicità della fattorizzazione LU). Se A è non singolare e fatorizzabile
LU allora i fattori L ed U sono univocamente determinati.
Dim.(per assurdo) Dimostriamo che se esistessero due fattorizzazioni, allora
queste sarebbero uguali. Infatti se A = L1U1 = L2U2 fossero due fattorizzazioni
si avrebbe che
0 = det(A) = det(L2U2) = det(L2)det(U2) = det(U2)
Ricordiamoci infatti, che essendo L una matrice triangolare inferiore a diagonale
unitaria, il suo determinante sarà 1. Quindi U2 è non singolare.
L −1
1 L2 = U1U −1
2 ≡ D
Siccome L −1
1 L2 è triangolare inferiore e U1U −1
2 è triangolare superiore, allora
questi due prodotti devono assolutamente essere una matrice diagonale.
Essendo L −1
1 L2 a diagonale unitaria, lo sarà anche D. Quindi se D è una
matrice diagonale con elementi uguali a uno, questa corrisponde proprio alla
matrice identità, cioè D = I. Allora abbiamo che:
L −1
1 L2 = D = I =⇒ L2 = L1I = L1 e U1U −1
2 = D = I =⇒ U1 = U2I = U2
Sappiamo dell’unicità della fattorizzazione, ma non dell’esistenza. Vediamo
allora un metodo che ci consente, se possibile, di trovare la fattorizzazione di una
matrice. In generale attraverso una procedura semi-iterativa, trasformeremo,
tramite n − 1 moltiplicazioni a sinistra con L i , la matrice A nella matrice U.
I fattori L i , moltiplicati tra loro, non sono altro che L −1 . Infatti abbiamo
che L −1 · A = U, ovvero A = LU. Vediamo più in dettaglio il procedimento
dell’algoritmo. Ricordiamoci che L deve essere una matrice triangolare inferiore
a diagonale unitaria. Vogliamo azzerare tutte le componenti di un vettore v
dalla k + 1 − esima in poi. Ci serviremo di una matrice L, tale che
⎛ ⎞
v1
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜vk⎟
Lv = ⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
0
Definiamo, per questo scopo, il vettore elementare di Gauss come
g ≡ 1
(0, . . .,0
vk
k
, vk+1, . . .,vn) T
53
g ∈ R k+n×1
(4.7)
(4.8)

e la matrice elementare di Gauss
L ≡ I − ge T k
Graficamente la matrice 4.9 appare così:
⎛
1
⎜
L = ⎜
⎝
. ..
1
− vk+1
vk
.
− vn
vk
Verifichiamo che l’equazione 4.7 è soddisfatta:
⎛
Lv = (I−ge T k )·v = v−g· (eT k v)
è uno scalare
. ..
⎜
= v−gvk = ⎜
⎝
v1
.
.
vk
. ..
vk+1
.
vn
⎞
1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎟
⎟−vk·
⎟
⎠
1
⎜
vk
⎜
⎝
0
.
.
0
vk+1
.
vn
⎞
(4.9)
⎛
v1
⎞
⎟ ⎜ . ⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ . ⎟
⎟ ⎜vk⎟
⎟ = ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ . ⎠
0
Vediamo ancora più in dettaglio le trasformazioni che la matrice A subisce per
diventare la matrice U. Al primo passo la matrice si presenta così:
A ≡ A (1) ⎛
a
⎜
= ⎜
⎝
(1)
11 . . . a (1)
⎞
1n
⎟
. . ⎠
(4.10)
a (1)
n1 . . . a (1)
nn
L’indice tra parentesi indica l’ultima iterazione che ha modificato l’elemento.
Come detto in precedenza, al primo passo, si deve moltiplicare a sinistra la
matrice 4.10 per una matrice triangolare inferiore a diagonale unitaria, in modo
tale che la matrice risultante abbia la prima colonna strutturalmente uguale
alla prima colonna di un matrice triangolare superiore. Costruiamo per questo
il primo vettore di Gauss
g1 ≡ 1
a (1)
11
e la corrispondente matrice di Gauss
⎛
L1 ≡ I − g1e T 1 =
⎜
⎝
(0, a (1)
21 , . . . , a(1) n1 )T
1
− a(1)
21
a (1)
11
.
− a(1)
n1
a (1)
11
54
1
. ..
⎞
⎟
⎠
1
(4.11)
(4.12)

Moltiplicando la matrice 4.12 con la matrice 4.10 otteniamo:
⎛
a
⎜
L1A = ⎜
⎝
(1)
11 . . . . . . a (1)
0 a
1n
(2)
22 . . . a (2)
. .
⎞
⎟
2n ⎟ ≡ A(2)
. ⎠
0 a (2)
n2 . . . a (2)
nn
(4.13)
Siccome L1 ha la prima riga formata da un 1 seguito da zeri, la prima riga
di A (2) , risulterà inalterata.
⎛
a
⎜
Li−1 . . . L2L1A = ⎜
⎝
(1)
11 . . . . . . . . . . . . a (1)
1n
.
0 ..
.
.
. .. (i−1)
a i−1,i−1 . . . . . . a (i−1)
i−1,n
. 0 a (i)
ii . . . a (i)
⎞
⎟ ≡ A
⎟
in ⎟
. . . . . . ⎠
(i)
(4.14)
0 . . . 0 a (i)
ni . . . a (i)
nn
A questo punto segue l’i-esimo passo.Se a (i)
ii = 0 si può calcolare l’i-esimo vettore
di Gauss e la i-esima matrice di Gauss
gi ≡ 1
a (i)
ii
Li ≡ I − gie T ⎛
1
⎜
i = ⎜
⎝
(0 . . . , 0,
a
i
(i)
. ..
i+1,i
, . . .,a(i)
ni )T
1
− a(i)
i+1,i
a (i)
ii
.
.
− a(i)
ni
a (i)
ii
. ..
⎞
⎟
⎠
1
Moltiplicando a sinistra A (i) con l’i-esima matrice di Gauss, otteniamo:
LiA (i) ⎛
a
⎜
= Li−1 . . . L2L1A = ⎜
⎝
(1)
.
0 ..
.
.
. .
. .. (i)
a i,i . . . . . . a (i)
in
. 0 a (i+1)
.
.
. . . .
11 . . . . . . . . . . . . a (1)
1n
i+1,i+1 . . . a (i+1)
i+1,n
0 . . . 0 a (i+1)
n,i+1 . . . a (i+1)
nn
⎞
(4.15)
(4.16)
⎟ ≡ A
⎟
⎠
(i+1)
(4.17)
Le prime i righe della matrice 4.17, restano invariate perchè le prime i righe
della i-esima matrice di Gauss corrispondono alla matrice identità. Iterando il
55

procedimanto fin qui descritto, al passo i = n − 1, otteniamo:
⎛
a
⎜
Ln−1 . . . L1A = ⎜
⎝
(1)
11 . . . . . . a (1)
0
. ..
a
1n
.
(n−1)
⎞
⎟
⎠ ≡ A(n) ≡ U (4.18)
n−1,n−1 a(n−1) n−1,n
a (n−1)
nn
I fattori Li meritano una considerazione. Come detto in precedenza, tali
fattori sono matrici tringolari inferiori a diagonale unitaria, e per i teoremi 8
e 9 il prodotto n−1 i=1 Li è ancora una matrice triangolare inferiore a diagonale
unitaria. In particolare abbiamo che
Ma allora
Invertendo le matrici abbiamo che
L −1 A = U =⇒ A = LU
L −1 = Ln−1Ln−2 . . .L1
L = L −1
n−1L−1 n−2 . . . L−1 1
Vediamo più in dettaglio cosa sono L e L −1
L = I − ge T k
L −1 = I + ge T k
Dalla definizione di matrice inversa, sappiamo che L ·L −1 = I. Quindi abbiamo
che:
(I − ge T k ) · (I + ge T k ) = (I + ge T k − ge T k − ge T k ge T k ) = I − g(e T k g
0
)e T k = I
È interessante vedere sotto quali condizioni è possibile effettuare la fattorizzazione
LU.
Definizione 7 (sottomatrice di ordine k). Data A ∈ Rn×n si dice sottomatrice
principale di ordine k, la matrice
⎛ ⎞
a11 . . . a1k
⎜
Ak = ⎝ .
.
⎟
. ⎠ ∈ R k×k
ak1 . . . akk
Teorema 12 (Esistenza della fattorizzazione LU). A è fattorizzabile LU se e
solo se U è non singolare, se e solo se ∀K = 1, . . . , n Uk è non singolare.
Dim. possiamo ottenere Ak a partire da A nel seguente modo:
Ak =
IK Ok,n−k · A ·
IK
On−k,k
Sostituiamo nella precedente equazione la matrice A con LU opportunamente
partizionate
⎛
⎞⎛
⎞
⎜
Ak = ⎜
⎝
IK Ok,n−k
UK UK1
LK
·
LK1
⎟⎜
Ok,n−k ⎟⎜
⎟⎜
LK2 ⎠⎝
UK2
L
U
56
IK
On−k,k
⎟
⎠ =

=
Uk
Lk Ok,n−k · = LKUK = AK
On−k,k
Osserviamo che det(AK) = det(LKUK) = det(LK) · det(UK) = det(UK)
Abbiamo ottenuto quindi che la sottomatrice di ordine k di U è non singolare
se e solo se la sottomatrice di ordine k di A è non singolare.
Algoritmo 4.4 (Fattorizzazione LU).
function [A]=LU(A)
%fattorizza la matrice A in due fattori:
%una matrice triangolare inferiore a diagonale unitaria
%una matrice triangolare superiore
%INPUT
% A matrice non singolare
%OUTPUT
% A matrice che contiene la fattorizzazioen LU
[m,n]=size(A);
if m==n
for i=1:n-1
if A(i,i)==0
error(’la matrice non fattorizzabile LU’)
end
A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/A(i,i);
A(i+1:n,i+1:n)=A(i+1:n,i+1:n) - A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n);
end
else
error(’la matrice non quadrata’)
end
57

Algoritmo 4.5 (Matrici diagonali).
function [x]=swlu(A,b)
%swlu l’acronimo di Solve With LU
%A la matrice quadrata da fattorizzare
%b il vettore dei termini noti
%x il parametro di ritorno x la soluzione
A
b
lu=LU(A);
%estraggo L e setto la diagonale a 1
%visto che la diagonale unitaria non era
%esplicitamente memorizzata
L=tril(lu);
L=L-diag(diag(L-1,0))
%estraggo U
U=triu(lu)
%adesso risolvo il sistema
%A=LU, quindi LUx=b
%Lx1=b e Ux=x1
x1=slts(L,b);
x=suts(U,x1);
x’
58

Esempio 18 (Risoluzione sistema di equazioni). Mostriamo un esempio di
risoluzione di un sistema di equazioni tramite la fattorizzazione LU.
>> x=swlu(A,b);
A =
b =
3 7 -2 -5 4
-1 0 9 -4 3
12 -1 -1 2 -5
0 3 3 -6 -2
1 1 -4 3 6
14
34
-8
9
4
L =
1.0000 0 0 0 0
-0.3333 1.0000 0 0 0
4.0000 -12.4286 1.0000 0 0
0 1.2857 -0.0698 1.0000 0
0.3333 -0.5714 0.0129 -0.9815 1.0000
U =
x =
3.0000 7.0000 -2.0000 -5.0000 4.0000
0 2.3333 8.3333 -5.6667 4.3333
0 0 110.5714 -48.4286 32.8571
0 0 0 -2.0930 -5.2791
0 0 0 0 1.5370
1.0000 -1.0000 2.0000 -2.0000 3.0000
ans =
1.0000
-1.0000
2.0000
-2.0000
3.0000
>>
59

4.3.1 Costo computazionale
Data una matrice A ∈ R n×n il costo della sua fattorizzazione LU è dato da
n−1
(n − i) + 2(n − i)(n − i) ≈ 2
3 n3
i=1
Infatti ad ognuna delle n − 1 iterazioni, vengono eseguite n − i divisioni e 2
operazioni per ognuno dei (n − i) 2 elementi. Svolgendo i calcoli, otteniamo:
n−1
n−1
(n − i) + 2(n − i)(n − i) =
i=1
i=1
n(n − 1)
= n(n − 1) −
2
= n(n − 1)
+
2
2n(n − 1)(2n − 1)
6
n − i + 2n 2 − 4ni + 2i 2
+ 2n 2 (n − 1) − 2n 2 (n − 1) +
= 3n2 = 3n + (2n2 − 2)(2n − 1)
6
= 3n2 − 3n + 4n3 − 4n2 − 4n + 2
≈
6
4
6 n3 = 2
3 n3
2n(n − 1)(2n − 1)
6
Per quanto riguarda l’occupazione di memoria, possiamo vedere che ad ogni
iterazioni viene azzerata la parte della sottodiagonale principale. L’informazione
riguardante il fattore U, ad ogni iterazione, viene scritta nella parte superiore
della matrice, mentre l’informazione del fattore L, viene scritta nella nella parte
inferiore. Siccome L è a diagonale unitaria, non richiede esplicita memorizzazione,
rendendo così possibile scrivere sia il fattore L che il fattore U nella
stessa matrice. In definitiva, per quanto riguarda l’occupazione di memoria,
l’algoritmo di fattorizzazione LU ha un costo lineare.
4.4 Matrici a diagonale dominante
Vediamo in questa sezione una classe di matrici con determinate proprietà
algebriche, che le rendono fattorizzabili LU.
Definizione 8. A è diagonale dominante per righe se
∀i = 1, . . .,n : |aii| >
A è diagonale dominante per colonne se
∀i = 1, . . .,n : |aii| >
n
j=1,j=i
n
j=1,j=i
Lemma 1. A è diagonale dominante per righe se e solo se A è diagonale
dominante per colonne.
Lemma 2. A è diagonale dominante per righe (colonne) allora ∀i = 1, . . .,n,
Ak è diagonale dominante per righe (colonne)
60
aij
aji

Teorema 13. Se A è diagonale dominante allora A è non singolare. dim. (per
assurdo) Supponiamo che A sia singolare; allora esiste x = 0 tale che Ax = 0.
Supponiamo che xk sia la componente di massimo modulo e che sia uguale ad
1.
xk = max|xi| = 1 (4.19)
Abbiamo quindi che | xi
| ≤ 1. La k-esima equazione
xk
Quindi per la 4.19
Allora
akk = akkxk = −
Ovvero
n
j=1,j=k
n
akjxj = 0
j=1
akkxk = akk
akjxj ⇒ |akk| = |
|akk| <
n
n
akjxj| ≤ |akj xj
j=1,j=k j=1,j=k
xj 0(positività)
⎛
1
⎜
A = ⎜2
⎝3
2 3
5 6
6 8
⎞
4
7 ⎟
9⎠
4 7 9 0
La precedente matrice è simmetrica ma non positiva. Infatti x = e4 = 0 mentre
e T 4 Ae4 = 0
Teorema 15. Se A è sdp, allora per ogni i = 1, . . .,n, aii > 0
61
| <
n
j=1,j=k
akj

Teorema 16. Se A è sdp, allora per ogni i = 1, . . .,n, Ak è sdp. dim. Sia
y ∈ Rk , y = 0, tale che yT Aky > 0. Sia x ∈ Rn tale che
y
x = = 0
0
Abbiamo che:
0 < x T Ax = y T 0 T Ak B T
B D
y
0
= y T Ak y T B T y
0
Teorema 17. Se A è sdp, allora A è non singolare. dim.(per assurdo) Se A
è singolare allora esiste x = 0 tale che Ax = 0. Per la proprietà di positività
x T Ax > 0. Se sostituiamo Ax = 0 nella precedente espressione otteniamo
l’assurdo: x T 0 > 0.
Teorema 18. A è sdp allora A = LU La dimostrazione discende direttamente
dai due teoremi precedenti 16 e 17
Teorema 19. A è sdp se e solo se A = LDL T con
. L triangolare inferiore a diagonale unitaria
. D diagonale con elementi diagonali positivi
dim.: Se A è sdp allora A = LDLT . Per il teorema 18 se A è sdp allora è
LU. Prendiamo la matrice U uguale a DÛ, con
⎛
u11
⎜
D = ⎝
. ..
⎞
0
⎟
⎠
0 u1n
Quindi
Û = D −1 ⎛
1
⎜
U = ⎝
. ..
⎞
∗
⎟
⎠
0 1
A = LU = L(DÛ )
U
Siccome A = A T allora A T = (LD Û)T = ÛT DL T . Essendo la fattorizzazione
LU unica segue che
L = ÛT
Û = L T
Adesso rimane solo da dimostrare che gli elementi diagonali di D sono positivi.
Risulta che:
∀x = 0 : x T Ax > 0
Definisco
L T x = ei dove x = 0
0 < x T Ax = x T LDL T x = (L T x) T D(L T x) = e T i Dei = di
62
= y T Aky > 0

dim.: Se A = LDL T allora A è sdp. Se A = LDL T allora
A T = (LDL T ) T = (L T ) T D T L T = LDL T = A(simmetria)
Ora rimane da dimostrare che ∀x = 0, xTLDLT x > 0. Ponendo LTx = y si ha
che:
y T n
Dy = diiy 2 i > 0
Vediamo adesso come si ottiene la fattorizzazione A = LDLT :
⎛
1
⎜
⎜l21
L = ⎜
⎝ .
. ..
. .. . ..
⎞
⎟ j = 1, . . . , n
⎠
⎛
d1
⎜
D = ⎝
. ..
ln1 . . . ln,n−1 1
Quando i = j
Quindi
Quando i > j
Quindi
i=1
aij = e T i Aej = e T i (LDL T )ej = (e T i L)D(e T j L) T =
j−1
=
k=1
j
k=1
j−1
likljkdk + lijljjdj = likljkdk + lijdj
j−1
aij =
k=1
k=1
l 2 jkdk + lijljjdj = l 2 jjdj j−1
+
k=1
k=1
ljkdk
dn
likljkdk
⎞
⎟
⎠
j−1
dj = ajj − ljk(ljkdk) j = 1, . . . , n (4.20)
aij =
j
k=1
lij = aij −
likljkdk = lijljjdj
j−1
lik(ljkdk)
k=1
dj
j−1
k=1
likljkdk
i = j + 1, . . .,n (4.21)
Possiamo vedere come nell’equazioni 4.20 e 4.21 sia presente il fattore
likljk. Utilizzeremo un vettore d’appoggio per calcolarlo, così da calcolarlo
una sola volta e risparmiare un pò di operazioni.
Il costo computazionale della fattorizzazione LDL T è approssimativamente di
1
3 n3 flop. Per quanto riguarda l’occupazione di memoria, questo algoritmo, come
d’altronde il metodo LU, non richiede addizionale spazio per la memorizzazione,
tranne per il vettore di appoggio. I fattori L e D dell’avvenuta fattorizzazione
possono essere tranquillamente scritti nella matrice A di partenza.
63

Algoritmo 4.6 (Fattorizzazione LDL T ).
function A=LDLT(A)
%
[m,n]=size(A);
if m==n
if A(1,1)

Per come è definito a (i)
kii = maxk≥i a (i)
ki , è il massimo della colonna i-esima
sotto la componente ai−1,i; se il massimo in valore assoluto è zero, significa che
tutti i numeri considerati sono zero, e pertanto A (i−1) :
⎛
⎞
A (i−1) ⎜
= ⎜
⎝
a (1)
11 a (1)
12 . . . a (1)
1i−1
0 a (2)
22 . . . a (2)
2i−1
.
.
. ..
.
a (1)
1i
a (2)
2i
.
a (1)
1i+1 . . . a (1)
1n
a (2)
2i+1 . . . a (2)
2n
0 0 . . . a (i−1)
i−1i−1 a (i−1)
i−1i a (i−1)
i−1i+1 . . . a (i−1)
i−1n
0 0 . . . 0 0 a (i−1)
ii+1
.
.
.
0 0 . . . 0 0 a (i−1)
ni+1
.
.
.
.
. . . a (i−1)
in
.
. . . a (i−1)
nn
I vettori che costituiscono le prime i − 1 colonne sono linearmente indipendenti
e pertanto la i-esima colonna si può esprimere come combinazione lineare di
queste. Pertanto si evince che la matrice A (i−1) è singolare. Inoltre ricordando
che:
A (i−1) = Li−2Li−3 . . .L1A
si ha che:
e quindi A è singolare.
0 = det(A (i−1) ) = det(Li−2Li−3 . . . L1A) = det(A)
A partire dalla matrice identità di ordine n, ovvero In, definiamo la prima
matrice elementare di permutazione
⎛
0 . . . . . . 0 1 0
⎞
. . . 0
⎜ .
⎜
. 1
⎜
.
⎜ . ..
⎜
P1 ≡ ⎜ 0 1
⎜ 1 0 . . . . . .
⎜ 0 . . . . . . . . .
⎜
⎝
.
.
0
.
. .
. 0
0
0 1
.
.
. ⎟
. ⎟ ⎛
. ⎟ 0
⎟ ⎜
. . . 0 ⎟ = ⎜ 0
⎝
⎟ 1
⎟
. ⎟
.. ⎠
0
Ik1−2
0
1
0
0
⎞
⎟
⎠
In−k1
0 . . . . . . . . . 0 1
(4.24)
La suddetta matrice, non è altro che la matrice identità con la prima e la k-esima
riga (colonna) scambiate tra di loro. È da notare che la matrice P è ortogonale
e simmetrica, quindi risulta che P1 = P T 1 = P −1
1 .
Se moltiplichiamo la matrice A per la matrice P il risultato è la matrice A
con due righe invertite.
65
⎟
⎠

⎛
P1A (1) ⎜
= ⎜
⎝
a (1)
k11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (1)
k1n
a (1)
21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (1)
2n
.
a (1)
k1−1,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (1)
k1−1,n
a (1)
k11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (1)
k1n
a (1)
k1+1,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (1)
k1+1,n
.
a (1)
n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (1)
nn
.
.
⎞
⎟
⎠
←− riga 1
←− riga k1
(4.25)
La matrice così ottenuta ha l’elemento ak11 diverso da zero, in quanto è di
modulo massimo. Allora possiamo applicare il primo passo di eliminazione di
Gauss, costruendo il primo vettore elementare di Gauss:
g1 = 1
ak11
(0, a (1)
21
k1
, . . . ,
a (1)
11
, . . . , a(1)
n1 )T
A questo punto, continuando come con il metodo LU, calcoliamo la prima
matrice elementare di Gauss:
L1 = I − g1e T 1
con la quale possiamo calcolare
⎛
a
⎜
L1P1A1 = ⎜
⎝
(1)
0 a (2)
. .
k11 . . . . . . a (1)
k1n
22 . . . a (1)
2n
0 a (2)
n2 . . . a (2)
nn
.
⎞
⎟
⎠
≡ A(2)
(4.26)
La procedura è analoga alla fattorizzazione LU; differisce solo nella moltiplicazione
per la matrice P. In generale al passo i-esimo potremmo ottenere
⎛
a
⎜
Li−1Pi−1 . . . L1P1A1 = ⎜
⎝
(1)
.
0 ..
.
. 0 a (i)
. . .
. . .
k11 . . . . . . . . . . . . a (1)
k1n
. .. (i−1)
a ki−1,i−1 . . . . . . a (i−1)
ki−1,n
.
.
ii . . . a (i)
in
0 . . . 0 a (i)
ni . . . a (i)
nn
Definendo l’i-esimo elemento di modulo massimo
.
.
⎞
⎟ ≡ A
⎟
⎠
(i)
(4.27)
|a (i)
kii | ≡ max
k≥i |a(i)
ki | con ki > i (4.28)
66

otteniamo la i-esima matrice di permutazione
⎛
pi ≡
⎜
⎝
Ii−1
0 0 1
0 Iki−i−1 0
1 0 0
In−ki
⎞
⎟
⎠
(4.29)
L’elemento in posizione (i, i) della matrice PiA (i) sarà diverso da zero, in
quanto è l’elemento di modulo massimo della i-esima colonna della matrice A.
Possiamo definire a questo punto l’i-esimo vettore di gauss
gi ≡ 1
a (i)
(0. . . .,0,
a
kii
i
(i)
i+1,i
ki
, . . . ,
a (i)
ii
, . . . , a(i)
ni )T
con il quale otteniamo la i-esima matrice elementare di Gauss
Li = I − gie T i
Quindi con le matrici 4.27 , 4.29 e 4.31, otteniamo
LiPiA (i) ⎛
a
⎜
= ⎜
⎝
(1)
0
.
.
. ..
0 a
.
(i+1)
.
.
.
.
.
.
.
.
k11 . . . . . . . . . . . . a (1)
k1n
. .. a (i)
kii . . . . . . a (i)
kin
i+1,i+1 . . . a (i+1)
i+1,n
0 . . . 0 a (i+1)
n,i+1 . . . a (i+1)
n,n
⎞
⎟ ≡ A
⎟
⎠
(i+1)
(4.30)
(4.31)
(4.32)
Per il teorema 20, sappiamo che se A è non singolare, sarà sempre possibile
scegliere l’elemento di modulo massimo diverso da zero, e quindi continuare
l’algoritmo fino all’iterazione i = n − 1, ottenendo la fattorizzazione
Ln−1Pn−1Ln−2Pn−2 . . . L1P1A = A (n) ≡ U
Se PA = LU, allora L −1 PA = U. Cerchiamo di scoprire chi è il fattore L −1 ;
Consideriamo la seguente equazione:
Con
ˆLn−1 ≡ Ln−1
ˆLn−1 ˆ Ln−2 . . . ˆ L1PA = U
ˆLi ≡ Pn−1 . . . Pi+1LiPi+1 . . .Pn−1 per i = 1, . . .,n − 2
P ≡ Pn−1 . . . P1 (4.33)
Di conseguenza la matrice
ˆLn−1 . . . ˆ L1 ≡ L −1
67

Infatti ˆ Li è una matrice triangolare inferiore a diagonale unitaria. Osserviamo
che
ˆLi = (Pn−1 . . . Pi+1)(I − gie T i )(Pi+1 . . . Pn−1) =
= I − (Pn−1 . . .Pi+1gi)(e T i Pi+1 . . . Pn−1
eT i Pj=eT i ∀j>i
) = I − (Pn−1 . . . Pi+1gi
dove ˆgi non è altro che l’i-esimo vetore elementare di Gauss con le prime i
componenti permutate. Ne deduciamo che la struttra di ˆ Ln−1 . . . ˆ L1 è uguale a
quella di una matrice triangolare inferiore a diagonale unitaria.
Esempio 20. Facciamo un esempio teorico con n = 4. Applicando l’algoritmo
fin qui descritto otterremo
L3P3L2P2L1P1 ≡ A (4)
Sostituendo le matrici Li con le corrispondenti ˆ Li otteniamo
L3P3L2 P3P3 P2L1 P2 P3P3
I
I
P2 P1 = A
I
(4)
Notiamo che le sostituzioni non alterano la struttura della matrice.
L3 (P3L2P3) (P3P2L1P2P3)
ˆL2
ˆL1
68
(P3P2P1)
P=P −1 =P T
ˆgi
)e T i

Algoritmo 4.7 (Fattorizzazione PLU).
function [A,P]=PLU(A)
%Fattorizza la matrice in tre fattori
%INPUT
% A è una matrice non singolare
%OUTPUT
% A contiene i fattori L e U
% P è la matrice di permutazione
P=[1:n];
for i=1:n-1
[mi,ki]=max(abs(A(i:n,i)));
if mi==0
error(’La matrice è singolare’)
end
ki=ki+i-1;
if ki>i
A([i ki],:)=A([ki i],:);
P([i ki])=P([ki i]);
end
A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/A(i,i);
A(i+1:n,i+1:n)=A(i+1:n,i+1:n)-A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n);
end
4.7 Condizionamento del problema
Accenniamo questo argomento per introdurre meglio un altro tipo di fattorizzazione.
Più in dettaglio vogliamo capire come degli errori sui dati in ingresso si
possono ripercuotere sui dati in uscita. In un sistema lineare Ax = b, andremo
a introdurre al posto di A e di b rispettivamente (A + ∆A) e (b + ∆b). Il nostro
sistema risulterà quindi perturbato.
(A + ∆A)(x + ∆x) = (b + ∆b) (4.34)
Poniamo ∆A = ǫ · F con F ∈ R n×n e ∆b = ǫ · f con f ∈ R n . Definiamo
allora
A(ǫ) = A + ǫF = A + ∆A =⇒ A(0) = A (4.35)
b(ǫ) = b + ǫf = b + ∆b =⇒ b(0) = b (4.36)
Possiamo quindi scrivere l’equazione funzionale ad ǫ.
A(ǫ)x(ǫ) = b(ǫ) (4.37)
69

Siamo interessati a sviluppare x(ǫ) per arrrivare poi all’equazione del condizionamento
di un sistema lineare. Quindi sviluppando con Taylor otteniamo:
x(ǫ) = x(0) + ǫ ˙x(0) + o(ǫ 2 ) ≈ x(0) + ǫ ˙x(0)
Siccome x(0) = x e x(ǫ) = x + ∆x, otteniamo che
∆x = (x+∆x)−x = (x+∆x)−x(0) = x(ǫ)−x(0) ≈ x(0)+ǫ ˙x(0)−x(0) = ǫ ˙x(0)
Abbiamo quindi ricavato l’errore assoluto. Continuando nel nostro percorso
per la scoperta del condizionamento di un sistema lineare proviamo a derivare
membro a membro l’equazione 4.37
d
A(ǫ)x(ǫ)
dǫ
=
d
dǫ b(ǫ)
d
A(ǫ)x(ǫ)
dǫ
= f
A(ǫ)x(ǫ) ˙ + A(ǫ) ˙x(ǫ) = f
Fx(ǫ) + A(ǫ) ˙x(ǫ) = f
Calcolando quest’ultima equazione nel punto ǫ = 0 otteniamo che
Ovvero
Fx + A ˙x(0) = f
˙x(0) = A −1 (f − Fx)
Moltiplicando ambo i membri per ǫ riusciamo a riottenere un espressione in
funzione dell’errore assoluto
ǫ ˙x(0) = A −1 (ǫf − ǫFx)
∆x = A −1 (∆b − ∆Ax)
Considerando il risultato ottenuto con le norme otteniamo che
||∆x|| = ||A −1 · (∆b − ∆Ax)|| ≥ ||A −1 || · ||(∆b − ∆Ax)|| ≥ ||A −1 || · (||∆b|| + ||∆A|| · ||x||)
Dividendo membro a membro per ||x||
||∆x||
||x|| ≤ ||A−1
||∆b||
||
||x||
Moltiplicando e dividendo per ||A||
||A −1
||∆b|| ||∆A||
|| · ||A|| +
||x|| ||A|| ||A||
+ ||∆A||
≤ ||A −1
||∆b|| ||∆A||
|| · ||A|| +
||b|| ||A||
Abbiamo ricavato l’errore sui dati in uscita, il coefficiente k di condizionamento,
in funzione dei dati in ingresso
||∆x||
||x|| ≥ ||A−1
||∆b|| ||∆A||
|| · ||A|| + (4.38)
||b|| ||A||
70

Dove
||∆x||
||x||
è l’errore in uscita (4.39)
||A −1 || · ||A|| è il coefficiente di condizionamento (4.40)
||∆b||
||b||
+ ||∆A||
||A||
chiamato anche k
Definiamo allora la funzione di condizionamento
Ovvero
è l’errore sui dati in ingresso (4.41)
k(x) : R n×n −→ R
k(A) ≡ ||A|| · ||A −1 || (4.42)
Notiamo che il numero di condizionamento k(A) non può mai essere inferiore
ad uno. Infatti abbiamo che
k(A) = ||A|| · ||A −1 || ≥ ||A · A −1 || = ||I|| = 1
Quindi il numero di condizionamento di una matrice deve essere raffrontato
all’unità.
Esempio 21 (Condizionamento di una matrice). Con questo esempio si vuole
far vedere che esistono alcune matrici che hanno un numero di condizionamento
talmente alto, da non permetterci di fare alcuna operazione direttamente.
Consideriamo quindi la seguente matrice
⎛
⎞
1
⎜
.
A = ⎜100
..
⎟
⎜
⎝
. .. . ⎟
.. ⎠
100 1
10×10
È una matrice con la diagonale principale formata da dieci 1, mentre la sottodiagonale
principale ha nove 100. In matlab si è possibile costruire la matrice
sopracitata con i seguenti comandi.
> diag0=ones(10,1);
>> diag_1=100*ones(9,1);
>> A=zeros(10,10)+diag(diag0,0)+diag(diag_1,-1);
Poi calcoliamo la norma della matrice e della sua inversa.
>> normA=norm(A,1)
normA =
101
>> normInvA=norm(inv(A),1)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
71

normInvA =
1.0101e+018
Results may be inaccurate. RCOND = 9.801980e-021.
Infine calcoliamo il numero di condizionamento
>> normA*normInvA
ans =
1.0202e+020
Sicuramente un numero di condizionamento troppo alto. Un errore sui dati in
ingresso dell’ordine di 10 −10 , comporterebbe un errore sui dati in uscita di 10 10 .
Sicuramente non è accettabile.
4.8 Sistemi lineari sovradimensionati
In questa sezione proporremo un metodo per cercare di risolvere sistemi Ax = b,
in cui A è una matrice rettangolare (m×n) con m ≫ n e tale che A sia di rango
massimo, ovvero n = rank(A) = dim(ran(A)). Sia
A ∈ R m×n
con A = (c1, c2, . . . cn), cj ∈ R m
Sappiamo che il range di A è definito come
⎧
⎨
ran(A) =
⎩ y ∈ Rm : y =
Il rango di una matrice invece è definito come
Tenendo conto che
Abbiamo che
⎧
⎪⎨
dim(null(A)) = n − rank(A) =
⎪⎩
k
n
j=1
rank(A) = dim(ran(A))
αjcj
null(A) = {x ∈ R n : Ax = 0}
⎫
⎬
⎭
0 se rank(A) = n
se e solo se null(A) = 0
> 0 esistono infiniti vettori in null(A)
Consideriamo il primo caso, ovvero il caso in cui dim(null(A)) = 0, cioè quando
la matrice A ha rango massimo. Il problema che dobbiamo affrontare con
i sistemi lineari sovradimensionati, non è tanto l’unicità della soluzione, ma
l’esistenza. Infatti
Sia b ∈ R m ran(A) ⊂ R m
Il range di A ha dimensione n che è minore di m.Il fatto che b appartenga
al range di A è da scartare perchè probabilisticamente impossibile. Non ci
possiamo quindi aspettare una soluzione classica Ax = b.
72

Definizione 10 (Soluzione del sistema lineare sovradimensionato). Sia r =
Ax − b il vettore residuo. La soluzione x è il vettore che minimizza la seguente
quantità:
||r|| 2
2 =
m
i=1
|ri| 2 = ||Ax − b|| 2
2
Tale soluzione viene definita anche come soluzione ai minimi quadrati.
Teorema 21 (Fattorizzazione QR). Sia A ∈ R m×n con m > n tale che
rank(A) = n. Allora esistono
• Q ∈ R m×n , con Q T Q = Im
• ˆ R ∈ R n×n triangolare superiore e non singolare
tali che
ˆR
A = QR = Q
0
ˆR ∈ R m×n
(4.43)
È interessante notare che Q sia ortogonale. Consideriamo la norma euclidea
del prodotto Qv, dove v è un vettore.
||Qv|| 2
I
2 = (Qv)T QV = v T Q T Q
V = v T v = ||v|| 2
2
Cerchiamo quindi di minimizzare la quantità della definizione 10.
||Ax − b|| 2
2 = ||QRx − b||2 2 = ||Q(Rx − QTb)|| 2
2 = ||Rx − g||2 2
dove g = Q T b. Sviluppiamo formalmente l’espressione Rx − g
||Rx − g|| 2
2 =
ˆR
x −
0
g1
g2
2
2
dove g1 ∈ R n , g2 ∈ R m−n×n
2
ˆRx
=
− g1
−g2
=
2
ˆ
Rx − g1
2
2
+ ||g2|| 2
2
Quello che possiamo fare è minimizzare la quantità
ˆ
Rx − g1
2
. Quindi
Se Rx ˆ = g1 allora ||Ax − b|| 2 2
2 = ||g2|| 2 ≡ min
4.9 Esistenza della fattorizzazione QR
Al fine di determininare l’esistenza della fattorizzazione QR, dobbiamo conoscere
qualche particolare. Supponiamo di avere
• un vettore z ∈ R n
• una matrice H ∈ R n×n ortogonale, ovvero tale che H T H = I
73
2

tali che
⎛ ⎞
α
⎜
⎜0
⎟
Hz = αe1 = ⎜ . ⎟
⎝ . ⎠
0
(4.44)
La matrice H è chiamata matrice di HouseHolder. Consideriamo la norma
euclidea dei due membri dell’equazione 4.44
Queste due equazioni implicano che
||Hz|| 2
2 = zT H T Hz = z t z = ||z|| 2
2
||αe1|| 2
2 = |α|2 · ||e1|| 2
2 = |α|2
α = ± ||z|| 2
Definiamo la matrice H nel seguente modo:
H = I − 2
v T v vvT
Verifichiamo che H è ortogonale ovvero che HH T = I:
H T H = H 2
= I − 2
vT v vvT
I − 2
vT v vvT
(4.45)
con v ∈ R n v = 0 (4.46)
= I− 4
v T v vvT + 4
(v T v) 2 v(vT v)v T = I
Affinché la matrice di Householder sia consistente con l’equazione 4.44, dobbiamo
scegliere il vettore v in modo particolare. Scegliamo allora
v = z − αe1
Dimostriamo che l’equazione appena scritta soddisfa la 4.44.
Hz =
I − 2
vT v vvT
z = z− 2
vTv vvT z = z− 2
vTv (zT z−αz1)v =
(4.47)
= z− 2
vT v (zT
z−αz1)(z−αe1) = 1 − 2
vT v (zT
z − αz1) z+α 2
vT v (zT z−αz1)e1
Se la quantità
2
vT v (zT z − αz1) (4.48)
è uguale a uno, allora il primo addendo si annulla e il secondo addendo è uguale
a αe1. Dimostriamo allora che l’espressione 4.48 è uguale a uno.
Se
2
v T v (zT z −αz1) = 1 allora 2z T z −2αz1 = v T v = (z −αe1) T (z −αe1) =
= z T z+α 2 −2α e T 1 z
z1
= 2z T z−2αz1
74
Nota:
v T z = (z − αe1) T z =
= z T z − αe T 1 z
Nota:
α = ||z|| 2
Quindi
α 2 = ||z|| 2
2 = zT z

Guardiamo in dettaglio il vettore v:
Se
⎛ ⎞
z1
⎜z2⎟
⎜ ⎟
z = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ allora v = z − αe1
⎛ ⎞
z1 − α
⎜ z2 ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
zn
Se in aritmetica esatta le operazioni di addizione e sottrazione sono esatte, in
aritmetica finita non è così. Siccome per l’equazione 4.45, è possibile scegliere
il segno di α, lo sceglieremo in modo da rendere ben condizionata la somma
algebrica. Quindi
α = −sign(z1) · ||z|| 2 dove sign(z1) =
zn
1 se z1 ≥ 0
−1 se z1 < 0
Inoltre se z è non banale, abbiamo che |v1| = 0. Allora posso riscrivere il vettore
v in questo modo:
⎛ ⎞
1
v2 ⎜ ⎟
⎜ v1 ⎟
v = v1 · ⎜ ⎟
⎝ ⎠ = v1 · ˆv
Abbiamo ottenuto ˆv in funzione di v.
.
vn
v1
ˆv = 1
v
Vediamo adesso la matrice di householder in funzione del vettore ˆv
v1
H = I − 2
ˆv t ˆv ˆvˆvT = I − 2
v T v
v 2 1
1
v 2 1
vv T = I − 2
v T v vvT
Come si può notare, la matrice espressa con v oppure ˆv rimane la stessa. Questa
proprietà di invarianza risulterà utile per rendere più efficiente l’algoritmo per
la risoluzione di sistemi lineari con metodo di fattorizzazione QR. Dimostriamo
come avviene la fattorizzazione in modo iterativo della matrice A di partenza
nelle matrici Q ed R. Sia A la seguente matrice:
⎛
a
⎜
A = ⎜
(0)
11 . . . . . . a (0)
⎞
1n
⎟
.
. ⎟ ≡ A (0)
(4.49)
⎜
⎝
.
.
.
.
.
.
a (0)
m1 . . . . . . a (0)
mn
con le notazioni usate solitamente. Definiamo la matrice elementare di Householder
H1 ∈ Rm×m , tale che
H (1)
⎛
a
⎜
⎝
(0)
11
.
.
a (0)
⎞
⎟
⎠
m1
≡
⎛
a
⎜
⎝
(1) ⎞
11
0 ⎟
(4.50)
. ⎠
0
75
⎟
⎠

Questo v1, il vettore Householder andrà associato alla prima colonna della
matrice A. Moltiplicandolo avremo
H1A (0) ⎛
a
⎜
= ⎜
⎝
(1)
11 a (1)
12 . . . a (1)
1n
0 a (1)
22 . . . a (1)
⎞
⎟
2n ⎟
.
.
. ⎟ ≡ A(1) (4.51)
. ⎠
0 a (1)
m2 . . . a (1)
mn
Il secondo passo inizia considerando la porzione della seconda colonna e definisce
la seconda matrice di Householder
H (2)
⎛
a
⎜
⎝
(1)
22
.
a (1)
⎞
⎟
⎠
m2
≡
⎛
a
⎜
⎝
(2) ⎞
22
0 ⎟
⎟.
(4.52)
. ⎠
0
quindi considerando A2 come
⎛
A (1) ⎜
= ⎜
⎝
con A1 non singolare. Definendo H2 come
1
H2 =
a (1)
11 a (1)
12 . . . a (1)
0
1n
.
.
0
A1
H (2)
∈ R m×m
⎞
⎟
⎠
(4.53)
(4.54)
possiamo premoltiplicarla per A (1) ed eseguire il nostro passo di fattorizzazione.
H2A (1) ⎛
a
⎜
= H2H1A = ⎜
⎝
(1)
11 a (1)
12 a (1)
0 a (2)
22 a (2)
0 0 a (2)
.
.
.
13 . . . a (1)
1n
23 . . . a (2)
2n
33 . . . a (2)
3n
.
0 0 a (2)
m3 . . . a (2)
mn
⎞
⎟ ≡ A
⎟
⎠
(2)
Induttivamente possiamo definire la generica matrice al passo i-esimo
A (i) ⎛
a
⎜
≡ HiHi−1 . . .H1A = ⎜
⎝
(1)
11 . . . . . . . . . . . . a (1)
0
.
. ..
. .. (i)
a ii . . .
1n
.
. . . a (i)
.
. 0 a
1n
(i)
i+1,i+1 . . . a (i)
. . .
⎞
⎟
i+1,n ⎟
. ⎠
0 . . . 0 a (i)
m,i+1 . . . a (i)
mn
76
dove a (j)
jj
= 0, j = 1, . . . , i.

A questo punto l’i-esimo passo consiste nel costruire l’i-esima matrice di Householder
H (i+1)
⎛
a
⎜
⎝
(i)
i+1,i+1
.
a (i)
⎞
⎟
⎠
m,1+1
≡
⎛
a
⎜
⎝
(i+1) ⎞
i+1,i+1
0 ⎟ .
. ⎠
0
(4.55)
al fine di definire la seguente matrice
Hi+1 =
Ii
H (i+1)
∈ R m×m
Premoltiplicando la matrice Hi+1 per A (i) , otteniamo
A (i) ⎛
a
⎜
≡ HiHi−1 . . .H1A = ⎜
⎝
(1)
.
0 ..
. .
. .. (i+1)
a
. 0 a (i+1)
.
.
.
11 . . . . . . . . . . . . a (1)
1n
1+1;i+1 . . . . . . a (1+1)
1+1,n
i+2,i+2 . . . a (i+1)
i+2,n
0 . . . 0 a (i)
m,i+1 . . . a (i)
mn
.
.
⎞
⎟
⎠
(4.56)
Eseguendo i vari passi si finisce su sottomatrici sempre più piccole e non singolari
e otterremo
A (n) ⎛
a
⎜
≡ Hn . . . H1A = ⎜
⎝
(1)
11 . . . a (1)
0
.
.
.
.
. ..
. ..
⎞
in
⎟
. ⎟
(n)
a ⎟
nn ⎟ ≡ R
0
⎟
. ⎟
.
⎠
0 . . . 0
Infine ponendo Q T = Hn · · · H1 otterremo la 4.43.
77
dove a (i+1)
i+1,i+1 = 0.

Algoritmo 4.8 (Fattorizzazione QR).
function [A] = QR(A)
% [A] = QR(A)
%
% Calcola e restituisce la fattorizzazione QR della matrice in input.
% La matrice in uscita contiene i vettori di Householder normalizzati
% secondo la prima componente uno per colonna nella parte strettamente
% triangolare inferiore. Mentre nella parte triangolare superiore
% contenuta la R^.
%
%
% See also RISOLVI_QR
[m,n] = size(A);
if m>=n
for i=1:n
alpha = norm(A(i:m,i));
if alpha == 0
error(’La matrice non ha rango massimo.’);
end
if A(i,i) >= 0
alpha = -alpha;
end
v1 = A(i,i) - alpha;
A(i,i) = alpha;
A(i+1:m,i) = A(i+1:m,i)/v1;
beta = -v1/alpha;
A(i:m,i+1:n)=A(i:m,i+1:n)-(beta*[1;A(i+1:m,i)])*([1 A(i+1:m,i)’]*A(i:m,i+1:n));
end
else
error(’La matrice non fattorizzabile QR.’);
end
78

Capitolo 5
Approssimazione di funzioni
Una funzione f(x), può essere a volte anche molto complicata. In certe applicazioni,
che richiedono una certa velocità di esecuzione, è preferibile utilizzare
un’approssimazione di tale funzione, che sia molto più semplice e quindi più
facile da calcolare. Inoltre non sempre si conosce direttamente la funzione, ma
solo alcuni suoi punti. Vediamo che cos’è un approssimazione e come possiamo
fare per calcolare la funzione approssimata. Chiameremo f(x) la funzione
originaria, e p(x) il polinomio approssimato.
5.1 Interpolazione polinomiale
Sia f(x) f : [a, b] −→ R [a, b] ∈ R
Consideriamo un ordine in [a, b] così fatto:
a ≤ x0 < x1 < x2 < . . . < xn ≤ b
Avremo quindi n+1 ascisse all’interno dell’intervallo [a, b].Per ogni i = 0, . . . , n
conosciamo
fi ≡ f(xi) (5.1)
Quindi a partire da n + 1 coppie (xi, fi) il problema è quello di riuscire a
determinare un polinomio p(x) tale che
Sia
p(xi) = fi i = 0, . . .,n (5.2)
Πn = {p(x) : p è il polinomio di grado al più n}
Teorema 22. Esiste ed è unico il polinomio interpolante pn ∈ Πn tale che
dim.
pn(xi) = fi i = 0, . . .,n
pn ∈ Πn ⇐⇒ pn(x) =
n
k=0
n
akx k
k=0
akx k i = fi i = 0, . . .,n (5.3)
79

La condizione di interpolazione si traduce nel seguente sistema lineare, nelle
incognite a0, a1, . . . an:
a0 + a1x0 + . . . anx n 0
a0 + a1x1 + . . . anx n 1
. . .
a0 + a1xn + . . . anx n n
Questo sistema di equazioni può essere rappresentato così:
Dove
⎛
ao
an
⎞
⎜a1⎟
⎜ ⎟
a = ⎜ . ⎟
⎝ . ⎠
⎛
f0
fn
⎞
⎜f1⎟
⎜ ⎟
f = ⎜ . ⎟
⎝ . ⎠
V a = f (5.4)
⎛
⎜
V = ⎜ .
⎝ .
x0 0 x1 0 . . . xn 0
x0 1 x1 1 . . . xn 1
.
.
. ..
.
.
x 0 n x1 n . . . x n n
⎞
⎟ ∈ Rn+1×n+1
⎠
V è la matrice di Van Der Monde traposta. Di tale matrice si conoscono alcune
sue proprietà, ed in particolare sappiamo calcolare il suo determinante. Infatti
det(V ) =
(xi − xj) = 0
i>j
Il suo determinante è diverso da zero, quindi esiste ed è unica la soluzione del
sistema 5.4, e quindi esiste ed è unico il polinomio interpolante.
La matrice di Van Der Monde inoltre presenta un numero di condizionamento
molto alto.
Esempio 22. Supponiamo che nell’intervallo [0, 1) vi siano le ascisse così de-
terminate : xi = 1
n i = 1, . . .,n Mostriamo il numero di condizionamento
della relativa matrice di Van Der Monde in funzione di n.
n k
1 15
2 99
. .
20 1017 Come si evince da questo semplice esempio, risulta impraticabile trovare il
polinomio interpolante la funzione f con il metodo sopra descritto. Dobbiamo
quindi considerare metodi alternativi.
5.2 Forma di Lagrange e forma di Newton
In questa sezione prenderemo in considerazione una base differente per il calcolo
del polinomio interpolante. Invece della canonica base 5.3, esaminiamo i
polinomi nella forma di Lagrange.
80

Risulta che:
Lkn(x) =
n
x − xj
xk − xj
j=0,j=k
Lkn(xi) =
, k = 0, 1, . . .,n (5.5)
1 i = k
0 i = k
Essi hanno grado esatto n e il loro coefficiente principale è :
n
j=0,j=n
1
(xk − xj)
Infatti sviluppando il polinomio di Lagrange, otteniamo
n
x − xj
xk − xj
j=0,j=k
=
n
j=0,j=n
1
(xk − xj)
(5.6)
, k = 0, 1, . . .,n (5.7)
(x − x0) · . . . · (x − xk−1 (x − xk+1) · . . . · (x − xn)
k
n−k
(5.8)
Inoltre essendo i polinomi di Lagrange linearmente indipendenti tra di loro,
costituiscono una base per Πn.
Teorema 23 (Forma del polinomio di Lagrange).
pn(x) =
n
fkLkn(x) (5.9)
k=0
Il polinomio 5.9 appartiene a Πn e soddisfa i criteri del polinomio interpolante
definiti nell’equazione 5.2.
dim.
Per ogni i = 0, 1, . . .,n si ha che
⎛
⎞
n
n
p(xi) = fkLkn(xi) = ⎝ fkLkn(xi) ⎠ + fiLin(xi) = fiLin(xi) = fi
k=0
k=0,k=i
Infatti per la 5.6, la sommatoria
n
k=0,k=i
i = k, mentre essendo i = k, Lin(xi) vale 1.
fkLkn(xi), vale sempre zero perché
Esempio 23. Come al solito un esempio ci può chiarire alcuni dubbi che
avevamo. Prendiamo ad esempio il seguente polinomio:
p(x) = − 1
50 x5 + 1
5 x4 − 1
20 x3 + 3x 2 − 20x. (5.10)
Calcoleremo i polinomi interpolanti dal primo grado, fino al quinto grado. Le
coppie (xi, fi) con i = 2, 3, 4, 5, 6, sono state scelte in modo tale che i punti xi
fossero equidistanti. Questo non inficia in alun modo la validità dell’esempio.
Mostriamo quidi i codici matlab che ci sono serviti:
81

Algoritmo 5.1 (Interpolazione con base di lagrange).
function p=lagrange1(xi,fi)
n=length(xi);
L=1;
p=0;
for k=1:n
L=1;
for j=1:n
if k~=j
L=conv(L,[1,-xi(j)])/(xi(k)-xi(j));
end
end
L
p=addVecR(p,(fi(k)*L));
end
return;
Riportiamo anche il codice della funzione addV ecR, che somma i vettori
che rappresentano i polinomi, in modo consistente. Infatti in matlab si possono
sommare solo polinomi di ugual grado con l’operatore +.
Algoritmo 5.2 (Somma di polinomi).
function x=addVecR(A,B)
if length(A)>length(B)
long=A;
short=B;
end
if length(B)>length(A)
long=B;
short=A;
end
if length(B)== length(A)
%non si fa niente perch si possono sommare tranquillamente
x=A+B;
else
short=[zeros(1,length(long)-length(short)),short];
x=long+short;
end
82

Il seguente codice invece è quello che realizza il grafico 5.1.
Algoritmo 5.3 (Esempio di interpolazione con base di Lagrange).
function esempioLagrange(i,a,b)
poly=[-1/50,1/5,-1/20,3,-20,0]
x=[a:0.2:b];
y=polyval(poly,x);
plot(x,y,’k’,’LineWidth’,2);
hold on
color=[’r’,’g’,’b’,’y’,’m’,’c’];
for k=1:i-2
xi=[a:(b-a)/k:b];
fi=polyval(poly,xi);
pol=lagrange1(xi,fi)
y=polyval(pol,x);
plot(x,y,color(k),’LineWidth’,1);
end
In particolare si creano i vari polinomi interpolanti di grado n = 1, 2, . . ., 4.
Per farlo dobbiamo prima prima creare le coppie di valori (xi, fi). Queste potrebbero
essere un dato già conosciuto, ma nel nostro caso le ricaviamo dal polinomio.
I valori xi vengono ricavati semplicemente dividendo l’intervallo [a, b]
in k + 1 parti, per ottenere k + 2 ascisse. Le corrispondenti yi invece vengono
ricavate valutando il polinomio per ogni elemento in xi. Questi due vettori rappresentano
i punti che vanno in input alla funzione 5.1, che una volta eseguita
ritorna il polinomio interpolante. A questo punto per disegnare il polinomio
interpolante, basta valutarlo sulle ascisse x, proprio come abbiamo fatto per il
polinomio di partenza. N.B. sappiamo che il polinomio interpolante esiste ed è
unico. Siccome è unico se provassimo a interpolare un polinomio di grado n con
un altro di pari grado oppure maggiore, otterremo lo stesso identico polinomio!
Nella figura 5.1 possiamo notare i vari polinomi. Distinguendoli per colore
troviamo:
rosso è il polinomio interpolante di grado 1.I suoi punti di interpolazione sono:
xi 0 10
fi 0 −723.84
Il polinomio interpolante è: p(x) = −60.32x
verde è il polinomio interpolante di grado 2.I suoi punti di interpolazione sono:
xi 0 6 12
fi 0 80.88 −723.84
Il polinomio interpolante è: p(x) = −12.3x 2 + 87.28x
83

lu è il polinomio interpolante di grado 3.I suoi punti di interpolazione sono:
xi 0 4 8 12
fi 0 −4.48 170.24 −723.84
Il polinomio interpolante è: p(x) = −3.25x 3 + 44.6x 2 − 127.52x
giallo è il polinomio interpolante di grado 4.I suoi punti di interpolazione sono:
xi 0 3 6 9 12
fi 0 −23.01 80.88 157.77 −723.84
Il polinomio interpolante è: p(x) = −0.4x 4 − 6.25x 3 − 24x 2 − 18.8x
200
100
0
−100
−200
−300
−400
−500
−600
−700
−0.02 x 5 + 0.2x 4 −0.05x 3 +3x 2 −20x
−60.32x
−12.3x 2 +87.28x
−3.25x 3 +44.6x 2 −127.52x
−0.4x 4 +6.25x 3 −24x 2 +18.88x
−800
0 2 4 6 8 10 12
Figura 5.1: Grafico dei polinomi interpolanti la funzione 5.10
Con la forma di Lagrange, se volessimo aggiungere un ascissa di interpolazione,
dovremmo rieseguire di nuovo l’algoritmo con i nuovi punti (xi, fi),
ricostruendo tutte le informazioni necessarie. La forma di Newton, risolve questo
problema, rendendo possibile una costruzione incrementale del polinomio,
cioè a partire dal polinomio di grado n, pn(x), possiamo ottenere pn+1(x). Per
farlo prendiamo in considerazione una diversa base per rappresentare i polinomi.
Definizione 11 (Base di Newton).
Quindi:
ω0(x) ≡ 1 (5.11)
ωk+1 ≡ (x − xk) · ωk(x) k = 0, 1, . . . (5.12)
ωk+1 =
k
(x − xj) (5.13)
j=0
I polinomi di newton godono delle seguenti proprietà:
• ωk(x) ∈ Π ′ k dove Π ′ k
rappresentano i polinomi monici di grado k.
84

dim. Possiamo dimostrare questa proprietà per induzione sul grado del
polinomio. La base dell’induzione risulta vera; infatti ω0(x) = 1 per definizione
risulta appartenere a Π ′ 0. Per ipotesi induttiva, ωk ∈ Π ′ k . Dalla
definizione 5.12, ωk+1 = (x − xj) · ωk(x).Moltiplicando un polinomio di
grado 1 con un altro di grado k, il risultato è un polinomio di grado k +1.
• ωk+1(x) =
k
x − xj
j=0
• ωk+1(xi) = 0, per i ≤ k
dim.
ωk+1(xi) =
k
(xi − xj) = (xi − x0) · . . . · (xi − xi) · . . . · (xi − xk) = 0
j=0
• ω0(x), . . . , ωk(x), costituiscono una base per Πk.
Enunciamo allora il teorema per la definizione del polinomio interpolante con
base di Newton:
Teorema 24. I polinomi interpolanti che soddisfano i seguenti criteri di interpolazione,
pr(x) ∈ Πr
pr(xi) = fi , i = 0, . . . , r
si possono generare in modo ricorsivo nel seguente modo:
p0(x) = f0ω0(x) (5.14)
pr(x) = pr−1 + f[x0, x1, . . . , xr]ωr(x), r = 1, . . .,n (5.15)
f[x0, x1, . . . , xr] è la differenza divisa , ed è definita così:
f[x0, x1, . . . , xr] =
r
k=0
r
j=0,j=k
fk
(xk − xj)
(5.16)
dim.(per induzione) La base della dimostrazione è verificata, perché quando
r = 0, per definizione (vedi 5.11), abbiamo che
p0(x) = f0ω0(x) = f0
Per ipotesi supponiamo che la tesi sia dimostrata per r − 1. Dimostriamo che
pr(x) ∈ Πr. ωr(x) ∈ Π ′ r, inoltre per ipotesi induttiva, pr−1(x) ∈ Πr−1;Risulta
evidente che sommando pr−1(x) e f[x0, . . .,xr]ωr(x) si ottiene che pr(x) ∈ Πr.
Si distinguono due casi
• i < r
pr(xi) = pr−1(xi) + f[x0, . . . , xr]ωr(xi) = pr−1(xi) = fi
ωr(xi) = 0 e pr−1(xi) = fi risulta vero per ipotesi induttiva.
85

• i = r
pr(xr) = pr−1(xr) + f[x0, . . . , xr]ωr(xi) = pr−1(xr) = fr
L’ultima uguaglianza, è stata imposta.Esprimiamo la differenza divisa in
funzione di fr.
f[x0. . . . xr] = fr − pr−1(xr)
(5.17)
ωr(xr)
Dobbiamo dimostrare che la 5.16 e la 5.17 hanno la stessa forma.
f[x0. . . . xr] = fr − pr−1(xr)
ωr(xr)
= fr pr−1(xr)
−
ωr(xr) ωr(xr)
Esprimiamo il polinomio di grado r nella forma di Lagrange (vedi 5.9):
fr 1
−
r−1
r−1
(xr − xj) (xr − xj)
j=0
fr
j=0
=
−
r−1
(xr − xj)
j=0
fr
=
r−1
(xr − xj)
j=0
fr
=
r−1
(xr − xj)
j=0
=
fr
1
xr − xk
r−1
−
r−1
· fk ·
fk
k=0
r−1
·
k=0
xr − xk
k=0
r−1
+
=
r−1
(xr − xj)
j=0
r
j=0,j=r
fr
(xr − xj)
=
xk − xr
k=0
r
k=0
fk
r−1
+
k=0
r−1
+
r
k=0
j=0,j=k
·
·
r
j=0,j=k
fk
r−1
j=0,j=k
r−1
j=0,j=k
r−1
j=0,j=k
r−1
j=0,j=k
r−1
j=0,j=k
r
fk
j=0,j=k
(xk − xj)
fk
(xr − xj)
(xk − xj)
(xk − xj)
1
(xk − xj)
1
(xk − xj)
fk
(xk − xj)
=
(xk − xj)
Teorema 25. Mostriamo le proprietà delle quali gode la differenza divisa:
86
=
=
=
=
=

• Se
Allora
f , g : [a, b] → R α, β ∈ R
(α · f + β · g)[x0, . . . , xr] = α · f[x0, . . . , xr] + β · g[x0, . . . , xr] (5.18)
• Per ogni {i0, i1, . . .,ir} permutazione dell’insieme {0, 1, . . ., r} risulta che
f[xi0, xi1, . . .,xir] = f[x0, x1, . . . , xr] (5.19)
In definitiva questa proprietà dice che cambiando l’ordine delle ascisse la
differenza divisa non cambia.
• Sia f ∈ Πl con l ≤ r, allora
dim.
pr(x) =
f[x0, x1, . . .,xr] =
ak se l = r
0 se l < r
(5.20)
n
akx k = f[x0]+f[x0, x1]ω1(x)+. . .+f[x0, x1, . . . , xr]ωr(x) ≡ f(x)
k=0
• Se f ∈ C (r) ([a, b]), insieme di funzioni derivabili r volte, allora
•
f[x0, x1, . . . , xr] = f(r) (ξ)
r!
ξ ∈ [min
i xi, max
k xk] (5.21)
⎧
⎨ f0 ≡ f(x0) se r = 0
f[x0, x1, . . .,xr] =
⎩ f[x1,...,xr]−f[x0,...,xr−1]
altrimenti
xr−x0
(5.22)
dim.(per induzione) Verifichiamo che la base k = 1 è soddisfatta. Per
definizione abbiamo che
f[x0, x1] =
1
i=0
1
j=0,j=i
fi
(xi − xj)
=
f0
x0 − x1
+ f1
x1 − x0
= f1 − f0
x1 − x0
La base quindi è soddisfatta. Per ipotesi induttiva risulta vero fino a k-
1. Partendo dalla definizione otteniamo la differenza di ordine k da due
differenze divise di ordine k − 1.
f[x1, . . . , xk]−f[x0, . . .,xk−1] =
k
i=1
87
k
j=1,j=i
fi
(xi − xj)
k−1
−
i=0
k−1
j=1,j=i
fi
(xi − xj)
=

Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore del primo addendo per
(xi − x0) e del secondo addendo per (xi − xk), in modo tale da rendere i
denominatori e le sommatorie uguali
=
k
i=0
k
j=0,j=i
=
fi
k
i=0
(xi − xj)
fi(xi − x0)
k
−
(xi − xj)
j=0,j=i
k
i=0
fi(xi − xk)
k
(xi − xj)
j=0,j=i
·(xi−x0−xi+xk) = (xk −x0)·
k
i=0
k
j=0,j=i
fi
(xi − xj)
Presentiamo adesso un algoritmo per il calcolo di un punto x in un polinomio.
Algoritmo 5.4 (Agoritmo di Horner).
function p=horner(a,x)
%INPUT
% a il vettore dei coefficienti
% del polionomio p e del quale si vuole calcolare
% p(x)
% x il punto per il quale si calcola p(x)
n=length(a);
p=Coefficienti(n);
for i=n-1:-1:1
p=x*p +a(i);
end
Il funzionamento del precedente algoritmo è molto semplice. Come abbiamo
già visto, la forma canonica del polinomio è:
p(x) =
Sviluppando la sommatoria otteniamo:
n
akx k
k=0
p(x) = a0 + a1x + a2x 2 + . . . + anx n
manipoliamo questa espressione per avere una forma ricorsiva
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(. . . + x(an))))
Presentiamo l’algoritmo per il calcolo della differenza divisa di ordine n
Algoritmo 5.5 (Algoritmo per il calcolo della differenza divisa).
88

function f=differenzaDivisa(x,f,n)
%Questa function calcola le differenze divise
%fino all’ordine n.
%
%INPUT
% x il vettore delle ascisse
% f il vettore delle ordinate ottenute da f(x)
% n l’ordine della differenza divisa
if(n>length(x)-1)
message1=(’La differenza divisa non pu avere un ordine ’);
message2=(’maggiore del numero delle ascisse pi uno’);
error([message1,message2]);
end
for i=1:n
for j=n+1:-1:i+1
f(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j-i));
end
end
Algoritmo 5.6 (Algoritmo di Hornerper la valutazione del polinomio interpolante
di Newton).
function p=hornerNewton(xx,x,f,n)
%
%hornerNewton, calcola il valore del polinomio
%interpolante nei punti dati dal vettore xx
%
%INPUT
% xx punti da valutare
% x ascisse del polinomio
% f vettore delle differenze divise
P=zeros(1,length(f));
n=length(f)-1;
l=length(xx);
for i=1:l
p(i)=f(n+1)
for k=n:-1:1
p(i)=f(k)+(p(i)*(xx(i)-x(k)));
end
end
Come è stato fatto per l’algoritmo 5.4, dimostriamone la correttezza. Il
89

polinomio con interpolante con la base di Newton, ha la seguente forma:
pn(x) =
n
f[x0, . . .,xi]ωi(x)
i=0
Sviluppando la sommatoria e rinominando per semplicità la differenza divisa
f[x0, . . . , xi] con Ai, otteniamo
pn(x) = A0ω0(x) + A1ω1(x) + . . . + Anωn(x)
Sostituaimo il simbolo di omega con la parte destra dell’equazione della definizione
5.13 della base di Newton.
pn(x) = A0 ·1+A1 ·(x−x1)+A2 ·(x−x1)(x−x2)+. . .+An ·(x−x1)...(x−xn)
Mettiamo in evidenza i fattori (x − xi)
A0 + (x − x1) · (A1 + (x − x2) · (A2 + (x − x3) · (. . . An−1 + (x − xn) · (An))))
5.3 Interpolazione di Hermite
L’idea che sta alla base dell’interpolazione di Hermite, è quella di interpolare in
un punto sia la funzione sia la sua derivata. Questo è possibile grazie a qualche
accorgimento. Le ascisse quindi saranno un numero dispari:
n = 2m + 1, m = 0, 1, . . . (5.23)
Supponiamo queste ascisse tutte distinte. Se facciamo tendere le ascisse di indice
dispari, all’ascissa di indice pari minore
x2i+1 −→ x2i i = 0, 1, . . ., m
e supponendo che la funzione da interpolare f(x) ∈ C (1) , possiamo scrivere
f(x2i+1) − f(x2i)
x2i+1 − x2i
= f[x2i, x2i+1] −→ f ′ (x2i) i = 0, 1, . . .,m (5.24)
Come possiamo notare dall’equazione precedente, il rapporto incrementale è
proprio la differenza divisa, e se x2i+1 −→ x2i, questo tende alla derivata della
funzione nel punto x2i. Risulta quindi che
p(x2i) = f(x2i), p ′ (x2i) = f ′ (x2i), i = 0, 1, . . ., m
Rinumerando le ascisse nel seguente modo
x0 = x0 < x1 = x1 < . . . < xm = xm
possiamo esprimere il polinomio di Hermite:
(5.25)
p(x) = f[x0] + f[x0, x0](x − x0)+
+f[x0, x0, x1](x − x0) 2 +
+f[x0, x0, x1, x1](x − x0) 2 (x − x1)+
+f[x0, x0, x1, x1, x2](x − x0) 2 (x − x1) 2 + . . .+
+ . . . + f[x0, x0, x1, x1, . . .,...,xm, xm](x − x0) 2 . . . (x − xm−1) 2 (x − xm)
90

5.4 Errore nell’interpolazione
In questa sezione vogliamo valutare l’errore di interpolazione come una differenza:
en(x) = f(x) − pn(x) (5.26)
Evidentemente, en(xi) = 0 per ogni i = 0, . . .,n, in quanto deve soddisfare le
condizioni di interpolazione (vedi 5.1 e 5.2). Se prendiamo un punto generico
ˆx = xi per i = 0, 1, . . ., n risulta che:
ˆpn(xi) = fi i = 0, . . .,n
ˆpn+1(x) ∈ Πn+1
ˆpn(ˆx) = f(ˆx)
Quindi
Risulta inoltre che
In più se f ∈ C n+1 allora
ˆpn+1(ˆx) = pn(ˆx) + f[x0, . . . , xn, ˆx] · ωn+1(ˆx) = f(ˆx)
e(ˆx) = f(ˆx) − pn(ˆx) = f[x0, . . . , xn, ˆx] · ωn+1(ˆx)
en(x) = fn+1 (ξ)
(n + 1)! ωn+1(x) ξ ∈ (min
i xi, max
i xi) (5.27)
Riguardo a questa ultima espressione di e(x), possiamo fare alcune considerazioni:
• Se x ∈ {xi} con i = 0, . . .n, allora ωn+1(x) si annulla e di conseguenza
anche l’errore
• Se x ∈ [x0, xn] e x = xi con i = 0, . . .n, allora l’errore oscilla intorno alla
funzione in un range limitato.
• Se non si verifica nessuna condizione delle precedenti, ovvero se x /∈
[x0, xn], allora |ωn+1(x)| ha l’andamento della funzione |x n+1 |.
In definitiva, l’interpolazione a partire da un set di coppie (xi, fi), ha senso solo
se si sceglie un x ∈ [x0, xn].
Esempio 24 (Stima errore di interpolazione). Siamo interessati a stimare quante
ascisse equidistanti di interpolazione sono necessarie per approssimare la
funzione sin(x) sull’intervallo [0, 2π], con un errore di interpolazione inferiore
a 10 −6 . Prendendo in esame l’espressione 5.27 dell’errore di interpolazione,
possiamo fare qualche analisi. Analiziamola fattore per fattore:
• f (n+1) (ξx): la funzione sin in questo caso ci viene in aiuto e non ci complica
le cose.Le derivate di questa funzione sono ±sin(x) e ±cos(x), a
seconda dell’ordine della derivata.In ogni caso sappiamo che
f (n+1) (ξx) ≤ 1 per ξx ∈ [0, 2π]
• ωn+1(x): Nell’intervallo [0, 2π] possiamo dire che
|x − xj| < 2π
Quindi se consideriamo che l’intera produttoria della base di Newton è
costituita da n + 1 fattori possiamo fare la seguente stima:
|ωn+1(x)| < (2π) n+1
91

Quindi stimiamo il nostro errore come
en(x) = (2π)n+1
(n + 1)!
(5.28)
Procediamo alla stima del valore di n, tale che la 5.28 sia minore di 10 6 , in
modo non nalitico. La soluzione quindi è stata ottenuta col seguente script di
matlab
Algoritmo 5.7.
f=inline(’((2*pi).^(x+1))./(factorial(x+1))’);
n=0;
tol=10^-6;
while(f(n)>= tol)
n=n+1;
end
printf(’L errore e’ inferiore a %d per n=%d’,tol,n);
x=[0:1:40];
y=f(x);
plot(x,y,’k’);
Questo script restituisce in output il seguente risultato e il grafico dell’andamento
dell’errore al crescere del numero di ascisse di interpolazione equidistanti.
L errore e’ inferiore a 1.0000e-06 per n=26
90
80
70
60
50
40
30
20
10
(2 ⋅ π) (n+1) /(n+1)!
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Come si può vedere dal grafico, per valori di n < 5, il fattore ωn+1(x) domina
sul fattoriale, facendo innalzare molto l’errore. Invece per valori di n > 6, il
fattoriale prende il sopravvento, riducendo a zero l’errore per n → ∞. Come
vedremo nella prossima sezione, risulta controproducente innalzare il numero di
ascisse in modo indiscriminato. Infatti all’aumentare del numero delle ascisse
il problema diventa mal condizionato.
92

5.5 Condizionamento del problema
Consideriamo il polinomio interpolante di grado n, pn(x), ottenuto dai dati
in ingresso, ovvero le coordinate (xi, fi). Assumiamo che l’errore sui dati in
ingresso sia solo sulla funzione e non sulle ascisse. Quindi i dati in ingresso
risultano essere le coppie di valori (xi, ˜ fi), dove ˜ fi = ˜ f(xi). siamo interessati a
valutare quindi
|pn(x) − ˜pn(x)| (5.29)
Il polinomio che usiamo per questo caso, è quello di Lagrange
i=0
p(x) =
˜pn(x) =
n
fiLin(x)
i=0
n
˜fiLin(x)
i=0
Quindi la 5.29 diventa
n
n
|pn(x) − ˜pn(x)| = fiLin(x) − ˜fiLin(x)
=
n
(fi −
˜
fi) · Lin(x)
<
i=0
i
i=0
n
< (fi − ˜
fi) · Lin(x) ≤ max f(xi) − ˜ n
f(xi) · |Lin(x)| ≡ max fi −
i
˜
fi·Λn
Λn(x) è la funzione di Lebesgue, che dipende solo dalle ascisse di interpolazione.
Consideriamo allora un intervallo [a, b]. Definiamo la norma di una funzione
come
||f|| = max
a≤x≤b |f(x)|
Da questa definizione otteniamo che
i=0
i=0
||pn − ˜pn|| ≤ maxi|fi − ˜ fi| · ||Λn|| ≤ ||f − ˜ f|| · Λn
(5.30)
Λn in questo caso diventa la costante di Lebesgue. ||pn−˜pn|| rappresenta i dati in
uscita, ||f − ˜ f|| rappresenta i dati in ingresso. Risulta evidente che Λn è il numero
di condizionamento del problema. Ma come sono correlati l’approssimazione e
l’errore?
Teorema 26 (Polinomio di miglior approssimazione). Se f ∈ C (0) continua
nell’intervallo [a, b], allora per ogni n ∈ N esiste p ∗ (x) ∈ Πn tale che
||f − p ∗ || = min ||f − p||
p∈Πn
p ∗ (x) ∈ Πn è il polinomio che meglio approssima f(x) di grado al più n.
Teorema 27.
dim.
||e|| ≤ (1 + Λn) · ||f − p ∗ ||
||e|| = ||f − p|| = ||f − p ∗ + p ∗ − p|| ≤ ||f − p ∗ ||+||p − p ∗ ||
Λn||f−p ∗ ≤ (1+Λn)·||f − p
||
∗ ||
93

Definizione 12. Si definisce modulo di continuità di una funzione il valore
ω(f; h), dove
ω(f; h) ≡ max {|f(x) − f(y)| : |x − y| ≤ h} (5.31)
Proprietà:
• Se f è continua, allora lim
h→0 ω(f; h) = 0
• Se f è Lipschitziana con costante L, allora ω(f; h) ≤ L·h f è Lipschitziana
con costante L se
|f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|
Quindi se f ∈ C (1) allora L = ||f ′ ||. dim.
Quindi L = f ′ .
|f(x) − f(y)| = |f(x) − f(x) − f ′ (x)(x − y)| ≤ L · |x − y|
Teorema 28 (Jackson). Se f ∈ C (0) allora esiste α indipendente da n tale che:
Lemma 3.
||f − p ∗ || ≤ α · ω(f;
||e|| ≤ α · (1 + Λn) · ω(f;
b − a
) (5.32)
n
b − a
n )
Al crescere di n, Λn cresce, mentre ω(f; b−a
n ) decresce.
Passando alle norme, l’equazione 5.27, diventa
||e|| ≤
f (n+1)
(n + 1)!
||wn+1||
Per riuscire a minimizzare l’errore, dobbiamo agire sulla scelta delle ascisse di
interpolazione. Notiamo però che il primo fattore del secondo membro non
dipende da questa scelta. Per questo il problema di minimizzare l’errore si
riduce a minimizzare la quantità ||ωn+1||. In definitiva il nuovo problema da
risolvere è:
min
a≤x0

Delle proprorzioni sappiamo che il prodotto degli estremi è uguale al prodotto
dei medi. Quindi abbiamo che
˜x =
b − a
2
Questo appunto rappresenta l’offset dal centro dell’intervallo.
Teorema 30. Per ogni a, b, se ˜x ∈ [a, b], allora x ∈ [−1, 1], dove
x =
· x
2˜x − a − b
b − a
Come prima l’offset è individuato, ricavando la x dalla proporzione 5.34 ottendendo:
x = 2˜x
b − a
Affinché al x ∈ [−1, 1] dobbiamo sottrarre la quantità b+a
b−a .
Teorema 31. È sempre possibile trasformare un problema di interpolazione definito
sulle ascisse nell’intervallo [a, b], in uno definito sulle ascisse dell’intervallo
[−1, 1] e viceversa. La dimostrazione discende immediatamente dai teroremi
29 e 30
5.6 Ascisse di Chebyshev
Definizione 13 (Polinomi di Chebishev di prima specie). Si definiscono in
modo ricorsivo:
Proprietà:
T0(x) ≡ 1 (5.35)
T1(x) = x (5.36)
Tk+1(x) = 2xTk(x) − Tk−1(x), k = 1, 2, . . . (5.37)
• Tk(x) è un polinomio di grado esatto K.
• Il coefficiente principale di Tk(x) è 2 k−1 per k ≥ 1.
• Le famiglie di polinomi ˆ Tk(x) = 2 1−k Tk(x) è una famiglia di polinomi
monici di grado k.
• Sia x = cosθ con θ ∈ [0, π], allora possiamo parametrizzare i punti
dell’intervallo [−1, 1] rispetto a θ, ottenendo:
dim.(per induzione)
Per k = 0 è ovvio.
Tk(x) ≡ Tk(cosθ) = coskθ
T0(x) ≡ 1 Per definizione ma cos0 ≡ 1
95

Per k + 1 abbiamo che
Tk+1(cosθ) = 2 cosθTk(cosθ)−Tk−1(cos θ) = 2 cosθ coskθ−cos(k − 1)θ =
= 2 cosθ coskθ − (coskθ cosθ + sin kθ sin θ) =
2 cosθ coskθ − cosθ coskθ − sin θ sin kθ = cos(k + 1)θ
• Le radici di Tk(x) sono date da
x (k)
2i + 1 π
i = cos
k 2
• ||Tk|| = 1
•
ˆ
Tk
=
1−k 2 Tk
1−k = 2
•
ˆ
Tk
= min
p∈Π ′ n+1
||p|| = 2 1−k
i = 0, . . .,k − 1
Scegliendo le seguenti ascisse di interpolazione per l’intervallo [−1, 1]
(2i + 1)π
xi = cos
(5.38)
2(n + 1)
si ottiene
ωn+1(x) =
n
(x − xi) ≡ ˆ Tn+1(x) (5.39)
i=0
che risulta essere la soluzione per il problema di minmassimo 5.33 Con la scelta
dei nodi 5.38, otteniamo il seguente errore
||e|| =
f (n+1)
(n + 1)!2n (5.40)
Di conseguenza, la costante di Lebesgue diventa
Λn ≈ 2
log n (5.41)
π
Questa costante risulta avere un buon andamento per n → ∞. Se volessimo
generalizzare le ascisse 5.38 per un generico intervallo [a, b], la definizione delle
ascisse cambierebbe in
xn−i =
a + b b − a (2i + 1)π
cos
2 2 2(n + 1)
5.7 Interpolazione mediante funzioni spline
(5.42)
Vediamo adesso un altro apporccio per approssimare una funzione e minimizzare
l’errore:
b − a
||e|| ≤ α · (1 + Λn) · ω(f;
n )
96

Abbiamo visto che al crescere di n, la costante Λn cresce. Se invece n assume
valori bassi, l’ultimo fattore, non può avere valori bassi. Consideriamo allora la
partizione ∆ = {a = x0, < x1 < . . . < xn = b}, per la quale si abbia
h = max
i=1,...,n (xi − xi−1) → 0 per n → ∞ (5.43)
Su ogni sottointervallo [xi, xi−1], prendiamo il polinomio di grado m (fissato a
priori), che interpola la funzione nei punti estremi all’ntervallo, ovvero
pm(xi) = f(xi)
pm(xi−1) = f(xi−1)
(5.44)
Così facendo, il condizionamento del problema rimane sotto controllo, essendo
m fissato. In più se f ∈ C (0) , il fattore ω(f; h) → 0 per n → ∞
Definiamo spline di grado m sulla partizione ∆ la funzione che ha i seguenti
requisiti:
• sm(x) ∈ C (m−1) nell’intervallo [a, b]
[xi−1,xi](x) ∈ Πm per i = 1, . . .,n
• sm
Inoltre se vale la seguente condizione
sm(xi) = fi per i = 0, 1, . . ., n (5.45)
la spline interpola la funzione nei nodi della partizione. Sappiamo che sono
necessarie m + n condizioni indipendenti per determinare in modo univoco la
spline interpolante nella partizione ∆. Noi però abbiamo n + 1 condizioni di
interpolazione, e questo ci consente di di individuare univocamente solo le spline
di grado 1, ovvero le spline lineari. La spline lineare viene individuata dalla
seguente equazione
s1
[xi−1,xi](x) = (x − xi−1)fi + (xi − x)fi−1
(xi − xi−1)
i = 1, . . .,n (5.46)
Esempio 25 (spline lineare). Matlab, mette a disposizione la funzione interpol.
Il codice per l’esempio è il seguente:
xx=[0:0.02:10];
x=[0:1:10];
y=sin(x);
yy=interp1(x,y,xx,’linear’);
plot(xx,yy,’k’);
La funzione da interpolare è sin(x) nelle ascisse della partizione ∆ = [0, 1, . . .,10].
I parametri di input sono i vettori delle ascisse e delle ordinate dei nodi
di interpolazione (x e y), il vettore delle ascisse di valutazione del polinomio
interpolante, e il tipo di interpolazione. Se xx è un vettore, allora yy = s1(xx);
La figura 5.2, mostra la spline interpolante la funzione sin(x) sui nodi (xi, yi).
97

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.8 Spline cubiche
Figura 5.2: Grafico della spline lineare.
La spline cubica prende il suo nome dal grado del polinomio interpolante che
è 3. Ci sono vari tipi di spline cubiche, a seconda delle condizioni imposte per
l’unicità.
• Spline naturale
La condizione aggiuntiva da imporre è
s ′′
3(a) = 0 s ′′
3(b) = 0 (5.47)
• not-a-knot
Le condizioni per definire una spline not-a-knot, sono le seguenti
s ′′
3(x1) − s ′′
3(x0)
x1 − x0
s ′′
3(xn) − s ′′
3(xn − 1)
xn − xn−1
= s′′ 3(x2) − s ′′
3(x1)
= s′′
x2 − x1
3(xn−1) − s ′′
3(xn−2)
xn−1 − xn−2
(5.48)
(5.49)
Teorema 32. s ′′′
3 [xi,xi−1](x) ∈ Π0. Infatti se sm
[xi,xi−1](x) ∈ Πm la sua
derivata prima sarà un polinomio di grado m − 1. Procedendo per induzione
si vede facilmente che la sua derivata m-esima è un polinomio appartentente a
Π0.
5.9 Calcolo spline cubica
Per semplicità ridefiniamo le seguenti variabili
mi = s ′′
3(xi) i = 0, 1, . . .,n (5.50)
hi = xi − xi−1 i = 0, 1, . . .,n (5.51)
98

Con queste definizioni, le condizioni 5.48 e 5.49 diventano:
(h1 + h2)m1 = h2m0 + h1m2 (5.52)
(hn−1 + hn)mn−1 = hnmn−2 + hn−1mn (5.53)
Infatti sostituendo la parte destra con la parte sinistra delle equazioni 5.50 e
5.51, abbiamo che
m1
h1
m1
h1
− m0
h1
+ m1
h2
h2m1 + h1m1
h1h2
= m2
h2
= m0
h1
− m1
h2
+ m2
h2
= h2m0 + h1m2
h1h2
m1(h2 + h1) = h2m0 + h1m2
(5.54)
Analogamente si può fare per la seconda condizione not-a-knot 5.49, che diventa
mn−1(hn + hn−1) = hnmn−2 + hn−1mn
(5.55)
Dal teorema 32, se s3(x) è una spline cubica allora s ′ 3 (x) è una spline di secondo
grado e s ′′
3(x) è una spline lineare. Quindi possiamo scrivere che
s ′′
3 [xi,xi−1](x) = (xi − xi−1)mi + (xi − x)mi−1
hi
Integrando la precedente equazione otteniamo
s ′′
3 [xi,xi−1](x) = s ′ 3(x) = (x − xi−1) 2mi + (xi − x) 2mi−1 + qi
2hi
(5.56)
(5.57)
dove qi è la costante di integrazione.Reintegrando ulteriormente otteniamo
s ′
3 [xi,xi−1](x) = s3(x) = (x − xi−1) 3mi + (xi − x) 3mi−1 + qi(x − xi−1) + ri
6hi
(5.58)
dove ri è un altra costante di integrazione. Calcoliamo adesso le due costanti
di integrazione qi e ri. Dobbiamo imporre la condizione di interpolazione 5.45.
Così sostituendo in x il valore xi−1, otteniamo
s3
[xi−1,xi](xi−1) = h2i 6 mi−1 + ri = fi−1
Ricaviamo ri dll’espressione precedente:
ri = fi−1 − h2 i
6 mi−1
(5.59)
(5.60)
Analogamente imponiamo la condizione di interpolazione al fine di ricavare la
costante di integrazione qi
s3
[xi−1,xi](xi) = h2i 6 mi + qihi + fi−1 − h2i 6 mi−1
99
ri
= fi
(5.61)

qi = fi − fi−1
hi
− mi − mi−1
hi = f[xi−1, xi] −
6
hi
6 (mi − mi−1) (5.62)
Quindi l’equazione della derivata prima della spline cubica diventa
s ′
3 [xi−1,xi](x) = (x − xi−1) 2mi + (xi − x) 2mi−1 + f[xi−1, xi] −
2hi
hi
6 (mi − mi−1)
(5.63)
Ancora i valori mi sono incogniti.Per calcolarli dobbiamo imporre la condizione
s ′
3 [xi−1−xi](xi) = s ′
3 [xi−xi+1](xi) (5.64)
Dalla 5.64 e 5.63, otteniamo
hi
2 mi+f[xi−1, xi]− hi
6 (mi−mi−1) = − hi + 1
2 mi+f[xi, xi+1]− hi+1
6 (mi+1−mi)
(5.65)
Moltiplicando per 6 e portando a primo membro le incognite mi, otteniamo:
himi−1 + mi(2hi + 2hi+1) + hi+1mi+1 = 6(f[xi, xi+1] − f[xi−1, xi]) (5.66)
Per accorpare le due differenze divise in una, utiliziamo la proprietà 5.22. Per
poter sfruttare tale proprietà dobbiamo dividere entrambi i membri per
Siano
allora la 5.66, diventa
ϕi =
ξi =
xi+1 − xi−1 = hi + hi+1
hi
hi + hi+1
hi+1
hi + hi+1
i = 1, . . .,n (5.67)
i = 1, . . .,n (5.68)
ϕimi−1 + 2mi + ξimi+1 = 6f[xi−1, xi, xi+1] (5.69)
Dobbiamo quindi risolvere il seguente sistema
⎛
2
⎜ϕ2
⎜
⎝
ξ1
2
. ..
ξ2
. ..
ϕn−2
. ..
2
⎞⎛
⎞ ⎛
m1
⎟⎜
m2 ⎟ ⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟⎜
. ⎟ = 6 ⎜
ξn−2⎠
⎜ ⎟ ⎜
⎝ . ⎠ ⎝
f[x0, x1, x2]
f[x1, x2, x3]
.
.
⎞
⎟
⎠
ϕn−1 2
f[xn−2, xn−1, xn]
mn−1
(5.70)
Osserviamo che per ogni i = 1, . . . , n, ξi +ϕi = 1 < 2. La matrice quindi risulta
diagonale dominante per righe, e di conseguenza fattorizzabile LU, dove L ed
U sono così definiti: ⎛
1
⎞
⎜
⎜l2
L = ⎜
⎝
. ..
. .. . ..
⎟
⎠
(5.71)
100
ln−1 1

dove
⎛
⎜
U = ⎜
⎝
u1 = 2 , li+1 = ϕi+1
ui
u1 ξ1
. ..
. ..
⎟
. ⎟
.. ξn−2
⎠
un−1
⎞
, ui+1 = 2 − li+1ξi per i = 1, . . .,n − 2
Il sistema 5.70 si risolve quindi ponendo
Ly = b con
y1 = b1
yi = bi − liyi−1 i = 2, . . .,n − 1
Um = y con
mn−1 = yn−1
un−1
mi = (yi−ξimi+1)
un
i = n − 2, . . .,1
(5.72)
La prova della consistenza dei fattori L ed U, può essere verificata tramite la
loro moltiplicazione. Chiamiamo A la matrice dei coefficienti del sistema lineare
5.70. La prima riga ha in prima e seconda posizione i seguenti elementi:
A1,1 = 1 · u1 = u1 = 2
A1,2 = 1 · ξ1 + 0 · u2 = ξ1
La prima riga della matrice A infatti corrisponde alla matrice dei coefficienti del
sistema 5.70. Per una i-esima riga si verifica che
Ai,i−1 = ξi−2 · 0 + l1 · ui−1 + 1 · 0 = ϕi
Ai,i = li · ξi−1 + 1 · ui =
Ai,i+1 = 1 · ξi = ξi
ui−1
ϕi
ξi−1
uu−1
· ui−1 = ϕi
+ 2 −
ϕi
ξi−1
uu−1
= 2
Analogamente alla prima riga si può procedere per l’ultima riga. I risultati di
tale fattorizzazione, i coefficienti mi, dovranno poi essere sostituiti nell’equazione
5.58, tenendo conto delle definizioni delle costanti di integrazione. Questo
procedimento che abbiamo seguito è valido per la spline cubica naturale. Per il
calcolo della spline cubica con condizione not-a-knot, dobbiamo imporre le condizioni
5.54 e 5.55. Rispettando queste imposizioni e considerando l’equazione
5.69, otteniamo il sistema lineare
⎛
⎜
⎝
ξ1 −1 ϕ1
ϕ1 2 ξ1
. ..
. ..
. ..
ϕn−1 2 ξn−1
ξn−1 −1 ϕn−1
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
m0
m1
.
.
mn−1
mn
⎞ ⎛
⎞
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ f[x0, x1, x2] ⎟
⎟ ⎜
⎟ = 6
. ⎟
⎜
⎟ ⎜ . ⎟
⎠ ⎝f[xn−2,
xn−1, xn] ⎠
0
(5.73)
Se nella matrice sostituisco la prima riga con la somma della prima e della
seconda riga, e sostituisco l’ultima, con la somma dell’ultima e della penultima
101

iga, ottengo:
⎛
1 1 1
⎜ϕ1
⎜ 2 ξ1
⎜
. .. . ..
⎜
⎝
. ..
ϕn−1 2 ξn−1
1 1 1
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
m0
m1
.
mn−1
mn
⎞ ⎛
⎞
f[x0, x1, x2]
⎟ ⎜
⎟ ⎜ f[x0, x1, x2] ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ = 6 ⎜
⎟ ⎜ . ⎟
⎠ ⎝f[xn−2,
xn−1, xn] ⎠
f[xn−2, xn−1, xn]
(5.74)
Adesso si sottrae alla seconda e terza colonna la prima, alla n − 2esima e n −
1esima la n-esima. Ottenendo quindi
⎛
1
⎜ϕ1
⎜ (2 − ϕ1) (ξ1 − ϕ1)
⎜ ϕ2 ⎜
2 ξ2
⎜
. .. . ..
⎜
ϕn−2 2
⎝
(ξn−1 − ϕn−1)
. ..
ξn−2
(2 − ϕn−1)
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
ϕn−1⎠
⎝
1
m0
.
.
⎛
⎞
f[x0, x1, x2]
⎜
f[x0, x1, x2] ⎟
⎜
⎟
⎜
= 6 ⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
⎝f[xn−2,
xn−1, xn] ⎠
f[xn−2, xn−1, xn]
(5.75)
m0 + m1 + m2
mn−1
mn + mn−1 + mn−2
Considerando che la matrice ha tutti i minori principali non nulli, la matrice
stessa risulta fattorizzabile LU.
5.10 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati
Spesso ci si trova a dover approssimare una funzione di tipo polinomiale, dove
i dati di ingresso sono ottenuti sperimentalmente o con modelli matematici che
simulano un comportamento fisico. Tali dati non sono esatti. Si avrà quindi
il vettore dei dati osservati f = (f0, . . . , fn) T ∈ R n+1 , e per ognuno di questi
valori, si avrà il valore atteso y = (y0, . . . , yn) T ∈ R n+1 . Cosa vuol dire che
pm(xi) ≈ fi? Si chiama soluzione ai minimi quadrati, il minimo della norma
euclidea di f − y, ovvero
L’equazione del polinomio esatto è
min ||f − y||
pm∈Πn
2
2
yi = pm(xi) = (x 0 i , x 1 i,...,x m i ) · (a0, a1, . . .,an) T
Posso scegliere allora y = V a, dove V è la matrice di Van der Monde
⎛
⎞
⎜
V = ⎜ .
⎜
⎝ .
x 0 0 x 1 0 . . . x m 0
.
.
x 0 n x 1 n . . . x m n
102
.
.
⎟
⎠
(5.76)
(5.77)
⎞
⎟ =
⎟
⎠

Il problema dei minimi quadrati diventa
min ||f − y||
pm∈Πn
2
2 = min
a∈Rn+1 ||V a − f|| 2
2
Siccome il rango di V è m + 1, ovvero massimo, V risulta fattorizzabile QR.
ˆR
V = QR ≡ Q
0
dove QTQ = In+1, e ˆ R, R ∈ Rn+1×m+1 Quindi l’equazione 5.76, la possiamo
riscrivere come
||QRa − f|| 2
2 = Q(Ra − Q T f) 2 2 =
2
ˆR
a − g
0
(5.78)
dove g = QTf.Partizioniamo g nel seguente modo
g1
g = dove g1 ∈ R m+1 , g2 ∈ R n−m
g2
Allora possiamo continuare la trasformazione dell’equazione 5.78
ˆ
Ra − g1
2
2 + ||g2|| = ||g2|| 2
2
2
(5.79)
(5.80)
L’equazione vista sopra è vera se e solo se ˆ Ra = g1. Scegliamo allora a = ˆ R −1 g1.
Si osserva che se m = n allora anche g2 = 0, e quindi i dati vengono interpolati
esattamente e non approssimati.
103

Capitolo 6
Formule di quadratura
In questo capitolo siamo interessati a capire come una perturbazione sulla funzione
integrata su ripercuote sull’integrale. Vedremo poi qualche metodo per
approssimare integrali definiti.
6.1 Metodo di Newton-Cotes
L’integrale, espresso come funzione di f, è così definito:
I(f) =
b
a
f(x)dx (6.1)
Senza perdita di generalità, considereremo che a < b e che f(x) sia continua in
[a, b]. Se chiamiamo ˜ f, la funzione perturbata da integrare, il condizionamento
dell’approssimazione di un integrale definito dato da
I(f) − I( ˜
f) =
b
a
x∈[a,b]
f(x)dx
b
a
˜f(x)dx
=
≤ max f(x) − ˜
f(x) ·
b
a
b
a
f(x) − ˜
f(x)dx
≤
Risulta quindi chiaro che
I(f) − I( ˜
f) = (b − a) · f
−
K
errore in output
˜
f
errore in input
b
a
f(x) − ˜
f(x)dx
≤
dx = (b − a) · f
− ˜
f
(6.2)
In definitiva il numero di condizionamento per l’approssimazione di un integrale
definito, è proprio l’ampiezza dell’intervallo di integrazione. L’idea per approssimare
l’integrale di una funzione, è di calcolare l’integrale dell’approssimazione
di una funzione più facilmente integrabile. Ovvero
I(f) =
b
a
f(x)dx ≈
b
a
pn(x)dx ≡ In(f)
Consideriamo allora una partizione dell’intervallo [a, b] così definita:
xi = a + i · h i = 0, . . .,n dove h =
104
b − a
n
(6.3)

Se il polinomio interpolante la funzione lo sostituiamo con quello di Lagrange,
otteniamo:
In(f) =
b
a
pn(x)dx =
b
a
n
Lin(x)fidx =
i=0
Ponendo i = t nell’equazione 6.3 otteniamo
n
i=0
x = a + th dove 0 ≤ t ≤ n
Con tale sostituzione i polinomi di Lagrange diventano
Lin(x) =
n
x − xj
xi − xj
j=0,j=i
=
n
j=0,j=i
a + th − (a + jh)
a + ih − (a + jh) =
fi
b
n
a
j=0,j=i
Lin(x)dx
(t − j)h
(i − j)h =
Pertanto l’approssimazione dell’integrale con i polinomi di Lagrange, risulta
Ovvero
Dove
Distinguiamo alcuni casi:
n=1
n=2
Siccome
si ha che
Quindi
b − a
n
n
i=0
fi
In(f) =
c (n)
i =
n
0
n
0
b − a
n
c (1)
0
c (1)
0
n
j=0,j=i
n
n
i=0
j=0,j=i
+ c(1)
1
t − j
i − j dt
n
j=0,j=i
c (n)
i fi (6.4)
t − j
i − j dt
= 1
= 1 − c(1)
1
c (1)
1 =
1
t 1
dt =
0 1 − 0 2
I1(f) =
c (2)
0
c (1)
0
b − a
2
= 1
2
(f(a) + f(b)) (6.5)
+ c(2) 1 + c(2) 2 = 2
c (2)
2 =
2
t · (t − 1) 1
dt =
0 2 · (1 − 0) 2 ·
3 2
t t2
− =
3 2 0
1
3
c (2)
0 =
2
2
(t − 1) · (t − 2) 1
1
dt = · (t(t − 1) − 2(t − 1))dt =
0 2 · 1 0 2 3
105
t − j
i − j

I2(f) =
b − a
6
c (2) 4
1 =
3
f(a) + 4f(
a + b
) + f(b)
2
Una proprietà che caratterizza la formula di Newton-Cotes, è la seguente:
i=0
Per ogni n < 6
Per n > 7
i=0
1
n
1
n
n
c
i=0
(k)
i
n
c
i=0
(k)
i
= 1
> 1
Studiamo il condizionamento perturbando la f.
In(f) − In( ˜
f) =
h
n
fic (n)
n
i − h ˜fic (n)
n
i = h (fi −
˜ fi) · c (n)
n
i ≤ h· fi −
˜
fi
·
Considerando che
fi
− ˜
fi
≤ f
− ˜
f
otteniamo che
h ·
n
fi − ˜
fi
·
i=0
c (n)
i
i=0
≤ (b − a) · f
− ˜
f
· 1
n
n
c
i=0
(n)
i
f
− ˜
f
rappresentano i dati in ingresso, quidni i restanti due fattori della
precedente equazione concorrono in qualche modo a modificare la perturbazione.
Analiziamo i due casi:
• Se n ≤ 6 allora
• Se n ≥ 7 allora
(b − a) f
− ˜
fi
(b − a) · f
− ˜
f
· 1
n
n
c
i=0
(n)
i
Considerando che per n ≥ 7, il fattore 1 n n
questo algoritmo non conveniete in questo caso.
6.2 Errore
i=0 c (n)
i
Definiamo l’errore commesso nell’approssimazione (vedi 5.26) come
En(f) = I(f) − In(f) =
b
a
f(x) − pn(x)dx =
106
b
a
i=0
≫ 1, si considera
f[x0, . . .,xn, x]ωn+1(x)dx
(6.6)
c (n)
i

Teorema 33 (Errore quadratura). Se f ∈ C (n+k) ([a, b]) con k = 1 se n è pari,
k = 2 altrimenti, allora
n+k+1
En(f) = νn · f(n+1)
(ξ) b − a
·
n + k n
con ξ ∈ [a, b] (6.7)
⎧ n n
⎪⎨
(t − j)dt n dispari
0 j=0
ν = n n
⎪⎩
t · (t − j)dt n pari
(6.8)
0
Con questa nuova formula l’errore per la formula dei trapezi è:
E1(f) = − 1
12 f(2) (ξ)(b − a) 3
j=0
mentre l’errore per la formula di Simpson risulta:
E2(f) = − 1
90 f(4) (ξ)(b − a) 5
(6.9)
(6.10)
Il nostro intento è quello di ridurre l’errore, senza aumentare il valore di n più di
6. Usiamo un approccio del tutto simile a quello utilizzato per ridurre l’errore
nel calcolo del polinomio interpolante. Infatti le spline sono state introdotte
proprio per questo. Si tratta quindi di applicare il metodo Newton-Cotes con
lo stesso valore di n, a pi sottointervalli di [a, b], con un ampiezza minore.
6.3 Formule composite
Presentiamo di seguito la formula composita dei trapezi:
b
a
f(x)dx =
n
i=1
xi
xi−1
f(x)dx =
b − a
n
n
i=1
f(xi−1 + f(xi)
2
= b − a
2n · (f0 + f1 + f1 + f2 + f2 + . . . + . . . + fn−1 + fn−1 + fn) =
= b − a
n−1
f0 + 2 · fi + fn =
2n
b − a
f0
n 2 +
n−1
fi + fn
2
i=1
Da notare che adesso n rappresenta il numero degli intervalli in cui è suddiviso
[a, b]. Dal terorema 33, possiamo ricavare l’errore per la relativa formula
composita.
E (n)
1 (f) = − 1
12
= − 1
12 n·
b − a
n
n
i=1
3 n
i=1
f (2) (ξ)(xi − xi−1) 3 = − 1
12
i=1
=
n
f (2)
b − a
(ξ)
n
i=1
f (2) (b − a)3
(ξi) = −
12n2 f(2) ( ˆ ξi) ≈ o
107
3
=
3 (b − a)
n2
→ 0 per n → ∞

Per la formula di Simpson invece risulta:
b
a
f(x)dx =
= b − a
n
i=1
3n
x2i
x2i−2
m−1
i=0
f(x)dx =
b − a
3n
m−1
f2i+1 + 2
i=1
m
i=1
f2i−2 + 4f2i−1 + f2i =
f2i + f0 + fn
Analogamente alla formula di trapezi si dimostra che l’errore per la relativa
formula compostia di Simpson è:
E (n)
2 (f) = − n
180 f(n) (ξ)
b − a
n
5
=
→ 0 per n → ∞ (6.11)
In definitiva, l’errore, sia per la formula dei trapezi, che per quella di Simpson,
si riduce notevolemtne man mano che il numero di intervalli aumenta. Vediamo
adesso l’algoritmo per l’approssimazione dell’integrale definito con il metodo dei
trapezi composito.
Algoritmo 6.1 (Trapezi composito).
function integrale=trapezi(f,a,b,n)
%La funzione trapezi, calcola l’integrale della funzione
%f, nell’ intervallo [a,b], approssimandolo con la
%formula composita dei trapezi.
%
%INPUT
% f funzione da integrare
% a estremo destro dell’intervallo
% b estremo sinistro dell’intervallo
% n numero di intervalli
h=(b-a)/n;
x=[a:h:b];
%y=inline(f);
%yy=feval(f,x);
yy=f(x);
integrale=h*(0.5*yy(1)+sum(yy(2:n))+0.5*yy(n+1));
Di seguito l’algoritmo con il metodo di Simpson.
Algoritmo 6.2 (Simpson composito).
function integrale=simpson(f,a,b,n)
%La funzione simpson, calcola l’integrale della funzione
%f, nell’ intervallo [a,b], approssimandolo con la
%formula composita di Simpson.
108

%
%INPUT
% f funzione da integrare
% a estremo destro dell’intervallo
% b estremo sinistro dell’intervallo
% n numero di intervalli
h=(b-a)/n;
x=[a:h/2:b];
y=inline(f);
yy=feval(f,x);
integrale=(h./3).*(sum(yy(1:2:n-1))+(2.*sum(yy(2:2:n-1)))+yy(1)+yy(n));
6.4 Formule adattive
Spesso si ha a che fare con funzioni integrande non molto regolari. I metodi
visti fino ad adesso, risultano poco accurati se la derivata della funzione, assume
valori elevati e cambia spesso di segno. Per questo vengono introdotti dei
metodi che riescono ad ottenere una precisione prefissata, laddove serve. Dobbiamo
stabilire un criterio di arresto, per la tolleranza richiesta. Consideriamo
allora l’approssimazione con la formula dei trapezi dell’integrale su uno e due
sottointervalli. L’errore su un intervallo è approssimativamente:
I(f) − I (1) 1
1 (f) ≈ −
12 f(2) (ξ)(b − a) 3
mentre quello su due sottointervalli risulta
I(f) − I (2) 1
1 (f) ≈ −
12 f(2) (b − a)3
(ξ)
4
Sottraendo membro a membro le due equazioni precedenti otteniamo che
I (1)
1
1 (f) − I(2) 1 (f) ≈ I
3
(2)
1 (f) − I1(f)
L’algoritmo quindi opera con il principio divide et impera. Per ogni sottointervallo,
se la stima dell’errore è maggiore della tolleranza richiesta, si procede a
dividere il sottointervallo in due parti, e si riapplica l’algoritmo su entrambi i
sottointervalli. Per questo si parla di formule adattive, perché sono in grado
di ottenere una tolleranza prefissata, partizionando l’intervallo di integrazione
in modo tale da ottimizzare le risorse di calcolo. Il caso limite rappresentato
dall’integrale della funzione costante y = k, con k ∈ R. Infatti la formula adattiva
si ferma alla prima iterazione, per ogni tolleranza fissata maggiore di zero.
Presentiamo allora l’algoritmo adattivo che usa il metodo dei trapezi.
Algoritmo 6.3 (Simpson composito).
function [int,x]=trapeziAdpt(f,a,b,tol,hmin)
109

%
%usage: int=trapezi(f,a,b,tol,hmin)
%Questa funzione calcola l’integrale della funzione f nell’intervallo [a,b]
%con una tolleranza tol.
%hmin la lunghezza pu raggiungere il segmento b-a.
%E’ possibile che questo metodo non raggiunga la tolleranza prefissata.
%
%INPUT
% f funzione integranda.deve essere una funizone che riceve in ingresso
% un vettore e restituisce in output un vettore
% a estremo sinistro dell’intervallo
% b estremo destro dell’intervallo
% tol la tolleranza che l’algoritmo dovrebbe rispettare.
% hmin pi piccola lunghezza dell’intervallo sul quale pu
% essere calcolato l’integrale
x=[a,b];
if b

%ritorna il vettore [0,1,2,3].
a=sort(a);
n=length(a);
if(n==1)
warning(’Il vettore ha solo un elemento,’);
printf(’quindi non pu contenere duplicati’);
x=a;
return
end
i=2;
while in) break; end
end
i=i+1;
if (i>n) break; end
end
x=a;
Esempio 26. Facciamo un esempio usando l’algoritmo dei trapezi adattivo. In
particolare siamo interessati a vedere come si dispongono le ascisse per l’lagoritmo
dei trapezi. Lo script per eseguito per generare l’esempio è il seguente:
f=inline(’rdatan(x)’);
a=0;
b=5;
[int,x]=trapeziAdpt(f,a,b,10^-3,10^-4);
xx=linspace(a,b,201);
yy=f(xx);
hold on
plot(xx,yy,’k’);
y=f(x);
plot(x,y,’ro’);
Dove la funzione atan è definita come
function [y]=datan(x)
y=1./(1+(x.^2));
In output viene generato il grafico 6.1, oltre al valore approssimato dell’integrale
della funzione. Come si può notare, le ascisse sono più dense dove la derivata
della funzione cambia di segno e il suo valore assoluto è alto. Nella prima parte
111

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
runge(x)=1/1+x 2
ascisse di quadratura
−0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura 6.1: Grafico delle ascisse di quadratura
applicata alla funzione di Runge.
della funzione infatti si addensano la maggior parte delle ascisse, mentre man
mano che x cresce occorrono sempre meno ascisse per ottenere la tolleranza
richiesta.
112

Esempio 27. Vediamo a quanto ammonta l’errore reale sull’approssimazione
di un integrale con il metodo dei trapezi composito. Per far questo abbiamo
bisogno di una funzione facilmente integrabile. La seguente funzione
1
1 + x 2
ha come integrale
b
1
= atan(x)|b
1 + x2 a = atan(b) − atan(a)
a
(6.12)
Il seguente script, mette in evidenza l’errore esatto tra l’integrale della funzione
6.12 calcolato nell’intervallo [a, b] e l’integrale in forma analitica.
imax=8;
a=0;
b=5;
tol=zeros(1,imax);
tol(1)=10^-1;
for j=2:imax
tol(j)=tol(j-1)./10;
end
hmin=10^-10;
f=inline(’datan(x)’);
i=1;
printf(’ ------------------------------------------------ \n’);
printf(’| tol | approssimazioni | errore |\n’);
printf(’ ------------------------------------------------ \n’);
temp=atan(b);
while i

Come ci potevamo aspettare, la tolleranza richiesta rispetta l’errore esatto.
114

Bibliografia
[1] Calcolo Numerico
Prof. Luigi Brugnano
Prof.ssa Cecilia Magherini
Prof.ssa Alessandra Sestini
Master Università & Professioni
viale Morgagni, 39/r - 50134 Firenze
tel. 055 4368577
email masterlibri@libero.it
[2] IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic
Prof. W. Kahan
Elect. Eng. & Computer Science
University of California
Berkeley CA 94720-1776
disponibile all’indirizzo web
http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/IEEE754.PDF
[3] Floating Point Unit
Jidan Al-Eryani
disponibile all’indirizzo web
http://www.opencores.org/projects.cgi/web/fpu100/fpu_doc.pdf
[4] Floating point - IEEE Standard unifies arithmetic model
Cleve Moler
chairman and co-founder of The MathWorks.
moler@mathworks.com
disponibile all’indirizzo web
http://www.mathworks.com/company/newsletters/news_notes/pdf/
Fall96Cleve.pdf
[5] Esercizi svolti di calcolo numerico
Stefano Berrone
Sandra Pieraccini
Edizioni C.L.U.T.
corso Duca delgi Abruzzi, 24 - 10129 Torino
tel. 0115647980
ISBN: 88-7992-183-5
[6] Matematica Numerica 2 a edizione
Alfio Quarteroni
115

Riccardo Sacco
Fausto Saleri
ed. Springer-Verlag italia, Milano
ISBN: 88-470-0077-7
[7] Algebra Lineare
Seymour Lipshutz
ed. Etas Libri
ISBN: 88-453-0528-7
116