Calcolo Numerico

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1.00000000000000 1.50000000000000 2.00000000000000 1.41666666666667 3.00000000000000 1.41421568627451 4.00000000000000 1.41421356237469 5.00000000000000 1.41421356237309 6.00000000000000 1.41421356237309 7.00000000000000 1.41421356237309 8.00000000000000 1.41421356237309 9.00000000000000 1.41421356237309 10.00000000000000 1.41421356237309 Esempio 4 (<strong>Calcolo</strong> di √ 2-seconda versione). Questa è la seconda funzione per il calcolo di √ 2 xn+1 = xn · xn−1 + 2 xn + xn+1 x0 = 2 , x1 = 1.5 Anche questo algoritmo rispetta il teorema del punto fisso. Infatti ipotizzando che alla n + 1-esima iterazione siamo arrivati a calcolare √ 2 abbiamo che: √ 2 √ 2 + 2 √ 2 + √ 2 = 2 + 2 2 · √ 2 = 2 √ 2 = √ 2 risultato (1,:)=[0,2]; risultato (2,:)=[1,1.5]; y=0; for i=3:10 y=(risultato(i-1,2)*risultato(i-2,2)+2)/(risultato(i-1,2)+risultato(i-2,2)); risultato(i,:)=[i-1,y]; end Come si può notare, a parità di iterazione, la prima verione dell’algoritmo è molto più efficiente della seconda. 0 2.00000000000000 1.00000000000000 1.50000000000000 2.00000000000000 1.42857142857143 3.00000000000000 1.41463414634146 4.00000000000000 1.41421568627451 5.00000000000000 1.41421356268887 6.00000000000000 1.41421356237310 7.00000000000000 1.41421356237310 8.00000000000000 1.41421356237309 9.00000000000000 1.41421356237310 10.00000000000000 1.41421356237310 11.00000000000000 1.41421356237309 7
2.3 Errori di round-off Nell’ambito dell’analisi numerica una delle problematiche maggiori è l’analisi degli errori. In ogni fase di risoluzione di un problema reale si commettono degli errori. Nella scelta del modello matematico s’introducono gli errori dovuti all’aggiunta di ipotesi semplificative, ad una incompleta o inesatta deduzione del modello stesso; tali errori saranno tanto più piccoli quanto più le ipotesi saranno soddisfatte. Nella fase di discretizzazione del modello s’introduce l’errore di troncamento analitico, dovuto, ad esempio, alla sostituzione di insiemi continui con insiemi discreti o all’approssimazione di operazioni basate sul concetto di infinito con operazioni razionali in numero finito. Nell’ultima fase, infine, intervengono gli errori di round-off dovuti all’approssimazione di numeri reali con numeri macchina. Un calcolatore numerico, infatti, è in grado di rappresentare soltanto un numero finito di cifre; ne consegue la possibilità che un numero reale introdotto nel calcolatore sia approssimato. Inoltre le operazioni elementari eseguite su tali numeri possono e loro volta, produrre risultati non rappresentabili esattamente nel calcolatore. Pertanto, quando un algoritmo, costituito da una successione di operazioni elementari, è eseguito su un calcolatore, si ha in generale una creazione e successiva propagazione di errori. Tali errori sono appunto gli errori di arrotondamento o round-off. L’errore di troncamento è una discrepanza introdotta dal fatto che i metodi numerici utilizzano delle approssimazioni per eseguire calcoli matematici e rappresentare quantità esatte. Il risultato prodotto dall’algoritmo differisce, quindi in generale dal risultato esatto, cioè da quel risultato ideale che si otterrebbe operando con tutte le cifre richieste. Il risultato dipenderà da come le perturbazioni, cioè la successione di errori, si amplificheranno. Lo studio del comportamento degli errori nonché la progettazione di tecniche per contenerne la propagazione, stanno alla base di qualsiasi algoritmo per il calcolo numerico, in quanto, l’amplificazione di un errore anche piccolo può addirittura invalidare il risultato dell’algoritmo. In questo capitolo ci occuperemo di studiare come vengono rappresentati i numeri nel calcolatore; vedremo anche gli errori che vengono introdotti da questa operazione. Non andremo a considerare gli errori di propagazione, in quanto richiederebbe un analisi molto più approfondita. 2.3.1 Numeri interi Un numero intero viene memorizzato, nel calcolatore, come una stringa di N +1 cifre nel seguente modo: α0α1 · · · αN (2.7) dove b ∈ N è la base del numero e α0 ∈ {+, −}, αi ∈ {0, 1, · · · , b − 1} i = 1, · · · , N Con la stringa 2.7 si può rappresentare il numero N n = i=1 αibN−i , se α0 = + N i=1 αibN−i − bN , se α0 = − 8 (2.8)
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Per la formula di Simpson invece ri
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Riccardo Sacco Fausto Saleri ed. Sp
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