Calcolo Numerico

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Capitolo 1 Introduzione Il calcolo numerico è una disciplina che rientra nel campo della matematica applicata.L’obiettivo di questa scienza è dare una soluzione, il più possibile accurata ed efficiente, a tutti quei problemi di natura matematica. Nel calcolo numerico, a differenza del calcolo simbolico, importa andare a calcolare la soluzione con dei vincoli di tempo e precisione. Facciamo l’esempio della centralina dell’ABS che comanda il servofreno di un automobile. Quando la leva del freno viene premuta, la centralina deve elaborare i dati in ingresso in tempo e con una precisione appropriata, altrimenti rischieremmo il bloccaggio delle ruote con il rischio di provocare un incidente. Come si può facilmente intuire, sono innumerevoli gli esempi nei quali il calcolo numerico ricopre una fondamentale importanza. Questa scienza quindi presterà particolare attenzione agli errori che vengono commessi nelle varie fasi dello sviluppo degli algoritmi atti a ottenere la soluzione numerica del problema. 3
Capitolo 2 Errori ed aritmetica finita L’utilizzo di tecnologie digitali, indispensabili nell’analisi numerica, porta inevitabilmente a rappresentare un valore, sia esso x ∈ R, nell’ambito dell’aritmetica finita. Con questi valori digitalizzati, poi si svolgono operazioni che potrebero portare ad un valore nel campo dei reali. Ancora una volta dobbiamo rappresentare questo risultato con un’aritmetica finita. Vediamo allora come si può misurare l’errore. Chiamiamo errore assoluto, e la indichiamo con ∆x, la differenza tra ˜x, il dato approssimato, e x, il dato esatto. ∆x ≡ ˜x − x (2.1) Esempio 1. Se x = Π e ˜x = 3.14 l’errore assoluto che commettiamo è pari a ∆x ≈ −1.6 · 10 −3 . Notiamo subito che l’errore assoluto non fornisce un informazione di per sè attendibile. Infatti un errore di −1.6 · 10 −3 , risulterebbe essere macroscopico nel campo delle nanotecnologie, oppure assolutamente trascurabile se parliamo di distanze intergalattiche. Si ha la necessità quindi di definire l’errore relativo: ǫx ≡ ∆x x = ˜x − x x Dalla 2.2 con qualche passaggio algebrico arriviamo alla forma (2.2) ˜x = x(1 + ǫx) ⇒ ˜x = 1 + ǫx x Pertanto l’errore relativo dobbiamo confrontarlo con l’unità.Un errore relativo ≈ 1, ci dice che l’errore commesso è troppo grande. Mentre un errore relativo dell’ordine di 10−6 , ci dice che abbiamo sbagliato di una parte su un milione, il che è trascurabile. Esempio 2. Consideriamo ˜π = 3.14 e π ≈ 3.1415926535. ∆x = ˜π − π ≈ 1.5926535 · 10 −3 ǫx = ∆x π ≈ 0, 506957354 · 10−3 La cosa si fa interessante se consideriamo l’intero più piccolo del logaritmo in base 10 dell’errore relativo. Infatti − log 10 |ǫx| ≈ 3, 295028 ⇒ ⌊− log 10 |ǫx|⌋ = 3, che guarda caso sono il numero di cifre decimali uguali tra il valore approssimato e quello esatto. 4
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Come ci potevamo aspettare, la toll
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Riccardo Sacco Fausto Saleri ed. Sp
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